4 例析利用换元法解题题型 高中常用数学方法的介绍 例析 体验 练习

【学生版】
例析利用换元法解题题型
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化。

其实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

所谓换元法：又称辅助元素法、变量代换法；就是通过引进新的变量，改变式子形式来变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去考查、探究解题思路的做法。

换元法可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来；使非标准型问题标准化，从而便于我们将问题化繁为简、化难为易、化陌生为熟悉，从中找出解题思路；换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量（或代数式），对新的变量求出结果之后，返回去求原变量的结果。

换元法可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，此方法既适用选择题、填空题，也适用于解答题，多在研究方程、不等式、函数、数列、三角、解析几何中广泛应用；
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。

换元的种类有：等参量换元、非等量换元。

一、利用局部换元，实现简化
又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。

例1、设函数3x 4x )x (f 2
+-=，23)x (g x
-=，集合}0))x (g (f x {M >=，}2)x (g x {N <=，则N M 为（ ）
A ．),1(∞+
B ．)1,0(
C ．)1,1(-
D ．)1,(-∞ 【提示】 【解析】 【评注】
例2、设对一切实数x ，不等式22
2222
4(a 1)2a (a 1)x log 2x log log 0a a 14a ++++>+恒成立，
则a 的取值范围为__________
例3、设0a >，求：2
a 2x cos x sin )x cos x (sin a 2)x (f -⋅-+=的最大值和最小值。

二、利用三角换元，等价转化
应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中的相关点的联系进行联想、换元。

例4、给定两个长度为1，且互相垂直的平面向量OA 和OB ，点C 在以O 为圆心、|OA |为半径的劣弧AB 上
运动，若OB y OA x OC +=，其中x 、R ∈y ，则2
2)1y (x -+的最大值为____
例5、已知4y x ,R y ,x 2
2
=+∈，则2
y x x y
2-+的取值范围是
例6、椭圆19
y 16x 2
2=+上的点到直线l :09y x =-+的距离的最小值为___________．
三、利用均值换元，注意约束
如：遇到s 2y x =+形式时，设t s x +=，t s y -=等。

遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重明确新变量的取值范围，一定要使新变量的取值范围等价于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。

例7、△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：B 2C A =+，+A cos 1=C cos 1－B cos 2，求：2
C
A cos -的值。

例8、实数x 、y 满足5y 4x y 5x 42
2
=+-，设2
2
y x S +=，求：最小值
最大值
S 1S 1+
的值。

四、整体换元，化繁为简
对于计算量大，化简过程较长的解答题，有时也可以借鉴换元，分解与简化解题过程。

例9、已知椭圆C 方程为2
2x y 14
+=，且直线l ：y kx m =+与圆22O :x y 1+=相切，若直线l 与椭圆C 交于M ，
N 两点，求：OMN ∆面积的最大值。

五、两次换元，减少变量
对于含有若干个变量或参数问题，换元法与多次换元往往可以：降低难度、发现解法、化繁为简与问题解决。

例10、已知u 1≥，v 1≥且2222a a a a (log u)(log v)(log au)(log av)(a 1)+=+>，则a log (uv)的最大值和最小值分别为________，________。

综上，换元法可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来；或者变为熟
悉的形式，把复杂的计算和推证简化；但是使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量的取值范围，一定要使新变量范围的取值等价于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。

练习
1、已知函数)x 11(f y -+=的定义域为}1x 0x {≤≤, 则函数)x (f y =的定义域为
2、在平面直角坐标系xOy 中，点)y ,x (P 是椭圆1y 3
x 22
=+上的一个动点，则y x S +=的最大值为________ 3、函数x cos x sin x cos x sin y ++=的最大值是_________
4、设)1a )(x 4(log )1x (f 4
a 2>-=+，则)x (f 值域是______________
5、设实数x 、y 满足01x y 2x 2
=-+，则y x +的取值范围是___________ 6、设x ，y ，z 满足关系x －1＝y ＋12＝z －2
3，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为________．
7、设x ，y 为实数，若1x y y x 42
2
=++，则y x 2+的最大值是________．
8、椭圆x 24＋y 2
3＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B ，当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积为
________．
9、在椭圆x 2＋4y 2＝8中，AB 是长为5
2的动弦，O 为坐标原点，求△AOB 面积的取值范围．
10、已知函数 )1a 0a (a
a 21)x (f x
2x ≠>--=且
（1）、求：函数)x (f 的值域；（2）、若]1,2[x -∈时，)x (f 的最小值为－7，求：a 的值及此时)x (f 的最大值。

【教师版】
例析利用换元法解题题型
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化。

其实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

所谓换元法：又称辅助元素法、变量代换法；就是通过引进新的变量，改变式子形式来变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去考查、探究解题思路的做法。

换元法可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来；使非标准型问题标准化，从而便于我们将问题化繁为简、化难为易、化陌生为熟悉，从中找出解题思路；换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量（或代数式），对新的变量求出结果之后，返回去求原变量的结果。

换元法可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，此方法既适用选择题、填空题，也适用于解答题，多在研究方程、不等式、函数、数列、三角、解析几何中广泛应用；
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。

换元的种类有：等参量换元、非等量换元。

一、利用局部换元，实现简化
又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。

例1、设函数3x 4x )x (f 2
+-=，23)x (g x
-=，集合}0))x (g (f x {M >=，}2)x (g x {N <=，则N M 为（ ）
A ．),1(∞+
B ．)1,0(
C ．)1,1(-
D ．)1,(-∞ 【提示】注意：将)x (g 先视为一整体；
【解析】由题意0))x (g (f >，得03)x (g 4)x (g 2
>+-，则1)x (g <或3)x (g >， 又由2)x (g <；所以，集合N M 中的元素满足：1)x (g <，即123x
<-，所以1x <， 所以，答案为：D ；
【评注】本题（2012年重庆卷）考查了利用整体代换，直接代入法求解函数的解析式以及指数不等式的解法；本题以函数为载体，考查复合函数，关键是函数解析式的确定。

例2、设对一切实数x ，不等式22
2222
4(a 1)2a (a 1)x log 2x log log 0a a 14a ++++>+恒成立，
则a 的取值范围为__________ 【提示】注意：题设中“24(a 1)log a +”、“22a
log a 1
+”、“222
(a 1)log 4a +”间的相互联系；
【解析】答案：(0,1)；不妨设2
2a
log t a 1
=+，则t R ∈， 则2
2224(a 1)8(a 1)a 12a
log log 3log 3log 3t a 2a 2a a 1
+++==+=-=-+
22222
2(a 1)a 1a 1
log log []2log []2t 4a 2a 2a
+++===- 所以，原不等式可化为2(3t)x 2tx 2t 0-+->，它对一切实数x 恒成立，
所以2
3t 04t 8t(3t)0->⎧⎨∆=+-<⎩
，解得t 3t 0t 6<⎧⎨<>⎩或，所以t 0<，即22a log 0a 1<+，则2a 01a 1<<+，解得0a 1<<； 【评注】本题（1987年全国理）应用局部换元法，起到了化繁为简、化难为易的作用；为什么会想到换元及如
何设元，关键是发现已知不等式中a )1a (4log 2+、 1
a a
2log 2+、2
22a 4)1a (log +三项之间的联系。

在解决不等式恒成立问题时，使用了“判别式法”。

另外，本题还要求对数运算十分熟练。

一般地，解指数与对数不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对已知条件进行适当变形，发现各个量之间的联系再换元，这是我们要注意的一点；同时，得注意等价变换。

例3、设0a >，求：2
a 2x cos x sin )x cos x (sin a 2)x (f -⋅-+=的最大值和最小值。

【提示】注意：)x cos x (sin +、)x cos x (sin ⋅、)x cos x (sin -三者间的联系； 【解析】设x cos x sin t +=，由)4
x sin(2x cos x sin t π
+
=
+=，得]2,2[t -∈，
又由x cos x sin 21)x cos x (sin 2
⋅+=+，得2
1
t x cos x sin 2-=⋅，
所以)0a (2
1
)a 2t (2
1)t (g )x (f 2
>+--==，]2,2[t -∈， 当2t -=时，即当Z k ,45k 2x ∈+=ππ时，原函数取到最小值：2
1a 22a 22---， 当2a 2≥
时，当2t =时，即当Z k ,4
a 2arcsin )1(k x k ∈-
-+=π
π时，原函数取到最大值：
2
1
a 22a 22-
+-； 当2a 20<
<时，当a 2t =时，即当Z k ,4
k 2x ∈+
=π
π时，取最大值：
2
1。

所以，)x (f 的最小值为：21a 22a 22
---，最大值为：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥-+-<<)
22a (21a 22a 2)22
a 0(212；
【评注】此题属于局部换元法，设x cos x sin t +=后，抓住)x cos x (sin +与)x cos x (sin ⋅的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。

换元过程中一定要注意新的参数的范围（]2,
2[t -∈）与)x cos x (sin +对应，否则将会出错。

本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数
学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。

一般地，在遇到题目已知和未知中含有x sin 与x cos 的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为)x cos x sin ,x cos x (sin f ±，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。

二、利用三角换元，等价转化
应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中的相关点的联系进行联想、换元。

例4、给定两个长度为1，且互相垂直的平面向量OA 和OB ，点C 在以O 为圆心、|OA |为半径的劣弧AB 上
运动，若OB y OA x OC +=，其中x 、R ∈y ，则2
2)1y (x -+的最大值为____
【提示】注意：劣弧是指：小于半圆（即180度）的弧；
【解析】因为，点C 在以O 为圆心的劣弧AB 上运动，所以，类比三角中的“平方关系”，可以设θcos x =，
θsin y =，]2
,
0[π
θ∈，则22)1y (x -+θsin 22-=，又因为]2
,
0[π
θ∈，所以1sin 0≤≤θ，即
2sin 220≤-≤θ则22)1y (x -+θsin 22-=的最大值是：2；当且仅当，1x =，0y =时取到等号；
【评注】本题主要利用“点A 在劣弧AB 上运动”进行三角换元，考查了平面向量的坐标表示，考查三角函数最值的求法，是一个“向量与三角函数”知识的交汇。

例5、已知4y x ,R y ,x 2
2
=+∈，则
2
y x x y
2-+的取值范围是
【提示】注意：将条件“4y x 2
2=+”与“1cos sin 2
2=+αα”进行类比；
【解析】由题意4y x 2
2
=+，设ααsin 2y ,cos 2x ==，)2,0[πα∈， 又]1)cos [(sin 2
1
cos sin 2-+=
αααα， 所以1
sin cos ]
1)sin [(cos 22sin 2cos 2sin 2cos 222y x x y 22-+-+=-+⋅⋅=-+αααααααα
2)4
sin(22)1sin (cos 2++
=++=π
ααα，)2,0[πα∈，
又由02y x ≠-+，得1sin cos ≠+αα，即1)4
sin(2sin cos ≠+
=
+π
ααα
所以，所求的取值范围为]222,4()4,222[+- ；
【评注】本题，若不建立三角函数模型，则很难想到由“4y x 2
2
=+”来沟通“y x +”与“xy ”之间的联系，因而思维受阻；而三角换元后，沟通ααcos sin +与ααcos sin 之间的联系便是顺理成章、自然而然的思维惯性。

例6、椭圆19
y 16x 2
2=+上的点到直线l :09y x =-+的距离的最小值为___________． 【提示】注意：将条件“19
y 16x 2
2=+”与“1cos sin 22=+αα”进行类比；把动点到直线的距离表示为某个变量的函数；
【解析】在椭圆上任取一点P ，设P(4cos ,3sin )θθ([0,2))θ∈π， 那么点P 到直线l 的距离为：
22
4cos 3sin 12
2
d 5sin()9222
11θ+θ-=
θ+φ-≥+22。

【评注】解答本题的关键是：建立动点到直线的距离的目标函数，然后根据函数求最值，当然，得注意：椭圆标准方程对相关变量的限制条件。

本题也可以直接设点)y ,x (P ，用x 表示y 后，把动点到直线的距离表示为x 的函数，同样注意曲线上x 的范围，这样才能在求最值时不出差错。

三、利用均值换元，注意约束
如：遇到s 2y x =+形式时，设t s x +=，t s y -=等。

遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重明确新变量的取值范围，一定要使新变量的取值范围等价于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。

例7、△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：B 2C A =+，
+A cos 1=C cos 1－B cos 2，求：2
C
A cos -的值。

【提示】由已知“B 2C A =+”和“三角形内角和等于0
180”的性质，可得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+0
60
B 120
C A ＝；由“0
120C A =+”
进行均值换元，则设⎪⎩⎪⎨⎧-+α＝α＝0
60C 60A 0
06060<<-α，再代入可求αcos ，即2C A cos -； 【解析】解法一、由△ABC 中，已知B 2C A =+，可得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+0
60
B 120
C A ＝, 由0
120C A =+，设⎪⎩⎪⎨⎧-+α
＝α＝0
60C 60A ，代入已知等式得：)60cos(1)60cos(1C cos 1A cos 100αα-++=+
ααααsin 2
3
cos 211
sin 2
3cos 211
++
-=
ααα
22
sin 4
3cos 41cos -=
又060cos 2B cos 2-=-
22-=，解得：22cos =α，423cos -=α（舍），即：2
2
2C A cos =-； 解法二、由B 2C A =+，得0
60B =，0
120C A =+，所以22B
cos 2
C cos 1A cos 1-=-=+， 设
m 2A cos 1+-=，m 2C
cos 1
--=， 所以 m 21A cos +-=
，m
21
C cos --=，两式分别相加、相减得：
2
m 2
22C A cos 2C A cos 2C A cos
2C cos A cos 2-=-=-+=+， 2
m m
22C A sin 32C A sin 2C A sin
2C cos A cos 2
-=--=-+-=-， 即：)
2m (3m
22C A sin 2--=-，2m 222C A cos 2-=-，
代入12
C
A cos 2C A sin
22
=-+-整理得：012m 16m 324=--， 解出6m 2
=，31
m 2
-=（舍），代入2
2
2m 222C A cos
2=-=-； 【评注】本题两种解法由“0
120C A =+”、“
22C
cos 1
A cos 1-=+”分别进行均值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。

例8、实数x 、y 满足5y 4x y 5x 42
2
=+-，设2
2
y x S +=，求：
最小值
最大值
S 1S 1+
的值。

【提示】注意：由“2
2y x S +=”进行均值换元；
【解析】解法一、由2
2
y x S +=，设t 2S x 2
+=
，t 2S y 2-=，]2
S
,2S [t -∈， 则22t 4S xy -±=代入5y 4x y 5x 42
2=+-得：5t 4
S 5S 422=-±，
移项平方整理得：0100S 160S 39t 1002
2=+-+， 所以 0100S 160S 392
≤+-，解得：
3
10
S 1310≤≤，
所以
5
810161013103S 1S 1==+=
+
最小值
最大值
； 解法二、设⎪⎩⎪⎨⎧==αα
sin S y cos S x )2,0[πα∈代入5y 4x y 5x 422=+-得：5cos sin S 5S 4=-αα，
解得α
2sin 5810
S -= ，
∵12sin 1≤≤-α，∴132sin 583≤-≤α， ∴3
10
2sin 58101310≤-≤α，
∴
5
810161013103S 1S 1==+=
+
最小值
最大值
； 此种解法后面求S 最大值和最小值，还可由S
10
S 82sin -=α的有界性而求，即解不等式：
1S 10S 8≤-，这种方法是求函数值域时经常用到的“三角函数有界性”：
【评注】此题第一种解法属于“均值换元法”，主要是由等式2
2y x S +=而按照均值换元的思路，设设t 2
S
x 2
+=
，t 2S y 2-=
，]2
S
,2S [t -∈，减少了元的个数，问题且容易求解。

第二种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件2
2
y x S +=与三角公式1cos sin 2
2=+αα的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数
值域问题。

四、整体换元，化繁为简
对于计算量大，化简过程较长的解答题，有时也可以借鉴换元，分解与简化解题过程。

例9、已知椭圆C 方程为2
2x y 14
+=，且直线l ：y kx m =+与圆22O :x y 1+=相切，若直线l 与椭圆C 交于M ，
N 两点，求：OMN ∆面积的最大值。

【提示】注意：基本方法：曲线有交点等价为联立组成方程组有解；
【解析】圆O 的圆心为坐标原点，半径r 1=，由直线l ：y kx m =+，即kx y m 0-+=与圆22O :x y 1+=相211k =+，故有22
m 1k =+①，由22
x y 14
y kx m
⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，消去y 得222(4k 1)x 8kmx 4m 40+++-=， 设11M(x ,y )，22N(x ,y )，则1228km
x x 4k 1
+=-+，21224m 4x x 4k 1-=-+，
所以2222
2
21212122222
8km 4m 416(4k m 1)|x x |(x x )4x x ()44k 14k 1(4k 1)--+-=+-=--⨯=+++②
将①代入②，得22
122248k |x x |(4k 1)-=+，故12
43|k |
|x x |-，
所以22
2
2
122243k (k 1)
43|k ||MN |1k |x x |1k 4k 14k 1
+=+-=+⋅=
++， 故OMN ∆的面积1S |MN |12=⨯222
23k (k 1)4k 1+=+，不妨令2t 4k 1,(t 1)=+≥，则2t 1
k 4
-=，代入上式， 得222
t 1t 1
3(1)
3(t 1)(t 3)311444S 2()t 2t 2t 39
--⨯
+-+=⨯
=⨯=⨯--+， 所以，当t 3=，即24k 13+=，解得2
k 2
=±
时，S 取得最大值，且最大值为34129⨯=；
【评注】本题是一道典型的解析几何中有关弦长、面积与定值问题，基本方法确实“计算量”大、化简繁琐；但是，若注意及时引入“换元法”，则明显可以降低解题难点与相应的计算量。

五、两次换元，减少变量
对于含有若干个变量或参数问题，换元法与多次换元往往可以：降低难度、发现解法、化繁为简与问题解决。

例10、已知u 1≥，v 1≥且2222a a a a (log u)(log v)(log au)(log av)(a 1)+=+>，则a log (uv)的最大值和最小值分别为________，________。

【提示】注意：本题变量多再加限制条件；
【解析】答案：222+；13+；令a x log u =，a y log v =，则x 0≥，y 0≥， 已知等式可化为22(x 1)(y 1)4(x 0,y 0)-+-=≥≥，
再设a t log (uv)x y (x 0,y 0)==+≥≥，由图可知，当线段y x t (x 0,y 0)=-+≥≥，
与圆弧22(x 1)(y 1)4(x 0,y 0)-+-=≥≥相切时（图中CD 位置），截距t 取最大值，max t 222=+； 当线段端点是圆弧端点时（图中AB 位置），截距t 取最小值，min t 13=+，因此a log (uv)的最大值是222+，
最小值是13+；
【评注】利用两次换元探究动点的轨迹方程，数形结合使问题变得直观．换元中应注意旧变量对新变量的限制。

综上，换元法可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化；但是使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量的取值范围，一定要使新变量范围的取值等价于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。

练习
1、已知函数)x 11(f y -+=的定义域为}1x 0x {≤≤, 则函数)x (f y =的定义域为 【提示】注意：令x 11u -+=进行换元；
【解析】令x 11u -+=，由1x 0≤≤，得1x 100x 1≤-≤⇔≤-≤-，
2x 1111x 10≤-+≤⇔≤-≤，
也就是2u 1≤≤，所以，函数)x (f y =的定义域为：]2,1[；
【评注】本题已知复合函数))x (g (f y =的定义域为D , 求函数)x (f y =的定义域；其这实质上是已知子函数
)x (g u =的定义域D, 求子函数)x (g u =的值域。

2、在平面直角坐标系xOy 中，点)y ,x (P 是椭圆1y 3x 22
=+上的一个动点，则y x S +=的最大值为________ 【提示】注意：将条件“1y 3
x 22
=+”与“1cos sin 22=+αα”进行类比；将“y x S +=”化为一个变量的三角函数；
【解析】由椭圆方程1y 3
x 22
=+，设x 3cos =θ，y sin =θ([0,2))θ∈π， 因此，S x y 3cos sin =+=θ+θ2sin()3π=θ+，所以，当6
π
θ=时，S 取最大值为2；故填2。

【评注】本题注意利用将条件“1y 3
x 22
=+”与“1cos sin 22=+αα” 进行类比，通过三角换元实现转化。

因此，如变量x 、y 适合形如条件2
2
2
r y x =+)0r (>时，则可作三角代换x rcos =θ，y rsin =θ([0,2))θ∈π化为三角问题。

3、函数x cos x sin x cos x sin y ++=的最大值是_________
3、小题：设sinx+cosx ＝t ∈[－2,2]，则y ＝t 22＋t －12，对称轴t ＝－1，当t ＝2，y max ＝1
2
＋2；
4、设)1a )(x 4(log )1x (f 4
a 2>-=+，则)x (f 值域是______________
4、小题：设x 2＋1＝t (t≥1)，则f(t)＝log a [-(t-1)2
＋4]，所以值域为(－∞,log a 4]； 5、设实数x 、y 满足01x y 2x 2
=-+，则y x +的取值范围是___________ 5、小题：设x ＋y ＝k ，则x 2
－2kx ＋1＝0, △＝4k 2
－4≥0,所以k≥1或k≤－1； 6、设x ，y ，z 满足关系x －1＝y ＋12＝z －2
3，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为________．
6、[解析]方法二：比值换元令x －1＝
y ＋12＝z －2
3
＝k ，则x －1＝k ，y ＋1＝2k ，z －2＝3k ，即x ＝k ＋1，y ＝2k
－1，z ＝3k ＋2.
∴x 2＋y 2＋z 2＝(k ＋1)2＋(2k －1)2＋(3k ＋2)2＝14k 2＋10k ＋6＝14⎝⎛⎭⎫k ＋5142＋5914. ∴当k ＝－514，即x ＝914，y ＝－127，z ＝1314时，x 2＋y 2＋z 2取最小值5914.[答案] 59
14
7、设x ，y 为实数，若1x y y x 42
2
=++，则y x 2+的最大值是________．
7、解析：设2x ＋y ＝t ，∴y ＝t －2x ，代入4x 2＋y 2＋xy ＝1，整理得6x 2－3tx ＋t 2－1＝0.关于x 的方程有根， 因此Δ＝(－3t)2－4×6×(t 2－1)≥0，解得－2105≤t≤2105.则2x ＋y 的最大值是210
5.
答案：
210
5
8、椭圆x 24＋y 2
3＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B ，当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积为
________．
8、解析：已知x 24＋y 2
3＝1，则F(－1,0)．设A(2cos θ，3sin θ)，B(2cos θ，－3sin θ)，
则|AF|＝|BF|＝
2cos θ＋1
2＋3sin 2θ＝2＋cos θ，故△FAB
的周长l ＝2(2＋cos θ)＋23sin θ＝4＋4sin ⎝⎛⎭
⎫θ＋π6. 当θ＝π3时，l 取得最大值，此时△FAB 的面积为S ＝1
2(1＋2cos θ)·23sin θ＝3sin θ(1＋2cos θ)＝3.
答案：3
9、在椭圆x 2＋4y 2＝8中，AB 是长为5
2的动弦，O 为坐标原点，求△AOB 面积的取值范围．
9、解：设A ，B 的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ， 代入椭圆方程整理得(4k 2＋1)x 2＋8kbx ＋4(b 2－2)＝0.故x 1＋x 2＝－8kb
4k 2＋1，x 1x 2＝4b 2－24k 2＋1.
由|AB|2＝(k 2＋1)(x 2－x 1)2＝(k 2＋1)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝16
k 2＋14k 2＋12
[2(4k 2＋1)－b 2]＝254，
得
b 2＝2(4k 2＋1)－
254k 2＋12
64k 2＋1
，又原点O 到AB 的距离为
|b|k 2＋1
.所以△AOB 的面积S ＝54·|b|
k 2＋1.
记u ＝4k 2＋1k 2＋1，则S 2
＝2516·b 2k 2＋1＝251624k 2＋1k 2＋1－
254k 2＋12
64k 2＋1
2＝－6251 024u 2－12825u ＝4－6251 024⎝
⎛⎭⎫u －64252. 又u ＝4k 2＋1k 2＋1＝4－3k 2＋1的范围为[1,4](u ＝4为竖直弦)．故u ＝64
25时，S 2max ＝4； 而u ＝1时，S 2min ＝2 5751 024.因此S 的取值范围是
⎣⎡⎦⎤510332，2. 10、已知函数 )1a 0a (a
a 21)x (f x
2x
≠>--=且
（1）、求：函数)x (f 的值域；（2）、若]1,2[x -∈时，)x (f 的最小值为－7，求：a 的值及此时)x (f 的最大值。

10、解：令t=a x ，则t>0， f(x)=1-2t-t 2=-(t 2+2t+1)+2=-(t+1)2+2
∵对称轴t=-1<0,∴ f(x)<-(0+1)2+2=1；∴ f(x)的值域为(-∞,1). (2) 由(1)，f(x)=1-2t-t 2=-(t+1)2+2 ，并且在（1, ＋∞）上是减函数 ∵ x ∈[-2,+1],
∴①当a>1时，t ∈[a -2,a]；当t=a 时，f(x)min =-(a+1)2+2=-7,a=2；此时f(x)max =-(a -2+1)2+2=
16
7. ②当0<a<1时，t ∈[a, a -2],当t=a -2时，f(x)min =-(a -2+1)2+2=-7,a=
2
2, 此时f(x)max =-(a+1)2+2=
2221-,∴满足题要求时a=2时，f(x)max =16
7
. a=
2
2
时，f(x)max =2221-.。