高考数学一轮复习第6章第1节不等式的性质与一元二次不等式课时分层训练10.doc

课时分层训练(三十) 不等式的性质与一元二次不等式
A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1．已知a >b ，c >d ，且c ，d 不为0，那么下列不等式成立的是( ) A ．ad >bc B ．ac >bd C ．a －c >b －d
D ．a ＋c >b ＋d
D [由不等式的同向可加性得a ＋c >b ＋d .]
2．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋2， x ≤0，
－x ＋2， x >0，
则不等式f (x )≥x 2
的解集为( ) A ．[－1,1] B ．[－2,2] C ．[－2,1]
D ．[－1,2]
A [法一：当x ≤0时，x ＋2≥x 2
， ∴－1≤x ≤0；①
当x >0时，－x ＋2≥x 2
，∴0<x ≤1.② 由①②得原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}． 法二：作出函数y ＝f (x )和函数y ＝x 2
的图象，如图，
由图知f (x )≥x 2
的解集为[－1,1]．]
3．设a ，b 是实数，则“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1
b
”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
A [因为a ＋1a
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
b ＋1b ＝
a －b
ab －
ab
，若a >b >1，显然a ＋1a
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
b ＋1b ＝
a －b
ab －
ab
>0，则充分性成立，当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a >b ＋1
b
成立，但
a >
b >1不成立，所以必要性不成立．]
4．(2016·绍兴一模)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
x | x <－1或x >13，则
f (e x )>0的解集为( )
A ．{x |x <－1或x >－ln 3}
B ．{x |－1<x <－ln 3}
C ．{x |x >－ln 3}
D ．{x |x <－ln 3}
D [设－1和13是方程x 2
＋ax ＋b ＝0的两个实数根，
∴a ＝－⎝
⎛⎭⎪⎫－1＋13＝23， b ＝－1×1
3＝－13
，
∵一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
x | x <－1或x >13，
∴f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋23x －13＝－x 2
－23x ＋13，
∴f (x )>0的解集为x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫－1，13.
不等式f (e x )>0可化为－1<e x <1
3
.
解得x <ln 1
3，
∴x <－ln 3，
即f (e x
)>0的解集为{x |x <－ln 3}．]
5．若集合A ＝{}x |ax 2
－ax ＋1<0＝∅，则实数a 的值的集合是( )
A ．{a |0<a <4}
B ．{a |0≤a <4}
C ．{a |0<a ≤4}
D ．{a |0≤a ≤4}
D [由题意知a ＝0时，满足条件，
a ≠0时，由⎩
⎪⎨⎪⎧
a >0，
Δ＝a 2
－4a ≤0，
得0<a ≤4，所以0≤a ≤4.] 二、填空题
6．(2017·温州一模)不等式－2x 2
＋x ＋1>0的解集为__________.
【导学号：51062182】
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，1 [－2x 2＋x ＋1>0，即2x 2－x －1<0，(2x ＋1)(x －1)<0，解得－12<x <1，∴不
等式－2x 2
＋x ＋1>0的解集为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，1.]
7．(2017·嘉兴二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
12
x ＋1， x ≤0，
－x －2，x >0，则不等式f (x )≥－1
的解集是__________．
[－4,2] [不等式f (x )≥－1⇔⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≤0，1
2
x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪
⎧
x >0，－x －
2
≥－1，
解得－
4≤x ≤0或0<x ≤2，故不等式f (x )≥－1的解集是[－4,2]．]
8．若关于x 的不等式4x
－2x ＋1
－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为
________．
(－∞，0] [∵不等式4x
－2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，
∴4x
－2
x ＋1
≥a 在[1,2]上恒成立．
令y ＝4x
－2
x ＋1
＝(2x )2－2×2x ＋1－1＝(2x －1)2
－1.
∵1≤x ≤2，∴2≤2x
≤4.
由二次函数的性质可知：当2x
＝2，即x ＝1时，y 取得最小值0， ∴实数a 的取值范围为(－∞，0]．] 三、解答题
9．设x <y <0，试比较(x 2
＋y 2
)(x －y )与(x 2
－y 2
)(x ＋y )的大小.
【导学号：51062183】
[解] (x 2
＋y 2
)(x －y )－(x 2
－y 2
)(x ＋y ) ＝(x －y )[(x 2
＋y 2
)－(x ＋y )2
] ＝－2xy (x －y ).7分
∵x <y <0，∴xy >0，x －y <0，∴－2xy (x －y )>0，12分 ∴(x 2
＋y 2
)(x －y )>(x 2
－y 2
)(x ＋y ).14分 10．已知f (x )＝－3x 2
＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；
(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． [解] (1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2
＋6a ＋3，2分 ∴原不等式可化为a 2
－6a －3<0， 解得3－23<a <3＋23，
∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}.6分
(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2
＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，10分
等价于⎩⎪⎨⎪⎧
－1＋3＝a －a
3
，－1×3＝－6－b
3
，解得⎩⎨
⎧
a ＝3±3，
b ＝－3.
14分
B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)
1．(2017·诸暨一模)若关于x 的不等式x 2
－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－2)
B ．(－2，＋∞)
C ．(－6，＋∞)
D ．(－∞，－6)
A [不等式x 2
－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2
－4x －2)max ，令g (x )＝x 2
－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2，∴a <－2.]
2．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )，若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是__________. 【导学号：51062184】
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，32 [由题意知(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]<1对一切实数x 恒成立，所以－x 2
＋x ＋y 2
－y －1<0对于x ∈R 恒成立．
故Δ＝12
－4×(－1)×(y 2
－y －1)<0， 所以4y 2
－4y －3<0，解得－12<y <32
.]
3．(2017·杭州二中模拟)已知函数f (x )＝x 2
－2ax －1＋a ，a ∈R . (1)若a ＝2，试求函数y ＝
f x
x
(x >0)的最小值； (2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．
[解] (1)依题意得y ＝f x x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1
x
－4.
因为x >0，所以x ＋1
x
≥2，2分
当且仅当x ＝1
x
时，即x ＝1时，等号成立，
所以y ≥－2. 所以当x ＝1时，y ＝
f x
x
的最小值为－2.6分 (2)因为f (x )－a ＝x 2
－2ax －1，
所以要使得“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2
－2ax －1≤0在[0,2]上恒成立”.9分
不妨设g (x )＝x 2
－2ax －1，
则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
g ，g ，
即⎩⎪⎨⎪⎧
0－0－1≤0，4－4a －1≤0，
解得a ≥3
4
，13分
则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫34，＋∞.14分。