高考数学二轮复习每日一题规范练

高考数学二轮复习每日一题目录
每日一题规范练(第一周) (2)
每日一题规范练(第二周) (8)
每日一题规范练(第三周) (15)
每日一题规范练(第四周) (21)
每日一题规范练(第五周) (28)
每日一题规范练(第六周) (34)
每日一题 规范练(第一周)
[题目1] (本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差d ＞0，其前n 项和为S n ，且a 2＋a 4＝8，a 3，a 5，
a 8成等比数列．
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝
1
a 2n －1·a 2n ＋1
＋n ，求数列{b n }的前n 项和T n .
解：(1)因为a 2＋a 4＝8，及等差数列性质，所以a 3＝4，即a 1＋2d ＝4.① 因为a 3，a 5，a 8为等比数列，则a 2
5＝a 3a 8.
所以(a 1＋4d )2
＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，化简得a 1＝2d .② 联立①和②得a 1＝2，d ＝1. 所以a n ＝n ＋1. (2)因为b n ＝
1a 2n －1·a 2n ＋1＋n ＝12n （2n ＋2）＋n ＝14(1n －1
n ＋1
)＋n .
所以T n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤14⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋1＋[14(12－13)＋2]＋[14⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋3]＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤14⎝ ⎛⎭⎪⎫1
n －1n ＋1＋n ＝14[(11－12)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋(
13－14)＋…＋(1n －1n ＋1)]＋(1＋2＋3＋…＋n )＝14(11－1n ＋1)＋n （n ＋1）2＝n 4（n ＋1）＋n （n ＋1）
2. [题目2] (本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos 2
x ＋3sin(π－x )cos(π＋x )－12.
(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；
(2)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，b sin C ＝a sin A ，求△ABC 的面积．
解：(1)f (x )＝cos 2
x －3sin x cos x －12＝1＋cos 2x 2－32sin 2x －12＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，
令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
得k π－π6≤x ≤k π＋π
3
，k ∈Z ，又x ∈[0，π]，
所以函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦
⎥⎤5π6，π.
(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，
所以f (A )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝－1，
因为△ABC 为锐角三角形， 所以0＜A ＜π
2
，
所以－π6＜2A －π6＜5π6
，
所以2A －π6＝π2，即A ＝π
3
.
又b sin C ＝a sin A ，所以bc ＝a 2
＝4， 所以S △ABC ＝1
2
bc sin A ＝ 3.
[题目3] (本小题满分12分)某校高三200名学生的期中考试语文成绩服从正态分布N (70，7.52
)．数学成绩的频率分布直方图如下：
(1)计算这次考试的数学平均分，并比较语文和数学哪科的平均分较高(假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的)；
(2)如果成绩大于85分的学生为优秀，这200名学生中本次考试语文、数学优秀的人数大约各多少人？ (3)如果语文和数学两科都优秀的共有4人，从(2)中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望．
(附参考公式)若X ～N (μ，σ2
)，则P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)≈0.68，P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)≈0.96. 解：(1)数学成绩的平均分为[0.012×45＋0.02×55＋0.025×65＋0.035×75＋0.006×85＋0.002×95]×10＝65.9.
根据语文成绩的正态分布知语文平均分为70分，所以语文平均分高些． (2)语文成绩优秀的概率为p 1＝P (X ≥85)＝(1－0.96)×1
2＝0.02，
数学成绩优秀的概率为p 2＝(0.006×1
2
＋0.002)×10＝0.05，
语文成绩优秀人数为200×0.02＝4人，数学成绩优秀人数为200×0.05＝10人．
(3)语文和数学两科都优秀的共有4人，则单科优秀的有6人，X 的所有可能取值为0，1，2，3， P (X ＝0)＝C 3
6C 310＝16，P (X ＝1)＝C 14C 26C 310＝1
2，
P (X ＝2)＝C 24C 1
6C 310＝310，P (X ＝3)＝C 3
4C 310＝1
30
.
X 的分布列为
X 0 1 2 3 P
1
6
12
310
130
数学期望E (X )＝0×16＋1×2＋2×10＋3×30＝5
.
[题目4] (本小题满分12分)在斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)ABC ­A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，底面△ABC 是边长为2的正三角形，A 1A ＝A 1C ，A 1A ⊥A 1C
.
(1)求证：A 1C 1⊥B 1C ；
(2)求二面角B 1­A 1C ­C 1的正弦值．
(1)证明：如图1，取A 1C 1的中点D ，连接B 1D ，CD ，
图1
因为C 1C ＝A 1A ＝A 1C ， 所以CD ⊥A 1C 1，
因为底面△ABC 是边长为2的正三角形， 所以AB ＝BC ＝2，A 1B 1＝B 1C 1＝2， 所以B 1D ⊥A 1C 1，
又B 1D ∩CD ＝D ，CD ⊂平面B 1CD ，B 1D ⊂平面B 1CD ，所以A 1C 1⊥平面B 1CD ， 所以A 1C 1⊥B 1C .
(2)解：法一 如图1，过点D 作DE ⊥A 1C 于点E ，连接B 1E .
因为侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，所以侧面AA 1C 1C ⊥平面A 1B 1C 1，又B 1D ⊥A 1C 1，侧面AA 1C 1C ∩平面A 1B 1C 1＝A 1C 1，所以B 1D ⊥平面A 1CC 1， 所以B 1E ⊥A 1C ，
所以∠B 1ED 为所求二面角的平面角， 因为A 1B 1＝B 1C 1＝A 1C 1＝2，所以B 1D ＝3，
又ED ＝
12CC 1＝22，所以tan ∠B 1ED ＝B 1D ED ＝3
2
2＝6，
所以二面角B 1­A 1C ­C 1的正弦值为
427
. 法二 如图，取AC 的中点O ，以O 为坐标原点，射线OB ，OC ，OA 1分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则O (0，0，0)，B (3，0，0)，A 1(0，0，1)，
B 1(3，1，1)，
C (0，1，0)
所以A 1B 1→
＝(3，1，0)，A 1C →
＝(0，1，－1)， 设m ＝(x ，y ，z )为平面A 1B 1C 的一个法向量， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1B 1→＝3x ＋y ＝0，m ·A 1
C →＝y －z ＝0，
令y ＝3，得m ＝(－1，3，3)，
又OB →＝(3，0，0)，易证OB →
⊥平面A 1CC 1，可以作为平面A 1CC 1的一个法向量． 所以cos 〈m ，OB →
〉＝m ·OB →
|m ||OB →|＝－7
7，
由图易知所求二面角为锐角， 所以二面角B 1­A 1C ­C 1的正弦值为
427
. [题目5] (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2
4
＋y 2
＝1，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，
y 2)是椭圆C 上两个动点，直线OP ，OQ 的斜率分别为k 1，k 2，若m ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 12
，y 1，n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 22
，y 2，m ·n ＝0.
(1)求证：k 1·k 2＝－1
4
；
(2)试探求△OPQ 的面积S 是否为定值，并说明理由． (1)证明：因为k 1，k 2存在，所以x 1x 2≠0， 因为m ·n ＝0，所以x 1x 2
4
＋y 1y 2＝0，
所以k 1·k 2＝
y 1y 2x 1x 2＝－1
4
. (2)解：①当直线PQ 的斜率不存在， 即x 1＝x 2，y 1＝－y 2时，
由y 1y 2x 1x 2＝－14，得x 214
－y 2
1＝0，(*) 又由P (x 1，y 1)在椭圆上，得x 21
4＋y 2
1＝1，(**)
由(*)、(**)联立，得|x 1|＝2，|y 1|＝22
. 所以S △POQ ＝1
2
|x 1|·|y 1－y 2|＝1.
②当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b (b ≠0)．
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2
4＋y 2
＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kbx ＋4b 2
－4＝0， Δ＝64k 2b 2－4(4k 2＋1)(4b 2－4)＝16(4k 2＋1－b 2)＞0，
x 1＋x 2＝－8kb 4k 2＋1，x 1x 2＝4b 2
－44k 2＋1.
因为x 1x 2
4＋y 1y 2＝0，
所以
x 1x 2
4
＋(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝0，得2b 2
－4k 2
＝1，满足Δ＞0.
所以S △POQ ＝12·|b |
1＋k 2
·|PQ | ＝12|b |（x 1＋x 2）2
－4x 1x 2 ＝2|b |·4k 2
＋1－b
2
4k 2
＋1
＝2|b |·b 2
2b
2＝1.
综上可知，△POQ 的面积S 为定值．
[题目6] (本小题满分12分)已知函数g (x )＝ax －a －ln x ，f (x )＝xg (x )，且g (x )≥0. (1)求实数a 的值；
(2)证明：存在x 0，f ′(x 0)＝0且0＜x 0＜1时，f (x )≤f (x 0)． (1)解：g (x )的定义域为(0，＋∞)，且g ′(x )＝a －1
x
，x ＞0.
因为g (x )≥0，且g (1)＝0，故只需g ′(1)＝0. 又g ′(1)＝a －1，则a －1＝0，所以a ＝1.
若a ＝1，则g ′(x )＝1－1
x
，显然当0＜x ＜1时，g ′(x )＜0，此时g (x )在(0，1)上单调递减；
当x ＞1，g ′(x )＞0，此时g (x )在(1，＋∞)上单调递增． 所以x ＝1是g (x )的唯一的极小值点， 故g (x )≥g (1)＝0. 综上，所求a 的值为1.
(2)证明：由(1)知f (x )＝x 2
－x －x ln x ，
f ′(x )＝2x －2－ln x .
设h (x )＝2x －2－ln x ，则h ′(x )＝2－1
x
，
当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，h ′(x )＜0； 当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞时，h ′(x )＞0，
所以h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增． 又h (e －2
)＞0，h ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＜0，h (1)＝0，
所以h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12有唯一零点x 0，在⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞有唯一零点1. 当x ∈(0，x 0)时，h (x )＞0；当x ∈(x 0，1)时，h (x )＜0. 因为f ′(x )＝h (x )，所以x ＝x 0是f (x )的唯一极大值点． 则x ＝x 0是f (x )在(1，1)的最大值点，所以f (x )≤f (x 0)成立．
[题目7] 1.(本小题满分10分)[选修4­4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P (a ，1)，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2
2
t ，y ＝1＋2
2t (t 为参数，a ∈R)．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐
标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2
θ＋4cos θ－ρ＝0. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；
(2)已知曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，且|AB |＝8，求实数a 的值． 解：(1)因为曲线C 1
的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2
2
t ，y ＝1＋2
2
t (t 为参数)，
所以曲线C 1的普通方程为x －y －a ＋1＝0.
因为曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2
θ＋4cos θ－ρ＝0， 所以ρ2
cos 2
θ＋4ρcos θ－ρ2
＝0， 所以x 2
＋4x －x 2
－y 2
＝0，
即曲线C 2的直角坐标方程为y 2
＝4x .
(2)设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，
由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，
x ＝a ＋22t ，
y ＝1＋2
2t
得t 2
－2
2t ＋2－8a ＝0.
Δ＝(－22)2－4(2－8a )＞0，即a ＞0， t 1＋t 2＝22，t 1t 2＝2－8a ，
根据参数方程中参数的几何意义可知
|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2
－4t 1t 2＝8－8（1－4a ）＝32a ＝8， 所以a ＝2.
2．(本小题满分10分)[选修4­5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R.
(1)解不等式f (x )＜|x |＋1；
(2)若对x ，y ∈R ，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤1
6，求证：f (x )＜1.
(1)解：因为f (x )＜|x |＋1， 所以|2x －1|＜|x |＋1，
则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，2x －1＜x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜12，1－2x ＜x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，1－2x ＜－x ＋1， 得12≤x ＜2或0＜x ＜1
2
或无解． 故不等式f (x )＜|x |＋1的解集为{x |0＜x ＜2}． (2)证明：f (x )＝|2x －1| ＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)| ≤|2(x －y －1)|＋|2y ＋1| ＝2|x －y －1|＋|2y ＋1| ≤2×13＋16＝5
6
＜1.
所以，对x ，y ∈R ，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤1
6
，
f (x )＜1成立．
每日一题 规范练(第二周)
[题目1] (本小题满分12分)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2
x －1(x ∈R)．
(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值；
(2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，求cos 2x 0的值．
解：(1)f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2
x －1) ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 所以函数f (x )的最小正周期为π.
又x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， 所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π6，7π6，
所以sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，
所以函数f (x )在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1.
(2)因为f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝65， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝35，
又x 0∈⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤π4，π2， 知2x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
2π3，7π6.
所以cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝
⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－45，
所以cos 2x 0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6－π6＝cos(2x 0＋π6)·cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6sin π6＝－45×32＋35×12＝ 3－43
10
. [题目2] (本小题满分12分)已知数列{a n }是等差数列，a 2＝6，前n 项和为S n 数列{b n }是等比数列，b 2＝2，a 1b 3＝12，S 3＋b 1＝19. (1)求{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{b n cos(a n π)}的前n 项和T n . 解：(1)因为数列{a n }是等差数列，a 2＝6， 所以S 3＋b 1＝3a 2＋b 1＝18＋b 1＝19， 所以b 1＝1，
因为b 2＝2，数列{b n }是等比数列， 所以b n ＝2
n －1
，则b 3＝4.
由a 1b 3＝12，得a 1＝3，
则等差数列{a n }的公差为d ＝a 2－a 1＝3. 所以a n ＝3＋3(n －1)＝3n (n ∈N *
)．
(2)设C n ＝b n cos(a n π)，由(1)得C n ＝b n cos(a n π)＝(－1)n 2n －1
，
则C n ＋1＝(－1)n ＋12n
，
所以
C n ＋1
C n
＝－2， 又C 1＝－1，
所以数列{b n cos(a n π)}是以－1为首项，－2为公比的等比数列． 所以T n ＝－1×[1－（－2）n
]1－（－2）＝13
[(－2)n
－1]．
[题目3] (本小题满分12分)通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下2×2列联表：
(1)将题中的2×2(2)能否有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关？请说明理由；
(3)如果按性别进行分层抽样，从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建“运动达人社”，现从“运动达人社”中选派3人参加某项校际挑战赛，记选出3人中的女大学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望． 附：
K 2
＝n （ad －（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）
.
解：(1)题中的2×2列联表补充如下：
(2)K 2
＝100×（40×25－20×1555×45×60×40≈8.25＞6.635，
所以有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关．
(3)由题意，抽取的6人中包括男生4名，女生2名，X 的取值为0，1，2， 则P (X ＝0)＝C 3
4C 36＝15，P (X ＝1)＝C 24C 1
2C 36＝35，P (X ＝2)＝C 14C 2
2C 36＝1
5，
故X 的分布列为
E (X )＝0×15
＋1×35
＋2×15
＝1.
[题目4] (本小题满分12分)在如图所示的几何体ABCDE 中，DA ⊥平面EAB ，CB ∥DA ，EA ＝DA ＝AB ＝2CB ，
EA ⊥AB ，M 是线段EC 上的点(不与端点重合)，F 为线段DA 上的点，N 为线段BE 的中点．
(1)若M 是线段EC 的中点，AF ＝3FD ，求证：FN ∥平面MBD ；
(2)若EM MC ＝λ，二面角M ­BD ­A 余弦值为1
3
，求λ的值．
(1)证明：连接MN .
因为M ，N 分别是线段EC ，线段BE 的中点， 所以MN ∥CB 且MN ＝12CB ＝1
4DA ，
又AF ＝3FD ，所以FD ＝1
4DA ，
所以MN ＝FD ，
又CB ∥DA ，所以MN ∥DA ，所以MN ∥FD . 所以四边形MNFD 为平行四边形，所以FN ∥MD ， 又FN ⊄平面MBD ，MD ⊂平面MBD ， 所以FN ∥平面MBD .
(2)解：由已知，分别以直线AE ，AB ，AD 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A ­xyz ，如图所示．设
CB ＝1，则A (0，0，0)，B (0，2，0)，C (0，2，1)，
D (0，0，2)，
E (2，0，0)
DB →
＝(0，2，－2)，DC →＝(0，2，－1)，CE →
＝(2，－2，－1)， 因为EM →＝λMC →，所以CM →＝1
1＋λCE →
，
DM →
＝DC →＋CM →＝DC →＋11＋λCE →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋λ，2λ1＋λ，－2－λ1＋λ＝11＋λ(2，2λ，－2－λ)．
设平面ABD 的一个法向量为n 1＝(1，0，0)，
平面MBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则有n ⊥DB →，n ⊥DM →
.
所以⎩⎪⎨⎪⎧n·DB →
＝0⇒2y －2z ＝0⇒y ＝z ，
n ·DM →＝0⇒2x ＋2λy －（2＋λ）z ＝0，
令z ＝1，则n ＝⎝
⎛⎭
⎪
⎫2－λ2，1，1.
因为平面ABD 与平面MBD 所成二面角的余弦值为1
3，
所以|cos 〈n ，n 1〉|＝|n ·n 1||n ||n 1|＝1
3
⇒
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪2－λ2⎝ ⎛⎭
⎪⎫2－λ22
＋2＝1
3， 解得λ＝1或λ＝3.
又因为平面ABD 与平面MBD 所成二面角为锐角， 所以λ＝1.
[题目5] (本小题满分12分)已知a 为实数，函数f (x )＝a ln x ＋x 2
－4x . (1)若x ＝3是函数f (x )的一个极值点，求实数a 的值；
(2)设g (x )＝(a －2)x ，若存在x 0∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1e ，e ，使得f (x 0)≤g (x 0)成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x )＝a x ＋2x －4＝2x 2
－4x ＋a
x
.
因为x ＝3是函数f (x )的一个极值点，所以f ′(3)＝0，解得a ＝－6. 经检验，当a ＝－6时，x ＝3是函数f (x )的一个极小值点，符合题意， 故实数a 的值为－6.
(2)由f (x 0)≤g (x 0)，得(x 0－ln x 0)a ≥x 2
0－2x 0， 记F (x )＝x －ln x (x ＞0)，则F ′(x )＝
x －1
x
(x ＞0)， 所以当0＜x ＜1时，F ′(x )＜0，F (x )单调递减；当x ＞1时，F ′(x )＞0，F (x )单调递增． 所以F (x )＞F (1)＝1＞0，
所以a ≥x 20－2x 0
x 0－ln x 0
.
记G (x )＝x 2－2x x －ln x ，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1e ，e ， 则G ′(x )＝（2x －2）（x －ln x ）－（x －2）（x －1）
（x －ln x ）2
＝
（x －1）（x －2ln x ＋2）
（x －ln x ）
2
.
因为x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1e ，e ，所以2－2ln x ＝2(1－ln x )≥0， 所以x －2ln x ＋2＞0，
所以当x ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫1e ，1时，G ′(x )＜0，G (x )单调递减； 当x ∈(1，e]时，G ′(x )＞0，G (x )单调递增． 所以G (x )min ＝G (1)＝－1，所以a ≥G (x )min ＝－1， 故实数a 的取值范围为[－1，＋∞)．
[题目6] (本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为23，且椭圆C 与y 轴交于A (0，
－1)，B (0，1)两点．
(1)求椭圆C 的标准方程及离心率；
(2)设P 点是椭圆C 上的一个动点且在y 轴的右侧，直线PA ，PB 与直线x ＝3交于M ，N 两点．若以MN 为直径的圆与x 轴交于E ，F 两点，求P 点横坐标的取值范围及|EF |的最大值． 解：(1)由题意，得b ＝1，c ＝3， 所以a ＝b 2
＋c 2
＝2，离心率e ＝c a ＝32
， 椭圆C 的标准方程为x 2
4
＋y 2
＝1.
(2)设P (x 0，y 0)(0＜x 0≤2)，A (0，－1)，B (0，1)， 所以k PA ＝
y 0＋1x 0，直线PA 的方程为y ＝y 0＋1
x 0
x －1， 同理得直线PB 的方程为y ＝
y 0－1
x 0
x ＋1， 直线PA 与直线x ＝3的交点为M ⎝ ⎛⎭⎪
⎫3，3（y 0＋1）x 0－1，
直线PB 与直线x ＝3的交点为N ⎝
⎛⎭
⎪⎫3，3（y 0－1）x 0
＋1， 线段MN 的中点⎝
⎛⎭
⎪⎫3，3y 0x 0，
所以圆的方程为(x －3)2
＋⎝
⎛⎭⎪⎫y －3y 0x 02＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x 02
.
令y ＝0，则(x －3)2
＋9y 2
0x 20
＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1－3x 02，
因为x 20
4＋y 20＝1，所以(x －3)2
＝134－6x 0
，
因为这个圆与x 轴相交于E 、F 两点，所以该方程有两个不同的实数解， 则
134－6
x 0
＞0，又0＜x 0≤2， 解得x 0∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤2413，2.
故P 点横坐标的取值范围为⎝ ⎛⎦
⎥⎤2413，2. 设交点坐标E (x 1，0)，F (x 2，0)， 则|EF |＝|x 1－x 2|＝2 134－6x 0(24
13
＜x 0≤2)， 所以|EF |的最大值为1.
[题目7] 1.(本小题满分10分)[选修4­4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝4cos α＋2，y ＝4sin α
(α为参数)，以O 为极点，以x 轴的
非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π
6(ρ∈R)．
(1)求曲线C 的极坐标方程；
(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB |的值．
解：(1)将方程⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α＋2，y ＝4sin α消去参数α得x 2＋y 2
－4x －12＝0，
所以曲线C 的普通方程为x 2＋y 2
－4x －12＝0，
将x 2
＋y 2
＝ρ2
，x ＝ρcos θ代入上式可得ρ2
－4ρcos θ＝12， 所以曲线C 的极坐标方程为ρ2
－4ρcos θ＝12. (2)设A ，B 两点的极坐标分别为⎝
⎛⎭⎪⎫ρ1，π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π6，
由⎩
⎪⎨⎪⎧ρ2
－4ρcos θ＝12，θ＝π
6消去θ得ρ2
－23ρ－12＝0， 根据题意可得ρ1，ρ2是方程ρ2
－23ρ－12＝0的两根，所以ρ1＋ρ2＝23，ρ1ρ2＝－12， 所以|AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2
－4ρ1ρ2＝215. 2．(本小题满分10分)[选修4­5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|x －a |＋2|x －1|.
(1)当a ＝2时，求关于x 的不等式f (x )＞5的解集； (2)若关于x 的不等式f (x )≤|a －2|有解，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，不等式为|x －2|＋2|x －1|＞5， 若x ≤1，则－3x ＋4＞5，即x ＜－13，
若1＜x ＜2，则x ＞5，舍去， 若x ≥2，则3x －4＞5，即x ＞3，
综上，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(3，＋∞)． (2)因为|x －a |＋|x －1|≥|a －1|，
所以f (x )＝|x －a |＋2|x －1|≥|a －1|＋|x －1|≥|a －1|， 得到f (x )的最小值为|a －1|，
又|a －1|≤|a －2|，所以a ≤3
2
.
每日一题 规范练(第三周)
[题目1] (本小题满分12分)已知各项均为正数的等比数列{a n }，满足a 1＝1，且1a 1－1
a 2＝2
a 3
.
(1)求等比数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足b n ＝log 2a n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
b n a n 的前n 项和为T n .
解：(1)由已知1a 1－1a 2＝2
a 3
，
得1a 1－1a 1q ＝2a 1q
2，
即1－1q ＝2q
2，
解得q ＝2或q ＝－1(舍去)， 因此数列{a n }的通项公式a n ＝2
n －1
.
(2)由题意得b n ＝log 2a n ＋1＝log 22n
＝n ，
b n a n ＝n 2n －1
， 所以T n ＝120＋221＋322＋…＋n
2n －1，①
12T n ＝121＋222＋323＋…＋n
2
n ，② 由①－②，得12T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1－1
2n
1－12－n 2n ＝2－n ＋2
2
n ，
所以T n ＝4－
n ＋2
2
n －1
.
[题目2] (本小题满分12分)如图，△ABC 为正三角形，AC ∥DB ，AC ＝2，cos ∠ACD ＝
63
.
(1)求CD 的长； (2)求△ABD 的面积．
解：(1)因为△ABC 为正三角形，AC ∥DB ， 所以∠ACD ＝∠BDC ，∠BAC ＝∠ABD ＝π
3
，
所以cos ∠ACD ＝cos ∠BDC
＝
63
， 所以sin ∠BDC ＝
1－⎝
⎛⎭
⎪⎫632
＝33.
在△BCD 中，BC ＝2，∠CBD ＝2π
3，
sin ∠BDC ＝
33
， 由正弦定理得，
2
3
3
＝CD
sin
2π3，所以CD ＝3.
(2)在△BCD 中，BC ＝2，CD ＝3，∠CBD ＝2π
3，
由余弦定理，CD 2
＝BD 2
＋BC 2
－2BD ·BC ·cos ∠CBD ，
则32＝22＋BD 2
－4BD ×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，解得BD ＝6－1.
所以△ABD 的面积为S ＝12BD ·AB ·sin π3＝12×(6－1)×2×32＝32－3
2
.
[题目3] (本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC ­DEF 中，AE 与BD 相交于点O ，C 在平面ABED 内的射影为O ，G 为CF 的中点．
(1)求证：平面ABED ⊥平面GED ；
(2)若AB ＝BD ＝BE ＝EF ＝2，求二面角A ­CE ­B 的余弦值． (1)证明：取DE 中点M ，在三角形BDE 中，OM ∥BE ，OM ＝1
2
BE .
又因为G 为CF 中点，所以CG ∥BE ，CG ＝1
2BE .
所以CG ∥OM ，CG ＝OM .
所以四边形OMGC 为平行四边形． 所以MG ∥OC .
因为点C 在平面ABED 内的射影为O ， 所以OC ⊥平面ABED ，从而MG ⊥平面ABED . 又因为GM ⊂平面GED ，
所以平面ABED ⊥平面GED .
(2)解：因为CO ⊥平面ABED ，所以CO ⊥AO ，
CO ⊥OB
.
又AB ＝BE ，则四边形ABED 为菱形， 所以OB ⊥AO .
以O 为坐标原点，OA →，OB →，OC →
的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
O ­xyz ，
于是A (3，0，0)，B (0
，1，0)，E (－3，0，0)，C (0，0，3)， 向量BE →＝(－3，－1，0)，向量BC →
＝(0，－1，3)， 设平面BCE 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BE →＝0，m ·BC →＝0，
，即⎩⎨⎧－3x 1
－y 1
＝0，－y 1
＋3z 1
＝0，
不妨令z 1＝1，则y 1＝3，x 1＝－1，取法向量m ＝(－1，3，1)． 又n ＝(0，1，0)为平面ACE 的一个法向量． 设二面角A ­CE ­B 大小为θ，显然θ为锐角， 于是cos θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m·n ||m |·|n |＝35＝155，
故二面角A ­CE ­B 的余弦值为
155
. [题目4] (本小题满分12分)国家文明城市评审委员会对甲、乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查，派出10人的调查组，先后到甲、乙两个城市的街道、社区进行问卷调查，然后打分(满分100分)，他们给出甲、乙两个城市分数的茎叶图如图所示：
(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；
(2)从甲、乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80的概率；
(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X ，求X 的分布列和期望．(参考数据：162
＋142
＋122
＋52
＋32
＋72
＋82
＋162
＋192
)＝1 360，142
＋112
＋32
＋22
＋12
＋22
＋32
＋62
＋72
＋13
2
＝598)
解：(1)由茎叶图，设甲、乙两班10名同学成绩的平均数分别为x －甲，x －
乙， 则x －
甲＝63＋65＋67＋74＋76＋79＋86＋87＋95＋98
10＝79.
x －乙＝
65＋68＋76＋77＋78＋81＋82＋85＋86＋92
10
＝79.
S 2甲＝
1
10(162＋142＋122＋52＋32＋02＋72＋82＋162＋192
)＝136. S 2乙＝
110
(142＋112＋32＋22＋12＋22＋32＋62＋72＋132
)＝59.8. 因此x －甲＝x －
乙，S 2甲＞S 2
乙.
上面统计数据表明甲、乙两个城市打分的平均分相同，甲城市打分的方差比乙城市的大，说明评委对乙城市的打分较一致，乙城市应该入围．
(2)由茎叶图可得，分数在80分以上的甲城市有4个，乙城市有5个．设事件A ＝“甲、乙两个城市的打分中，各抽取2个，有大于80分的分数”，事件B ＝“甲、乙两个城市的打分中，各抽取2个，乙城市的分数都小于80分”，则P (B |A )＝
P （A ·B ）
P （A ）
，
因为P (A ·B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2
4＋C 14C 1
6C 210×C 2
5C 10
＝427，
P (A )＝1－P (A －)＝1－C 26·C 2
5C 210·C 210＝
25
27. 所以P (B |A )＝
P （A ·B ）P （A ）＝4
25
.
(3)由题可知X 取值为0，1，2. P (X ＝0)＝C 25C 0
5C 210＝2
9
，
P (X ＝1)＝C 15C 1
5C 210＝59，P (x ＝2)＝C 05C 2
5C 210＝2
9.
所以X 的分布列为
E (X )＝0×29＋1×59＋2×29
＝1.
[题目5] (本小题满分12分)已知函数f (x )＝(2x －1)e x
－a (x 2
＋x )，a ∈R. (1)当a ＜e －1
2
时，讨论函数f (x )的单调性；
(2)设g (x )＝－ax 2
－a ，若对任意的x ≤1时，恒有f (x )≥g (x )，求实数a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝(2x ＋1)e x －a (2x ＋1)＝(2x ＋1)(e x
－a )． 若a ≤0时，e x
－a ＞0，
当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12时，f ′(x )＜0；当x ∈(－12，＋∞)时，f ′(x )＞0. 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上是增函数．
若0＜a ＜e －12时，令f ′(x )＝0，得x ＝－12或x ＝ln a ＜－1
2
，
所以当x ∈(－∞，ln a )∪(－12，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln a ，－12时，f ′(x )＜0.
故f (x )在区间(－∞，ln a )和⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln a ，－12上单调递减． (2)依题意，对任意x ≤1，恒有(2x －1)e x
－a (x －1)≥0.(*) ①当x ＝1时，(*)式恒成立，a ∈R. ②当x ＜1时，
不等式转化为a ≥（2x －1）e
x
x －1，
令φ(x )＝（2x －1）e
x
x －1(x ＜1)，
则φ′(x )＝（2x 2
－3x ）e
x
（x －1）
2
. 当x ∈(－∞，0)时，φ′(x )＞0；当x ∈(0，1)时，φ′(x )＜0. 所以当x ＝0时，φ(x )取极大值φ(0)＝1，此时a ≥1. 综合①②知，实数a 的取值范围为[1，＋∞)．
[题目6] (本小题满分12分)已知圆F 1：(x ＋3)2
＋y 2
＝16，圆心为F 1，定点F 2(3，0)，P 为圆F 1上一点，线段PF 2上一点K 满足PF 2→＝2KF 2→
，直线PF 1上一点Q 满足QK →·KF 2→
＝0. (1)求点Q 的轨迹E 的方程；
(2)已知M ，N 两点的坐标分别为(0，1)，(0，－1)，点T 是直线y ＝2上的一个动点，且直线TM ，TN 分别交(1)中点Q 的轨迹E 于C ，D 两点(M ，N ，C ，D 四点互不相同)，证明：直线CD 恒过一定点，并求出该定点坐标．
(1)解：因为PF 2→
＝2KF 2→
，所以K 是线段PF 2的中点． 又QK →·KF 2→
＝0，所以QK 为线段PF 2的中垂线， 则|QP |＝|QF 2|.
因为|F 1P |＝|F 1Q |＋|QP |＝|F 1Q |＋|QF 2|＝4，
所以由椭圆的定义，知Q 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，长轴长为4的椭圆． 则a ＝2，c ＝3，所以b 2
＝1.
故点Q 的轨迹C 的方程为x 2
4
＋y 2
＝1.
(2)证明：依题意，设直线CD 的方程为y ＝mx ＋n ， 代入椭圆方程x 2
＋4y 2
＝4，
化简得(1＋4m 2
)x 2
＋8mnx ＋4n 2
－4＝0， 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8mn
1＋4m 2，①
x 1·x 2＝4n 2
－4
1＋4m 2.②
因为直线TM ：y ＝y 1－1
x 1
x ＋1； 直线TN ：y ＝
y 2＋1
x 2
x －1， 由题知TM ，TN 的交点T 的纵坐标为2， 所以
3x 2y 2＋1＝x 1
y 1－1
. 则3x 2(y 1－1)＝x 1(y 2＋1)，即3x 2(mx 1＋n －1)＝x 1(mx 2＋n ＋1)， 整理，得2mx 1x 2＝(n ＋1)x 1－3(n －1)x 2，③
将①②代入③得2m （4n 2
－4）1＋4m 2
＝(n ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8mn 1＋4m 2－x 2－3(n －1)x 2，
化简得(2n －1)[4m (n ＋1)＋x 2(1＋4m 2
)]＝0， 当m ，x 2变化时，上式恒成立．
故2n －1＝0，即n ＝12，所以直线CD 恒过定点⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12. [题目7] 1.(本小题满分10分)[选修4­4：极坐标与参数方程] 已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨
⎧x ＝1＋2cos t ，y ＝2sin t
(t 为参数)，以射线Ox 为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极
坐标方程为2ρcos θ－ρsin θ－4＝0.
(1)将曲线C 1的参数方程化为普通方程，将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程，并分别指出是何种曲线；
(2)曲线C 1，C 2是否有两个不同的公共点？若有，求出两公共点间的距离；若没有，请说明理由． 解：(1)由⎩⎨
⎧x ＝1＋2cos t ，y ＝2sin t ，
消去参数t 得(x －1)2＋y 2
＝2.
所以曲线C 1的普通方程为(x －1)2
＋y 2
＝2，曲线C 1是一个圆． 因为ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，
所以2ρcos θ－ρsin θ－4＝0的直角坐标方程为2x －y －4＝0， 因此曲线C 2表示一条直线．
(2)圆C 1的圆心为(1，0)，半径r ＝2，
设圆心(1，0)到直线2x －y －4＝0的距离是d ，
则d ＝|2－4|5＝255＜r ＝2，所以曲线C 1与曲线C 2相交于两个不同的点A ，B .
则|AB |＝2 r 2－d 2
＝2305，
所以两公共点间的距离为230
5
.
2．(本小题满分10分)[选修4­5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|a －4x |＋|2a ＋x |. (1)若a ＝1，解不等式f (x )≥3.
(2)求证：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1x ≥10.
(1)解：若a ＝1，则f (x )＝|a －4x |＋|2a ＋x |＝ |1－4x |＋|2＋x |，
所以不等式f (x )≥3可化为|1－4x |＋|2＋x |≥3，
所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，1－4x －2－x ≥3，或⎩⎪
⎨
⎪⎧－2＜x ≤1
4，1－4x ＋2＋x ≥3，
或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞14，4x －1＋2＋x ≥3.
解得x ≤－2或－2＜x ≤0或x ≥25
，
综上，所以不等式f (x )≥3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪
⎪⎪x ≤0或x ≥25. (2)证明：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1x ＝|a －4x |＋|2a ＋x |＋|a ＋4x
|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a －1x ＝(||a －4x ＋⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a ＋4x )＋(|2a ＋x |＋
⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a －1x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －4x －a －4x ＋|2a ＋x －2a ＋1x |＝5⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x ＋1x ＝5(|x |＋1|x |)≥10(当且仅当|x |＝1|x |时，等号
成立)．
故f (x )＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1x ≥10.
每日一题 规范练(第四周)
[题目1] (本小题满分12分)在单调递增的等差数列{b n }中，前n 项和为S n ，已知b 3＝6，b 2，S 5＋2，
b 4成等比数列．
(1)求{b n }的通项公式；
(2)设a n ＝b n
2
(e)b n ，求数列{a n }的前n 项和S n .
解：(1)设等差数列{b n }的公差为d ， 因为b 2, S 5＋2，b 4成等比数列，b 3＝6，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝6，5b 1＋5×4
2d ＋2＝（b 1＋d ）（b 1＋3d ）， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2，d ＝2，或⎩
⎪⎨⎪⎧b 1＝10，d ＝－2.
因为数列{b n }单调递增，所以d ＞0， 所以b 1＝2，d ＝2，
所以{b n }的通项公式为b n ＝2n . (2)因为a n ＝b n
2(e)b n ，所以a n ＝n e n
.
所以S n ＝1·e 1
＋2e 2
＋3e 3
＋…＋n e n
， 所以e S n ＝1·e 2
＋2e 3
＋3e 4
＋…＋n e n ＋1
，
以上两个式子相减得，
(1－e)S n ＝e ＋e 2
＋e 3
＋…＋e n －n e n ＋1
，
所以(1－e)S n ＝e －e n ＋1
1－e －n e n ＋1
，
所以S n ＝
n e n ＋2－（n ＋1）e n ＋1＋e
（1－e ）
2
.
[题目2] (本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b
cos B ＝3c －a cos A
. (1)若a ＝2sin A ，求b ；
(2)若b ＝3，△ABC 的面积为22，求a ＋c .
解：(1)由正弦定理得b cos B ＝3c －a cos A ⇒sin B
cos B
＝
3sin C －sin A
cos A
，
即cos A sin B ＝3cos B sin C －sin A cos B ， 所以sin A cos B ＋cos A sin B ＝3cos B sin C ， 即sin(A ＋B )＝3cos B sin C ， 又sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C . 所以sin C ＝3cos B sin C . 因为sin C ≠0，所以cos B ＝1
3，
则sin B ＝22
3，
因为a ＝2sin A ，
由正弦定理，得b ＝sin B ·
a
sin A ＝223×2＝43
. (2)因为△ABC 的面积为22，
所以S △ABC ＝1
2ac sin B ＝22，得ac ＝6，
因为b ＝3，
所以b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－23ac ＝(a ＋c )2－83ac ＝(a ＋c )2
－16＝9，
因此(a ＋c )2
＝25. 又a ＞0，c ＞0， 故a ＋c ＝5.
[题目3] (本小题满分12分)如图所示，在左边的平面图中，AB ＝BC ＝CD ＝2，AE ＝2，AC ＝22，∠
ACD ＝π
4
，AE ⊥AC ，F 为BC 的中点．现在沿着AC 将平面ABC 与平面ACDE 折成一个直二面角，如下图，
连接BE ，BD ，DF .
(1)求证：DF ∥平面ABE ；
(2)求二面角E ­BD ­C 平面角大小的余弦值． (1)证明：
在直观图中，过点D 作DG ⊥AC 交AC 于点G (如图1)． 因为AE ⊥AC ， 所以AE ∥DG .
图1
因为CD ＝2，∠ACD ＝π
4，
所以DG ＝CG ＝ 2.
因为AE ＝2，所以AE ＝DG ，所以四边形AGDE 为矩形． 所以ED ∥AG ，ED ＝AG ，取AB 的中点H ，连接EH ，HF ， 因为F 为BC 的中点，所以HF ∥AG ，HF ＝AG ，
所以HF ∥ED ，HF ＝ED ，所以四边形EDFH 为平行四边形， 从而DF ∥EH .
因为DF ⊄平面ABE ，EH ⊂平面ABE ， 所以DF ∥平面ABE .
(2)解：以A 为原点，AC ，AE 所在射线为y 轴，z 轴建立空间坐标系(如图1)． 因为AB ＝BC ＝2，AC ＝22，
所以AB ⊥BC ，且∠CAB ＝π
4，则B (2，2，0)．
因为E (0，0，2)，所以EB →
＝(2，2，－2)．
又ED →
＝(0，2，0)，设平面EBD 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，1)． 则⎩⎨
⎧2x 1＋2y 1－2＝0，2y 1＝0，
解得x 1＝1，y 1＝0，所以n 1＝(1，0，1)．
又D (0，2，2)，C (0，22，0)．所以CB →＝(2，－2，0)，CD →
＝(0，－2，2)． 设平面CBD 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，1)，
则⎩⎨⎧2x 2－2y 2＝0，－2y 2＋2＝0，
解得x 2＝1，y 2＝1，所以n 2＝(1，1，1)． 设平面BDE 与平面BCD 所成角的大小为θ，由图易知，平面BDE 与平面BCD 所成角为钝角，则cos θ＝－
|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝－22×3
＝－6
3.
星期四 2019年4月11日
[题目4] (本小题满分12分)某服装批发市场1～5月份的服装销售量x 与利润y 的统计数据如下表：
(1)
(2)已知销售量x 与利润y 大致满足线性相关关系，请根据前4个月的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；
(3)若由线性回归方程得到的利润的估计数据与真实数据的误差不超过2万元，则认为得到的利润的估计数据是理想的．请用表格中第5个月的数据检验由(2)中回归方程所得的第5个月的利润的估计数据是否理想？
解：(1)由统计图表知，所有的基本事件为(19，34)，(19，26)，(19，41)，(19，46)，(34，26)，(34，41)，(34，46)，(26，41)，(26，46)，(41，46)共10个．记“m ，n 均不小于30”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(34，41)、(34，46)、(41，46)共3个． 故所求事件的概率为P (A )＝
3
10
.
(2)由前4个月的数据可得，x －
＝5，y －
＝30，
x i y i ＝652，x 2i ＝110.
所以b ^
＝
＝652－4×5×30110－4×5
2
＝5.2. 则a ^
＝30－5.2×5＝4，
所以线性回归方程为y ^
＝5.2x ＋4.
(3)由题意得，当x ＝8时，y ^
＝45.6，|45.6－46|＝0.4＜2， 所以利用(2)中的回归方程所得的第5个月的利润估计数据是理想的．
[题目5] (本小题满分12分)已知抛物线x 2
＝2py (p ＞0)和圆x 2
＋y 2
＝r 2
(r ＞0)的公共弦过抛物线的焦点
F ，且弦长为4.
(1)求抛物线和圆的方程；
(2)过点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，抛物线在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，求△ABM 面积的最小值．
解：(1)由题意可知，2p ＝4， 所以p ＝2，
故抛物线的方程为x 2
＝4y .
又⎝ ⎛⎭
⎪⎫p 22
＋p 2＝r 2，所以r 2
＝5， 所以圆的方程为x 2
＋y 2
＝5.
(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，并设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2
＝4y ，y ＝kx ＋1，
消去y 可得x 2
－4kx －4＝0，
所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，
|AB |＝ 1＋k 2
|x 1－x 2|＝ 1＋k 2
·16k 2
＋16＝4(1＋k 2
)． 因为抛物线为x 2
＝4y ，即y ＝14
x 2，
y ′＝x 2
，所以过A 点的切线的斜率为x 12
，切线方程为y －y 1＝x 1
2
(x －x 1)，
令y ＝0，可得M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1
2，0， 所以点M 到直线AB 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪k ·x 12＋11＋k
2
，
故S △ABM ＝12×4(1＋k 2
)×
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪k ·x 12＋11＋k
2
＝1＋k 2
·|kx 1＋2|，
又k ＝y 1－1x 1＝x 21－4
4x 1
，
代入上式并整理得S △ABM ＝116·（x 2
1＋4）
2
|x 1|，
令f (x )＝（x 2
＋4）
2
|x |，可得f (x )为偶函数，
当x ＞0时，f (x )＝（x 2
＋4）2
x ＝x 3
＋8x ＋16x
，
f ′(x )＝3x 2
＋8－16x 2＝（x 2＋4）（3x 2
－4）x 2
，令f ′(x )＝0，可得x ＝233
， 当x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫
0，233时，f ′(x )＜0；
当x ∈⎝
⎛⎭
⎪⎫
233，＋∞时，f ′(x )＞0. 所以x ＝233时，f (x )取得最小值12839，
故S △ABM 的最小值为116×12839＝83
9
.
[题目6] (本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x －x －m (m ＜－2，m 为常数)．
(1)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1e ，e 的最小值； (2)设x 1，x 2是函数f (x )的两个零点，且x 1＜x 2，证明：x 1·x 2＜1. (1)解：由题意得，函数f (x )的定义域为x ＞0，
f ′(x )＝
1－x
x
，令f ′(x )＝0，得x ＝1.
当x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0. 所以y ＝f (x )在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减． 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1－1e －m ，f (e)＝1－e －m ， 且f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e －f (e)＝－2＋e －1e ＞0，
所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1e ，e 上的最小值为f (e)＝1－e －m .
(2)证明：由题意知，x 1，x 2满足ln x －x －m ＝0， 且0＜x 1＜1，x 2＞1，ln x 1－x 1－m ＝ln x 2－x 2－m ＝0， ln x 2－x 2＝m ＜－2＜ln 2－2.
又由(1)知，f (x )＝ln x －x 在(1，＋∞)上递减，
故x 2＞2，所以0＜1
x 2
＜1，
则f (x 1)－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 2＝ln x 1－x 1－(ln 1x 2－1x 2
)＝ln x 2－x 2－⎝
⎛⎭
⎪⎫ln 1x 2－1x
2
＝－x 2＋1x 2
＋2ln x 2.
令g (x )＝－x ＋1
x
＋2ln x (x ＞2)，
则g ′(x )＝－1－1
x 2＋2x ＝－x 2＋2x －1x 2＝－（x －1）
2
x
2
≤0， 当x ＞2时，g (x )是减函数， 所以g (x )＜g (2)＝－3
2
＋ln 4.
因为32－ln 4＝ln e 324＞ln 2.56324＝ln 1.63
4＝ln 4.0964＞ln 1＝0.
所以g (x )＜0，
所以当x ＞2时，f (x 1)－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x
2＜0，
即f (x 1)＜f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x
2， 因为0＜x 1＜1，0＜1
x 2
＜1，f (x )在(0，1)上单调递增．
所以x 1＜1
x 2
，故x 1x 2＜1.
[题目7] 1.(本小题满分10分)[选修4­4：极坐标系与参数方程]
已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋22t ，y ＝12－2
2
t (t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，
y ＝sin α(α为参数)．在
平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫2，π3.
(1)求椭圆C 的直角坐标方程和点A 在直角坐标系下的坐标； (2)直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，求△APQ 的面积．
解：(1)由⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α化为直角坐标方程得x 24＋y 2
＝1.
因为A 的极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫2，π3，
所以x ＝2cos π3＝1，y ＝2sin π
3＝ 3.
故点A 在直角坐标系下的坐标为(1，3)．
(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋22t ，y ＝12－2
2t
代入x 2
4＋y 2
＝1，化简得10t 2
－6
2t －11＝0.
设此方程两根分别为t 1，t 2.则t 1＋t 2＝325，t 1t 2＝－1110，所以|PQ |＝（t 1＋t 2）2
－4t 1t 2＝825.
因为直线l 的一般方程为x ＋y －1＝0，所以点A 到直线l 的距离为d ＝32＝6
2
. 所以△APQ 的面积为12×825×62＝43
5.
2．(本小题满分10分)[选修4­5：不等式选讲] 设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |，其中a ∈R. (1)若a ＝4，求不等式f (x )≥5的解集；
(2)若f (x )≥4对于x ∈R 恒成立，求a 的取值范围． 解：(1)因为a ＝4，所以f (x )＝|x －1|＋|x －4|. 当x ≤1时，|x －1|＋|x －4|＝－2x ＋5， 解不等式－2x ＋5≥5，得x ≤0；
当1＜x ＜4时，|x －1|＋|x －4|＝3，显然f (x )≥5不成立； 当x ≥4时，|x －1|＋|x －4|＝2x －5， 解不等式2x －5≥5，得x ≥5.
故不等式f (x )≥5的解集为{x |x ≤0或x ≥5}．
(2)因为f (x )＝|x －1|＋|x －a |＝|x －1|＋|a －x |≥|(x －1)＋(a －x )|＝|a －1|， 所以f (x )min ＝|a －1|.
由题意得|a －1|≥4，解得a ≤－3或a ≥5.
所以实数a 的取值范围为(－∞，－3]∪[5，＋∞)．
每日一题 规范练(第五周)
[题目1] (本小题满分12分)已知函数f (x )＝
32sin 2x －cos 2
x －12
. (1)求f (x )的最小值，并写出取得最小值时的自变量x 的集合；
(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝0，若sin B ＝2sin A ，求a ，b 的值． 解：(1)f (x )＝
32sin 2x －1＋cos 2x 2－12＝sin(2x －π
6
)－1. 当2x －π6＝2k π－π2，即x ＝k π－π
6(k ∈Z)时，f (x )min ＝－2.
此时自变量x 的集合为
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π－π
6，k ∈Z .
(2)由f (C )＝0，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1，
又C ∈(0，π)，所以2C －π6＝π2⇒C ＝π
3
.
在△ABC 中，sin B ＝2sin A ，由正弦定理得，b ＝2a .① 又c ＝3，由余弦定理得，(3)2＝a 2＋b 2
－2ab cos π3，
所以a 2
＋b 2
－ab ＝3.② 联立①②得a ＝1，b ＝2.
[题目2] (本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，a n ＞0(n ∈N *
)，S 6＋a 6是S 4＋a 4，
S 5＋a 5的等差中项．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝log 12
a 2n －1，数列⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫
2b n b n ＋1的前n 项和为T n ，求T n . 解：(1)因为S 6＋a 6是S 4＋a 4，S 5＋a 5的等差中项， 所以2(S 6＋a 6)＝S 4＋a 4＋S 5＋a 5， 所以S 6＋a 6－S 4－a 4＝S 5＋a 5－S 6－a 6， 化简得4a 6＝a 4，
设等比数列{a n }的公比为q ，则q 2
＝a 6a 4＝14
，
因为a n ＞0(n ∈N *
)，所以q ＞0， 所以q ＝1
2
，
所以a n ＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －2
.
(2)由(1)得，b n ＝log 12
a 2n －1＝log 12
⎝ ⎛⎭
⎪⎫122n －3
＝2n －3，
设C n ＝
2
b n b n ＋1＝2（2n －3）（2n －1）＝12n －3－1
2n －1
， 所以T n ＝C 1＋C 2＋…＋C n ＝(
1－1－11)＋(11－13)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋(12n －3－12n －1)＝－1－12n －1＝－2n 2n －1
. [题目3] (本小题满分12分)某部门为了了解一企业在生产过程中的用水量情况，对其每天的用水量做了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据，从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图(单位：吨)．若用水量不低于95吨，则称这一天的用水量超标． (1)从这12天的数据中随机抽取3个，求至多有1天的用水量超标的概率；
(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来3天中用水量超标的天数，记随机变量X 为未来这3天中用水量超标的天数，求X 的分布和数学期望．
解：(1)记“从这12天的数据中随机抽取3个，至多有1天的用水量超标”为事件A ， 则P (A )＝C 14C 2
8C 312＋C 3
8C 312＝168220＝42
55
.
(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，易知用水量超标的概率为1
3
.
X 的所有可能取值为0，1，2，3，
易知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13，P (X ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫13k
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫233－k
，k ＝0，1，2，3，
则P (X ＝0)＝827，P (X ＝1)＝4
9
，
P (X ＝2)＝29，P (X ＝3)＝127
.
所以随机变量X 的分布列为
X 0 1 2 3 P
827
49
29
127
数学期望E (X )＝3×1
3
＝1.
[题目4] (本小题满分12分)如图，在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝A 1D ，AB ＝BC ，∠ABC ＝120°.
(1)证明：AD ⊥BA 1；
(2)若平面ADD 1A 1⊥平面ABCD ，且A 1D ＝AB ，求直线BA 1与平面A 1B 1CD 所成角的正弦值． (1)证明：取AD 中点O ，连接OB ，OA 1，BD ，如图1.
图1
因为AA 1＝A 1D ，。