南京市金陵中学2020届高三数学检测卷(7)

4．函数 y＝log2(6＋x－2x2)的单调减区间为___▲_____．(14，2) 5．从 0，1，2，3 这四个数字中一次性随机取两个，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则
所得两位数为偶数的概率为___▲ _____．59
2x＋a，x＞2，
6．设函数
f(x)＝
x＋a2，x≤2．
若
f(x)的值域为
第 1 页，共 2 页
－m2－1≤0 ∴－m2＋2m－2≥－3
，解得 1－
－m2－1＞－m2＋2m－2
2≤m＜12．
13．已知数列{an}满足 a1＝12，an－1－an＝na(nn－＋1a1n)(n≥2)，则数列{an}的通项公式为___▲_____．an＝25nn＋＋23
解析：∵an－1－an＝na(nn－＋1a1n)(n≥2)，∴aan－n－1－1anan＝n(n1＋1)，∴a1n－an1－1＝1n－n＋1 1．
(2)求SS12的最小值．
解 (1)因为 C 在圆上，所以∠ACB＝90°，又∠ABC＝θ，则 AC＝2Rsinθ，BC＝2Rcosθ，
则 S2＝12AC•BC＝2R2sinθcosθ＝R2sin2θ．
(3 分)
第 3 页，共 2 页
设 AB 的中点为 O，连结 MO，NO，则 MO⊥AC，NO⊥BC．
9．若 cos(4π－α)＝35，则 sin2α 的值为___▲_____．－275
→→
→
→
→ →→ →→
10．已知向量 AB 与AC 的夹角为 60°，且|AB|＝3，|AC|＝2，若 AP ＝λ AB ＋ AC，且 AP ⊥ BC ，则实
数 λ 的值为___▲_____．16 11．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(－1，0)，B(1，0)均在圆 C：(x－3)2＋(y－4)2＝r2 外，且圆
R，则实数
a
的取值范围为___▲_____．
(－∞，－1]∪[2，＋∞)
7．函数 f(x)＝x＋
1－2x2的值域为___▲ _____．[－
2， 2
26]
8．已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象上两个相邻最高点与最低点的坐标为，
则这个函数的解析式为___▲ _____．y＝2sin(2x＋π6)
∴a12－a11＝12－13，a13－a12＝13－14，a14－a13＝14－15，…，a1n－an1－1＝1n－n＋1 1．
∴a1n－a11＝12－n＋1 1．∴a1n＝52－n＋1 1．
∴an＝25nn＋ ＋23(n≥2)．经检验，当 n＝1 时也适合此公式．
∴an＝25nn＋ ＋23．
14．若关于 x 的方程 2(x－1)2－x|x－1|＋4ax2＝0 恰有 4 个不同的正根，则实数 a 的取值范围为
st＝2，即
t＝2s，直线
QB 的斜率为
k＝－
s， 3
即有过点 R 且与直线 QB 垂直的直线方程为 y＝ s3x＋t，
即为 y＝
3x＋2，令 s
x＝－2
3
3垂直的直线经过定点，坐标为(－2 3 3，0)． 另解：设斜率，用性质． 19．(本小题满分 16 分)
(5 分)
(7 分) (8 分) (10 分)
所以SS12＝t2－t 1－1＝t－1 1t －1．
(12 分)
因为 t－1t 在(1， 2]上单调增，所以 t－1t ∈(0， 22]，所以t－1 1t －1≥ 2−1，
即
S1的最小值为 S2
2−1．
答
18．(本小题满分 16 分)
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：ax22＋a2y－2 1＝1(a＞1)
③若 a＜0，则由 f'(x)＝0 解得 x＝ln(－a2)．
(4 分) (6 分) (8 分)
当 x＜ln(－a2)时，f'(x)＜0；当 x＞ln(－a2)时，f'(x)＞0，
所以 f(x)在(－∞，ln(－a2))上单调递减，在(ln(－a2)，＋∞)上单调递增．
(10 分)
综上，…
(3)①若 a＝0，则 f(x)＝e2x，所以 f(x)≥0 恒成立．
已知 A，B 两地相距 2R，以 AB 为直径作一个半圆，在半圆上取一点 C，连结 AC，BC，在三角
形 ABC 内种草坪(如图)，M，N 分别为弧的中点，在三角形 AMC､三角形 BNC 上种花，其余是
空地．设花坛的面积为 S1，草坪的面积为 S2，设∠ABC＝θ． (1)用 θ 及 R 表示 S1 和 S2；
金陵中学 2020 届高三数学检测卷(7) 一､填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．) 1．设集合 M＝{x|x2≤4，x∈R}，N＝{0≤x≤2，x∈N}，则集合 M∩N＝____▲____．{0，1，2} 2．若复数21－ ＋b2ii(其中 i 为虚数单位，b∈R)的实部和虚部互为相反数，则 b 的值为____▲____．－23 3．对任意非零实数 a，b，若 a⊗b 的运算原理如下程序框图所示，则 3⊗2 的值为____▲____．2
而|a|＝|b|，则有 2|sin x|＝1，
又 x∈0，π2，则有 sin x＝12，所以 x＝π6．
(2)由于 f(x)＝a·b＝
3sin
xcos
x＋sin2x＝
3 2 sin
2x－12cos
2x＋12
(4 分) (6 分)
第 2 页，共 2 页
＝sin2x－6π＋12，
又 x∈0，π2，则有 2x－6π∈－π6，56π，所以
___▲_____．(0，312)
解析：(思路一)原方程可转化为 4a＝
35xxxx－－22 22－－13，，x0≥＜1x＜1恰有 4 个不同的正根，根据数形结合画图
后即可求得 0＜a＜312．
(思路二)原方程可转化为 2(|x－x 1|)2－|x－x 1|＋4a＝0 恰有 4 个不同的正根，从而转化为方程 2t2－t＋4a
当 2x－6π＝π2，即 x＝π3时，sin2x－π6取最大值 1，f(x)取最大值32；
当 2x－6π＝－π6，即 x＝0 时，sin2x－π6取最小值－12，f(x)取最小值 0．
故 f(x)的值域为0，32．
16．(本小题满分 14 分) 如图，在四棱锥 PABCD 中，AD⊥平面 PAB，AP⊥AB． (1) 求证：CD⊥AP； (2) 若 CD⊥PD，求证：CD∥平面 PAB．
即有直线 PA：y＝ s x＋s，直线 PB 的方程为 y＝－ t x＋t，
3
3
第 4 页，共 2 页
解得交点 P( 3t(＋t－s s)，t2＋sts)． 代入椭圆方程可得33((tt－ ＋ss))22＋2(4t＋s2ts2)2＝1，化简可得 st＝2，
→→ 即有OQ•OR＝st＝2 为定值；
(3)证明：由(2)可得
－2)，则实数 m 的取值范围为___▲_____．[1－ 2，12) 解析：由函数 f(x)是定义在[2－a，3]上的偶函数，得 2－a＋3＝0，∴a＝5．
∴f(－m2－a5)＞f(－m2＋2m－2)，即 f(－m2－1)＞f(－m2＋2m－2)， 由偶函数 f(x)在[－3，0]上单调递增，而－m2－1＜0，－m2＋2m－2＜0
3
a≥－2e4．
3
综上，实数 a 的取值范围为[－2e4，1]．
(16 分)
20．(本小题满分 16 分)
第 5 页，共 2 页
已知两个无穷数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，a1＝1，S2＝4，对任意的 n∈N*，都有 3Sn＋1＝2Sn＋Sn＋2＋an． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若{bn}为等差数列，对任意的 n∈N*，都有 Sn＞Tn．证明：an＞bn； (3)若{bn}为等比数列，b1＝a1，b2＝a2，求满足abnn＋＋22TSnn＝ak(k∈N*)的 n 值．
设函数 f(x)＝ex(ex－a)－a2x． (1) 当 a＝0 时，求曲线 y＝f(x)过点(0，0)的切线方程； (2) 讨论函数 y＝f(x)的单调性； (3) 若 f(x)≥0，求 a 的取值范围．
解 (1)解得切点横坐标为12，切线方程为 y＝2ex．
(2)f'(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)． ①若 a＝0，则 f(x)＝e2x 在(－∞，＋∞)上单调递增． ②若 a＞0，则由 f'(x)＝0 解得 x＝lna． 当 x＜lna 时，f'(x)＜0；当 x＞lna 时，f'(x)＞0， 所以 f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．
所以 CD⊥平面 PAD ①．
因为 AD⊥平面 PAB，AB⊂平面 PAB，所以 AB⊥AD．
又 AP⊥AB，AP∩AD＝A，AP⊂平面 PAD，AD⊂平面 PAD，
所以 AB⊥平面 PAD ②．
由①②得 CD∥AB，又 CD平面 PAB，AB⊂平面 PAB，
所以 CD∥平面 PAB．
(14 分)
17．(本小题满分 14 分)
的左､右顶点分别为 A､B，P 是椭圆 C 上任一点，且点 P 位于第
一象限．直线 PA 交 y 轴于点 Q，直线 PB 交 y 轴于点 R．当点 Q
坐标为(0，1)时，点 R 坐标为(0，2) ．
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(14 分)
→→ (2)求证：OQ• OR 为定值；
(3)求证：过点 R 且与直线 QB 垂直的直线经过定点，并求出该定 点的坐标． 解 (1)由题意可得 A(－a，0)，B(a，0)． 当点 Q 坐标为(0，1)时，点 R 坐标为(0，2)．
(1)若|a|＝|b|，求 x 的值； (2)设函数 f(x)＝a·b，求 f(x)的值域． 解 (1)因为 a＝( 3sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，
所以|a|＝ ( 3sin x)2＋(sin x)2＝2|sin x|，|b|＝ (cos x)2＋(sin x)2＝1，
(12 分)
②若 a＞0，则由(1)得，当 x＝lna 时，f(x)取得最小值 f(lna)＝－a2lna．
由－a2lna≥0，解得 0＜a≤1．
(14 分)
③若 a＜0，则由(1)得，当 x＝ln(－a2)时，f(x)取得最小值 f(ln(－a2))＝a2(34－ln(－a2))．
由
a2(34－ln(－a2))≥0，解得
C 上存在唯一一点 P 满足 AP⊥BP，则半径 r 的值为____▲____．4 解析：点 P 在以 AB 为直径的圆:x2＋y2＝1 上，所以两圆只有一个公共点．
又因为 A，B 两点均在圆 C 外，所以两圆外切，即圆心距 5＝r＋1，得 r＝4．
12．已知函数 f(x)是定义在[2－a，3]上的偶函数，在[0，3]上单调递减，且 f(－m2－a5)＞f(－m2＋2m
设 MO 交 AC 与点 E，则 ME＝MO－OE＝R－B2C＝R－Rcosθ＝R(1－cosθ)，
所以 S△AMC＝12|AC|•|ME|＝R2sinθ(1－cosθ)； 同理可得三角形 BNC 的面积为 R2cosθ(1－sinθ)，
所以 S1＝R2sinθ(1－cosθ)＋R2cosθ(1－sinθ)＝R2(sinθ＋cosθ－2sinθcosθ)． (2)因为SS12＝R2(sinθ＋2Rc2ossinθθ－co2ssθinθcosθ)＝s2insiθn＋θccoossθθ−1， 令 sinθ＋cosθ＝t∈(1， 2]，则 2sinθcosθ＝t2－1．
即有 kPA＝1a，直线 PA：y＝1ax＋1，kPB＝－2a，直线 PA：y＝－2ax＋2，
解得交点 P(a3，43)．
代入椭圆方程可得9aa22＋9(a12－6 1)＝1，解得 a＝ 3，
则椭圆 C 的标准方程为x32＋y22＝1．
(2)证明：设 Q(0，s)，R(0，t)，由椭圆的方程可得 A(－ 3，0)，B( 3，0)，
＝0
1－32a＞0 在(0，1)有两个不等的根，则有4a＞0 ，解得
1＋4a＞0
0＜a＜312．
二､解答题(本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明､证
明过程或演算步骤．)
15．(本小题满分 14 分)
设向量 a＝( 3sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈0，π2．
(8 分)
(10 分) (12 分) (14 分)
证 (1)因为 AD⊥平面 PAB，AP⊂平面 PAB，所以 AD⊥AP．
又 AP⊥AB，AB∩AD＝A，AB⊂平面 ABCD，AD⊂平面 ABCD，
所以 AP⊥平面 ABCD．
又 CD⊂平面 ABCD，所以 CD⊥AP．
(7 分)
(2)因为 CD⊥AP，CD⊥PD，且 PD∩AP＝P，PD⊂平面 PAD，AP⊂平面 PAD，