二次函数y=ax2的图像与性质

Ⅰ．背景材料
维纳的故事
维纳（1894～1964年）是最早为美洲数学赢得国际荣誉的大数学家，关于他的轶事多极了．维纳早期在英国，后来赴美国麻省理工学院任职，长达25年．
他是校园中大名鼎鼎的人物，人人都想与他套点近乎．有一次一个学生问维纳怎样求解一个具体问题，维纳思考片刻就写出了答案．实际上这位学生并不想知道答案，可是问他“方法”．学生说：“可是，就没有别的方法了吗？”思考片刻，他微笑着随即写出了另一种解法．
维纳最有名的故事是有关搬家的事．一次维纳乔迁，妻子熟悉维纳的方方面面，搬家前一天晚上再三提醒他．她还找了一张便条，上面写着新居的地址，并用新居的房门钥匙换下旧房的钥匙．第二天维纳带着纸条和钥匙上班去了．白天恰有一人问他一个数学问题，维纳把答案写在那张纸条的背面递给人家．晚上维纳习惯性地回到旧居．他很吃惊，家里没人，从窗子望进去，家具也不见了，掏出钥匙开门，发现根本对不上齿．于是使劲拍了几下门，随后在院子里踱步．突然发现街上跑来一小女孩，维纳对她讲：“小姑娘，我真不走运．我找不到家了，我的钥匙插不进去．”小女孩说道：“爸爸，没错，妈妈让我来找你．”
有一次维纳的一个学生看见维纳正在邮局寄东西，很想自我介绍一番．在麻省理工学院真正能与维纳直接说上几句话、握握手，还是十分难得的．但这位学生不知道怎样接近他为好．这时，只见维纳来来回回踱着步，陷于深思之中．这位学生更担心了，生怕打断了先生的思维，而损失了某个深刻的数学思想．但最终还是鼓足勇气，靠近这个伟人：“早上好，维纳教授！”维纳猛地一抬头，拍了一下前额，说道：“对，维纳！”原来维纳正欲往邮签上写寄件人姓名，但忘记了自己的名字……
悟与问：维纳教授在生活上是如此健忘，在数学上却取得了非凡的成绩，这是为什么？
Ⅱ．课前准备
一、课标要求
1．经历探索二次函数y=ax2和y=ax2＋c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．
2．会作出y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响．
3．能说出y=ax2＋c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
4．体会二次函数是某些实际问题的数学模型．
二、预习提示
1．关键原理：掌握y=ax2＋c中，a与c对二次函数图象的影响；以及y=ax2，与y=ax2＋c的开口方向，对称轴和顶点坐标．
2．预习方法提示：作出y=ax2，y=ax2＋c的图象，观察y=x2的异同，由图象研究其函数的特点，结合图象掌握性质．
三、预习效果反馈
1．一般形式的二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0），当时，为y=ax2＋c的形式；
当
时，即为y=ax 2
的形式．
2．二次函数y=ax 2
＋c 图象的对称轴为 ，顶点坐标为 ，我们可以理解为y=ax 2沿 向 平移了c 个单位长度．
3．二次函数y=2x 2，与y=－2x 2
的图象形状相同，对称轴都是 轴，顶点都是 ，只是 不同，它们的图象关于 对称．
4．二次函数y=ax 2
中，a 不仅可以决定开口方向，也决定
．
Ⅲ．课堂跟讲 一、背记知识随堂笔记
1．二次函数y=ax 2
的对称轴为
，顶点为 ．当a ＞0时，开口向 ；
当x= 时，有最小值 ；在对称轴的 侧，则x 0时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的 侧，即x 0时，y 随x 的增大而 ．当a ＜0时，开口向 ；当x= 时，有最大值 ；在对称轴的左侧，即x 0时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 0时，y 随x 的增大而 ．
2．二次函数y=ax 2＋c 的图象与y=ax 2的图象形状相同，即开口大小方向一致，但在坐标系中的 不同， 也不同，二次函数y=ax 2＋c 的顶点为 ．如果c ＞0，y=ax 2
＋c ，可以由y=ax 2
沿y 轴向 平移c 个单位长度得到．如果c ＜0，y=ax 2
＋c 可以由y=ax 2沿y 轴向 平移c 个单位得到．
二、教材中“？”解答
1．问题（P 42） 解答：首先汽车的速度v ≥0，其次一般说来，每辆汽车都有其最高时速，因此v 不能任意取值，一般应不小于0，不大于其最高时速．
2．问题（P 43） 解答：（1）s=
100
1v 2和s=
50
1v 2的图象都位于s 轴的右侧，函数值都随v 的增大而增大，都经过原点．不同之处，s=50
1
v 2
的图象在s=
100
1v 2
的图象的内侧，说明s=
50
1v 2的函数值的增长速度比较快．（2）36m ．可以通过计算
50
1×602－
100
1×602=36
（m ）得到，也可以由观察图象得到． 3．做一做（P 44） 解答：（1）表格中的数可以是：x=－3，－2，－1，0，1，2，3；y=18，8，2，0，2，8，18．（2）略．（3）二次函数y=2x 2
的图象是一条抛物线，它与二次函数y=x 2的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标都相同；不同之处是：y=2x 2的图象在y=x 2的图象的内侧，说明y=2x 2函数值的增长速度较快．二次函数y=2x 2开口向上，对称轴为y 轴，顶点坐标为（0，0）． 4．议一议（P 45） 解答：（1）二次函数y=2x 2＋1的图象与二次函数y=2x 2的图象形状相同，开口方向，对称轴也都相同，但顶点坐标不同．y=2x 2＋1也是轴对称图象，它的开口向上，对称轴为y 轴，顶点坐标为（0，1）．图象略，只要将y=2x 2的象沿y 轴向上平移1个单位，就可得到y=2x 2
＋1的图象．（2）二次函数y=3x 2
－1的图象与二次函数y=3x 2
的图象形状相同，开口方向、对称轴也都相同，但顶点坐标不同．它也是轴对称图形，其开口向上，对称轴为y 轴，顶点坐标为（0，－1）．实际上，只要将y=3x 2
的图象向下平移1个单位，就可以得到y=3x 2－1的图象．
三、重点难点易错点讲解
重点：二次函数y=ax 2、y=ax 2＋c 的图象和性质，因为它们的图象和性质是研究二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象和性质的基础．我们在学习时结合图象分别从开口方向、对称轴、
顶点坐标、最大（小值）、函数的增减性几个方面记忆分析．
难点：由函数图象概括出y=ax 2、y=ax 2
＋c 的性质．函数图象都由（1）列表，（2）描点、连线三步完成．我们可根据函数图象来联想函数性质，由性质来分析函数图象的形状和位置．
易错点：本节的易错点是忽略y=ax 2＋bx ＋c 中的条件a ≠0，或分析问题不全面等．只有真正理解二次函数的定义和性质才能避免类似错误．
【例1】 已知抛物线y=（m ＋1）x m
m
+2开口向下，求m 的值．
错解：∵抛物线开口向下∴m ＋1＜0．∴m ＜－1．
错解分析：考虑不够全面，只考虑m －1＜0，忽略抛物线是二次函数的图象，自变量x 的次数为2，还应具备m 2＋m=2．
【例2】 k 为何值时，y=（k ＋2）x 6
22--k k
是关于x 的二次函数？
错解：根据题意，得k 2
－2k －6=2．解得k=4，k=－2．∴当k=4或k=－2时，y=（k ＋2）x 6
22--k k
是二次函数．
错解分析：忽略了y=ax 2中的隐含条件a ≠0． 四、经典例题精讲 （一）教材变型题
【例1】 在同一坐标系中，作出函数①y=－3x 2，②y=3x 2，③y=2
1x 2，④y=－
2
1x 2的
图象，并根据图象回答问题：
（1）当x=2时，y=
2
1x 2比y=3x 2大（或小）多少？
（2）当x=－2时，y=－
2
1x 2比y=－3x 2大（或小）多少？
解：图象略．（1）x=2时，据图象y=
2
1x 2=2；x=2时，据图象y=3x 2=12．y=
2
1x 2比y=3x 2
的函数值小10．（2）x=－2时，据图象（也可由函数式计算）y=－2
1x 2=－2；x=－2时，据
图象（也可计算）y=－3x 2=－12．y=－
2
1x 2比y=－3x 2的函数值大10．
（二）学科内综合题
【例2】 已知直线y=－2x ＋3与抛物线y=ax 2
相交于A 、B 两点，且A 点坐标为（－3，m ）．
（1）求a 、m 的值；
（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；
（3）x 取何值时，二次函数y=ax 2中的y 随x 的增大而减小；
（4）求A 、B 两点及二次函数y=ax 2
的顶点构成的三角形的面积．
思维入门指导：待定系数法求表达式，及y=ax 2
的性质和三角形面积综合知识的应用．
（2）∵a=1，∴抛物线的表达式为y=x 2
，其对称轴为y 轴，顶点为（0，0）． （3）∵a=1＞0，对称轴为y 轴，∴当x ＜0时，y 随x 的增大而减小．
∵A 点为（－3，9），∴B 点为（1，1）．
如图2-3-1，作AE ⊥x 轴于点F ，则AE=9，BF=1，EF=4． 则S
梯形AEFB
=
2
1（AE ＋BF ）·EF=
2
1（9＋1）·4=20，
S △AEO =
2
1·3·9=
2
27，S △BOF =
2
1·1·1=
2
1，
S △ABO =S 梯形AEFB
－S △AEO －S △BOF =20－
2
27－2
1=6．
点拨：①两个函数的图象相交，用它们的表达式联立方程组可求出图象的交点坐标．②
在坐标系中，非直角三角形的面积可以用分割，或用可求的图形面积的和差，求出面积．如本题，直线AB 与y 轴交点设为M ，也可用S △ABO = S △AOM －S △BOM 的方法．
（三）应用题
【例3】 有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m ，拱顶距离水面4m ．（1）在如图2-3-2所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h （m ）时，桥下水面的宽度为d （m ），求出将d 表示为k 的函数表达式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m ，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．
思维入门指导：建立坐标系，确定某些点的坐标为突破口．
解：（1）∵抛物线开口向下，对称轴为y 轴，顶点为原点，∴设抛物线表达式为y=ax 2．由题意可知D 点的坐标为（10，－4），则把x=10，y=－4代入y=ax 2
得－4=100a ，∴a=－
25
1．∴
抛物线的表达式为y=－
25
1x 2
．
（2）当水位上升hm 时，水面与抛物线一交点的纵坐标为h －4．把y=h －4代入y=－
25
1x 2中，得x 2=25（4－h ），∴x=±5h -4．∴桥下水面宽为d=10h -4（m ）． （3）当水面宽度为d=18m 时，18=10h -4．解得h=0．76（m ），∴水深将达到的高
度为2＋0．76=2．76（m ）．∴当水深超过2．76m 时，就会影响船只顺利航行． 答：略．
点拨：根据题意首先将实际问题转化为数学模型，即转化为二次函数关系，然后利用二次函数的知识来解决问题．
【例4】 吉林省某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物（如图2-3-3），大门的地面宽度为8米，两侧距离地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为（ ）（精确到0．1米，水泥建筑物的厚度忽略不计）
A ．9．2米
B ．9．1米
C ．9米
D ．5．1米
思维入门指导：适当建立坐标系，确定表达式及点A 、B 坐标．
点拨：适当建立坐标系，建立二次函数关系，将实际问题转化为数学问题． （四）创新题
【例5】 抛物线y=ax 2经过点A （－2，1），不求a 的大小，判断抛物线是否经过点M （2，1）和点N （1，－2）？
思维入门指导：不解a ，可从抛物线性质入手．
解：∵A 的坐标为（－2，1），∴抛物线y=ax 2
的开口向上，即图象都在x 轴的上方． 由抛物线关于y 轴对称可知A 点关于y 轴对称点（2，1），即M 点也在抛物线上，抛物线y=ax 2
经过点M ．
∵抛物线在x 轴上方，∴不可能经过第四象限的点N （1，－2），∴抛物线y=ax 2不经过点N ．
点拨：特殊点应用特殊解法． （五）中考题
【例6】 （2003，武汉，4分）若二次函数y=ax 2
＋c ，当x 取x 1，x 2（x 1≠x 2）时函数值相等，则当x 取x 1＋x 2时，函数值为（ ）
A ．a ＋c
B ．a －c
C ．－c
D ．c
答案：D 点拨：由二次函数y=ax 2
＋c 关于y 轴对称，可知x=x 1、x 2时函数值相等，∴x 1、x 2互为相反数，即x 1＋x 2=0．当x 取0时，代入y=ax 2＋c ，得y=c ．本题巧妙的应用了函数的对称性．
【例7】 （2003，甘肃，3分）已知h 关于t 的函数表达式为h=2
1gt 2
（g 为正常数，
t 为时间），则函数图象为图2-3-5中的（ ）
答案：A 点拨：h=
2
1gt 2，g 为正常数，t 为时间，t ＞0，
2
1g ＞0，h 为t 的二次函数．
Ⅳ．当堂练习（5分钟）
1．直线y=x 与抛物线y=x 2
－2的两个交点的坐标分别是（ ）
A ．（2，2），（1，1）
B ．（2，2），（－1，－1）
C ．（－2，－2），（1，1）
D ．（－2，－2），（－1，－1） 2．若二次函数y=ax 2（a ≠0）的图象过点P （2，－8），则函数表达式为 ． 3．抛物线y=－9
1x 2－1的顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口方向是
．若点（m ，－2）在其图象上，则m 的值是
．
【同步达纲练习】
Ⅴ．课后巩固练习
（12分 100分钟）
一、基础题（1～6题每空2分，7～11题每题3分，12题6分，共49分）
1．抛物线y=－4x 2－4的开口向 ，当x= 时，y 有最 值，y= ． 2．当m= 时，y=（m －1）x
m
m +2－3m 是关于x 的二次函数．
3．抛物线y=－3x 2上两点A （x ，－27），B （2，y ），则x= ，y= ． 4．当m= 时，抛物线y=（m ＋1）x
m
m +2＋9开口向下，对称轴是 ．在对
称轴左侧，y 随x 的增大而 ；在对称轴右侧，y 随x 的增大而 ． 5．抛物线y=3x 2与直线y=kx ＋3的交点为（2，b ），则k= ，b= ． 6．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为 ．
7．在同一坐标系中，图象与y=2x 2的图象关于x 轴对称的是（ ） A ．y=
2
1x 2
B ．y=－2
1x 2
C ．y=－2x 2
D ．y=－x 2
8．抛物线，y=4x 2，y=－2x 2
的图象，开口最大的是（ ） A ．y=
4
1x 2
B ．y=4x 2
C ．y=－2x 2
D ．无法确定
9．对于抛物线y=
3
1x 2和y=－
3
1x 2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（ ） A ．两条抛物线关于x 轴对称
B ．两条抛物线关于原点对称
C ．两条抛物线关于y 轴对称
D ．两条抛物线的交点为原点
10．二次函数y=ax 2
与一次函数y=ax ＋a 在同一坐标系中的图象大致为（ ）
11．已知函数y=ax 2的图象与直线y=－x ＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x 在第一象限内的交点相同，则a 的值为（ ）
A ．4
B ．2
C ．
2
1 D ．
4
1
12．求符合下列条件的抛物线y=ax 2
的表达式： （1）y=ax 2经过（1，2）； （2）y=ax 2与y=
2
1x 2的开口大小相等，开口方向相反；
（3）y=ax 2与直线y=
2
1x ＋3交于点（2，m ）．
二、学科内综合题（8分）
13．如图2-3-7，直线ι经过A （3，0），B （0，3）两点，且与二次函数y=x 2＋1的图象，在第一象限内相交于点C ．求：
（1）△AOC 的面积；
（2）二次函数图象顶点与点A 、B 组成的三角形的面积． 三、学科间综合题（8分） 14．自由落体运动是由于地球引力的作用造成的，在地球上，物体自由下落的时间t （s ）和下落的距离h （m ）的关系是h=4．9t 2．求：
（1）一高空下落的物体下落时间3s 时下落的距离； （2）计算物体下落10m ，所需的时间．（精确到0．1s ） 四、应用题（15题7分，16题4分，17题8分，共19分）
15．已知一个正方形的周长为ιcm ，面积为Scm 2
． （1）求S 与ι之间的函数表达式； （2）画出函数图象；
（3）S 随ι的增大怎样变化？
16．如图2-3-8，一座拱桥为抛物线，其函数表达式为y=－4
1x 2．当水位线在AB 位置
时，水面宽12m ，这时水面离桥顶的高度h 是（ ）
A ．3m
B ．2
6m
C ．43m
D ．9m
17．有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB 时宽20m ．水位上升3m ，就达到警戒线CD ，这时，水面宽度为10m ．
（1）在如图2-3-9所示的坐标系中求抛物线的表达式；
（2）若洪水到来时，水位以每小时0．2m 的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？
五、创新题（16分） （一）动态题
18．如图2-3-10，在矩形ABCD 中，BC=4，AB=2．P 是BC 上一动点，动点Q 在PC 或其延长线上，BP=PQ ，以PQ 为一边的正方形PQRS ，点P 从B 点开始沿射线BC 方向运动．设BP=x ，正方形PQRS 与矩形ABCD 重叠部分的面积为y ．
（1）分别求出0≤x ≤2和2≤x ≤4时，y 与x 之间的函数表达式； （2）在同一坐标系内画出（1）的函数图象． （二）开放题
19．如图2-3-11，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，OA=10，OC=6．
（1）如图（a ），在OA 上选取一点G ，将△COG 沿CG 翻折，使O 点落在BC 边上，记为E ，求折痕CG 所在直线的表达式． （2）如图（b ），在OC 上选取一点D ，将△AOD 沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上，记为E ′．①求折痕AD 所在直线的表达式；②再作E ′F ∥AB 交AD 于F 点．若抛物线
y=－
12
1x 2
＋h 过点F ，求此抛物线的表达式，并判断它与直线AD 的交点的个数．
（3）如图（c ），一般地，在OC 、OA 上选取适当的点D ′、G ′，使纸片沿D ′G ′翻折后，点O 落在BC 边上，记为E ″．请你猜想：折痕D ′G ′所在直线与②中的抛物线会有什么关系？用（1）中的情形验证你的猜想．
[]N
六、中考题（20分）
20．（2003，南京，5分）已知二次函数y=ax 2
－2的图象经过点（1，－1），求这个二次函数的表达式，并判断该函数图象与x 轴交点的个数．
21．（2004，宁安，3分）函数y=x 2－4的图象与y 轴的交点坐标是（ ） A ．（2，0）
B ．（－2，0）
C ．（0，4）
D ．（0，－4）
22．（2003，海南，2分）今年又是海南水果的丰收年，某芒果园的果树上挂满了成熟的芒果，一阵微风吹过，一个熟透的芒果从树上掉了下来．下面图2-3-12的四个图中，能表示芒果下落过程中速度与时间变化关系的图象只可能是（ ）
23．（2003，上海，10分）卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1：11000的比例图上，跨度AB=5cm ，拱高OC=0．9cm ，线段DE 表示拱内桥长，DE ∥AB ，如图2-3-13甲．在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1cm 作为数轴的单位长度建立平面直角坐标系，如图2-3-13乙．
（1）求出图乙中以这一部分抛物线为图象的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）如果DE 与AB 的距离OM=0．45cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长．（备用数据2=1．4，计算结果精确到1m ）
加试题：竞赛趣味题（10分） 1．（4分）在1和1000之间有 个数不是100的倍数． 2．（2003，“TRULY 信利环”全国初中数学竞赛，6分）已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a 是正整数）的图象经过点A （－1，4）与点B （2，1），并且与x 轴有两个不同的交点，则b ＋c 的最大值为
．
参考答案
Ⅱ．三、1．b=0；b=0、c=0 2．Y 轴；（0，c ）；y 轴（对称轴）；上
3．y 轴；（0，0）；开口方向；x 轴 4．开口大小 Ⅲ．一、1．Y 轴；（0，0）；上；0；y=0；左；＜；减小；右；＞；增大；下；0；y=0；＜；增大；＞；减小
2．位置；顶点；（0，c ）；上；下
∴其交点坐标为（2，2）、（－1，－1）．
点拨：求函数图象交点坐标，通常考虑并立方程组求其公共解．
2．y=－2x 2
解：将P （2，－8）代入函数y=ax 2
，得－8=a ·22
，∴a=－2．∴函数表达式为y=－2x 2．
3．（0，－1）；y 轴；向下；±3 解：将（m ，－2）代入表达式y=－
9
1x 2－1，得－
9
1m 2
－1=－2，∴m 2=9，m=±3．
点拨：已知二次函数的函数值，求其自变量值时，由于其对称性，所以通常情况下都为两个值，不要丢漏．
Ⅴ．一、1．下；0；大；－4 点拨：对二次函数y=ax 2＋c （a ≠0）性质的考查．
3．±3；－12 解：将A （x ，－27）代入表达式y=－3x 2
，得－3x 2
=－27，解得x=±3； 将B （2，y ）代入得y=－3·22=－12．
点拨：A （x ，－27）经过计算x 有两个解，这也是和函数图象的对称性一致的，同学们不要丢解．
点拨：由抛物线开口向下，可得m ＋1＜0，又据二次函数定义m 2
＋m=2，求m 的值，得表达式，从而得出其性质．
6．y=－2x 2 解：由抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，可知其表达式为y=ax 2，将点（－1，－2）代入得y=－2x 2
．
7．C 解：因为关于x 轴对称的点的坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数，因此，若x=x 时，y=－y ，代入A 、B 、C 、D 中，与y=2x 2
相同的为C ．另解：根据关于x 轴对称的点的坐标特征，可用特例法即y=2x 2，取一点（1，2）．其关于x 轴对称点为（1，－2），代入A 、B 、C 、D ，只满足C 的表达式．
8．A 解；二次函数y=ax 2
，a 越大，开口越小，a 越小，开口越大．
点拨：a 的正负决定抛物线的开口方向，a 的大小决定抛物线开口的大小． 9．C 点拨：y=
3
1x 2
与y=－
3
1x 2
关于x 轴对称，关于原点对称（中心对称），且都经
过原点（0，0），交点为原点，都是正确的．而两条抛物线本身关于y 轴是对称的，但两抛
物线并不关于y 轴对称．
10．C 解：抛物线开口向上，则a ＞0，直线y=ax ＋a ，应过一、二、三象限，可否定A 、B ；抛物线开口向下，则a ＜0，直线y=ax ＋a ，应过第二、三、四象限，可否定D ，因而选C ．
点拨：本题主要考查二次函数中a 与图象开口方向的关系，同时考查了一次函数系数与其图象在坐标系中的位置关系．
点拨：理解二次函数与y=－x ＋4，y=x 的图象的交点相同，即此点是直线y=－x ＋4，y=x ，y=ax 2三个图象的公共点．
12．解：（1）将点（1，2）代入y=ax 2
，得2= a ·12
，∴a=2．∴y=2x 2
． （2）根据二次函数的性质，可知y=－2
1x 2．
（3）将点（2，m ）代入y=
2
1x ＋3，得m=2
1·2＋3，∴m=4．
将点（2，4）代入y=ax 2，得4= a ·22，∴a=1．∴y=x 2．
∵点C 在第一象限，∴C 点坐标为（1，2）．则S △AOC =
2
1·3·2=3．
（2）y=x 2
＋1的顶点为（0，1），设为点D ，则BD=2．则S △BDC =2
1·BD ·1=
2
1·2·1=1．
三、14．解：（1）h=4．9×32=44．1（m ）． （2）h=10，则10=4．9t 2，t=1．4（s ）． 四、15．解：（1）根据题意，得S=
16
1ι2
（ι＞0）．
（2）列表，图象如答图2-3-1．
（3）∵a=
16
1＞0，ι＞0，∴S 随ι的增大而增大．
点拨：在解决二次函数实际应用问题时，写函数表达式，画图象时，应注意自变量ι的取值范围．
16．D 解：根据图象可以知道，A 、B 两点的横坐标分别为－6，6，则代入y=－4
1x 2
，
解得其纵坐标为y=－
4
1·62=－9，则水面离桥顶的高度h 是9m ．
点拨：找到本题中隐含条件，A 、B 两点的横坐标，而其纵坐标的绝对值就是离开桥顶的高度值．
17．解：（1）设拱桥顶到警戒线的距离为d ．∵抛物线顶点为（0，0），对称轴为y 轴，
∴设其表达式为y=ax 2
．
由题意知C 点坐标为（－5，－d ），A 的坐标为（－10，－d －3），且y=ax 2过A 点、C 点．
（2）∵洪水到来时，水位以每小时0．2m 的速度上升， ∴从警戒线开始再持续
2
.01=5（小时）到拱顶．
点拨：解决实际问题，适当建立坐标系，将实际数据转化为数学条件，二次函数与实际问题结合，是近几年的热点．
五、（一）18．解：（1）根据题意可知，当0≤x ≤2时，重叠部分面积y=x 2；当2≤x ≤4时，设PS 交AD 于点E ，则重叠部分面积y=S 矩形ABCD
－S
矩形ABPE
=8－2x ．
（2）图象如答图2-3-2．
点拨：此题为动态题，掌握动中含静的图形是解题关键．
（二）19．解：（1）由折法知，四边形OCEG 是正方形，∴OG=OC=6．∴G （6，0），C （0，6）．设直线CG 的表达式为y=kx ＋b ，则0=6k ＋b ，6=0＋b ，∴k=－1，b=6．∴直线CG 的表达式为y=－x ＋6．
（2）①在Rt △ABE ′中，BE ′=22610 =8，∴C E ′=2．
设OD=s ，则DE ′=s ，CD=6－s ，∴在Rt △DCE ′中，s 2
=（6－s ）2
＋22
． ∴s=
3
10，则D （0，
3
10）．设AD ：y=k ′x ＋
3
10，由于它过点A （10，0），
∴k ′=－3
1．∴AD 直线为y=－3
1x ＋
3
10．
②∵E ′F ∥AB ，E ′（2，6），设F （2，y F ）．∵F 在AD 上，∴y F =－3
1×2－
3
10=
3
8．
∴F （2，
3
8）．又F 在抛物线上，∴3
8=－
12
1×22＋h ．∴h=3．
∴抛物线的表达式为y=－121x 2＋3． 将y=－
3
1x ＋
3
10代入y=－
12
1x 2＋3，得－
12
1x 2＋
3
1x －
3
1=0．
∵△=（
3
1）2－4×（－
12
1）×（－3
1）=0，∴直线AD 与抛物线只有一个交点．
（3）例如猜想1：折痕所在直线与抛物线y=－
12
1x 2＋3只有一个交点；或猜想2：若
作E ″F ′∥AB ，交D ′G ′于F ′，则F ′在抛物线y=－
12
1x 2＋3上．
验证1：在图（a ）中，折痕为CG ．将y=－x ＋6代入y=－12
1x 2
＋3，得－
12
1x 2
＋x －
3=0．
∵△=1－4×（－3）×（－12
1）=0，∴折痕CG 所在的直线的确与抛物线y=－
12
1x 2
＋3只有一个交点．
验证2：在图（a ）中，D ′即C ，E ″即E ，G ′即G ，交点F ′也为G （6，0）．∵当x=6时，y=－
12
1x 2＋3=－
12
1×62＋3=0，∴G 点在这条抛物线上．
点拨：这是一道综合性的开放题，合理猜想，正确验证是解答本题的关键．
六、20．解：根据题意，得a －2=－1，∴a=1．∴这个二次函数表达式为y=x 2－2．因为这个二次函数开口向上，顶点坐标为（0，－2），所以该函数图象与x 轴有两个交点．
21．D 点拨：图象与y 轴交点的横坐标x=0．
22．C
23．解：（1）∵顶点C 在y 轴上，∴设以这部分抛物线为图象的函数表达式为y=ax 2
＋
10
9．
∵点A （－2
5，0）（或B （
2
5，0））在抛物线上，∴0=a ·（－
2
5）2
＋
10
9，得a=－
125
18．因
此所求抛物线表达式为y=－
125
18x 2
＋
10
9（－
2
5≤x ≤
2
5）．
（2）∵点D 、E 的纵坐标为
20
9，∴20
9=－
125
18x 2＋
10
9，得x=±
24
5．所以点D 的
坐标为（－
24
5，209），点E 的坐标为（245
，209），∴DE=425－（－425）=2
2
5．因此卢浦大桥拱内实际桥长为
2
25×11000×0．01=2752≈385（m ）
． 加试题：1．990 解：在1到1000之间100的倍数有100，200，300，…，1000共有10个，所以不是100的倍数的数共有990个．
2．－4 解：因为二次函数过点A （－1，4），B （2，1）， ∴⎩⎨
⎧=++=+-．
，
1244c b a c b a 解得⎩⎨
⎧-=--=．
，a c a b 231
∵二次函数与x 轴有两个不同交点，∴△=b 2
－4ac ＞0，（－a －1）2
－4a （3－2a ）＞0．
即（9a －1）（a －1）＞0．又∵a 为正整数，a ＞1，∴a ≥2．又∵b ＋c=－3a ＋2≤－4，且当a=2，b=－3，c=－1时，等号成立，故b ＋c 的最大值为－4．。