27.2.3相似三角形的应用举例-人教版九年级数学下册课堂互动训练

27.2.3相似三角形的应用举例
自主预习
1.在同一时刻同一个地点物体的高度与自身的影长的关系是( )
A.成反比例
B.成正比例
C.相等
D.不成比例
2.如图，DE⊥EB，AB⊥EB，∠DCE=∠ACB，DE=12 m，EC=15 m，BC=30 m，
则AB= m.
2题图4题图
3.已知A、B两地相距300 km，在地图上量得两地相距15 cm，则图上距离与实际距离之比为___________.
4.某一时刻，测得旗杆的影长为8 m，李明测得小芳的影长为1 m，已知小芳的身高为1.5 m，则旗杆的高度是_______________m.
5.马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目，跷跷板支柱AB的高度为1.2米，若吊环高度为2米，支点A为跷跷板PQ的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么?
5题图
互动训练
知识点一：相似三角形判定及性质的实际应用
1．一斜坡长70m，它的高为5m，将某物从斜坡起点推到坡上20m处停止下，
停下地点的高度为( )B
A．
m
7
11
B．
m
7
10
C．
m
7
9
D．
m
2
3
2．如图所示阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影长DE＝1.8m，窗户下檐距地面的距离BC＝1m，EC＝1.2m，那么窗户的高AB为( )A
A．1.5m B．1.6m C．1.86m D．2.16m
2题图3题图4题图
3．如图所示，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距离墙角1.6m，梯上点D距离墙1.4m，BD长0.55m，则梯子长为( )C
A．3.85m B．4.00m C．4.40m D．4.50m
4.图所示是用杠杆撬石头的示意图,C是支点,当用力压杠杆的A端时,杠杆绕C点转动,另一端B向上翘起,石头就会被撬动.现有一块石头,要使其滚动,杠杆的B端必须向上翘起10 cm,已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5∶1,则要使这块石头滚动,至少要将杠杆的A端下压( )
A.100 cm
B.60 cm
C.50 cm
D.10 cm
5.如图所示,要测量河两岸相对的两点A,B的距离,先从B处出发与AB成90°角方向,向前走80米到C处立一标杆,然后方向不变向前走50米至D处,在D处转90°,沿DE方向走30米,到E处,使A(目标物),C(标杆)与E在同一条直线上,那么可测得A,B间的距离是_______.
5题图6题图
6．如图所示，有点光源S在平面镜上面，若在P点看到点光源的反射光线，并测得AB＝10m，BC＝20cm，PC⊥AC，且PC＝24cm，则点光源S到平面镜的距离即SA的长度为______cm．
7.如图,为了测量一棵树CD的高度,测量者在B点立一高为2米的标杆,观测者从E处可以看到杆顶A,树顶C在同一条直线上.若测得BD=23.6米,FB=3.2米,EF=1.6米,求树高.
7题图
8.如图所示的一个零件，需计算出它的厚度x和内孔直径d的长(不能直接量出x 和d的长），工人师傅用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)去量，若OA︰OC=OB︰OD=3，且量得CD=3cm，零件外径a=11cm，你能帮助工人师傅计算出内径d和厚度x吗?说明理由.
8题图
9.如图，一圆柱形油桶,高1.5米,用一根长2米的木棒从桶盖小口A处斜插桶内另一端的B处,抽出木棒后,量得上面没浸油的部分为1.2米,求桶内油面的高度.
9题图
知识点二：相似三角形判定及性质的综合应用
10.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，若AD =4，DB =2,则DE ∶BC 的值为( ) A.32 B.21 C.43 D.53
10题图 11题图 12题图 13题图
11.如图所示，ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点,下列条件：
(1)∠APB =∠EPC ；(2)∠APE =90°；(3)P 是BC 的中点；(4)BP ∶BC =2∶3.
其中能推出△ABP ∽△ECP 的有( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
12.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，△ABC 的高H ＝8，DE 与BC 间的距离为h ，BC ＝4，若△ADE 与梯形DECB 的面积相等，则h ＝（ ）
A ．4
B ．或
C ．
D ．
13.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝8，BC ＝6，点P 从点B 出发以1个单位/s 的速度向点A 运动，同时点Q 从点C 出发以2个单位/s 的速度向点B 运动．当以B ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动时间为（ ）
A ．
s B ．s C ．s 或s D ．以上均不对
14.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点0，AC平分∠BCD，且＝
．
（1）求证：AB＝0B；
（2）若BC＝3，DC＝2，且AD︰AB＝︰3，求证：＝．
14题图
15．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O交AB边于点M，交BC边于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠BCP＝∠BAN. 求证：
(1)△ABC为等腰三角形；
(2)AM·CP＝AN·CB.
15题图
课时达标
1.如图，小明在打乒乓球时，为使球恰好能过网（设网高AB ＝15cm ），且落在对方区域桌子底线C 处，已知小明在自己桌子底线上方击球，则他击球点距离桌面的高度DE 为（ ）
A ．15cm
B ．20cm
C ．25cm
D ．30cm
1题图 2题图 3题图
2.如图,电灯P 在横杆AB 的正上方,AB 在灯光下的影子为CD ,AB ∥CD ,AB =2 m,CD =5 m,点P 到CD 的距离是3 m,则P 到AB 的距离是( ) A.65 m B.76 m C.56 m D.310
m
3.如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P ，在近岸取点Q 和S ，使点P ，Q ，S 在一条直线上，且直线PS 与河垂直，在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ，PT 与过点Q 且与PS 垂直的直线b 的交点为R ．如果QS ＝60m ，ST ＝120m ，QR ＝80m ，则河的宽度PQ 为（ ）
A ．40m
B ．60m
C ．120m
D ．180m
4．如图，路灯OP 距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O ）20米的点A 处，沿OA 所在的直线行走14米到点B 处时，人影的长度（ ）
A ．变长了1.5米
B ．变短了2.5米
C ．变长了3.5米
D ．变短了3.5米
4题图5题图6题图
5．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么AC为米．
6．如图，已知小华、小强的身高分别为1.8m，1.5m，路灯的高度为3.6m．小华、小强在同一盏路灯下的影长分别为 2.3m，2m、则小华、小强之间的水平距离为．
7.如图，BE⊥AC于B，CD⊥AC于C，AE∥BD，若BE=1.7米，AB=3米，BC=12米，求CD的长.
7题图
8.如图，射击瞄准时，要求枪的标尺缺口上沿中央A，准星尖B和瞄准点C在一条直线上，这样才能命中目标. 已知某种冲锋枪基线AB长38.5 cm，如果射击距离AC=
100 m，当准星尖在缺口内偏差BB′为1 mm时，弹着偏差CC′是多少?(BB′∥CC′)
8题图
9.如图，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙80 cm，梯上点D距墙70 cm,BD 长55 cm,求梯子的长.
9题图
10.一条河的两岸有一段是平行的,在河的这岸每隔5米有一棵树,在河的对岸每隔50米有一根电线杆,在这一岸离开岸边25米处看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有三棵树, 求河宽.
10题图
11.一位同学想利用树影测量树高AB，他在某一时刻测得小树高为1米，树影长0.9米，但当他马上测量树影时，因树靠近建筑物，影子不全落在地上，有一部分落在墙上，如图，他先测得地面部分的影子长2.7米，又测得墙上的影高CD 为1.2米，试问树有多高?
11题图
12.如图所示,大江的一侧有甲,乙两个工厂,它们有垂直于江边的小路,长度分别为m千米及n千米,设两条小路相距l千米.现在要在江边建立一个抽水站,把水送到甲,乙两厂去,欲使供水管路最短,抽水站应建在哪里?
12题图
13.如图，一人拿着一个刻有厘米分度的小尺，站在距离电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上的12个分度恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高.
13题图
14.某同学想用镜子测量一棵古松树的高，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，如图，第一次他把镜子放在C点，人在F点正好看到树尖A；第二次他把镜子放在C′处，人在F′处正好看到树尖A，已知某同学的眼睛距地面1.70 m，量得CC′为12 m，CF长1.8 m，C′F′为3.84 m，求这棵古松树的高.
14题图
15．小明利用灯光下自己的影子长度来测量路灯的高度．如图，CD和EF是两等高的路灯，相距27m，身高1.5m的小明（AB）站在两路灯之间（D、B、F共线），被两路灯同时照射留在地面的影长BQ＝4m，BP＝5m．
（1）小明距离路灯多远？
（2）求路灯高度．
15题图
16.如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝280cm，AB＝140cm，球目前在E点位置，AE＝35cm，如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求CF的长．
16题图
拓展探究
1.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝3，CD＝8，BD＝10，一动点P从点B向右D 运动，问当点P离点B多远时，△PAB与△PCD是相似三角形？
1题图
2．已知：如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，AB＝3，BC＝11，DC＝6．请问：在BC上若存在点P，使得△ABP与△PCD相似，求BP的长及它们的面积比．
2题图
3．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”
27.2.3相似三角形的应用举例答案
自主预习
1. B. 解析：因太阳光线是平行的，所以同时同地光线，物高，影长组成的三角形都相似. 答案：B.
2. 24. 解析：∵△ABC ∽△DEC ，∴AB =24. 答案：24.
3. 1∶2 000 000. 解析：AB =300 km=30 000 000 cm,
所以图上距离∶实际距离=1∶2 000 000. 答案：1∶2 000 000. 4. 解：如图所示，∵△ABC ∽△DEF ,
∴EF BC
DF AC =
. ∴DF =12 m. 答案：12.
5.解:狮子能将公鸡送到吊环上.
理由：过点Q 作QH ⊥PC 于点H ，即狮子将跷跷板P 端按到底时可得到Rt △PHQ ，
∵AB ∥QH ，∴△PAB ∽△PQH ，∴AB PA QH PQ
=.
∵A 为PQ 的中点， ∴PQ =2PA , ∴QH =2AB =2.4＞
2.
∴狮子能将公鸡送到吊环上 互动训练
1．B ． 2．A ． 3．C ．
4. C. 解析：杠杆运动过程中构成的三角形相似.答案：C
5. 48米. 解析：因为△ABC ∽△EDC ,所以DC BC
DE AB =
.答案：48米
6. 12.
7. 解：由题意得△AEM ∽△CEN ,
∴EM EN
AM CN =
.而AM =0.4，EM =3.2，EN =26.8， ∴CN =3.35. ∴CD =4.95(米). 答:树高4.95米.
7题图 9题图
8. 解：∵OA ︰OC =OB ︰OD =3 , ∠AOB =∠COD .
∴△AOB ∽△COD .
∴3
OA AB CD OC == 即33d =，∴d =9.
∴1191
22a d x --===
∴d =9cm, x =1cm.
9. 解：根据题意建立数学模型,如图, AD =1.2米,AB =2米,AC =1.5米, DE ∥BC . ∵DE ∥BC , ∴∠ADE =∠B ，∠AED =∠C . ∴△ADE ∽△ABC .
∴AC AE AB AD =.∴
5.122.1AE = ∴AE =0.9(米).
∴EC=AC-AE =1.5-0.9=0.6(米).
10. A. 解析：因△ADE ∽△ABC ,故BD AD AD
BC DE +=
.答案：A
11. C. 解析：(1)中因为∠B =∠C ，∠APB =∠EPC ，所以△ABP ∽△ECP ；
(4)中因为BP ∶BC =2∶3, 所以BP =32BC ,PC =31BC .所以PC BP
EC AB
=2,
且∠B =∠C =90°. 所以△ABP ∽△ECP .故选C. 答案：C. 12. D. 解析：∵△ADE 与梯形DECB 的面积相等，∴
，
∵△ABC 中，DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴．
如图，过点A 作AN ⊥BC 交DE 于点M ， ∵AN ＝8，∴AM ＝8﹣h ，∴
，∴h ＝8﹣4
．故选：D ．
12题图 14题图
13. C. 解析：设运动时间为t 秒．BP ＝t ，CQ ＝2t ，BQ ＝BC ﹣CQ ＝6﹣2t ，
当△BAC ∽△BPQ ，＝，即＝，解得t ＝
；
当△BCA ∽△BPQ ，
＝
，即＝
，解得t ＝，
综上所述，当以B ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动时间为s 或
s ， 故选：C ．
14.证明：（1）∵AC 平分∠BCD ，∴∠BCA ＝∠DCA ，
∵＝，∴△ABC∽△ODC，∴∠DOC＝∠BAC，
∵∠AOB＝∠DOC，∴∠BAO＝∠BOA，∴AB＝OB；（2）∵△ABC∽△ODC，
∴，∴AB＝OD，AC＝OC，∴AO＝OC，设AD＝x，则AB＝OB＝3x，OD＝2x，
过A作AH⊥BD，设OH＝a，
由勾股定理得AB2﹣BH2＝AD2﹣DH2，
即（3x）2﹣（3x﹣a）2＝（x）2﹣（2x+a）2，
解得：a＝x，∴BH＝x，
∴AH＝，∴AO＝＝x，∴＝＝，＝，∴＝．
15. 证明：(1)∵AC为⊙O的直径，∴∠ANC＝90°.
∵PC是⊙O的切线，∴∠BCP＝∠CAN.
∵∠BCP＝∠BAN，∴∠BAN＝∠CAN.
又∵AN⊥BC，∴AB＝AC.∴△ABC为等腰三角形．
(2)连接MN∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∵∠PBC＋∠ABC＝∠AMN＋∠ACN＝180°，
∴∠PBC＝∠AMN.
由(1)知∠BCP＝∠BAN，∴△BPC∽△MNA.
∴CB
AM＝CP
AN，即AM·CP
＝AN·CB.
15题图 课时达标
1. D. 解析：∵AB ∥DE ，∴△CAB ∽△CDE ，∴
＝
，而BC ＝BE ，
∴DE ＝2AB ＝2×15＝30（cm ）．故选：D ．
2. C. 解析：设P 到AB 的距离为x 米,则有CD AB
x
3.x=1.2(m). 故选：C. 3. C. 解析：∵RQ ⊥PS ，TS ⊥PS ，∴RQ ∥TS ，∴△PQR ∽△PST ， ∴
＝
，即
＝
，∴PQ ＝120（m ）．故选：C ．
4. D. 解析：设小明在A 处时影长为x ，B 处时影长为y ． ∵AD ∥OP ，BC ∥OP ，
∴△ADM ∽△OPM ，△BCN ∽△OPN ， ∴，，则，∴x ＝5； ，∴y ＝1.5，∴x ﹣y ＝3.5， 故变短了3.5米．故选：D ．
4题图 6题图
5. 7.解析：∵BD ⊥AB ，AC ⊥AB ，∴BD ∥AC ， ∴△ACE ∽△BDE ，
∴，∴，∴AC ＝7（米），故答案为：7． 6. 5.1m. 解析：如图，∵CD ∥AB ∥MN ， ∴△ABE ∽△CDE ，△ABF ∽△MNF ， ∴，，
由题意得：DE ＝2.3，CD ＝1.8，FN ＝2，MN ＝1.5，AB ＝3.6， 即，，
解得：BE ＝4.6m ，BF ，
∴BD ＝BE ﹣DE ＝2.3，BN ＝BF ﹣FN 2.8， ∴DN ＝5.1（m ），
答：小华、小强之间的水平距离为5.1m ，故答案为：5.1m ． 7. 解：∵BE ⊥AC 于B ,CD ⊥AC 于C,
∴∠ABE =∠BCD =90°.∵AE ∥BD ,∴∠A =∠CBD .
∴△ABE ∽△BCD .∴
CD BE
BC AB =, 即
CD 7
.1123=.∴CD =6.8(米). ∴CD 的长为6.8米.
8. 解：∵BB′∥CC′,∴△ABB′∽△ACC′.
∴AC AB C C B B =
''.∴CC′=7720
(m).
即弹着偏差7720
m.
9. 解：设梯子长为x cm, ∵△ADE ∽△ABF ,
∴BF DE AB AD =. 则有8070
55=-x x , 解得x =440. 经检验x =440为所列方程的根,所以梯长为440 cm.
10. 解：根据题意，画出图形如图，其中AB =50米,CD =5×4=20米,GE ⊥CD ,GF ⊥AB ,点G 、E 、F 共线，GE =25米. ∵AB ∥CD , ∴∠DCG =∠BAG ，∠CDG =∠ABG . ∴△GCD ∽△GAB . 又∵GE ⊥CD ，GF ⊥AB ,
∴GF GE
AB CD =
(相似三角形对应高的比等于相似比).
∴GF =2025
50⨯=62.5(米).
∴河宽EF=GF-GE =62.5-25=37.5(米).
10题图 11题图
11. 解法一：如图,延长AD ，BE 相交于点C ,则CE 就是树影长的一部分,
9.01=EC DE ,即9.01
2.1=
CE .∴CE =1.08 (m). ∴BC=BE+EC =2.7+1.08=3.78 (m).
∴9.01=BC AB ,即9.01
78.3=
AB .
∴AB =4.2 (m).
解法二：过E 作EF ∥AD 交AB 于F.
9.01=BE BF ,即9.01
7.2=
BF . ∴BF =3 m.
AB =AF +BF =3+1.2=4.2 (m)
12. 解：如图所示，AD 垂直于江边于D ，BE 垂直于江边于E ， 则AD =m 千米，BE =n 千米，DE =l 千米. 延长BE 至F ，使EF=BE . 连结AF 交DE 于C ，则在C 点建抽水站，到甲、乙两厂的供水管路AC +CB 为最短.
设CD =x 千米，因为Rt △ADC ∽Rt △FEC ,
所以EF AD CE CD =, 即n m x l x =
-, 解得x=n m ml
+(米).
12题图
13. 解：设电线杆高x m,因为两三角形相似,
则有
306
.012.0=x , 解得x=6,经检验x=6为原分式方程的根, 所以电线杆高6 m.
14. 解：设BC =y m,AB =x m,作CM ⊥BF ,C′M′⊥BF′.
由物理学中光的反射定理,得∠ACM =∠ECM ,∠AC′M′=∠E′C′M′, 所以∠ACB =∠ECF ,∠AC′B =∠E′C′F′.
因为 ∠ABC =∠EFC =90°,∠ABC =∠E′F′C′=90°,
所以△ABC ∽△EFC ,△ABC′∽△E′F′C′.所以C F C B F E AB FC BC EF AB '''
=
''=,.
所以8.170.1y x =,① 84.31270
.1+=
y x .② 解①②组成的方程组,得⎩⎨
⎧==59.10,10y x 所以这棵古松树的高为10米. 15.解：（1）设DB ＝xm ，
∵AB ∥CD ，∴∠QBA ＝∠QDC ，∠QAB ＝∠QCD ， ∴△QAB ∽△QCD ，， 同理可得：， ∵CD ＝EF ，∴， ∴， ∴x ＝12， 即小明距离路灯12m ． （2）由得，∴CD ＝6 即路灯高6m ．
16. （1）证明：∵∠EFG ＝∠DFG ，
∴∠EFB ＝∠DFC ，又∵∠B ＝∠C ， ∴△BEF ∽△CDF ；
（2）解：∵△BEF ∽△CDF ，∴
＝
，
设FC ＝xcm ，则
＝
，解得：x ＝160，
答：CF 的长为160cm ．
拓展探究
1.解：∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴∠B ＝∠D ＝90°，
∴当或＝时，△PAB 与△PCD 是相似三角形，
∵AB ＝3，CD ＝8，BD ＝10，
∴＝或＝，∴BP ＝6或4或，
即PB ＝6或4或，时，△PAB 与△PCD 是相似三角形．
2．答案：当BP ＝2时，S △ABP ∶S △PCD ＝1∶9； 当311
BP 时，S △ABP ∶S △DCP ＝1∶4；
当BP ＝9时，S △ABP ：S △PCD ＝9∶4．
3. 解：如图1，∵四边形CDEF 是正方形，∴CD ＝ED ，DE ∥CF ， 设ED ＝x ，则CD ＝x ，AD ＝12﹣x ，
∵DE ∥CF ，∴∠ADE ＝∠C ，∠AED ＝∠B ，
∴△ADE ∽△ACB ，
∴，∴，x ，
如图2，四边形DGFE 是正方形，
过C 作CP ⊥AB 于P ，交DG 于Q ，
设ED ＝x ，S △ABCAC •BCAB •CP ，
12×5＝13CP ，CP ，
同理得：△CDG ∽△CAB ，
∴，∴，x ，
∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是（步）．。