2016-2017学年湖南省湘东五校联考高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)

2016-2017学年湖南省湘东五校联考高二（下）期末数学试卷（文
科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知集合A＝{0，1}，B＝{z|z＝x+y，x∈A，y∈A}，则B的子集个数为（）A．3B．4C．7D．8
2．（5分）已知复数z满足（2﹣i）z＝5，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为3，2，则输出的n＝（）
A．2B．3C．4D．5
4．（5分）已知数列{a n}为等比数列，且a3＝﹣4，a7＝﹣16，则a5＝（）A．8B．﹣8C．64D．﹣64
5．（5分）设a，b∈R，则“＜0”是“a＜b”的（）条件．
A．充分而不必要B．必要而不充分
C．充要D．既不充分也不必要
6．（5分）已知函数y＝f（x）的图象关于y轴对称，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝log2x，若a＝f（﹣3），b＝f（），c＝f（2），则a，b，c的大小关系是（）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b
7．（5分）若α∈（，π），则3cos2α＝cos（+α），则sin2α的值为（）
A．B．﹣C．D．﹣
8．（5分）若直线＝1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A．2B．3C．4D．5
9．（5分）f（x）＝A cos（ωx+φ）（A，ω＞0）的图象如图所示，为得到g（x）＝﹣A sin（ωx+
）的图象，可以将f（x）的图象（）
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
10．（5分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BA，PC⊥CA，且PC＝2CA＝2，则三棱锥P ﹣ABC的外接球表面积为（）
A．3πB．5πC．12πD．20π
11．（5分）已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F2与双
曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M，若∠F1MF2为锐角，则双曲线离心率的取值范围是（）
A．B．（，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）
12．（5分）已知函数f（x）＝（a＞0且a≠1）的图象上关于y轴对称
的点至少有3对，则实数a的范围是（）
A．（0，）B．（，1）C．（，1）D．（0，）
二、填空题（每题5分，共20分）
13．（5分）已知＝（1，﹣1），＝（﹣1，2），则（2+）•＝．
14．（5分）已知实数x，y满足线性约束条件，若x﹣2y≥m恒成立，则实数
m的取值范围是．
15．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝b，sin2B＝2sin A sin C 则cos B＝．
16．（5分）已知F是抛物线x2＝4y的焦点，P是抛物线上的一个动点，且A的坐标为（0，﹣1），则的最小值等于．
三、解答题（17题、18题、19题、20题、21题各12分，选做题10分，共70分）1* 17．（12分）已知数列{a n}的前n项的和为S n，且S n+a n＝1（n∈N*）
（1）求{a n}的通项公式；
（2）设b n＝﹣log3（1﹣S n），设∁n＝，求数列{∁n}的前n项的和T n．
18．（12分）随着“全面二孩”政策推行，我市将迎来生育高峰．今年新春伊始，宜城各医院产科就已经是一片忙碌，至今热度不减．卫生部门进行调查统计，期间发现各医院的新生儿中，不少都是“二孩”；在市第一医院，共有40个猴宝宝降生，其中20个是“二孩”宝宝；市妇幼保健院共有30个猴宝宝降生，其中10个是“二孩”宝宝．
（I）从两个医院当前出生的所有宝宝中按分层抽样方法抽取7个宝宝做健康咨询．
①在市第一医院出生的一孩宝宝中抽取多少个？
②若从7个宝宝中抽取两个宝宝进行体检，求这两个宝宝恰出生不同医院且均属“二孩”
的概率；
（Ⅱ）根据以上数据，能否有85%的把握认为一孩或二孩宝宝的出生与医院有关？
附：
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，AB＝BC＝CD ＝1，DA＝2，DP⊥平面ABP，O，M分别是AD，PB的中点．
（Ⅰ）求证：PD∥平面OCM；
（Ⅱ）若AP与平面PBD所成的角为60°，求线段PB的长．
20．（12分）已知椭圆E：＝1的离心率为，点F1，F2是椭圆E的左、右焦点，
过F1的直线与椭圆E交于A，B两点，且△F2AB的周长为8．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）动点M在椭圆E上，动点N在直线l：y＝2上，若OM⊥ON，探究原点O到直线MN的距离是否为定值，并说明理由．
21．（12分）已知f（x）＝lnx﹣ax+1，其中a为常实数．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＝1时，求证：f（x）≤0；
（3）当n≥2，且n∈N*时，求证：＜2．
四、解答题（共1小题，满分10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l过点M（3，4），其倾斜角为45°，圆C的参数方程为．再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xoy有相同的长度单位．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）设圆C与直线l交于点A、B，求|MA|•|MB|的值．
五、解答题（共1小题，满分0分）
23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+2|
（1）当a＝3时，求不等式f（x）≥7的解集；
（2）若f（x）≤x+4的解集包含[1，2]，求实数a的取值范围．
2016-2017学年湖南省湘东五校联考高二（下）期末数学
试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．【解答】解：由题意可知，
集合B＝{z|z＝x+y，x∈A，y∈A}＝{0，1，2}，
则B的子集个数为：23＝8个，
故选：D．
2．【解答】解：复数z满足（2﹣i）z＝5，
∴（2+i）（2﹣i）z＝5（2+i），
∴z＝2+i，
＝2﹣i，
则在复平面内对应的点（2，﹣1）位于第四象限．
故选：D．
3．【解答】解：当n＝1时，a＝3+＝，b＝4，满足进行循环的条件，
当n＝2时，a＝+＝，b＝8，不满足进行循环的条件，
故输出的n值为2，
故选：A．
4．【解答】解：∵数列{a n}为等比数列，且a3＝﹣4，a7＝﹣16，
∴＝a3•a7＝（﹣4）•（﹣16）＝64，且＝﹣4q2＜0，
∴a5＝﹣8．
故选：B．
5．【解答】解：由＜0得a≠0且＜0，即a≠0且a﹣b＜0，
则a≠0且a＜b，则a＜b成立，即充分性成立，
反之不成立，
则“＜0”是“a＜b”的充分不必要条件，
故选：A．
6．【解答】解：根据题意，函数y＝f（x）的图象关于y轴对称，则函数f（x）为偶函数，则有a＝f（﹣3）＝f（3），
当x∈（0，+∞）时，f（x）＝log2x，则f（x）在区间（0，+∞）上为增函数，
又由＜2＜3，则有f（）＜f（2）＜f（3），
即a＞c＞b，
故选：D．
7．【解答】解：∵3cos2α＝cos（+α），
∴3（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）＝（cosα﹣sinα），
∵α∈（，π），可得：cosα﹣sinα≠0，
∴cosα+sinα＝，
∴两边平方可得：1+sin2α＝，解得：sin2α＝﹣．
故选：D．
8．【解答】解：∵直线＝1（a＞0，b＞0）过点（1，1），
∴+＝1（a＞0，b＞0），
所以a+b＝（+）（a+b）＝2++≥2+2＝4，
当且仅当＝即a＝b＝2时取等号，
∴a+b最小值是4，
故选：C．
9．【解答】解：由题意可得A＝1，T＝•＝﹣，解得ω＝2，
∴f（x）＝A cos（ωx+φ）＝cos（2x+φ）．
再由五点法作图可得2×+φ＝，∴φ＝﹣，
∴f（x）＝cos（2x﹣）＝cos2（x﹣），
g（x）＝﹣sin（2x+）＝cos（2x++）＝cos2（x+），
而﹣（﹣）＝，
故将f（x）的图象向左平移个单位长度，即可得到函数g（x）的图象，
故选：D．
10．【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BA，PC⊥CA，且PC＝2，CA＝1，AC⊥BC，∴P A是三棱锥P﹣ABC的外接球的直径，
P A＝，半径为：，
∴三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为：
S＝4＝5π．
故选：B．
11．【解答】解：联立，解得，
∴M（，），F1（﹣c，0），F2（c，0），
∴＝（，），＝（，），
由题意可得＞0，即＞0，
化简可得b2＞3a2，即c2﹣a2＞3a2，
故可得c2＞4a2，c＞2a，可得e＝＞2
故选：D．
12．【解答】解：若x＞0，则﹣x＜0，∵x＜0时，f（x）＝sin（x）﹣1，
∴f（﹣x）＝sin（﹣x）﹣1＝﹣sin（x）﹣1，
则若f（x）＝sin（x）﹣1，（x＜0）关于y轴对称，
则f（﹣x）＝﹣sin（x）﹣1＝f（x），即y＝﹣sin（x）﹣1，x＞0，
设g（x）＝﹣sin（x）﹣1，x＞0，作出函数g（x）的图象，
要使y＝﹣sin（x）﹣1，x＞0与f（x）＝log a x，x＞0的图象至少有3个交点，如图，则0＜a＜1且满足g（5）＜f（5），
即﹣2＜log a5，即log a5＞log a a﹣2，则5＜，解得0＜a＜，
故选：A．
二、填空题（每题5分，共20分）
13．【解答】解：＝（1，﹣1），＝（﹣1，2），则2+＝（1，0）
（2+）•＝﹣1+0＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．【解答】解：实数x，y满足线性约束条件的可行域如图：
若x﹣2y≥m恒成立，则m小于等于x﹣2y的最小值．
平移直线x﹣2y＝0可知：直线经过可行域的B时，目标函数取得最小值，由可得B （2，4），
则x﹣2y的最小值为：2﹣8＝﹣6，可得m≤﹣6．
给答案为：（﹣∞，﹣6]．
15．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝b，sin2B＝2sin A sin C，∴由正弦定理得b2＝2ac，
∴a＝b＝2c，
∴cos B＝＝＝＝＝．
故答案为：．
16．【解答】解：由题意可得，抛物线x2＝4y的焦点F（0，1），
准线方程为y＝﹣1．
过点P作PM垂直于准线，M为垂足，
则由抛物线的定义可得|PF|＝|PM|，
则＝＝sin∠P AM，∠P AM为锐角；
所以当∠P AM最小时，最小，
即当P A和抛物线相切时，最小．
设切点P（2，a），由y＝x2的导数为y′＝x，
则P A的斜率为k＝•2＝＝，
求得a＝1，可得P（2，1），
∴|PM|＝2，|P A|＝2，
∴sin∠P AM＝＝，
则的最小值等于．
故答案为：．
三、解答题（17题、18题、19题、20题、21题各12分，选做题10分，共70分）1* 17．【解答】解：（1）S n+a n＝1①（n∈N*）
可得a1＝S1，
即有a1+a1＝1，可得a1＝，
当n≥2，n∈N*，即有S n﹣1+a n﹣1＝1，②
a n＝S n﹣S n﹣1，
①﹣②可得S n﹣S n﹣1+a n﹣a n﹣1＝0，
即有a n＝a n﹣1，
则a n＝a1q n﹣1＝•（）n﹣1＝2•（）n，n∈N*；
（2）S n+a n＝1
可得S n＝1﹣a n＝1﹣（）n，
b n＝﹣log3（1﹣S n）＝﹣log3（）n＝n，
∁n＝＝＝﹣，
前n项的和T n＝﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣
═+﹣﹣＝﹣﹣．
18．【解答】解：（Ⅰ）①7×＝2．
②在抽取7个宝宝中，出生在市第一医院的二孩宝宝由2人，出生在市妇幼保健院的二孩
宝宝有1人．
从7个宝宝中随机抽取2个的可能事件共有＝21个，其中两个宝宝恰出生不同医院且均
属“二孩”的基本事件有＝2个．
∴两个宝宝恰出生不同医院且均属“二孩”的概率P＝．
（Ⅱ）列联表如下：
，故没有85%的把握认为一孩、二孩宝宝的出生与医院有关．
19．【解答】（本小题满分15分）
解：（Ⅰ）连接BD交OC与N，连接MN．
因为O为AD的中点，AD＝2，
所以OA＝OD＝1＝BC．
又因为AD∥BC，
所以四边形OBCD为平行四边形，…（2分）
所以N为BD的中点，因为M为PB的中点，
所以MN∥PD．…（4分）
又因为MN⊂平面OCM，PD⊄平面OCM，
所以PD∥平面OCM．…（6分）
（Ⅱ）由四边形OBCD为平行四边形，知OB＝CD＝1，
所以△AOB为等边三角形，所以∠A＝60°，…（8分）
所以，即AB2+BD2＝AD2，即AB⊥BD．
因为DP⊥平面ABP，所以AB⊥PD．
又因为BD∩PD＝D，所以AB⊥平面BDP，…（11分）
所以∠APB为AP与平面PBD所成的角，即∠APB＝60°，…（13分）
所以．…（15分）
20．【解答】解：（1）椭圆E：＝1的离心率为，且△F2AB的周长为8，所以，
解得a＝2，b＝，…（3分）
所以椭圆E的标准方程为+＝1；…（4分）
（2）①若直线ON的斜率不存在，
则|OM|＝2，|ON|＝2，|MN|＝4，
所以原点O到直线MN的距离为d＝＝；…（6分）
②若直线ON的斜率存在，
设直线OM方程为y＝kx，
代入+＝1，解得x2＝，
y2＝；…（7分）
则直线ON的方程为y＝﹣x，代入y＝2，
解得N（﹣2k，2）；…（8分）
所以|MN|2＝|OM|2+|ON|2＝（+）+（12k2+12）＝；
设原点O到直线MN的距离为d，
则|MN|•d＝|OM|•|ON|，
得d2＝＝3，
所以d＝；…（11分）
综上，原点O到直线MN的距离为定值．…（12分）
21．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）＝﹣a，
a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，
a＞0时，令f′（x）＝0，解得：x＝，
故f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减；
（2）a＝1时，由（1）f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
故f（x）max＝f（1）＝0，故f（x）≤0；
（3）由（2）得：n≥2且n∈N*时，lnn＜n﹣1，
于是+++…+＜+++…+，
令S＝+++…+①，
则S＝++…++②，
错位相减得：S＝2﹣，则S＜2，
故＜+++…+＜2．
四、解答题（共1小题，满分10分）
22．【解答】解：（1）消去参数可得圆的直角坐标方程式为x2+（y﹣2）2＝4，
由极坐标与直角坐标互化公式得（ρcosθ）2+（ρsinθ﹣2）2＝4化简得ρ＝4sinθ，（2）直线l的参数方程，（t为参数）．
即代入圆方程得：+9＝0，
设A、B对应的参数分别为t 1、t2，则，t1t2＝9，
于是|MA|•|MB|＝|t1|•|t2|＝|t1t2|＝9．
五、解答题（共1小题，满分0分）
23．【解答】解：（1）当a＝3时，f（x）≥7⇔|x﹣3|+|x+2|≥7．
由绝对值的几何意义得，f（x）表示数轴上的x对应点到3、﹣2对应点的距离之和，
而4和﹣3对应点到3、﹣2对应点的距离之和正好等于7，
故不等式|x﹣3|+|x+2|≥7 的解集为{x|x≤﹣3或x≥4}．
（2）f（x）≤x+4的解集包含[1，2]，⇔f（x）≤x+4在[1，2]上恒成立，
⇔|x﹣a|+|x+2|≤x+4在[1，2]上恒成立，⇔当1≤x≤2时，|x﹣a|+|x+2|≤x+4恒成立，
⇔当1≤x≤2时，|x﹣a|+x+2≤x+4恒成立，⇔当1≤x≤2时，|x﹣a|≤2 恒成立，
⇔当1≤x≤2时，﹣2≤x﹣a≤2 恒成立，⇔当1≤x≤2时，﹣2≤a﹣x≤2，⇔x﹣2≤a≤x+2在[1，2]上恒成立，
⇔2﹣2≤a≤1+2，⇔0≤a≤3，
故a的取值范围是a∈[0，3]．。