2016-2017年山东省临沂一中高二(下)第一次月考数学试卷(文科)(解析版)

2016-2017学年山东省临沂一中高二（下）第一次月考数学试卷
（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）如图所示某公司的组织结构图，信息部被（）直接领导
A．专家办公室B．开发部C．总工程师D．总经理
2．（5分）有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”
结论显然是错误的，是因为（）
A．大前提错误B．小前提错误
C．推理形式错误D．非以上错误
3．（5分）按流程图的程序计算，若开始输入的值为x＝3，则输出的x的值是（）
A．6B．21C．156D．231
4．（5分）某中学兴趣小组为调查该校学生对学校食堂的某种食品喜爱与否是否与性别有关，随机询问了100名性别不同的学生，得到如下的2×2列联表：
附K2＝
根据以上数据，该数学兴趣小组有多大把握认为“喜爱该食品与性别有关”？（）A．99%以上B．97.5%以上C．95%以上D．85%以上5．（5分）对于任意实数a，b，c，d，命题：
①若a＞b，c≠0，则ac＞bc；
②若a＞b，则ac2＞bc2
③若ac2＞bc2，则a＞b；
④若a＞b，则；
⑤若a＞b＞0，c＞d，则ac＞bd．
其中真命题的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
6．（5分）用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）
A．6n﹣2B．8n﹣2C．6n+2D．8n+2
7．（5分）设复数z满足条件|z﹣（2﹣2i）|＝1，那么z对应的点的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
8．（5分）函数的最小值为（）
A．3B．4C．5D．6
9．（5分）极坐标方程ρcosθ＝2sin2θ表示的曲线为（）
A．一条射线和一个圆B．两条直线
C．一条直线和一个圆D．一个圆
10．（5分）直线（t为参数）和圆x2+y2＝16交于A，B两点，则AB的中点坐标为（）
A．（3，﹣3）B．C．D．（﹣，﹣）11．（5分）点P（x，y）是椭圆2x2+3y2＝12上的一个动点，则x+2y的最大值为（）A．B．C．D．
12．（5分）参数方程（t为参数）所表示的曲线是（）A．B．
C．D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）给出下面类比推理命题（Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）：
①“若a，b∈R，则a﹣b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a﹣b＝0⇒a＝b”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a+bi＝c+di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则
⇒a＝c，b＝d”；
③“若a，b∈R，则a﹣b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a﹣b＞0⇒a＞b”；
④“若x∈R，则|x|＜1⇒﹣1＜x＜1”类比推出“若z∈C，则|z|＜1⇒﹣1＜z＜1”．
其中类比结论正确的命题是．
14．（5分）在同一坐标系中，将曲线y＝2cos3x变为曲线y′＝3cos2x′的伸缩变换是．15．（5分）函数的最大值为．
16．（5分）已知不等式|x﹣a|+|x+b|≥3的解集为R，则a+b的取值范围是．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）（1）计算：
（2）已知z，w为复数，（1+3i）•z为纯虚数，，且，求复数z．18．（12分）下表是高三某位文科生连续5次月考的历史、政治的成绩，结果统计如下：
（1）求该生5次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差
（2）一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关，根据上表提供的数据，求两个变量x、y的线性回归方程＝x+
（附：＝＝，＝y﹣x）
19．（12分）（1）已知a＞0，求证：
（2）证明：若a，b，c均为实数，且，，，求证：a，b，c中至少有一个大于0．
20．（12分）设函数f（x）＝|x﹣a|，a∈R．
（Ⅰ）当a＝2时，解不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤4的解集为[﹣1，7]，且两正数s和t满足2s+t＝a，求证：
．
21．（12分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴为正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 和直线l的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，ρcos（θ+α）＝2（其中tanα＝2，α∈（0，））．（Ⅰ）求圆C和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C和直线l相交于点A和点B，求以AB为直径的圆D的参数方程．22．（12分）若不等式对一切正整数n都成立，
（1）猜想正整数a的最大值，
（2）并用数学归纳法证明你的猜想．
2016-2017学年山东省临沂一中高二（下）第一次月考数
学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）如图所示某公司的组织结构图，信息部被（）直接领导
A．专家办公室B．开发部C．总工程师D．总经理
【解答】解：由已知中某公司的组织结构图，可得信息部被总工程师直接领导，
故选：C．
2．（5分）有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”
结论显然是错误的，是因为（）
A．大前提错误B．小前提错误
C．推理形式错误D．非以上错误
【解答】解：∵大前提的形式：“有些有理数是真分数”，不是全称命题，
∴不符合三段论推理形式，
∴推理形式错误，
故选：C．
3．（5分）按流程图的程序计算，若开始输入的值为x＝3，则输出的x的值是（）
A．6B．21C．156D．231
【解答】解：∵x＝3，
∴＝6，
∵6＜100，
∴当x＝6时，＝21＜100，
∴当x＝21时，＝231＞100，停止循环
则最后输出的结果是231，
故选：D．
4．（5分）某中学兴趣小组为调查该校学生对学校食堂的某种食品喜爱与否是否与性别有关，随机询问了100名性别不同的学生，得到如下的2×2列联表：
附K2＝
根据以上数据，该数学兴趣小组有多大把握认为“喜爱该食品与性别有关”？（）A．99%以上B．97.5%以上C．95%以上D．85%以上
【解答】解：K2＝＝4＞3.841，
∴该数学兴趣小组有95%以上把握认为“喜爱该食品与性别有关”．
故选：C．
5．（5分）对于任意实数a，b，c，d，命题：
①若a＞b，c≠0，则ac＞bc；
②若a＞b，则ac2＞bc2
③若ac2＞bc2，则a＞b；
④若a＞b，则；
⑤若a＞b＞0，c＞d，则ac＞bd．
其中真命题的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：根据题意，依次分析5个命题，
①若a＞b，c＜0，则ac＜bc，故错误；
②当c＝0时，则ac2＝bc2，故错误；
③若ac2＞bc2，因为c2＞0，则a＞b；正确；
④当a＞0＞b时，＞0＞，故错误；
⑤若a＞b＞0，当0＞c＞d时，ac＜bd．
则只有③正确；
故选：A．
6．（5分）用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）
A．6n﹣2B．8n﹣2C．6n+2D．8n+2
【解答】解：∵第一个图中有8根火柴棒组成，
第二个图中有8+6个火柴棒组成，
第三个图中有8+2×6个火柴组成，
以此类推
组成n个系列正方形形的火柴棒的根数是8+6（n﹣1）
∴第n个图中的火柴棒有6n+2
故选：C．
7．（5分）设复数z满足条件|z﹣（2﹣2i）|＝1，那么z对应的点的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【解答】解：设z＝x+yi（x，y∈R），
则由|z﹣（2﹣2i）|＝|x+yi﹣2+2i|＝|（x﹣2）+（y+2）i|＝1，
得，
即（x﹣2）2+（y+2）2＝1．
∴z对应的点的轨迹是圆．
故选：A．
8．（5分）函数的最小值为（）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：＝，当且仅当时等号
成立；
故选：A．
9．（5分）极坐标方程ρcosθ＝2sin2θ表示的曲线为（）
A．一条射线和一个圆B．两条直线
C．一条直线和一个圆D．一个圆
【解答】解：极坐标方程ρcosθ＝2sin2θ可化为：ρcosθ＝4sinθcosθ
∴cosθ＝0或ρ＝4sinθ
∴或x2+y2﹣4y＝0
∴极坐标方程ρcosθ＝2sin2θ表示的曲线为一条直线和一个圆
故选：C．
10．（5分）直线（t为参数）和圆x2+y2＝16交于A，B两点，则AB的中点坐标为（）
A．（3，﹣3）B．C．D．（﹣，﹣）【解答】解：直线（t为参数）即y＝﹣﹣2
代入圆x2+y2＝16化简可得x2+3x﹣1＝0，
∴x1+x2＝﹣3，即AB的中点的横坐标为﹣，
∴AB的中点的纵坐标为﹣，
故AB的中点坐标为（﹣，﹣），
故选：D．
11．（5分）点P（x，y）是椭圆2x2+3y2＝12上的一个动点，则x+2y的最大值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：由椭圆2x2+3y2＝12化为，设，y＝2sinθ，
∴x+2y＝
＝
＝，其中．
∴x+2y的最大值为．
故选：D．
12．（5分）参数方程（t为参数）所表示的曲线是（）A．B．
C．D．
【解答】解：∵，∴x与y同号（t＝±1除外），
将代入消掉参数t得：x2+y2＝1（xy≥0，x≠0）；
故选：D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）给出下面类比推理命题（Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）：
①“若a，b∈R，则a﹣b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a﹣b＝0⇒a＝b”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a+bi＝c+di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则
⇒a＝c，b＝d”；
③“若a，b∈R，则a﹣b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a﹣b＞0⇒a＞b”；
④“若x∈R，则|x|＜1⇒﹣1＜x＜1”类比推出“若z∈C，则|z|＜1⇒﹣1＜z＜1”．
其中类比结论正确的命题是①②．
【解答】解：①在复数集C中，若两个复数满足a﹣b＝0，则它们的实部和虚部均相等，则a，b相等．故①正确；
②在有理数集Q中，若，则（a﹣c）+（b﹣d）＝0，易得：a＝c，b
＝d．故②正确；
③若a，b∈C，当a＝1+i，b＝i时，a﹣b＝1＞0，但a，b是两个虚数，不能比较大小．故
③错误
④“若x∈R，则|x|＜1⇒﹣1＜x＜1”类比推出“若x∈C，|z|＜1表示复数模小于1，不能⇒
﹣1＜z＜1，故④错．
故4个结论中，①②是正确的．
故答案为：①②．
14．（5分）在同一坐标系中，将曲线y＝2cos3x变为曲线y′＝3cos2x′的伸缩变换是
．
【解答】解：∵曲线y＝2cos3x的周期为，振幅为2；
曲线y′＝3cos2x′的周期为π，振幅为3；
∴y＝cos3x到y＝cos2x横坐标伸长到原来的倍，
由y＝2cos2x到y＝3cos2x纵坐标伸长到原来的倍，
即x′＝x，y′＝y
故答案为
15．（5分）函数的最大值为10．
【解答】解：由，可得，解得≤x≤，
≤•＝5＝10，
当且仅当3＝4，即x＝时取等号，
故函数的最大值为10，
故答案为：10
16．（5分）已知不等式|x﹣a|+|x+b|≥3的解集为R，则a+b的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．
【解答】解：若|x﹣a|+|x+b|≥3的解集为R，
则|x﹣a﹣x﹣b|＝|a+b|≥3，
即a+b≥3或a+b≤﹣3，
故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）（1）计算：
（2）已知z，w为复数，（1+3i）•z为纯虚数，，且，求复数z．
【解答】解：（1）
＝[（1+2i）•1+（﹣i）5]2﹣i10
＝（1+i）2﹣i10＝1+2i．
（2）设z＝x+yi，（x，y∈R），
则（1+3i）•z＝（x﹣3y）+（3x+y）i为纯虚数，
∴，
∵，
∴．
又x＝3y，解得x＝15，y＝5或x＝﹣15，y＝﹣5，
∴z＝15+5i或z＝﹣15﹣5i．
18．（12分）下表是高三某位文科生连续5次月考的历史、政治的成绩，结果统计如下：
（1）求该生5次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差
（2）一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关，根据上表提供的数据，求两个变量x、y的线性回归方程＝x+
（附：＝＝，＝y﹣x）
【解答】解：（1）＝（79+81+83+85+87）＝83．
∵＝（77+79+79+82+83）＝80，
∴政治成绩的方差＝[（77﹣80）2+（79﹣80）2+（79﹣80）2+（82﹣80）2+（83﹣80）2]＝4.8
（2）（x i﹣）（y i﹣）＝30，（x i﹣）2＝40，
∴b＝，
∴a＝80﹣＝17.75，
∴y＝x+17.75．
19．（12分）（1）已知a＞0，求证：
（2）证明：若a，b，c均为实数，且，，，求证：a，b，c中至少有一个大于0．
【解答】（1）证明：要证：，只需证：
只需证：
即证：，
即证：
只需证：（a+5）（a+4）＞（a+6）（a+3），即证：20＞18，∵上式显然成立，
∴原不等式成立．
（2）设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，∴a+b+c≤0
而
＝（x2﹣2x）+（y2﹣2y）+（z2﹣2z）+π＝（x﹣1）2+（y﹣1）2+（z﹣1）2+π﹣3
∴a+b+c＞0，这与a+b+c≤0矛盾，故假设是错误的
故a，b，c中至少有一个大于0．
20．（12分）设函数f（x）＝|x﹣a|，a∈R．
（Ⅰ）当a＝2时，解不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤4的解集为[﹣1，7]，且两正数s和t满足2s+t＝a，求证：
．
【解答】（Ⅰ）解：当a＝2时，不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|，可化为|x﹣2|+|2x﹣5|≥6．
①x≥2.5时，不等式可化为x﹣2+2x﹣5≥6，∴x≥；
②2≤x＜2.5，不等式可化为x﹣2+5﹣2x≥6，∴x∈∅；
③x＜2，不等式可化为2﹣x+5﹣2x≥6，∴x≤，
综上所述，不等式的解集为（﹣]；
（Ⅱ）证明：不等式f（x）≤4的解集为[a﹣4，a+4]＝[﹣1，7]，∴a＝3，
∴＝（）（2s+t）＝（10++）≥6，当且仅当s＝，t＝2时取等号．21．（12分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴为正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 和直线l的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，ρcos（θ+α）＝2（其中tanα＝2，α∈（0，））．（Ⅰ）求圆C和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C和直线l相交于点A和点B，求以AB为直径的圆D的参数方程．
【解答】解：（Ⅰ）圆C的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，
转化成直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2＝1，
由于：tanα＝2，α∈（0，）．
则：，
极坐标方程ρcos（θ+α）＝2转化成直角坐标方程为：x﹣2y﹣2＝0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
解得：A（2，0），B（，），
则：，
设点M（x，y）是圆D上的任意一点，则：．
所以：+．
整理得：5x2+5y2﹣12x+4y＝0．
转化成标准形式为：
转化成参数方程为：（θ为参数）．
22．（12分）若不等式对一切正整数n都成立，（1）猜想正整数a的最大值，
（2）并用数学归纳法证明你的猜想．
【解答】解：（1）当n＝1时，，即，
所以a＜26，
a是正整数，所以猜想a＝25．
（2）下面利用数学归纳法证明，
①当n＝1时，已证；
②假设n＝k时，不等式成立，即，
则当n＝k+1时，
有
＝
因为
所以，
所以当n＝k+1时不等式也成立．
由①②知，对一切正整数n，都有，所以a的最大值等于25．…（14分）。