安徽省示范高中2021届高三数学第一次联考试题 理（含解析）

安徽省示范高中2021届高三第一次联考
数学（理科）
第一卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．
【题文】（1）设是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数, z +z =2, 2z z -=那么z 的虚部是 A.1 .B i ± .1C ± .1D - 【知识点】复数代数形式的乘除运算． L4
【答案解析】C 解析：设z a bi =+，那么z a bi =-，2z z a +=，因此a=1；22
2z z a b ⋅=+=，那么1b =±，因此1z i =±，虚部为1±，应选C.
【思路点拨】利用复数的除法运算化简给出的复数，由共轭复数的概念求解．
【题文】(2)双曲线2
x -2
3y =-1的渐近线的倾斜角为
【知识点】双曲线的简单性质．H6
【答案解析】D 解析：双曲线2
x -
23y =-1
的渐近线为y x =±
，因此倾斜角为566ππ
或，应选D.
【思路点拨】求出双曲线的渐近线方程，再利用斜率与倾斜角的关系，即可得出结论．
【题文】（3）假设x y 、知足
20
2200x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
则z y x =-的最大值为
A.2
B.-2
C.1
D.-1 【知识点】简单线性计划．E5
【答案解析】A 解析：线性可行域如下图，
三个极点坐标别离为（0,2），（2,0），（-1,0），通过上极点时Z 值最大。

应选A.
【思路点拨】作出不等式对应的平面区域，利用线性计划的知识，通过平移即可求z 的最大值． 【题文】 (4)已知,m n 为不同的直线，,αβ为不同的平面，那么以下说法正确的选项是
A. ,////m n m n αα⊂⇒
B. ,m n m n αα⊂⊥⇒⊥
C. ,,////m n m n αβαβ⊂⊂⇒
D. ,n n βααβ⊂⊥⇒⊥
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系．G4 G5
【答案解析】D 解析：A 选项可能有n α⊂，B 选项也可能有n α⊂，C 选项两平面可能相交，应选D. 【思路点拨】别离依照线面平行和线面垂直的性质和概念进行判定即可． 【题文】(5)执行如下图的程序框图，输出的k 值为
A.2
B.3
C.4
D.5 【知识点】程序框图.L1
【答案解析】C 解析：k=0时，cos sin 1A A <=；k=1时，cos sin A A =；k=2时，
cos sin A A <；k=3时，cos sin A A <；k=4时，cos sin A A >；应选C.
【思路点拨】此题考查了程序框图中的当型循环结构，当型循环结构是先判定再执行，知足条件进入循环体，不知足条件算法终止．
【题文】 (6)“09k <<”是“曲线22=1259x y k --与曲线22
=1
25-k 9x y -的焦距相同”的
A.充分而没必要要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也没必要要条件 【知识点】充分必要条件。

A2
【答案解析】A 解析：当09k <<时，曲线22=1259x y k --与曲线22
=1
25-k 9x y -的焦距都是k=0时，曲线22=1259x y k --与曲线22
=125-k 9x y -的焦距相同，应选A.
【思路点拨】进行双向判定即可.
【题文】（7）函数'()y f x =的图像如下图，那么关于函数'()y f x =的说法正确的选项是
A.函数()y f x =又3个极值点
B.函数()y f x =在区间(,4)-∞-单调递增
C.函数()y f x =在区间(2,)-+∞单调递减
D.x=1时函数()y f x =取最大值
【知识点】函数的单调性；函数的极值.B12 B3 【答案解析】C 解析：极值点有两个，A 错误。

(),5-∞-单调递增，B 错误；1x =不是极值点，D 错误. 应选
C.
【思路点拨】利用函数的单调性与极值依次判定即可。

【题文】（8）某产品的广告费用x 万元与销售额y 万元的统计数据如下表
依照上表可得回归方程ˆ
y bx a =+中的b 为9.4据此模型预报广告费用为6万元是，销售额为65.5那么,a m 为 A. 9.1,54a m == B. 9.1,53a m == C. 9.4,52a m == D. 9.2,54a m == 【知识点】回归直线方程.I4
【答案解析】A 解析：y bx a =+过点
()6,65.5得9.1a =，9.49.1y x =+
因直线过均值点因此
7
,422x y =
=，得54m =.应选A.
【思路点拨】利用回归直线方程必过样本的中心点坐标即可.
【题文】 (9)为了取得函数()cos(2)4f x x π=+的图像，只要把函数()1g ()
2x f x '=的图像
A.向左平行移动4π
个单位长度 B. 向右平行移动4π
个单位长度 C. 向左平行移动2π
个单位长度 D. 向右平行移动2π
个单位长度
【知识点】三角函数的图像与性质. C3
【答案解析】 B 解析：()()13sin 2cos 2244g x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫'=
=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭,右移
4
π
得
3cos 2cos 2444y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭.应选B.
【思路点拨】先把
()1
g ()2x f x '=
化简，然后利用平移的方式即可.
【题文】（10）已知集合()(){}
,|,0M x y f x y ==，假设对任意
()111,P x y M
∈，均不存在
()222,P x y M
∈使
得
12120
x x y y +=成立，那么称集合M 为“好集合”，以下集合为“好集合”的是
A.
(){}
,|y lnx 0M x y =-=
B.
()21,|y 104M x y x ⎧⎫
=--=⎨⎬
⎩⎭ C. ()()
{}2
2,|220
M x y x y =
-+-=
D.
(){}
22,|x 210M x y y =--=
【知识点】向量垂直的充要条件；渐近线方程；F3 H6
【答案解析】D 解析：1212221100x x y y op op op op +=⇒=⇒⊥，即存在两点与原点连线相互垂直。

A 存在 B
切线方程为y x =±相互垂直，存在；C 切线方程为y x =±相互垂直，存在 ； D 22
21x y -=渐近线方程为
y x =，倾斜角小于0
45因此不存在. 应选D.
【思路点拨】关于A:1212221100x x y y op op op op +=⇒=⇒⊥，即存在两点与原点连线相互垂直。

A 存在 ; 关于B: B 切线方程为y x =±相互垂直，存在； 关于C:C 切线方程为y x =±相互垂直，存在 ；
关于D: D 22
21x y -=渐近线方程为
y =，倾斜角小于0
45因此不存在.
二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
【题文】（11）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，成立坐标系，两种坐标系中取相同的长
度单位，直线的参数方程为001cos1351sin135x t y t ⎧=+⎨=+⎩（为参数），曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，那么与C 公共
点的个数为
【知识点】参数方程、极坐标方程与一般方程的互化；点到直线的距离公式.N3 H2
【答案解析】2 解析：
()0
1cos135
21sin135
x t t x y y t ⎧=+⎪⇒+=⎨=+⎪⎩为参数，
()2
2
2cos 11
x y ρθ=⇒-+=
，
1d <因此有两个交点.
【思路点拨】先把参数方程、极坐标方程转化为一般方程，再利用点到直线的距离公式即可.
【题文】（12）二项式6
21x x ⎛⎫
+ ⎪
⎝
⎭的展开式中，常数项为 【知识点】二项式定理．J3
【答案解析】15 解析：第1r +项
()
261236
61r
r r
r r
C x
C x x --⎛⎫= ⎪⎝⎭，当4r =时123615r r C x
-=. 【思路点拨】二项式定理的运用，要求展开式的特点项，需要求出通项，从字母的指数入手．
【题文】（13）直线1x =与抛物线
2
4y x =围成图形的面积是 【知识点】定积分的几何意义;微积分大体定理.B13
【答案解析】C 解析：当0y >
时，y =。

1
3
1
2
00
4433
x ==
⎰，
83S =
.
【思路点拨】先计算直线1x =与抛物线
24y x =的交点纵坐标，确信积分上下限，再由定积分的几何意义，将图形面积问题转化为上下两函数差的定积分问题，最后利用微积分大体定理求值即可
【题文】（14）在ABC 中,已知()
223AB CA CB AB =+⋅,那么tan tan A B =
【知识点】正余弦定理;向量的数量积的运算.C8 F3
【答案解析】83 解析：()(
)()222
22
22
2
3
33
AB CA CB AB AB CA CB
CB CA c a b =+⇒=+-⇒=-,
222222222222
tan sin cos 25tan sin cos 2a c b a
A A
B a c b ac B B A b c a b c a b
bc +-+-====+-+-.
【思路点拨】先利用向量的数量积的运算，把()
22
3AB CA CB AB =+⋅化简，找到ABC 三边的关系，再结合
正余弦定理即可.
【题文】（15）已知数列
*123123:,,,...,(0...,3,)
n n A a a a a a a a a n n N ≤<<<<≥∈具有性质P:对任意
,i j ()*
1,,i j n i j N ≤≤≤∈，i
j
a a +与j
i
a
a -两个数中至少有一个是数列A 中的项，那么以下命题正确的选项
是 （写出所有正确答案的序号） 数列A:0，1，3与数列B:0,2,4,6都具有性质P ； 当5n =时，
12345
,,,,a a a a a 成等差数列。

【知识点】命题的真假判定与应用．A2
【答案解析】②③④ 解析：①134,312
+=-=都不是数列A 中的项，命题错误 ②
A 具有性质P n n a a ∴+显然不是数列A 中的项，那么0n n a a ∴-=必然是数列A 中的项
120n a
a a ≤<<
<因此成立。

③A 具有性质
()
1,i n a a i n i N *+<≤∈,不在A 中，那么
n i a a -是数列A 中的项
1221n n n n n n n n a a a a a a a a a a ---<-<-<
-<-
()()1
122312121212n n n n n n n n n n n
n n
a a a a a a a a a na a a a a a a a a a na a a a ---=⎧⎪-=⎪⎪
-=⇒-+++=+++⇒+++=⎨⎪⎪-=⎪⎩ 命题成立
④当5n =时
1212
0,a a a a =-=
542
54253334243325352
422a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -=⎧=+⎧⎪
-=⇒⇒=+⇒-=-⎨⎨
=⎩⎪-=⎩
43352a a a a +>=不是数列A 中的项，那么43a a -是数列A 中的项 143533432a a a a a a a a a <-<-=∴-= 21324354a a a a a a a a ∴-=-=-=- 命题成立.
【思路点拨】依照数列
*123123:,,,...,(0...,3,)
n n A a a a a a a a a n n N ≤<<<<≥∈具有性质P:对任意
,i j ()*
1,,i j n i j N ≤≤≤∈，i j a a +与j i a a -两个数中至少有一个是数列A 中的项，，一一验证，可知①错误，
其余都正确．
三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤． 【题文】（16）（本小题总分值12分）
一档电视闯关节目规定：三人参加，三人同时闯关成功为一等奖，奖金为2000元，三人中有两人闯关成功为二等奖，奖金为1000元，三人中有一人闯关成功为三等奖，奖金为400元，其它情形不得奖。

现有甲乙丙三人
参加此活动，甲乙闯关成功的概率都为12，丙闯关成功的概率为3
4，三人闯关彼此独立。

（1）求得一等奖的概率； （2）求得奖金的数学期望 【知识点】概率；数学期望.K6 K7
【答案解析】(1) 3
16（2）937.5
解析：(1)取得一等奖的概率
11133
22416P =
⨯⨯=
--------------------4分 （2）二等奖的概率
2113113111722422422416P =
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
----------6分
三等奖的概率
3113111111522422422416P =
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
----------8分
不得奖的概率4111122416P =
⨯⨯=
----------10分
奖金的数学期望3751
200010004000937.516161616Ex =⨯
+⨯+⨯+⨯= ----------12分
【思路点拨】
【题文】（17）（本小题总分值12分）
如图，直角三角形ABC 中, 0
ACB=90,24,,,AB BC D E ∠==别离为,AC AB 边的中点。

将ADE ∆沿折DE 起,
使二面角A DE C --的余弦值为1
3，求：
（1）四棱锥A BCDE -的体积; （2）二面角A BE C --的余弦值.
【知识点】线面垂直、面面垂直的判定；棱锥的体积；二面角.G5 G7 G11
【答案解析】
(1) （2
）
解析：,,D E AC AB DE ABC DE AC
⊥（1）因为是边中点，即是中位线，所以,
DE AD
DE DC DE ADC ADC CBED AD DC D ⊥⎫⎪
⊥⇒⊥⇒⊥⎬⎪⋂=⎭面面面
过点A 作AM CD AM CBED ⊥∴⊥面,
因为ADC ∠为二面角A DE C --的平面角，因此
1
cos 3ADC ∠=
----------3分
13A BCDE AM DM V -=
=== ----------6分
B
（2）
1
22DE MC EM BM BE DM BC =⎫
=
⇒=
⇒===⎪=⎭
222BM EM BE ME BE =+⇒⊥，
,AM BE AM ME M BE AME BE
AE ⊥⋂=⇒⊥⇒⊥面 .----------10分
因此AEM ∠为二面角A BE C --的平面角，
cos ME AEM AE ∠=
=.----------12分
【思路点拨】此题考查线面平行，线面垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，
综合性强．
【题文】（18）（本小题总分值12分）
三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边为,,a b c 且cos cos 2
cos cos b C c B
a A a A +=
（1）求A
（2）假设2a =求三角形ABC 周长的最大值。

【知识点】正余弦定理；辅助角公式；解三角形；函数的最值.C7 C8 【答案解析】(1) 0
60（2）6
解析：(1)()cos cos 22cos cos cos sin 2sin 2cos cos b C c B a A b C c B A B C B C A
a A a A +=⇒=+⇒=+⇒+=
得0
60A = ---------------4分
(2),sin sin sin a b c b B c C A B C ==⇒== ----------------6分
)()
)
012sin sin 2sin 120sin 24cos 2l B C C C C C ⎛⎫=+
+=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭
=
24sin 6C π⎛
⎫++ ⎪
⎝⎭ ----------------10分 当
3C π
=
时最大值为6 . ----------------12分
【思路点拨】(1)利用正余弦定理化简即可；（2）先利用正弦定理转化，在求出周长的解析式，最后求出最大值. 【题文】（19）（本小题总分值12分）
数列{}n a 是公比为1
2的等比数列，且21a -是1a 与31a +的等比中项，前n 项和为n S .数列{}n b 是等差数列，18
b =前n 项和
n
T 知足
1
n n T n b λ+=⋅（λ为常数，且1λ=）.
（1）求数列
{}n a 的通项公式及λ的值；
（2）令
12111
...,n n
C T T T =
+++求证：
1
4n n C S ≤
.
【知识点】等差数列的通项公式；不等式的证明；数列求和。

D2 D4
【答案解析】(1)
12n
n a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，1
2λ=（2）观点析 解析：（1）
()
()2
2131111122n
n a a a a a ⎛⎫-=+⇒=⇒= ⎪
⎝⎭ ---------------2分
()()1223881,882216282n d T b d b n T b d d λλλλλ=+⎧=⎧⎪⇒⇒==⇒=⎨⎨
=+=+⎩⎪⎩ ----------------4分
（2）
12
1111111111114223
141n n C T T T n n ⎛⎫⎛⎫
=
+++
=-+-++
=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
1111442n
n S ⎛⎫⎛⎫=- ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ----------------8分
11111111244142n
n n n C S n n ⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
≤⇔-≤
-⇔+≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭ ----------------9分
当1n =时21n
n =+ ----------------10分
当1n >时
()01
211111
n
n n
n n n C C C n n =+=++
+=++
+>+ ----------------12分
【思路点拨】(1)依照题意列出方程组解出,d 即可；（2）先利用裂项法求出n C
，再利用二项展开式证明.
【题文】 (20) （本小题总分值13分）
已知椭圆22122:1x y E a b +=，22
222:2x y E a b +=，过1E 上第一象限上一点P 作1E 的切线，交2E 于A,B 两点。

（1）已知圆222
x y r +=上一点P ()00,x y ，那么过点P ()00,x y 的切线方程为200xx yy r +=，类比此结论，写
出椭圆22
221x y a b +=在其上一点P ()00,x y 的切线方程，并证明.
（2）求证：|AP|=|BP|.
【知识点】椭圆的性质；根与系数的关系.H5 H8
【答案解析】(1) 00221x x y y
a b +=（2） 观点析 解析：(1) 切线方程002
21x x y y
a b +=
在第一象限内，由22221x y a b +=
可得0y y ==-------------2分
椭圆在点P
处的切线斜率20020()b x k y x a y '===- ----------------4分 切线方程为200020(),b x y x x y a y =--+即00221x x y y a b +=。

----------------6分
(2)证明：设()()1122,,,A x y B x y
0024424222222002222220002212202x x y y x b x b a b a b b x x a b y a y y x y a b ⎧+=⎪⎛⎫⎪⇒+-+-=⎨ ⎪⎝⎭⎪+=⎪⎩ ---------------9分
4
02222200012024222222000222202202021221x b y x a b x a b x x x x b y a b x x b a b b x y a a +====+⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭
因此P 为,A B 中点，AP BP = ---------------13分
【思路点拨】(1)利用导数求出斜率后即可求得切线方程；（2）结合根与系数的关系和中点坐标公式可证明.
【题文】（21）（本小题总分值14分）
已知函数()21ln (1)22f x x ax a x =-++-+。

（1）当a>0时，求单调区间；
（2）假设0<x<1,求证：f(1+x)<f(1-x);
（3）假设()()
1122,,,A x y B x y 为函数f(x)的图像上两点，记k 为直线AB 的斜率，1202x x x +=，求证：()0f x k
'>。

【知识点】函数的单调性；函数的单调区间；利用导数证明不等式.B3 B12
【答案解析】(1) 当
()010x f x '<<<时，()f x 单调递减，当()10x f x '>>时，()f x 单调递增（2） 观点
析（3）观点析 解析：（1）()()()()1111ax x f x ax a x x +-'=-++-= ----------------1分
当()010x f x '<<<时，()f x 单调递减 ----------------2分
当()10x f x '>>时，()f x 单调递增 ----------------3分
（2）()()()()11ln 1ln 12f x f x x x x
+--=--++ ---------------4分 令
()()()()2
22ln 1ln 121x g x x x x g x x '=--++⇒=- ----------------5分 ()01,0x g x '<<<，()g x 单调递减，因此()()00g x g <=
因此()()11f x f x +<- ----------------7分
（3）()1221211221ln ln 112
y y x x k a x x a x x x x --==+++--- ----------------8分 ()00011f x ax a x '=-
++- ()()22121021210212121212ln ln ln ln 11211ln ln 2x x x x x x ax a a x x a x x x x x x x x x x x ----++->+++-⇔<⇔->-+-+ ()221
2221211112ln ln 21x x x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭>⇔>++ ----------------11分
设210x x >>令()212211110111x x x t t t x x t x ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=<<⇒=-+ ----------------12分
()()()()21221111ln 2ln 2ln 1ln 12ln 1ln 12011x x x t t t t t t t t x x t x ⎛⎫- ⎪+⎝⎭>⇔>⇔+-->⇔--++<-+
由第二小题结论()()()ln 1ln 120g x x x x =--++<可得。

----------------14分
【思路点拨】此题考查导数的应用，涉及斜率，最大值、最小值的求法，是综合题；关键是明白得导数的符号与单调性的关系，并能正确求出函数的导数，属于难题．。