2017届高三数学一轮总复习(新课标)课件：第五章数列(第33讲)
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二十二页，编辑于星期六：一点 九分。
【点评】数列求和，要重点掌握错位相减法， 高考考查的频率很高.
第二十三页，编辑于星期六：一点 九分。
1.常见的拆项公式有：
(1)n（n1＋1）＝n1－n＋1 1.
(2)（2n－1）1（2n＋1）＝122n1－1－2n1＋1.
(3)
1 n＋1＋
＝ n
n＋1－
n.
n（n＋1）（2n＋1） ＝____________6____________． e．13＋23＋33＋43＋…＋n3＝ _____n_（__n_2＋__1_）__2_＝__n__2（__n_4＋__1_）__2__．
第七页，编辑于星期六：一点 九分。
(2)并项求和法 数 列 {an} 满 足 彼 此 相 邻 的 若 干 项 的 和 为 特 殊 数 列 时，运用___并__项__法______求其前 n 项和． (3)裂项相消 数列{an}满足通项能分裂为两式之差，且分裂后相 邻的项出现正负抵消的规律时，运用___裂__项__相__消__法____ 求和． (4)拆项求和
等差、等比数列时，运用____倒_序__相__加__法______求和 (如等 差数列前 n 项和公式的推理方法)．
2．求和的思想 等差(比)数列直接用公式求和，非等差(比)数列的转 化为等差(比)数列求和．
第九页，编辑于星期六：一点 九分。
一、裂项相消求和 例 1 正项数列{an}满足：a2n－(2n－1)an－2n＝ 0. (1)求数列{an}的通项公式 an； (2)令 bn＝（n＋11）an，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
所以 Sn＝10（11－－1100n）－n＝190(10n－1)－n.
此题也可通过取特殊值 n＝1，n＝2 验证，易 得答案为 D.
第三十页，编辑于星期六：一点 九分。
3. 已 知 数 列 {an} 的 通 项 公 式
an
＝
log3
n n＋1
(n∈N*)，设其前 n 项和为 Sn，则使 Sn<－5 成立的 最小自然数 n 等于( C )
第十九页，编辑于星期六：一点 九分。
【点评】用错位相减法求和时，应注意： (1)要善于识别题目类型，即 an＝(kn＋b)·cn 型； (2)在写出“Sn”与“q·Sn”的表达式时应特别注 意将两式“错项对齐”，以便下一步同类项对齐合 并(相减).
第二十页，编辑于星期六：一点 九分。
〔备选题〕例 4 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝ n2＋2 n，n∈N*.
第十三页，编辑于星期六：一点 九分。
【解析】(1)∵点(Sn，an＋1)在直线 y＝3x＋1 上， ∴an＋1＝3Sn＋1，an＝3Sn－1＋1(n>1)， an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an， ∴an＋1＝4an，n>1， a2＝3S1＋1＝3a1＋1＝3t＋1. ∴当 t＝1 时，a2＝4a1，数列{an}是等比数列.
第二十八页，编辑于星期六：一点 九分。
1.已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝an2＋bn(a、 b∈R)，且 S25＝100，则 a12＋a14 等于( B )
A.16 C.4
B.8 D.不确定
【解析】由数列{an}的前 n 项和 Sn＝an2＋bn(a、 b∈R) ， 可 得 数 列 {an} 是 等 差 数 列 ， S25 ＝
B.12 D.－15
【解析】并项求和 a1＋a2＝a3＋a4＝…＝a9＋ a10＝3，故 a1＋a2＋…＋a10＝3×5＝15.故选 A.
第四页，编辑于星期六：一点 九分。
3.S＝1＋1
＋ 3
1 3＋
＋…＋ 5
1 2 015＋
2 017
2 017－1
＝
2
.
【解析】裂项相消.
第五页，编辑于星期六：一点 九分。
第十六页，编辑于星期六：一点 九分。
三、错位相减法求和 例 3 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝－12n2＋ kn(其中 k∈N＋)，Sn 有最大值 8. (1)确定常数 k，并求 an； (2)求数列9－2n2an的前 n 项和 Tn.
第十七页，编辑于星期六：一点 九分。
【解析】(1)当 n＝k∈N＋时，Sn＝－12n2＋kn 取最大值，
第十一页，编辑于星期六：一点 九分。
【点评】使用裂项相消法求和时，要注意正负 项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏 写未被消去的项.
第十二页，编辑于星期六：一点 九分。
二、拆项、并项求和 例 2 数列{an}的前 n 项和记为 Sn，a1＝t，点(Sn， an＋1)在直线 y＝3x＋1 上，n∈N*. (1)当实数 t 为何值时，数列{an}是等比数列？ (2)在(1)的结论下，设 bn＝log4an＋1，cn＝an＋ bn，Tn 是数列{cn}的前 n 项和，求 Tn.
＋
（1＋n）n 2.
第十五页，编辑于星期六：一点 九分。
【点评】(1)对于不是等差数列、等比数列的前 n 项求和公式直接求和的问题，一般需要将数列进 行合理的拆分成等差数列或等比数列.
(2)一个数列的前 n 项和可两两结合求解，则称 之为“并项求和”法，形如 an＝(－1)nf(n)类型，可 采用两项合并求解.
第33讲 数列求和
第一页，编辑于星期六：一点 九分。
【学习目标】 1.掌握等差、等比数列求和.
2.掌握错位相减，裂项相消法求和.
3.掌握一些特殊数列通过转化，化成等差(比) 求和，掌握转化技巧，提升化归能力.
第二页，编辑于星期六：一点 九分。
【基础检测】
1.数列{1＋2n－1}的前 n 项和为( C )
(4)
1 a＋
b＝a－1 b(
a－
b).
2.拆项求和、错位相减是本节重点.此两法目的 即转化数列为等差(比)求和.
第二十四页，编辑于星期六：一点 九分。
(2015 陕西)设 fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1，x≥0， n∈N，n≥2.
(1)求 f′n(2)； (2)证明：fn(x)在0，23内有且仅有一个零点(记 为 an)，且 0<an－12<1323n.
A.241 B.242 C.243 D.244
【解析】Sn＝log31－log32＋log32－log33＋…＋ log3n－log3(n＋1)＝－log3(n＋1)<－5，解得 n>35 －1＝242.
第三十一页，编辑于星期六：一点 九分。
4.数列{an}满足 an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}
A.1＋2n
B.2＋2n
C.n＋2n－1
D.n＋2＋2n
【解析】由题意得 an＝1＋2n－1，
所以 Sn＝n＋11－－22n＝n＋2n－1，故选 C.
第三页，编辑于星期六：一点 九分。
2.若数列{an}的通项公式是 an＝(－1)n·(3n－ 2)，则 a1＋a2＋…＋a10＝( A )
A.15 C.－12
第十四页，编辑于星期六：一点 九分。
(2)在(1)的结论下，an＋1＝4an，an＋1＝4n，bn＝
log4an＋1＝n，cn＝an＋bn＝4n－1＋n，Tn＝c1＋c2＋…
＋cn＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n)＝(1＋4＋
42
＋
…
＋
4n
－
1)
＋
(1
＋
2
＋
3
＋
…
＋
n)
＝
4n－1 3
(1nan，求数列{bn}的前 2n 项
和.
【解析】(1)当 n＝1 时，a1＝S1＝1；
当
n≥2
时
，
an
＝
Sn
－
Sn
－
1
＝
n2＋n 2
－
（n－1）2＋2 （n－1）＝n.
故数列{an}的通项公式为 an＝n.
第二十一页，编辑于星期六：一点 九分。
（a1＋a225）·25＝100，解得 a1＋a25＝8，所以 a1＋ a25＝a12＋a14＝8.
第二十九页，编辑于星期六：一点 九分。
2.数列 9，99，999，…的前 n 项和为( D )
A.190(10n－1)＋n
B.10n－1
C.190(10n－1)
D.190(10n－1)－n
【解析】因为 an＝10n－1，
数列{an}满足其通项能分拆为若干个特殊数列(等 差数列、等比数列、常数列)的通项的代数和时，运用 ___拆__项____________求和．
第八页，编辑于星期六：一点 九分。
(5)错位相减
数列{an}满足 an＝bn·cn，其中 bn 是等差数列，cn
为等比数列，则{an}前 n 项求和可用“错位相减法”． (6)倒序相加 数列{an}满足与首末距离相等的项的和为常数或
【知识要点】 1．求数列前 n 项和的基本方法 (1)直接求和 ①数列{an}为等差或等比数列时直接运用其前 n 项 和公式求和． 若{an}为等差数列，则 Sn＝（a1＋2an）n＝ _n_a_1_＋__n_（__n_2－__1_）__d__． 若{an}为等比数列，其公比为 q， 则当 q＝1 时，Sn＝___a_1（__n1_a－_1_q_n_）____({an}为常数列)； 当 q≠1 时，Sn＝_______1_－__q______．
即 8＝Sk＝－12k2＋k2＝12k2，故 k2＝16，因此 k ＝4，
从而 an＝Sn－Sn－1＝92－n(n≥2).又 a1＝S1＝72， 所以 an＝92－n.
第十八页，编辑于星期六：一点 九分。
(2)因为 bn＝9－2n2an＝2nn－1， Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1＋22＋232＋…＋n2－n－21＋ 2nn－1， 所以 Tn＝2Tn－Tn＝2＋1＋12＋…＋2n1－2－2nn－1 ＝4－2n1－2－2nn－1＝4－n2＋n－12.
第十页，编辑于星期六：一点 九分。
【解析】(1)由 a2n－(2n－1)an－2n＝0， 得(an－2n)·(an＋1)＝0. 由于{an}是正项数列，所以 an＝2n. (2)由 an＝2n，bn＝（n＋11）an， 得 bn＝2n（n1＋1）＝12n1－n＋1 1. Tn＝121－12＋12－13＋…＋n－1 1－n1＋n1－n＋1 1 ＝121－n＋1 1＝2（nn＋1）.
第二十六页，编辑于星期六：一点 九分。
解法二：当 x≠1 时，fn(x)＝x－1－xnx＋1－1， 则 f′n(x) ＝[1－（n＋1）xn（]（1－1－x）x）2 ＋（x－xn＋1），
可得
f′n(2)
＝
－[1－（n＋1）2n]＋2－2n＋1 （1－2）2
＝
(n
－
1)2n＋1.
(2)证明：因为 fn(0)＝－1<0，
第二十五页，编辑于星期六：一点 九分。
【解析】(1)解法一：由题设 f′n(x)＝1＋2x＋…＋ nxn－1，
所以 f′n(2)＝1＋2×2＋…＋(n－1)2n－2＋n·2n－1， ①
则 2f′n(2)＝2＋2×22＋…＋(n－1)2n－1＋n·2n, ② ①－②，得－f′n(2)＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n ＝11－－22n－n·2n＝(1－n)2n－1， 所以 f′n(2)＝(n－1)2n＋1.
(2)由(1)知，bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前 2n 项和为 T2n，则 T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－ 3＋4－…＋2n).
记 A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…
＋2n，
则 A＝2（11－－222n）＝22n＋1－2， B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n] ＝n. 故数列{bn}的前 2n 项和 T2n＝A＋B＝22n＋1＋n －2.
第六页，编辑于星期六：一点 九分。
②一些常见的前 n 项和公式 n（n＋1）
a．1＋2＋3＋4＋…＋n＝______2_______． b．1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝____n_2______． c．2＋4＋6＋8＋…＋2n＝_____n_2_＋_n_____． d．12＋22＋32＋42＋…＋n2
fn23＝2311－－2323n－1＝1－2×23n≥1－2×232>0，
第二十七页，编辑于星期六：一点 九分。
所以 fn(x)在0，23内至少存在一个零点. 又 f′n(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1>0， 所以 fn(x)在0，23内单调递增， 因此，fn(x)在0，23内有且仅有一个零点 an. 由于 fn(x)＝x－1－xnx＋1－1，所以 0＝fn(an)＝an1－－aannn＋1－ 1，由此可得 an＝12＋12ann＋1>12，故12<an<23， 所以 0<an－12＝12ann＋1<12×23n＋1＝1323n.
【点评】数列求和，要重点掌握错位相减法， 高考考查的频率很高.
第二十三页，编辑于星期六：一点 九分。
1.常见的拆项公式有：
(1)n（n1＋1）＝n1－n＋1 1.
(2)（2n－1）1（2n＋1）＝122n1－1－2n1＋1.
(3)
1 n＋1＋
＝ n
n＋1－
n.
n（n＋1）（2n＋1） ＝____________6____________． e．13＋23＋33＋43＋…＋n3＝ _____n_（__n_2＋__1_）__2_＝__n__2（__n_4＋__1_）__2__．
第七页，编辑于星期六：一点 九分。
(2)并项求和法 数 列 {an} 满 足 彼 此 相 邻 的 若 干 项 的 和 为 特 殊 数 列 时，运用___并__项__法______求其前 n 项和． (3)裂项相消 数列{an}满足通项能分裂为两式之差，且分裂后相 邻的项出现正负抵消的规律时，运用___裂__项__相__消__法____ 求和． (4)拆项求和
等差、等比数列时，运用____倒_序__相__加__法______求和 (如等 差数列前 n 项和公式的推理方法)．
2．求和的思想 等差(比)数列直接用公式求和，非等差(比)数列的转 化为等差(比)数列求和．
第九页，编辑于星期六：一点 九分。
一、裂项相消求和 例 1 正项数列{an}满足：a2n－(2n－1)an－2n＝ 0. (1)求数列{an}的通项公式 an； (2)令 bn＝（n＋11）an，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
所以 Sn＝10（11－－1100n）－n＝190(10n－1)－n.
此题也可通过取特殊值 n＝1，n＝2 验证，易 得答案为 D.
第三十页，编辑于星期六：一点 九分。
3. 已 知 数 列 {an} 的 通 项 公 式
an
＝
log3
n n＋1
(n∈N*)，设其前 n 项和为 Sn，则使 Sn<－5 成立的 最小自然数 n 等于( C )
第十九页，编辑于星期六：一点 九分。
【点评】用错位相减法求和时，应注意： (1)要善于识别题目类型，即 an＝(kn＋b)·cn 型； (2)在写出“Sn”与“q·Sn”的表达式时应特别注 意将两式“错项对齐”，以便下一步同类项对齐合 并(相减).
第二十页，编辑于星期六：一点 九分。
〔备选题〕例 4 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝ n2＋2 n，n∈N*.
第十三页，编辑于星期六：一点 九分。
【解析】(1)∵点(Sn，an＋1)在直线 y＝3x＋1 上， ∴an＋1＝3Sn＋1，an＝3Sn－1＋1(n>1)， an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an， ∴an＋1＝4an，n>1， a2＝3S1＋1＝3a1＋1＝3t＋1. ∴当 t＝1 时，a2＝4a1，数列{an}是等比数列.
第二十八页，编辑于星期六：一点 九分。
1.已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝an2＋bn(a、 b∈R)，且 S25＝100，则 a12＋a14 等于( B )
A.16 C.4
B.8 D.不确定
【解析】由数列{an}的前 n 项和 Sn＝an2＋bn(a、 b∈R) ， 可 得 数 列 {an} 是 等 差 数 列 ， S25 ＝
B.12 D.－15
【解析】并项求和 a1＋a2＝a3＋a4＝…＝a9＋ a10＝3，故 a1＋a2＋…＋a10＝3×5＝15.故选 A.
第四页，编辑于星期六：一点 九分。
3.S＝1＋1
＋ 3
1 3＋
＋…＋ 5
1 2 015＋
2 017
2 017－1
＝
2
.
【解析】裂项相消.
第五页，编辑于星期六：一点 九分。
第十六页，编辑于星期六：一点 九分。
三、错位相减法求和 例 3 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝－12n2＋ kn(其中 k∈N＋)，Sn 有最大值 8. (1)确定常数 k，并求 an； (2)求数列9－2n2an的前 n 项和 Tn.
第十七页，编辑于星期六：一点 九分。
【解析】(1)当 n＝k∈N＋时，Sn＝－12n2＋kn 取最大值，
第十一页，编辑于星期六：一点 九分。
【点评】使用裂项相消法求和时，要注意正负 项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏 写未被消去的项.
第十二页，编辑于星期六：一点 九分。
二、拆项、并项求和 例 2 数列{an}的前 n 项和记为 Sn，a1＝t，点(Sn， an＋1)在直线 y＝3x＋1 上，n∈N*. (1)当实数 t 为何值时，数列{an}是等比数列？ (2)在(1)的结论下，设 bn＝log4an＋1，cn＝an＋ bn，Tn 是数列{cn}的前 n 项和，求 Tn.
＋
（1＋n）n 2.
第十五页，编辑于星期六：一点 九分。
【点评】(1)对于不是等差数列、等比数列的前 n 项求和公式直接求和的问题，一般需要将数列进 行合理的拆分成等差数列或等比数列.
(2)一个数列的前 n 项和可两两结合求解，则称 之为“并项求和”法，形如 an＝(－1)nf(n)类型，可 采用两项合并求解.
第33讲 数列求和
第一页，编辑于星期六：一点 九分。
【学习目标】 1.掌握等差、等比数列求和.
2.掌握错位相减，裂项相消法求和.
3.掌握一些特殊数列通过转化，化成等差(比) 求和，掌握转化技巧，提升化归能力.
第二页，编辑于星期六：一点 九分。
【基础检测】
1.数列{1＋2n－1}的前 n 项和为( C )
(4)
1 a＋
b＝a－1 b(
a－
b).
2.拆项求和、错位相减是本节重点.此两法目的 即转化数列为等差(比)求和.
第二十四页，编辑于星期六：一点 九分。
(2015 陕西)设 fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1，x≥0， n∈N，n≥2.
(1)求 f′n(2)； (2)证明：fn(x)在0，23内有且仅有一个零点(记 为 an)，且 0<an－12<1323n.
A.241 B.242 C.243 D.244
【解析】Sn＝log31－log32＋log32－log33＋…＋ log3n－log3(n＋1)＝－log3(n＋1)<－5，解得 n>35 －1＝242.
第三十一页，编辑于星期六：一点 九分。
4.数列{an}满足 an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}
A.1＋2n
B.2＋2n
C.n＋2n－1
D.n＋2＋2n
【解析】由题意得 an＝1＋2n－1，
所以 Sn＝n＋11－－22n＝n＋2n－1，故选 C.
第三页，编辑于星期六：一点 九分。
2.若数列{an}的通项公式是 an＝(－1)n·(3n－ 2)，则 a1＋a2＋…＋a10＝( A )
A.15 C.－12
第十四页，编辑于星期六：一点 九分。
(2)在(1)的结论下，an＋1＝4an，an＋1＝4n，bn＝
log4an＋1＝n，cn＝an＋bn＝4n－1＋n，Tn＝c1＋c2＋…
＋cn＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n)＝(1＋4＋
42
＋
…
＋
4n
－
1)
＋
(1
＋
2
＋
3
＋
…
＋
n)
＝
4n－1 3
(1nan，求数列{bn}的前 2n 项
和.
【解析】(1)当 n＝1 时，a1＝S1＝1；
当
n≥2
时
，
an
＝
Sn
－
Sn
－
1
＝
n2＋n 2
－
（n－1）2＋2 （n－1）＝n.
故数列{an}的通项公式为 an＝n.
第二十一页，编辑于星期六：一点 九分。
（a1＋a225）·25＝100，解得 a1＋a25＝8，所以 a1＋ a25＝a12＋a14＝8.
第二十九页，编辑于星期六：一点 九分。
2.数列 9，99，999，…的前 n 项和为( D )
A.190(10n－1)＋n
B.10n－1
C.190(10n－1)
D.190(10n－1)－n
【解析】因为 an＝10n－1，
数列{an}满足其通项能分拆为若干个特殊数列(等 差数列、等比数列、常数列)的通项的代数和时，运用 ___拆__项____________求和．
第八页，编辑于星期六：一点 九分。
(5)错位相减
数列{an}满足 an＝bn·cn，其中 bn 是等差数列，cn
为等比数列，则{an}前 n 项求和可用“错位相减法”． (6)倒序相加 数列{an}满足与首末距离相等的项的和为常数或
【知识要点】 1．求数列前 n 项和的基本方法 (1)直接求和 ①数列{an}为等差或等比数列时直接运用其前 n 项 和公式求和． 若{an}为等差数列，则 Sn＝（a1＋2an）n＝ _n_a_1_＋__n_（__n_2－__1_）__d__． 若{an}为等比数列，其公比为 q， 则当 q＝1 时，Sn＝___a_1（__n1_a－_1_q_n_）____({an}为常数列)； 当 q≠1 时，Sn＝_______1_－__q______．
即 8＝Sk＝－12k2＋k2＝12k2，故 k2＝16，因此 k ＝4，
从而 an＝Sn－Sn－1＝92－n(n≥2).又 a1＝S1＝72， 所以 an＝92－n.
第十八页，编辑于星期六：一点 九分。
(2)因为 bn＝9－2n2an＝2nn－1， Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1＋22＋232＋…＋n2－n－21＋ 2nn－1， 所以 Tn＝2Tn－Tn＝2＋1＋12＋…＋2n1－2－2nn－1 ＝4－2n1－2－2nn－1＝4－n2＋n－12.
第十页，编辑于星期六：一点 九分。
【解析】(1)由 a2n－(2n－1)an－2n＝0， 得(an－2n)·(an＋1)＝0. 由于{an}是正项数列，所以 an＝2n. (2)由 an＝2n，bn＝（n＋11）an， 得 bn＝2n（n1＋1）＝12n1－n＋1 1. Tn＝121－12＋12－13＋…＋n－1 1－n1＋n1－n＋1 1 ＝121－n＋1 1＝2（nn＋1）.
第二十六页，编辑于星期六：一点 九分。
解法二：当 x≠1 时，fn(x)＝x－1－xnx＋1－1， 则 f′n(x) ＝[1－（n＋1）xn（]（1－1－x）x）2 ＋（x－xn＋1），
可得
f′n(2)
＝
－[1－（n＋1）2n]＋2－2n＋1 （1－2）2
＝
(n
－
1)2n＋1.
(2)证明：因为 fn(0)＝－1<0，
第二十五页，编辑于星期六：一点 九分。
【解析】(1)解法一：由题设 f′n(x)＝1＋2x＋…＋ nxn－1，
所以 f′n(2)＝1＋2×2＋…＋(n－1)2n－2＋n·2n－1， ①
则 2f′n(2)＝2＋2×22＋…＋(n－1)2n－1＋n·2n, ② ①－②，得－f′n(2)＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n ＝11－－22n－n·2n＝(1－n)2n－1， 所以 f′n(2)＝(n－1)2n＋1.
(2)由(1)知，bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前 2n 项和为 T2n，则 T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－ 3＋4－…＋2n).
记 A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…
＋2n，
则 A＝2（11－－222n）＝22n＋1－2， B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n] ＝n. 故数列{bn}的前 2n 项和 T2n＝A＋B＝22n＋1＋n －2.
第六页，编辑于星期六：一点 九分。
②一些常见的前 n 项和公式 n（n＋1）
a．1＋2＋3＋4＋…＋n＝______2_______． b．1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝____n_2______． c．2＋4＋6＋8＋…＋2n＝_____n_2_＋_n_____． d．12＋22＋32＋42＋…＋n2
fn23＝2311－－2323n－1＝1－2×23n≥1－2×232>0，
第二十七页，编辑于星期六：一点 九分。
所以 fn(x)在0，23内至少存在一个零点. 又 f′n(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1>0， 所以 fn(x)在0，23内单调递增， 因此，fn(x)在0，23内有且仅有一个零点 an. 由于 fn(x)＝x－1－xnx＋1－1，所以 0＝fn(an)＝an1－－aannn＋1－ 1，由此可得 an＝12＋12ann＋1>12，故12<an<23， 所以 0<an－12＝12ann＋1<12×23n＋1＝1323n.