2017版高中数学选修1-1(课件)：3.2 导数的计算 3.2.1

第十一页，编辑于星期六：三点 二十七分。
(2)一次函数y=x:导数值为1,几何意义为函数图象在任意点处的切线的斜率为1, 当y=x表示路程与时间的函数时,则y′=1可以解释为某物体作瞬时速度为1的匀速 运动; 一般地,一次函数y=kx:导数y′=k的几何意义为函数图象在任意点处的切线斜 率为k,|k|越大,函数的变化越快.
.
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【失误案例】
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【错解分析】分析解题过程,你知道错在哪里吗?
提示:错误的原因是未能利用条件表示出切点坐标间的关系,从而无法求出切点
坐标.
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【自我矫正】y′=ex,设切点为(x0,y0),则y0= , ex0
所( x以12 )③ 正确.
2 27
2.(1)y′=(x-4)′=-4·x-4-1=-4·x-5= .
(2)y′=
4 x5
(5
x3 )
3
(x5 )
3
x
2 5
3
.
5
55 x2
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【方法技巧】求基本初等函数的导数
(1)若给出的函数符合基本初等函数的导数公式,则直接利用公式求导. (2)若给出的函数不符合导数公式,则通过恒等变换对函数进行化简或变形后 求导,如根式要化成指数幂的形式求导.
;③若y= ,
则y′|x=3=- .其中正确的有 ( )
(sin )＝cos
3
3
1 x2
A.0个
2B.1个
C.2个
D.3个
27
2.求下列函数的导数
1
y＝
1 x4
2 y＝5 x3 .
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【解题探究】1.典例1中的函数分别是哪种基本初等函数?
提示:典例1中的函数分别是余弦函数、常数函数、幂函数.
(2)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换,(符号)正同余反”. (3)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数,⑥是⑤的特例. (4)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数,⑧是⑦的特例.
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【题型探究】
类型一 利用导数公式求函数的导数
【典例】1.下列结论:①(cosx)′=sinx;②
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(3)二次函数f(x)=x2:导数y′=2x,几何意义为函数y=x2的图象上点
(x,y)处切线的斜率为2x,当y=x2表示路程关于时间的函数时,y′=2x
表示物体作变速运动,在时刻x的瞬时速度为2x.
(4)反比例函数f(x)= :导数y′=- ,几何意义表示函数y= 的图
=1,而切线平行于PQ,所以k=2x0=1,即
4 1
x0= .所以切点为M
21
所以1所求切线方程为y(-1，=1x).- ,即4x-4y-1=0.
2
24
11
42
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【延伸探究】 1.(变换条件)是否存在与直线PQ垂直的切线,若有,求出切线方程,若没有, 说明理由.
.
【解析】f′(x)=ex,则f(0)=e0=1,
则f(x)在点(0,1)处的切线方程为y－1=x－0,
即x－y+1=0.
答案：x－y+1=0
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4.若f(x)=log3x,则f′(x)=
.
【解析】f′(x)= . 1
答案：
xln 3
1
xln 3
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【解题探究】与直线PQ平行的曲线y=x2的切线的斜率怎样求?切点怎样求?
提示:求出直线PQ的斜率即所求切线的斜率;设出切点后求导数,导数值 等于斜率.
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【解析】因为y′=(x2)′=2x,设切点为M(x0,y0)
则 =2x0,
又因y为|xPx0Q的斜率为k=
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(2)若函数f(x)= ，那么f′(x)=
x 提示：不成立.f′(x)= . 1
2x
成1立吗x ？ 2
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2.若y= 1，则y′=
.
【解析】xy′=－ . 1
答案：
x2
－1 x2
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3.若f(x)=ex,则f(x)在点(0,1)处的切线方程为
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2.基本初等函数的导数公式
函数 f(x)=c f(x)=xα(α∈Q*) f(x)=sinx f(x)=cosx
导数
f′(x)=__
0
f′(x)=______
αxα-1
f′(x)=_____
cosx f′(x)=______
函数 f(x)=ax f(x)=ex f(x)=logax f(x)=lnx
2.典例2中的函数是哪种基本初等函数,需要怎样变形后求导数?
提示:典例2中的函数是幂函数,需要化成幂的形式后求导数.
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【解析】1.选B.直接利用导数公式.
因为(cosx)′=-sinx,所以①错误;
所以②错误;
sin =3＝(x-223)′，=-而2x( -323,则)＝y′0|，x=3=- ,
【方法技巧】 1.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
(1)若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数. (2)如果已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进 行求解.
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2.求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤
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4
1 (x 1)
4
2
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2.(变换条件)若函数改为y=lnx,试求与直线PQ平行的切线方程.
【解析】设切点为(a,b),因为kPQ=1,
则由f′(a)= =1,得a=1,
1
故b=ln1=0,
a
则与直线PQ平行的切线方程为y=x-1,即x-y-1=0.
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的坐标为 ( )
A.(-1,e-1)
B.(0,1)
C.(1,e)
D.(0,2)
【解析】选B.直线斜率为1,设点A(x0,y0),
则f′(x0)= =1,则x0=0,y0=1.得A(0,1).
ex0
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易错案例 求切点坐标
【典例】过原点作曲线y=ex的切线,则切点的坐标为
问题1:怎样求常见函数的导数? 问题2:怎样理解它们的几何意义和物理意义?
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【总结提升】 几个常见函数的导数 (1)常数函数f(x)=c:导数值为0,几何意义为函数图象在任意点处的切线垂 直于y轴,斜率为0;
当y=c表示路程关于时间的函数时,y′=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0, 即一直处于静止状态.
3.2 导数的计算 第1课时 几个常用函数的导数与基本初
等函数的导数公式
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【知识提炼】 1.几个常用函数的导数
函数 f(x)=c f(x)=x2
导数
f′(x)=_0_ f′(x)=___
2x
函数
导数
f(x)=x
f(x) 1 x
f′(x)=__
1
f′(x)= 1 x2
导数
f′(x)=_____ axlna
(a>0)
f′(x)=_ xln a
f′(x)=
-sinx
1 x
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【即时小测】
1.思考下列问题：
(1)若函数f(x)=log2π，那么f′(x)=
成立吗？
1
提示：不成立.函数f(x)是常数函数，f′(x)l=n 02.
象上点(x,y)处切线的斜率1为- .
1
1
x
x2
x
1
x2
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知识点2 基本初等函数的导数公式 观察如图所示内容,回答下列问题:
问题:八个公式可否根据特点归类记忆?
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【总结提升】
关于几个基本初等函数导数公式的特点
(1)幂函数f(x)=xα中的α可以由Q*推广到任意实数.
【补偿训练】
1.(2014·菏泽高二检测)若f(x)=x3,f′(x0)=3,则x0的值是 ( )
A.1
B.-1
C.±1
D.3
【解析】选C.由题意f′(x0)=3x02=3,解得x0=±1. 3
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2.(2014·衡水高二检测)曲线y=ex在点A处的切线与直线x-y+3=0平行,则点A
则切线方程为y- = (x-x0),
由于原点在切线上, ex0 ex0
则- = (-x0)⇒x0=1,y0= =e,
即切e点x0 为(e1x,0 e).
ex0
答案:(1,e)
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【防范措施】解决过某点的切线问题时的策略
(1)利用斜率相等列出关系式:由切点、直线所过的点表示出斜率等于在切 点处的导数列式求未知量. (2)解方程法:用切点坐标表示出切线方程,代入所过的点,通过解方程求未知 量. (3)注意隐含条件:曲线的切点在曲线上,满足曲线方程,可以得到切点坐标的 关系式,起到建立未知量之间的关系,减少变量个数的作用,要注意应用.
的是 ( )
A.y=sinx
B.y=ex
C.y=lnx
D.y=cosx
【解析】选D.A中y′=cosx是偶函数,B中y′=ex是非奇非偶函数,C中
y′= (x>0)是非奇非偶函数,D中y′=-sinx是奇函数.
1 x
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类型二 导数公式的综合应用 【典例】已知点P(-1,1),点Q(2,4)是曲线y=x2上两点,求与直线PQ平行的 曲线y=x2的切线方程.
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【解析】假设存在与直线PQ垂直的切线,
因为PQ的斜率为k=4 1=1, 所以与PQ垂直的切线斜2 率1k=-1,
设切点为(x1,y1),则y′ =2x1,
令2x1=-1,则x1=- ,y1=|xx,1 切线方程为y- =- 1 , 1
即4x+4y+1=0. 2
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【拓展延伸】原函数与导函数的定义域
导函数的自变量与原函数的自变量相同,值域是由每一个自变量处的切线斜率,即 导数值构成的,因此原函数与导函数的定义域是相同的.
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【变式训练】(2015·合肥高二检测)下列函数中,导函数是奇函数
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5.一物体在曲线s=
．
上运动，则该物体在t=3时的瞬时速度为
3 t2
【解析】因为s′=(
为s′(3)=
)′=
3 t2
，所2以t－该13 物体在t=3时的瞬时速度 3
答案：
2
－1
3 3
23
9．
3
9
23 9
9
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知识点1 常见函数的导数
观察下面内容,回答问题:
【知识探究】