2012高考最后五天冲刺黄金卷：数学理5

2012高考最后五天冲刺黄金卷：数学理5
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合
}0,2|{},2|{2>==-==x y y B x x y x A x
，则A ∩B= （ ）
A ．}21|{≤<x x
B ．}21|{≤≤x x
C ．}0|{≥x x
D ．}1|{>x x
2．已知βα,是两个不同平面，n m ,.是两条不同直线，则下列命题不正确的是 （ ）
A ．βαβα⊥⊥m m 则,,//
B ．αα⊥⊥n m n m 则,,/
C ．βαβα⊥⊥则,,//n n
D ．ββ⊥⊥n n m m 则,,//
3．羊娃是第16届广州亚运会吉祥物，每组羊娃都由“阿祥”、“阿和”、“阿如”、“阿意”和
“乐羊羊”这五只羊组成，现将同一组羊娃随机分配给甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者，则甲或乙得到“阿祥”、丙不得“乐羊羊“的方法种数为 （ ） A ．24 B ．36 C ．48 D ．54
4．已知平面区域
}1|||||),{(},1|),{(2
2≤+=≤+=Ωy x y x M y x y x ，若在区域Ω上随机扔一个点P ，则点P 落在区域M 的概率为 （ ）
A ．π21
B ．π1
C ．π2
D ．π3
5．设有算法如下： 如果输入A=2010，B=99，则输出的结果是（ ） A ．0 B ．3 C ．6 D ．9
6．若二项式
6
)1(x
x a -
的展开式中的常数项为ππ(203
-为无理数），则
⎰
=
a
xdx 0
sin
（ ）
A ．-2
B ．0
C ．1
D ．2 7．给出下列四个结论： ①命题“02,≤∈∃x
R x ”的否定是“02,>∈∀x
R x ”；
②给出四个函数3
1,,,x y x y x y x y ====++-，则在R 上是增函数的函数有3个；
③已知R b a ∈,，则“不等式||||||b a b a +=+成立”的充要条件是“0≥ab ”；
④若复数
i m m m z )1()32(2
-+-+=是纯虚数， 则实数m 的值为-3或1。

其中正确的个数是
（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
8．给出数列,
,1,,12,1,,13,22,31,12,21,11 k k k -在这个数列中，第50个值等于1的项
的序号是 （ ）
A ．4900
B ．4901
C ．5000
D ．5001
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。

把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。

9．为了调制一种饮料，在每10kg 半成品饮料中加入柠檬汁进行试验，加入量为500g 到1500g 之间，现用0.618法选取试点找到最优加入量，则第二个试点应选取在 g 。

10．如图，AC 为⊙O 的直径，弦AC BD ⊥于点P ，
PC=2，PA=8，则ACB ∠cos 的值为 。

11．正三棱柱的底面边长为cm 32，高为cm 2，则它 的外接球的表面积为 cm2.（结果保留π）
12．若曲线6:1π
θ=C )(R ∈ρ与曲线θθθ(sin 2cos 2:2⎪⎩⎪⎨⎧=+=y a x C 为参数，a 为常数，0>a ）
有两个交点A 、B ，且|AB|=2，则实数a 的值为 。

13．设双曲线)0,0(122
22>>=-b a b x a y 的渐近线与抛物线
12+=x y 相切，则该双曲线的离心率等于 。

14．已知M 是ABC ∆内的一点（不含边界），且30,32=∠=⋅BAC °，若
MAB MCA MBC ∆∆∆和,的面积分别为.,,z y x
（1）=++z y x ；
（2）定义
z y x z y x f 9
41),,(+
+=
，则),,(z y x f 的最小值是 。

15．设代数方程
)1(242210=-+-+-n n n x a x a x a a 有n 2个不同的根
n
x x x ±±±,,,21 ，则
⋅
--=-+-+-)1)(1()1(222
212024
22
10x x x x a x
a x a x a a n
n n
)
1(22
n x x -⋅ ，比较两边2x 的系数得=1a （用n x x x a ⋅⋅⋅⋅ 210表示）
；若已知
展开式 +-+-=!7!5!31sin 642x x x x x 对0,≠∈x R x 成立，则由于0
sin =x x
有无穷多个根：,,,,2, πππn ±+±±于是)
21)(1(!7!5!31222
22642ππ⋅--=+-+-x x x x x
⋅-
⋅⋅)1(2
22π
n x ，利用上述结论可得
=+++++
2221
31211n 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）
已知向量)sin ,cos 2(),sin 32,(sin x x b x x a ==，定义.3)(-⋅=b a x f
（1）求函数)(x f 的单调递减区间；
（2）若函数)0)((πθθ<<+=x f y 为偶函数，求θ的值。

17．（本小题满分12分） “上海世博会”于2010年5月1日至10月31日在上海举行，世博会“中国馆·贵宾厅”作为接待中外贵宾的重要场所，陈列其中的艺术品是体现兼容并蓄，海纳百川的重要文化载体，为此，上海世博会事物协调局举办“中国2010年上海世博会”中国馆·贵宾厅艺术品方案征集活动，某地美术馆从馆藏的中国画、书法、油画、陶艺作品中各选一件代表作
参与应证，假设代表中有中国画、书法、油画入选“中国馆·贵宾厅”的概率均为41
，陶艺入选“中国馆·贵宾厅”的概率为31。

（1）求该地美术馆选送的四件代表作中恰有一件作品入选“中国馆·贵宾厅”的概率； （2）设该地美术馆选送的四件代表作中入选“中国馆·贵宾厅”的作品件数为随机变量
ξ，求ξ的数学期望。

18．（本小题满分12分）
下图分别为三棱锥S —ABC 的直观图与三视图，在直观图中，SC SA =，M 、N 分别为
AB 、SB 的中点。

（1）求证：SB AC ⊥；
（2）求二面角M —NC —B 的余弦值。

19．（本小题满分13分） 张家界某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y 万元与投入)10(≥x x 万元之间满足：
b
a x
b x ax x f y ,,10
ln
50
101)(2-+
==为常数。

当10=x 万元时，2.19=y 万元；当
20=x 万元时，7.35=y 万元。

（参考数据：6.15ln ,1.13ln ,7.02ln ===）
（1）求)(x f 的解析式；
（2）求该景点改造升级后旅游利润)(x T 的最大值。

（利润=旅游增加值-投入）
20．（本小题满分13分）
已知数列
}
{n a 满足11=a ，点)(1+⋅n n a a 在直线12+=x y 上，数列}
{n b 满足
).2(111,
1
2111≥+++==-n a a a a b a b n n n
（1）求
1
1)1(+++-n n n n a b a b 的值；
（2）求证：
*).(310
)1()1)(1(2121Nh n b b b b b b n n ∈⋅⋅<
+⋅⋅++
21．（本小题满分13分）
已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b y a x C 的离心率为22，其左、右焦点分别为F1、F2，
点P 是坐标平面内一点，且43
,27||21=⋅=
PF PF OP （O 为坐标原点）。

（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点
)
31
,0(-S 且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A 、B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M 的坐标和MAB ∆面积的最大值；若不存在，说明理由。

2012高考最后五天冲刺黄金卷：数学理5 一、选择题 ADBC BDCB 二、填空题 9．882
10．55
11．π20 12．2
13．25
14．（1）1 （2）36
15．
)111(
222210n
x x x a +++ 62
π
三、解答题
16．解：（1）
3sin 32cos sin 2)(2
-+=x x x x f
322cos 1322sin --⋅
+=x
x
)
32sin(22cos 32sin π
-=-=x x x …………4分
令
2322
22
2πππ
π
π+
≤-
≤+
k x k
得单调递减区间是
.],1211,125[Z k k k ∈++
ππππ ……6分
（2）)
322sin(2)(π
θθ-
+=+x x f ，
由)(θ+x f 为偶函数，
则)(θ+x f 在0=x 处取最大值或最小值。

1
)32sin(±=-∴π
θ .,1252,2
3
2Z k k k ∈+=
+
=-
∴π
πθπ
ππ
θ
又πθ<<0，得
.1211125πθπθ==
或…………12分
注：少写一解扣1分
17．解：记“该地美术馆选送的中国画、书法、油画中恰有i 件作品入选‘中国馆·贵宾厅’”为事件
),
3,2,1,0(=i A i 记“代表作中陶艺入选‘中国馆·贵宾厅’”为事件B 。

（1）
)()()()(011B P A P B P A P P ⋅+⋅=
642731)43()311()43)(41(303213=
⋅+-⋅=C C
……4分
（2）ξ的取值为0，1，2，3，4…………5分
3296418)311()43()0(3
03=
=-⋅==C P ξ 6427
)1(=
=ξP
6415)311)(43()41(31)43)(41()2(223213=
-+⋅==C C P ξ 19211)311()41(31)43()41()3(3
33223=
-+⋅==C C P ξ
192131)41()4(333=
⋅==C P ξ
ξ∴的分布列是为
…………10分
121341921319211264156427=⨯+⨯+⨯+=
∴ξE ……612分
18．解：（1）由题意知：32==SC SA ， 侧面⊥SAC 底面ABC ，度面ABC ∆为正三角形，
取AC 的中点O ，连结OS ，OB 。

则⎪⎩⎪⎨
⎧=+-=⋅=+=⋅02033z x MN n y x n
取1=z 得6,2-==
y x
所以)1,6,2(-=n …………8分
又由上可得)2,3,2(),0,32,2(==CN CB
设),,(c b a m =为平面NBC 的法向量
则⎪⎩⎪⎨
⎧=++=⋅=+=⋅02320322c b a CN m b a m
得02=+
c a
取1=c ，则
)1,36
,
2(-=m …………10分
所以
1133
333
3122||||,cos -
=⨯
+--=⋅⋅>=
<n m n m m n
所以二面角M —NC —B 的余弦值为1133
…………（12分）
注：有其他方法相应记分。

19．解：（1）由条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-⨯+⨯=-⨯+⨯7.352ln 2050101202.191ln 10501011022
b a b a …………2分
解得
1,1001
=-
=b a …………4分
则).
10(10ln 50101100)(2≥-+-=x x x x x f …………6分
（2）由)
10(10ln 5051100)()(2≥-+-=-=x x x x x x f x T
则
x x x x x x T 50)
50)(1(1505150)(---=-+-=
'…………10分
令1,0)(=='x x T 则（舍）或50=x
当)50,10(∈x 时，0)(>'x T ，
因此)(x T 在（10，50）上是增函数；
当),50(+∞∈x 时，0)(<'x T ，
因此)(x T 在（0，+∞）上是减函数，
50=∴x 为)(x T 的极大值点…………12分
即该景点改造升级后旅游利润)(x T ）的最大值为4.24)50(=T 万元。

…………13分
20．解：（1） 点)
,(1+n n a a 在直线12+=x y 上，
1
21+=∴+n n a a
)1(211+=+∴+n n a a ，即
)
1(+n a 是以2为首项，2为公比的等比数列
1
2-=∴n n a …………2分
又
)2(111121≥+++=-n a a a a b n n n
n n n n a a a a a b 1
11112111++++=∴
-++
n
n n n n a a b a b 1
11+=∴
++
)
2(0)1(11≥=+-∴++n a b a b n n n n …………5分
当1=n 时，3,12211====a b a b
则.3)1(2112-=+-a b a b …………6分
（2）由（1）知
2
21
1),2(1a b n a a b b n n
n n =≥=+++
1
2211211111)1
1()11)(11(b b b b b b b b b b n n n =+⋅⋅+⋅+=+⋅⋅++
∴
⋅⋅⋅+⋅=⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅
++-4
332211111322111111a a a a b b b b b b b b b b b b n n n n n
).1
11(222111111n
n n n n n n n a a a a b b a a a a +++=⋅=⋅⋅⋅
++++-……9分
2≥k 时，)12)(12(2)12)(12(12121111
1
1--<---=--++++k k
k k k k k k a
)121121(
21---=+k k
+---+<-+++=+++∴
)121121[(211213*********n n a a a
35
)12131(21)]1
21121(
11<
--+=---+++n n n ……612分 .310
)1()11)(11(2121n n b b b b b b ⋅⋅<+⋅⋅++
∴ …………13分
另证：当2≥n 时12
2
≥-n （仅当2=n 取等号）
22312-⋅≥-∴n n ，即)
2(21
3112112≥⋅≤---n a n n n
∴当2≥n 时，
35
213521121
1311)2
1211(31111121221<-=--
⋅+=++++≤+++---n n n n a a a
而1=n 显然成立…………12分
310
)11()11)(11(21<+⋅⋅++
∴n b b b
即
.310
)1()1)(1(2121n n b b b b b b ⋅⋅<
+⋅⋅++ …………13分
21．解：（1）设
,4727),0)(0,(),0,(),,(2
0202100=+=
>-y x OP c c F c F y x P 得则由 ①
由.43,43),(),(4322020000021=-+=--⋅---=⋅c y x y x c y x c PF PF 即得 ② 由①②得.1=c
2分 又22=a c ，所以
1,222==b a ∴椭圆C 的方程：.1222=+y x 4分
（2）动直线,1231:22
=+-=y x kx y l 代入
有.091634)12(22=--+kx x k
设.)12(916,)12(34),,(),,(2212212211+-=+=+k x x k k x x y x B y x A 则 6分
设存在y 轴上定点M （0，m ）满足题设，则),,()(2211m y x m y x -=⋅-⋅= 22121212121)())((m y y m y y x x m y m y x x MB MA ++-+=--+=⋅
.)12(9)1569()1(189
132))(31()1(2222221212+-++-=+++++-+=k m m k m m m x x m k x x k
8分 由假设对任意0,=⋅∈MB MA R k 恒成立，
即 ,015690122=-+=-m m m 解得1=m ∴存在y 轴上定点M （0，1）满足题设。

10分
此时点M 到AB 距离,
1342+=
k d 又,))(1(2212x x k AB -+=
.)12(49984)(32)(322122*********++=-+=-=⋅=∴∆k k x x x x x x d AB S MAB
设t k =+122，则
],1,0(1),,1[212∈+∞∈-=t t t k 且
.916])291(481[2198)1(21)1(299822≤--=-=∆∴t t t S MAB 当且仅当0,1,11===k t t 即时MAB ∆面积最大，且最大值为.916 13分
OB AC SO AC AC AB SC SA ⊥⊥∴==,,, ⊥∴AC 平面OSB ，SB 。

AC ⊥∴…………4分
（2）如图所示建立空间直角坐标系xyz O -，则
)2,3,0(),0,3,1(),22,0,0(),0,0,2(),0,32,0(),0,0,2(N M S C B A -
)22,32,0(),0,0,4(-=-=∴SB AC
)2,0,1(),0,3,3(-==
设),(yz x n =为平面CMN 的一个法向量，。