2020-2021学年最新高考总复习数学(理)高考仿真模拟试题及答案解析二

最新高考考前仿真训练（一）
数学试题（理） （满分150分，考试时间120分） 第Ⅰ卷（选择题 60分） 一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号) 1. 设全集,U R =集合},12161|{Z x x A x ∈<≤=-，},0)1)(3(|{Z x x x x B ∈≥+-=，则()U C B A =I A .}4,32,10{，， B .}32,1{， C .}2,10{， D. }2,1{
2. 复数z 为纯虚数，若(3)i z a i -=+(i 为虚数单位)，则实数a 的值为
A . 13-
B . 13
C . 3- D. 3 3. 已知双曲线122
22=-a x y 过点)2,1(-，则该双曲线的渐近线方程为 A.x y 2
25±= B.x y ±= C.x y 2±= D.x y 22±= 4. 执行如图所示的算法，则输出的结果是
A.4
B.3
C.2
D.1
5. 把函数)2
|(|)2sin()(πϕϕ<+=x x f 的图象向左平移6π个单位，得到函数)(x g 的图象，若)(x g 的图象关于)0,3
(π-对称，则=-)2(πf 23- A. 21- B. 2
1 C. D.
23 6. 从4名男生和6名女生中各选2人参加跳绳比赛，则男生甲和女生乙至少有一个被选中的概率是
A. 61
B. 21
C. 32
D. 6
5 7. 在三棱锥ABC S -中，ABC ∆是边长为1的正三角形，⊥SC 面ABC ,2=SC ,则三棱锥ABC S -外接球的表面积为
A. π6
B.
316π C. 940π D. 3
8π 8. 已知)4,0(),0,2(πβπα∈-∈，ββα22tan 1tan 2sin 21+=-，则有
A. 22παβ=-
B. 22παβ=+
C. 22παβ-=-
D. 22π
αβ-=+
9. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱长中
长度最长的是
A.
5 B.
6 C.
7 D. 22
10. 设椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的左右焦点分别为21F F 、，点221),(PF F F b a P =满足， 设直线2PF 与椭圆交于M 、N 两点，若MN =16，则椭圆的方程为
A. 110814422=+y x
B. 175
1002
2=+y x C. 1273622=+y x D. 112
1622=+y x 11. 已知定义在),0[+∞上的函数)(x f 满足)2(2)(+=x f x f ，当)2,0[∈x 时，
x x x f 42)(2+-=，设)(x f 在)2,22[n n -上的最大值为)(*N n a n ∈,且}{n a 的前n 项和为n S ，则n S =
A.121
2--n B. 2214--
n C. n 212- D. 1214--n 12. 设函数x e
x x g x x x f ==)(,ln )(2，若存在],[21e e x ∈,]2,1[2∈x ,使得 )()()2(1223x kf x g k e ≥-成立（其中e 为自然对数的底数），则正实数k 的取值范围是
A . 20≤<k
B . 2≥k
C . 28063++≤<e e k D. 2863++≥e e k 第Ⅱ卷（非选择题 90分）
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)
13. ()6
211⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-x x x 的展开式中4x 的系数是. 14. 已知实数x ，y 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≥+-≥+-00
03042y x y x y x ，则目标函数x y z 23-=的最大值为.
15.
已知，43,0===⋅BC AB M 为线段BC 上一点，且
),||||R AC AB ∈+=μλμ, 则λμ的最大值为.
16. 在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，)cos 724(B a -
)5cos 72(-=A b ，则C cos 的最小值为.
三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)
17.（本题满分12分）
已知等差数列}{n a 的公差⎰-=2
2cos π
πxdx d ，562224
=-a a ；等比数列}{n b 满足：11=b ，512642=b b b ，*N n ∈
（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；
（2）设}{n a 的前n 项和为n S ，令⎪⎩⎪⎨⎧=为偶数
为奇数n b n S c n n n ,,2，求n c c c c 2321++++Λ.
18.（本题满分12分）
如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为等腰直角三角形，
90BAC ∠=o ，且1,,AB AA E F =分别是1,CC BC 的中点
（1）求证：1B F ⊥平面AEF ；
（2）求锐二面角1B AE F --的余弦值.
F E
C 1B 1A 1C
B
A
19.（本题满分12分）
某工厂生产某种零件，每天生产成本为1000元，此零件每天的批发价和产量均具有随机性，且互不影响.其具体情况如下表：
（1（2）若该厂连续3天按此情况生产和销售，设随机变量Y 表示这3天中利润不少于3000的天数，求Y 的数学期望和方差，并求至少有2天利润不少于3000的概率. (注：以上计算所得概率值用小数表示)
20. (本题满分12分)
已知抛物线)0(2:2
>=p px y C ，过焦点且斜率为1的直线m 交抛物线C 于,A B 两点，以线段AB 为直径的圆在y 轴上截得的弦长为72.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）过点）（2,0P 的直线l 交抛物线C 于F 、G 两点，交x 轴于点D ，设
,,21λλ==试问21λλ+是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
21. (本题满分12分)
已知函数11ln )(+-+-=x
a ax x x f （1）当4
1=a 时，求函数()y f x =的极值； （2）当)1,31
（∈
a 时，若对∀[2,3]
b ∈，当(0,]x b ∈时，函数()f x 的最小值为()f b ，求a 的取
值范围.
请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．
22. (本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图，已知PA 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线
PBC 交圆O 于点B ．C ，APC ∠的平分线分别交
AB ．AC 于点D ．E ．
（1）证明：ADE AED ∠=∠.
（2）若AC=AP ,求PC PA
的值. 23. (本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为)(sin cos 2为参数αα
α⎩⎨⎧==y x ，直线l 的参数方程为⎪⎩
⎪⎨⎧+==)(54453为参数t t y t x .以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的极坐标方程；
（2）若),(y x P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离d 的最大值和最小值.
24. (本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知关于x 的不等式|2|1m x --≥的解集是[0,4]
（1）求m 的值；
（2）若,a b 均为正实数，且a b m +=，求22
a b +的最小值.
P B
数学试题答案（理）
一、选择题
1-5: DBCDC 6-10: CBADB 11-12: BB
二、填空题:
13．-2014．915．
415 16．21- 17．解：（1）公差2cos 22==⎰-π
π
xdx d ，
5622))((324242224=⋅=-+=-d a a a a a a a 73=a ………2分
∴721=+d a ∴31=a
∴12)1(23+=-+=n n a n ………4分
设等比数列}{n b 的公比为q
∵51234642==b b b b ∴84=b 即1b 83
=q ∴2=q 即1112--==n n n q b b ………6分
（2）由12,31+==n a a n 得：)2(+=n n S n ∴⎪⎩⎪⎨⎧+=-为偶数
，为奇数n 2,)2(21n n n n n c 即⎪⎩⎪⎨⎧+-=-为偶数，为奇数n 2,21n 11n n n n c ………8分
∴n c c c c 2321Λ+++=)()(2421231n n c c c c c c ΛΛ+++++-………10分
=)222()]1
21121()5131()311[(123-++++--++-+-n n n ΛΛ =)14(3212241)41(21211-++=--++-n n n n n ………12分 18.（1）连结AF ，∵F 是等腰直角三角形ABC ∆斜边BC 的中点，∴AF BC ⊥.
又Θ三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，
∴面ABC ⊥面11BB C C ，
∴AF ⊥面11BB C C ，1AF B F ⊥.……… 2分
设11AB AA ==
，则1132
B F EF B E =
==. ∴22211B F EF B E +=，∴1B F EF ⊥.………4分
又AF EF F =I ，∴1B F ⊥平面AEF .………6分
（2）以F 为坐标原点，,FA FB 分别为,x y 轴建立直角坐标系如图，设11AB AA ==，
则11(0,0,0),((0,(0,)2222
F A B E -，
1(,)222AE =--u u u r
，1(22AB =-u u u r
. C
C
………8分
由（Ⅰ）知，1B F ⊥平面AEF ，
∴可取平面AEF
的法向量1m FB ==u r u u u r . 设平面1B AE 的法向量为(,,)n x y z =r ，
由110,0,0,222020,022x y z n AE z n AB z x y z ⎧--+=⎪⎧=+-=⎪⎪⇒⇒⎨⎨=-=⎪⎪⎩-++=⎪⎩r u u u r g r u u u r g
∴可取(3,1,n =-r .………10分
设锐二面角1B AE F --的大小为θ，则
03(1)1cos |cos ,|||||m n m n m n θ⨯+-+⨯=<>===u r r u r r g u r r . ∴所求锐二面角1B AE F --
的余弦值为6.………12分 19．解：（1）∵500×10-1000=4000,400×10-1000=500×8-1000=3000，400×8-1000=2200
随机变量X 可以取：4000,3000.，2200 ………1分
P(X=4000)=0.6×0.5=0.3 P(X=2200)=0.4×0.5=0.2
P(X=3000)=0.6×0.5+0.4×0.5=0.5 ………4分 ∴X 的分布列为:
EX=4000×0.3+3000×0.5+2200×0.2=3140 ………6分
(2) 由（1）知：该厂生产1天利润不少于3000的概率为：P=0.8
∴Y ～)8.0,3(B ………8分
∴EY=3=2.4 DY=3×0.8×0.2=0.48 ………10分
至少有2天利润不少于3000的概率为：
896.02.08.08.0223333=⋅⋅+⋅=C C P ………12分 20.解：（1）由已知:直线m 的方程为1-=x y ，代入px y 22
= 得：01)1(22
=++-x p x 设),(),,(2211y x B y x A ，则),2(121p x x +=+ 23|AB |21+=++=p p x x 且线段AB 的中点为),1(p p +，………3分
由已知222)2
23(17+=++p p ）（）（， 解得2=p 或5
14-=p （舍去） 所以抛物线C 的方程为：x y 42=………6分
（2）设直线l ：y=kx+2(k ≠0)，则)0,2(k
D -，与.42x y =联立得
04)1(422=+-+x k x k
由0>∆得2
1>k ,设),(),,(4433y x G y x F 则2
4322434,4-4k x x k k x x ==+………8分 );,2()2,();,2()2,(442442331331y x k
y x y x k y x ---=-⇒=---=-⇒=λλλλ 所以2,2244233331+-=+-=--=kx kx kx kx x k
x λλ………10分 则4
(2)(22224343243432443321+++++-=+-+-=+）x x k x x k x x k x x k kx kx kx kx λλ 将2
4322434,4-4k x x k k x x ==+代入上式得.121-=+λλ 即21λλ+为定值1-………12分
21.解：（1）由已知14341ln )(++-=x
x x x f ， 则224)3)(1(43411)('x x x x x x f ---=--=………1分 所以当)1,0(∈x 和),3(+∞∈x 时，)(,0)('x f x f <单调递减；
当）
，,10(∈x 时，)(,0)('x f x f >单调递增；………2分 所以当1=x 时，)(x f 有极小值为2
3， 当3=x 时，)(x f 有极大值为2
13ln +. ………4分 （2）由已知22)1)(1(11)('x
a a x x a x a a x x f ----=---=. ①当)21,31（∈
a 时，11210a a a a ---=>，于是(0,1)x ∈和1(,)a x a -∈+∞时，'()0,()f x f x <单调递减；1(1,)a x a
-∈时，'()0,()f x f x >单调递增；又因为21<-a a ，要对任意实数[2,3]b ∈，当(0,]x b ∈时，函数()f x 的最小值为()f b ，只需要(2)(1)f f ≤，即1ln 22122a a a --++≤-，解得2ln 21a ≥-，因为12ln 212≥-所以12ln 21;2
a -≤<………7分
②当12a =时，11a a -=，221(1)2'()x f x x
--=，在(0,)x ∈+∞上，恒有'()0f x ≤，且仅有'(1)0f =，故()f x 在(0,)+∞上单调递减.显然成立. ………8分
③当112a <<时，11120,10a a a a a a --->-=<，于是1(0,)a x a
-∈和(1,)x ∈+∞时，'()0,()f x f x <单调递减；1(,1)a x a
-∈时，'()0,()f x f x >单调递增； 要对任意实数[2,3]b ∈，当(0,]x b ∈时，函数()f x 的最小值为()f b ，只需要1(2)()a f f a -≤，即11ln (1)12ln 420;a a a a a a a a
----+-≤-⇔+-≤……10分 令11()ln 42,(,1)2a g a a a a -=+-∈，21(21)'()40(1)(1)
a g a a a a a -=+=<--，所以()g a 在1(,1)2上单调递减，1
()()02g a g <=，所以此时1(,1)2
a ∈ 综上所述：)1,12ln 2[-∈a ………12分
22．解：(1)∵ PA 是切线，AB 是弦，
∴∠BAP=∠C ，………2分
又∵∠APD=∠CPE,
∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE,
∵∠ADE=∠BAP+∠APD,
∠AED=∠C+∠CPE,
∴∠ADE=∠AED ．………5分
(2)由(1)知∠BAP=∠C, 又∵∠APC=∠BPA,
∴△APC ∽△BPA, ∴PC CA PA AB
=, ………7分 ∵ AC=AP, ∴∠APC=∠C=∠BAP,
由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°,
∵ BC 是圆O 的直径，∴∠BAC=90°, ∴∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°,
∴∠C=∠APC=∠BAP=
13×90°=30°． 在Rt △ABC 中，CA AB
∴PC CA PA AB
=
10分 23．解：(1)曲线C 的直角坐标方程为14
22=+y x ………2分 直线l 的直角坐标方程为4x-3y+12=0
则其极坐标方程为012sin 3cos 4=+-θρθρ………5分
(2)01234),sin ,cos 2(=+-y x l P 为直线设αα 则5
12)cos(73512
sin 3cos 8++=+-=ϑαααd 所以最大值为57312+，最小值为5
7312-。

………10分 24．解：（1）不等式|2|1m x --≥可化为|2|1x m -≤-………1分 所以121m x m -≤-≤-，即31m x m -≤≤+…………2分 又因为原不等式解集为[0,4]，所以3014m m -=⎧⎨+=⎩
，解得3m =. …………5分 （2）由（1）可知3a b +=
（方法一：利用基本不等式）
因为22222()22()a b a ab b a b +=++≤+，所以2292a b +≥………8分 所以当且仅当32a b ==时，22a b +的最小值是92
. ………10分 （方法二：利用柯西不等式）
因为222222()(11)(11)()9a b a b a b +⋅+≥⨯+⨯=+=，所以2292a b +≥………10分 （方法三：消元法求二次函数的最值）
因为3a b +=，
所以2222223
993,(3)2692()222
b a a b a a a a a =-+=+-=-+=-+≥，………8分 所以当且仅当32a b ==时，22a b +的最小值是92
. ………10分。