1.1 消元法解线性方程组及其矩阵表示

1 1
2 a
当2 aa 3 0 即a 2且a -3 有唯一解
当22

aa a
0
3

0
即a 2
有无穷个解
当22

a a
a
0
3

0
即a 3
无解
注： r2 r3 a1 此变换是错的
§1.1 消元法解线性方程组及其矩阵表示
一、消元法解线性方程组 二、用矩阵表示消元的过程 三、线性方程组解的情况
一、消元法解线性方程组及几何意义
例1 解二元线性方程组
xy3 2x y 0

（1.1）
解: 用高斯消元法
（1.1） + 2


（1.2）÷ 3

0 0
2 0
6 0

主元：每行第一个 非零元素
x1 x2 x4 ——非自由未知量
x3
——自由未知量
x1 c 4
令
x3=任意值c，得xx32

c c

3
x4 3
x1 x2 5x3 x4 0,
例3
求解齐次线性方程组
x1 x2 2x3 3x4 3x1 x2 8x3 x4
二、用矩阵表示消元的过程
回顾上述化简消元的过程，我们发现只对方程组进行 了三种变换： （1）交换两个方程的次序； （2）用非零数乘以某个方程； （3）用一个数乘某个方程后加到另一个方程上。 这三个变换称为初等变换。
而且只对方程组的系数和常数项进行运算，而未知量、 ‘+’、‘=’没有变化，故省去。那求解的过程可用 相应的数表表示出来：
x 6 y 2z 4,
（1.2）
（1.2）

-
3
x 2 y z 2,

2 y 2z 6,
4 y z 2,
（1.3）
（1.3）-2
x 2 y z 2,

2 y 2z 6,
（1.4）
1 6 2 4
1 2 1 2 3 8 1 12 1 6 2 4
系数矩阵
增广矩阵
r2 - 3r1 r3 - r1
1 0 0
r2÷2 r3÷5
2 2
1 2
2 6
r3 - 2r2
1 0
2 2
1 2
2 6
4 1 2

0
0
5
列向量的线性组合
当x=1，y=2时，
0 3

可表示为

2 1
和
11的线性组合。
思考：是否所有二维向量方程 xα1+ yα2 =b，都能找出相
应的x、y，使得方程成立？
当左侧向量α1、α2 不共线，其所有的组合生成了整
个平面。故对于所有的右侧向量b，都可找到唯一的x、
10
1 0 0
2 1 0
1 1 1
2 3

r2+r3
2 r1-r3
1 0 0
2 1 0
0 0 1
4 1 2
行阶梯形矩阵：
①下方元素均 为零， ②每个台阶只 有一行，竖线 后第一个数为 非零。
r1-2r2
1 0 0 2 0 1 0 1 0 0 1 2

0, 0,
x1 3x2 9x3 7x4 0.
解: 将系数矩阵初等行变换：
1
A

1 13
1 1 1 3
5 2 8 9
1
3
1 7

1
r2 r1
r3 3r1 r4 r1

0 0 0
1 2 2 4
5 7 7 14

5z 10,
（1.4）÷2 ÷5
x 2 y z 2,

y z 3,
回代易得

z 2,
行阶梯形方程组
（1.5）
（1.5）①-+
x 2y

y

4, 1, z 2,
（1.6）
①-2 （1.6）
x
y
2, 1,
0

0 0
1 2 5 3
2 2 5 3
1 2 3 4
4
1
0
r2 2 r3 5r2
0

63
r4 3r2

0 0
1 1 0 0
2 1 0 0
1 1 2 1
4
0

6 3

1 1 2 1 4
r4r3
1
4
4 8

主元
1 1 5 1


r3 r2

r4 2r2

0 0 0
2 0 0
7 0 0
4
0 0

得，
x1 x2 5x3 x4 0 2x2 7x3 4x4 0
令 x3=c1，x4=c2， （c1，c2为任意常数），得
y，使得组合成立，即线性方程组有唯一解。
当左侧向量α1、α2共线，线性方程组有无穷多个解或
无解。
例2 解三元线性方程组
3x 8y z 12, x 2 y z 2, x 6 y 2z 4,
解: 用高斯消元法
（1.1）
（1.1）

x 2 y z 2, 3x 8y z 12,
1 1 3 2 1
1 1 4
1
1
r2 r1
0
2
1
1 2
0 2 1 1 3
0 2 1 1 3
r3r2
1 0
1 2
3 1
2 1
1 2
0 0 0 0 1
x1 x2 3x3 2x4 1,
同理，我们只对数表进行了三种变换： （1）交换两行次序；记为ri↔rj（行交换）
（2）用非零数乘以某行；记为k×ri（行倍乘） （3）用第j行的k倍加到第i行上。记为ri+k×rj（行倍加）
这三个变换称为初等行变换。
例2 用矩阵表示求解三元线性方程组：
3 1
8 2
1 1
12 2
r1↔r2

x1


3 2
c1

c2
x2

7 2
c1

2c2
x3 c1
x4 c2
x1 x2 3x3 2x4 1,
例4 求解线性方程组 x1 x2 4x3 x4 1,
2x2 x3 x4 3.
解: 将增广矩阵初等行变换：
1 1 3 2 1
得

2x2 x3 x4 2,
0 1.
故方程组无解。
总结：
当有效方程个数 = 未知量个数时，有唯一解；
当有效方程个数 < 未知量个数时，有无穷个解；
当出现类似方程 0=1时， 无解
例5 当a为何值时，下列解线性方程组有唯一解?无解？
无穷多解？
x1 x2 x3 1, 2x1 3x2 ax3 3, x1 ax2 3x3 2.
解向量
单位矩阵E
x1 2, x2 1, x3 2
有唯一解
备注：1）增广矩阵（A,b）只能进行初等行变换。
初等行变换
2）增广矩阵 A,b E, X ,即可得到解X，
但实际上，矩阵行变换到行阶梯形矩阵可更快速求出 解。
3）解齐次线性方程组，只需对系数矩阵A进行初等行 变换即可。

（1.3） -


x y 3 3y 6
x y 3 y2
x 1 y2
（1.2）
（1.3）
（1.4）
二元线性方程组解的几何解释 从行图像来看，
两直线交点（x=1，y=2）就为 方程组的解。
从列图像来看，方程组可表示为向量形式：
x 12 y11 03
当左侧向量α1、α2 、α3不共面，其所有的组合生成了
整个三维空间。故对于所有的右侧向量b，都可找到唯
一的x、y、z，使得组合成立，即线性方程组有唯一解。
当左侧向量α1、α2 、α3共面，线性方程组有无穷多个
解或无解。 右侧向量b在其平面内，线性方程组有无穷多个解。
右侧向量b不在其平面内，线性方程组无解。
????????????????????97963422644121121112????????????????????97963211322111241211????32121rrr??????14133232rrrrrr?????????????????????34330635500222041211????24232352rrrrr??????????????????31000620000111041211????34rr?????????????????00000620000111041211得??????????0033443231xxxxx3有效方程4个未知数故有无穷多个解个未知数故有无穷多个解令x3任意值c得????????3344321xcxcxcx?????????????????00000620000111041211主元

z 2,
（1.7）
三元线性方程组解的几何解释
从行图像来看，
三个平面的交点 （x=2，y=1，z= -2）就为 方程组的解 。
从列图像来看，方程组可表示为向量形式：
3 8 1 12 x1 y 2 z1 2 1 6 2 4
解: 将增广矩阵初等行变换：
1 2 1
1 3 a
1 a 3
1 3 2

r2 2r1 r3 r1

1 0 0
1 1 a 1
1 a2
4
1 1 1
r3 a1r2

1 0 0
1 1 0
1 a2
2 aa 3
2
1

4 3
1 1 6 6
1 2 2 9
1 1 2 7
2
4
4 9

r1 r2
12 r3
1 2

2 3
1 1 3 6
2 1 1 9
1 1 1 7
4 2 92
r2 r3 1 r3 2Fra bibliotek1 r4 3r1
列向量的线性组合
当x=2，y=1，z= -2时，122可表示为 13、

8 2
和
1 1

的线性组合。
4
1 6 2
思考：是否所有三维向量方程 xα1+ yα2 + zα3=b，都能
找出相应的x、y、z，使得方程成立？
0
1
1
1
0

0 0
0 0
0 0
2 0
6 0

得，
x1 x3 4

x2 x4

x3 3
3
0 0
3有效方程4个未知数， 故有无穷多个解
如何求出所有的解呢？
1 1 2 1 4
0 1 1 1 0

0 0
0 0
三、线性方程组解的情况
线性方程组解一共有三种情况：有唯一解，无穷个解，
无解。
2x1 x2 x3 x4 2,
例2
求解线性方程组
4x1x1 x62
2x3 x4 x2 2x3
4, 2x4
4,
3x1 6x2 9x3 7x4 9.
解: 将增广矩阵初等行变换：