[合集3份试卷]2020唐山市高一数学下学期期末达标测试试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为4，且侧棱垂直于底面，正视图是边长为4的正方形，则三棱柱的左视图面积为（）
A ．83
B ．22
C ．3
D ．43
2．已知直线m ，n ，平面α，β，给出下列命题： ①若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β ②若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β ③若m ∥α，n ∥β，且α∥β，且m ∥n ④若m ⊥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ⊥n 其中正确的命题是（ ） A ．②③
B ．①③
C ．①④
D ．③④
3．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的平面几何图形．此图由两个圆构成，O 为大圆圆心，线段AB 为小圆直径．△AOB 的三边所围成的区域记为I ，黑色月牙部分记为Ⅱ，两小月牙之和（斜线部分）部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则（）
A ．123p p p >>
B ．123p p p =+
C ．213p p p >>
D ．123p p p =>
4．根据如下样本数据 x 3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
0.5-
0.5
2.0-
3.0-
可得到的回归方程为y bx a ∧
=+,则（ ） A ．0,0a b ><
B ．0,0a b >>
C ．0,0a b <<
D ．0,0a b <>
5．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC
的面积为
3
，则BC 的长为( )． A ．
3 B ．2
C ．23
D ．3
6．若实数x ，y 满足约束条件02030x y x y x -⎧⎪
++⎨⎪-⎩
，则2x y +的最大值为（ ）
A ．－3
B ．1
C ．9
D ．10
7．不等式31
12x x
-≥-的解集是 A ．3
{|
2}4
x x ≤≤ B ．3
{|
2}4
x x ≤< C ．{|2x x >或3}4
x ≤
D ．3
{|}4
x x ≥
8．已知在三角形ABC 中，2AB BC AC ===，、、A B C 点都在同一个球面上，此球面球心O 到平面
ABC 的距离为
26
3
，点E 是线段OB 的中点，则点O 到平面AEC 的距离是（ ） A ．
3
3
B ．
63
C ．
12
D ．1
9．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以,OA OB 为直径作两个半圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A ．2
1π
-
B ．
122π
- C ．
2π
D ．
1π
10．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（ ） A ．8π
B ．6π
C ．4π
D ．π
11．已知两点()()0,3,4,0A B -，若点P 是圆2220x y y +-=上的动点，则ABP ∆面积的最大值为（ ） A ．13
B ．3
C ．
13
2
D ．
32
12．()f x 为奇函数，当0x >时，()()arccos sin f x x π=-则0x <时，()f x = A ．()arccos sin x B ．()arccos sin x π+ C ．()arccos sin x -
D ．()arccos sin x π--
二、填空题：本题共4小题
13．数列{}n a 中，如果存在k a 使得“1k k a a -<，且1k k a a +<”成立（其中2k ≥，*k N =），则k a 称为{}
n a 的一个“谷值”。

若22,38,3
n n tn n a tn n ⎧--<=⎨--≥⎩且{}n a 存在“谷值”则实数t 的取值范围是__________．
14．已知直线l 过点(3,1)A ，(2,0)B ，则直线l 的倾斜角为______.
15．已知圆22:6440C x y x y +--+=，直线l 被圆所截得的弦的中点为(5,3)P .则直线l 的方程是________（用一般式直线方程表示）.
16．函数arctan y x =，(0,1)x ∈的反函数为__________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数(
)2cos21f x x x -+. （1）求()y f x =在区间()0,π上的单调递增区间； （2）求()y f x =在5,1212ππ⎛⎤
⎥⎝⎦
的值域. 18．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足46n n S a =-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记4323log n n b a ⎛⎫
⎪⎝
⎭=，求满足等式1223111187
88
n n b b b b b b -+++
=的正整数n 的值． 19．（6分）已知()()()2
3222f x x a x a a a R =-+++∈，.
（1）若不等式()2f x >的解集为()()14-∞+∞，
，
，求a 的值； （2）解不等式()0f x ≤.
20．（6分）某购物中心举行抽奖活动，顾客从装有编号分别为0，1，2，3四个球的抽奖箱中，每次取出1个球，记下编号后放回，连续取两次（假设取到任何一个小球的可能性相同）.若取出的两个小球号码相加之和等于5，则中一等奖；若取出的两个小球号码相加之和等于4，则中二等奖；若取出的两个小球号码相加之和等于3，则中三等奖；其它情况不中奖. （Ⅰ）求顾客中三等奖的概率； （Ⅱ）求顾客未中奖的概率.
21．（6分）如图是函数()()(0,0,)2
f x Asin x A ωϕωϕπ
=>≤
+>的部分图象.
（1）求函数()f x 的表达式；
（2）若函数()f x 满足方程()()01f x a a =<<，求在[0,2]π内的所有实数根之和； （3）把函数()y f x =的图象的周期扩大为原来的两倍，然后向右平移
23
π
个单位，再把纵坐标伸长为原来的两倍，最后向上平移一个单位得到函数()y g x =的图象．若对任意的03m ≤≤，方程||()g kx m =在区间50,
6π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上至多有一个解，求正数k 的取值范围． 22．（8分）已知函数()33cos3f x x a x a =-+，且239
f π
⎛⎫
=
⎪⎝⎭
． （1）求a 的值；
（2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 【解析】 【分析】
根据题意，得出该几何体左视图的高和宽的长度，求出它的面积，即可求解. 【详解】
根据题意，该几何体左视图的高是正视图的高，所以左视图的高为4，
又由左视图的宽是俯视图三角形的底边上的高，所以左视图的宽为4sin 6023⋅=， 所以该几何体的左视图的面积为42383S =⨯= 故选A. 【点睛】
本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的
规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解. 2．C 【解析】 【分析】
根据线线、线面和面面有关定理，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】
对于①，两个平面的垂线垂直，那么这两个平面垂直.所以①正确.
对于②，α与β可能相交，此时//m n 并且与两个平面的交线平行.所以②错误. 对于③，直线,m n 可能为异面直线，所以③错误.
对于④，两个平面垂直，那么这两个平面的垂线垂直.所以④正确. 综上所述，正确命题的序号为①④. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查空间线线、线面和面面有关命题真假性的判断，属于基础题. 3．D 【解析】 【分析】
设OA ＝1，则AB = 【详解】
设OA ＝1，则AB =
1
2222
AOB
S
=⨯⨯=，
以AB 中点为圆心的半圆的面积为2
12
ππ⨯=， 以O 为圆心的大圆面积的四分之一为2
124
ππ⨯=， 以AB 为弦的大圆的劣弧所对弓形的面积为π﹣1， 黑色月牙部分的面积为π﹣（π﹣1）＝1， 图Ⅲ部分的面积为π﹣1． 设整个图形的面积为S ， 则p 12S =
，p 12S =，p 32S
π-=． ∴p 1＝p 1＞p 3，
故选D ．
【点睛】
本题考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，正确求出各部分面积是关键，是中档题． 4．A 【解析】
试题分析：依据样本数据描点连线可知图像为递减且在
轴上的截距大于0，所以
．
考点：1．散点图；2．线性回归方程； 5．D 【解析】 【分析】
利用三角形面积公式列出关系式，把AB sinA ，，已知面积代入求出AC 的长，再利用余弦定理即可求出
BC 的长．
【详解】
∵在ABC △中，602A AB =︒=，，且ABC △3
∴13133
222222
AB AC sinA AC ⋅⋅=∴⨯⨯⨯=
， 解得：1AC = ，
由余弦定理得：22221423BC AC AB AC AB cosA =+-⋅⋅=+-= ， 则3BC =． 故选D ． 【点睛】
此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
6．C 【解析】 【分析】
画出可行域，向上平移基准直线20x y +=到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值. 【详解】
画出可行域如下图所示，由图可知，向上平移基准直线20x y +=到()3,3B 的位置，此时目标函数取得最大值为2339⨯+=. 故选C.
【点睛】
本小题主要考查利用线性规划的知识求目标函数的最大值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 7．B 【解析】 试题分析：∵
，∴
31
102
x x -+≤-，即(43)(2)0430{22x x x x x --≤-≤⇒≠-，∴不等式的解集为
3|24x x ⎧⎫
≤<⎨⎬⎩⎭
． 考点：分式不等式转化为一元二次不等式． 8．D 【解析】 【分析】
利用数形结合，计算球的半径，可得半径为2，进一步可得该几何体为正四面体，可得结果. 【详解】 如图
据题意可知：、、A B C 点都在同一个球面上 可知'O 为ABC 的外心，故球心O 必在过'O 且垂直平面ABC 的垂线上 因为2AB BC AC ===， 所以2323
'2323
O C =
⨯⨯=
球心O 到平面ABC 的距离为
26
即26
'OO =
，又2323'23O C =⨯⨯=
所以()2
2'2OC OO OC =
+=
同理可知：2OA OB == 所以该几何体为正四面体， 由点E 是线段OB 的中点 所以,OE AE OE CE ⊥⊥，AE
CE E =
且,AE CE ⊂平面AEC ，故OE ⊥平面AEC 所以点O 到平面AEC 的距离是1OE = 故选：D 【点睛】
本题考查空间几何体的应用，以及点到面的距离，本题难点在于得到该几何体为正四面体，属中档题. 9．A 【解析】
试题分析：设扇形OAB 半径为，此点取自阴影部分的概率是
11
2π
-，故选B.
考点：几何概型.
【方法点晴】本题主要考查几何概型，综合性较强，属于较难题型.本题的总体思路较为简单：所求概率值应为阴影部分的面积与扇形的面积之比．但是，本题的难点在于如何求阴影部分的面积，经分析可知阴影部分的面积可由扇形面积减去以为直径的圆的面积，再加上多扣一次的近似“椭圆”面积．求这类图
形面积应注意切割分解，“多还少补”. 10．C 【解析】
设正方体的棱长为a ，则＝8，∴a ＝ 2.而此正方体的内切球直径为2，∴S 表＝4π＝4π.选C.
11．C 【解析】 【分析】
先求出直线方程，然后计算出圆心到直线的距离d ，根据ABP ∆面积的最大时，以及ABP ∆高最大的条件，可得结果. 【详解】
由()()0,3,4,0A B -，利用直线的截距式 所以直线AB 方程为：143
x y +=- 即34120x y -+=
由圆22
20x y y +-=，即()2
211x y +-=
所以圆心为()0,1C ，半径为1r = 则圆心到直线的距离为()
2
23041128534d ⨯-⨯+=
=
+-
要使ABP ∆面积的最大，则圆上的点P 到 最大距离为135
d r +=
所以ABP ∆面积的最大值为
113135252
S =⨯⨯=
故选：C 【点睛】
本题考查圆与直线的几何关系以及点到直线的距离，属基础题. 12．C 【解析】 【分析】
利用奇函数的定义，结合反三角函数，即可得出结论． 【详解】
()sin x sinx -=-
()()()arccos sin arccos ,x sinx ππ∴--=--
又()arccos arccos απα-=-，
()()()arccos sin arccos x sinx ππ∴--=-- ()()()arccos arccos ,sinx sinx ππ=--=
0x ∴<时，0x ->，
()()()()()arccos sin arccos ,f x f x x sinx π-=-=--=
()arccos(sin )f x x ∴=-
故选：C ． 【点睛】
本题考查奇函数的定义、反三角函数，考查学生的计算能力，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题 13．(6,0)- 【解析】 【分析】
求出12a t =--,282a t =--,383a t =--,当3n ≥,0t >递减,0t <递增,分别讨论
6t =-,6t <-,60t -<<是否存在“谷值”,注意运用单调性即可.
【详解】
解：当3n <时,有12a t =--,282a t =--, 当3n ≥,0t >递减,0t <递增,且383a t =--. 若0t =时,有1234...a a a a >===,则不存在“谷值”； 若0t >时,1234...a a a a >>>>,则不存在“谷值”；
若0t <时,①6t =-,1234...a a a a =<<<则不存在"谷值"； ②6t <-,1234...a a a a <<<<则不存在"谷值"； ③60t -<<,1234...a a a a ><<<存在"谷值"且为2a . 综上所述,t 的取值范围是(6,0)- 故答案为：(6,0)-
【点睛】
本题考查新定义及运用,考查数列的单调性和运用,正确理解新定义是迅速解题的关键,是一道中档题. 14．
π4
【解析】 【分析】
根据两点求斜率的公式求得直线l 的斜率，然后求得直线的倾斜角. 【详解】 依题意10
132AB k -==-，故直线l 的倾斜角为π4
. 【点睛】
本小题主要考查两点求直线斜率的公式，考查直线斜率和倾斜角的对应关系，属于基础题. 15．2130x y +-= 【解析】 【分析】
将圆C 的方程化为标椎方程，找出圆心坐标与半径r ，根据垂径定理得到直线CP 与直线l 垂直，根据直线CP 的斜率求出直线l 的斜率，确定出直线l 的方程即可． 【详解】
由已知圆的方程可得()()2
2
329x y -+-=， 所以圆心()3,2C ，半径为3， 由垂径定理知：直线l ⊥直线CP ， 因为直线CP 的斜率321
532
CP k -==-， 所以直线l 的斜率1
2l CP
k k =-
=-， 则直线l 的方程为()325y x -=--， 即2130x y +-=.
故答案为：2130x y +-=. 【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 16．tan ,(0,)4
y x x π
=∈
【解析】 【分析】
将函数变形为()x f y =的形式，然后得到反函数，注意定义域. 【详解】
因为arctan y x =，所以tan x y =，则反函数为：tan y x =且(0,)4
x π
∈.
【点睛】
本题考查反三角函数的知识，难度较易.给定定义域的时候，要注意函数定义域. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17． (1) 0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦和5,6π
π⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
. (2) (]1,3 【解析】 【分析】
（1）利用辅助角公式可将函数化简为()2sin 216f x x π⎛
⎫
=-
+ ⎪⎝
⎭
；令()2222
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤-
≤+
∈可求出()f x 的单调递增区间，截取在()0,π上的部分即可得到所
求的单调递增区间；（2）利用x 的范围可求得26
x π
-的范围，对应正弦函数的图象可求得sin 26x π⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭
的范围，进而得到函数的值域. 【详解】
（1）()2cos 212sin 216f x x x x π⎛⎫
=-+=-+ ⎪⎝
⎭
令()2222
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤-
≤+
∈，解得：()6
3
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈
令0k =，可知()f x 在0,3π⎛⎤
⎥⎝⎦
上单调递增
令1k =，可知()f x 在5,6ππ⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
上单调递增 ()y f x ∴=在()0,π上的单调递增区间为：0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦和5,6ππ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
（2）当5,1212x ππ⎛⎤∈
⎥⎝⎦时，220,63x ππ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦ (]sin 20,16x π⎛
⎫∴-∈ ⎪⎝⎭
(]2sin 211,36x π⎛
⎫∴-+∈ ⎪⎝
⎭
即()y f x =在5,1212ππ⎛⎤
⎥⎝
⎦的值域为：(]1,3
本题考查正弦型函数单调区间和值域的求解问题；解决此类问题的常用方法是采用整体对应的方式，将
x ωϕ+整体对应正弦函数的单调区间或整体所处的范围，从而结合正弦函数的知识可求得结果.
18．（1）1
423n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭
；（2）88n =
【解析】 【分析】
（1）首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；
（2）先求出=n b n ，再利用裂项相消法求出数列的和，解出n 即可． 【详解】
（1）由n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足46n n S a =-． 当1n =时，1146S a =-，得12a =．
当2n ≥时，()()111464644n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，得14
3
n n a a -=， 所以数列{}n a 是以2为首项，以
4
3
为公比的等比数列， 则数列{}n a 的通项公式为1
423n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭
．
（2）由443324log log 33n
n n b a n ⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
得
()1223
111
111
1
1223
1n n b b b b b b n n
-+++
=+++⨯⨯-
1111
112231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
11n =-
由187
188
n -
=，解得88n =． 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式的求法，裂项相消法求数列的和，属于基础题．
19．（1）1a =；（2）2a <时，解集为[2],2a a +，2a =时，解集为{4}，2a >时解集为[2,2]a a +． 【解析】 【分析】
（1）由一元二次不等式的解集一一元二次方程的解之间的联系求解； （2）按2a 和2a +的大小分类讨论．
（1）由题意2
2(32)2420x a x a a -+++->的解集为()()14-∞+∞，
，
， 则方程22
(32)2420x a x a a -+++-=的解为1和4， ∴2
3214
24214
a a a +=+⎧⎨
+-=⨯⎩，解得1a =； （2）不等式()0f x ≤为(2)(2)0x a x a ---≤，
22a a =+时，2a =，此时不等式解集为{4}，
2a >时，22a a >+，22a x a +≤≤，
当2a <时，22a a <+，22a x a ≤≤+。

综上，原不等式的解集：2a <时，解集为[2],2a a +，2a =时，解集为{4}，2a >时解集为[2,2]a a +． 【点睛】
本题考查解一元二次不等式，掌握三个二次的关系是解题关键，解题时注意对参数分类讨论． 20．（Ⅰ）1
4
； （Ⅱ）
716
. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）利用列举法列出所有可能,设事件A 为“顾客中三等奖”,的事件.由古典概型概率计算公式即可求解. （Ⅱ）先分别求得中一等奖、二等奖和三等奖的概率,根据对立事件的概率性质即可求得未中奖的概率. 【详解】
（Ⅰ）所有基本事件包括
()()()()()()()()0,0,0,1,0,2,0,3,1,0,1,1,1,2,1,3
()()()()()()()()2,0,2,1,2,2,2,3,3,0,3,1,3,2,3,3共16个
设事件A 为“顾客中三等奖”,事件A 包含基本事件()()()()0,3,1,2,2,1,3,0共4个, 所以41()164
P A =
=. （Ⅱ）由题意,中一等奖时“两个小球号码相加之和等于5”,这一事件包括基本事件()()2,3,3,2共2个 中二等奖时,“两个小球号码相加之和等于4”,这一事件包括基本事件()()()1,3,2,2,3,1共3个 由（Ⅰ）可知中三等奖的概率为41()164
P A == 设事件B 为“顾客未中奖” 则由对立事件概率的性质可得
2347
()1()116161616
P B P B ⎛⎫=-=-++= ⎪⎝⎭
所以未中奖的概率为7
16
. 【点睛】
本题考查了古典概型概率的计算方法,对立事件概率性质的应用,属于基础题. 21．（1）()sin 23f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
（2）答案不唯一，具体见解析（3）105
k ≤
＜ 【解析】 【分析】
（1）根据图像先确定A,再确定w ，代入一个特殊点再确定ϕ． （2）根据（1）的结果结合图像即可解决．
（3）根据（1）的结果以及三角函数的变换求出()y g x =即可解决． 【详解】
解：（Ⅰ）由图可知：51,
2632
T A πππ==-=，即T π=， ()()2,sin 2f x x ωϕ∴=∴=+又由图可知：,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
是五点作图法中的第三点，
23π
ϕπ∴⨯
+=，即()3,sin 23f x x πϕ⎛
⎫=∴=+ ⎪⎝
⎭．
（Ⅱ）因为23f x sin x π
=+（
）（）的周期为π，23
f x sin x π
=+（）（）在[0]2π，
内恰有2个周期.
⑴当2
a 0＜时，方程23sin
x a π+=（）在[]0,2π内有4个实根， 设为12x x 、34x x 、、，结合图像知1276x x π+= 34196
x x π
+=， 故所有实数根之和为133
π
；
⑵当a 时，方程23sin
x a π+=（）在[]0,2π内有5个实根为70266ππππ，，，，， 故所有实数根之和为133
π
；
⑶1a ＜时，方程23sin
x a π+=（）在[]0,2π内有4个实根， 设为12x x 、34x x 、、，结合图像知126
x x π
+= 34136
x x π
+=
， 故所有实数根之和为
73
π
；
综上：当3
2
a ≤
0＜时，方程23sin
x a π+=（）所有实数根之和为133π ； 当
3
1a ＜＜时，方程23sin
x a π+=（）所有实数根之和为73π ； （Ⅲ）213
g x sin x π
=+（
）（﹣）， 函数||y g x =（
）的图象如图所示：
则当||y g x =（
）图象伸长为原来的5倍以上时符合题意， 所以105
k ≤＜． 【点睛】
本题主要考查了正弦函数的变换，根据图像确定函数，方程与函数．在解决方程问题时往往转化成两个函数图像交点的问题解决．本题属于中等题． 22．（1）1a =；（2）最小正周期为23
T π=,单调递增区间为222,3939k k ππππ⎡⎤
-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【解析】 【分析】 （1）因为239
f π
⎛⎫=
⎪⎝⎭223sin 3cos 3399a a ππ⎛⎫⎛⎫
⨯
-⨯
+= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭
，化简解方程即得1a =．
（2）由（1）可得()3sin3cos312sin 316f x x x x π⎛
⎫-+=-+ ⎪⎝
⎭求出函数的最小正周期，再利用复合函数和三角函数的图
像和性质求函数的单调递增区间得解. 【详解】
解：（1）因为239f π⎛⎫= ⎪⎝⎭223sin 3cos 3399a a ππ⎛⎫⎛
⎫⨯-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
所以3322a a ++=，即33
322
a +=，解得1a =．
（2）由（1）可得()3sin3cos312sin 316f x x x x π⎛
⎫=-+=-+ ⎪⎝
⎭，
则()f x 的最小正周期为23
T π
=． 令2322
6
2
k x k π
π
π
ππ-
≤-
≤+
，k Z ∈，
解得
2223939
k k x ππππ
-≤≤+，k Z ∈， 故()f x 的单调递增区间为222,3939k k ππππ⎡⎤
-+⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈． 【点睛】
本题主要考查三角恒等变换和三角求值，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于基础题.
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是 A ．11y x
=
- B ．cos y x =
C ．ln(1)y x =+
D ．2x y -=
2．已知sin 0θ<，tan 0θ>，那么θ是（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．函数()()
sin 0,0,y A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图像如图所示，则该函数的解析式为（ ）
A ．22sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
B ．2sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
C ．2sin 23x y π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭ D ．2sin 23y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
4．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1500石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得250粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为多少石？ A ．180
B ．160
C ．90
D ．360
5．己知关于x 的不等式21x a x -++≥解集为R ，则突数a 的取值范围为( ) A ．](),13,⎡-∞⋃+∞⎣ B ．[]1,3 C ．](
),31,⎡-∞-⋃-+∞⎣ D ．[]3,1--
6．已知1x >，则4
1
x x +-的最小值为 A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
7．已知样本9,10,11,,x y 的平均数是10，方差是2，则xy 的值为（ ） A ．88
B ．96
C ．108
D ．110
8．在等比数列{}n a 中，21
2
a =，68a =，则4a =（ ） A ．4 B ．2 C ．4±
D ．2±
9．己知某三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，则该三棱锥的体积为（ ）
A ．
22
3
B ．
23
3
C ．22
D ．23
10．数列{a n }的通项公式a n ＝1
n n ＋＋，若{a n }前n 项和为24，则n 为( )．
A ．25
B ．576
C ．624
D ．625
11．执行如图所示的程序框图,若输入的6n =，则输出S =
A ．
514
B ．
13
C ．
2756
D ．
310
12．设函数()11
3cos 262
6f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()y f x =( )
A ．在0,
6π⎛⎫
⎪
⎝⎭
单调递增，且其图象关于直线6x π=对称 B ．在0,3π⎛⎫
⎪⎝⎭单调递增，且其图象关于直线3
x π=对称
C ．在0,
6π⎛⎫
⎪
⎝⎭
单调递减，且其图象关于直线6x π=对称 D ．在0,3π⎛⎫
⎪⎝⎭单调递增，且其图象关于直线3x π=对称
二、填空题：本题共4小题
13．等比数列{}n a 中首项12a =，公比()
*
+13,++720,,n n m q a a a n m N n m =+⋅⋅⋅=∈<，则
n m +=______.
14．数列{n a }的前n 项和为n S ，若1cos ()2
n n a n n N π
*=+∈，则{n a }的前2019项和2019S =____. 15．已知ABC ∆中，3A B C +=，且
22sin c
C
=，则ABC ∆面积的最大值为__________. 16．按照如图所示的程序框图，若输入的x 值依次为1-，0，1，运行后，输出的y 值依次为1y ，2y ，3y ，则123y y y ++=________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图是某设计师设计的Y 型饰品的平面图，其中支架OA ，OB ，C O 两两成120，C 1O =，C AB =OB+O ，
且OA >OB ．现设计师在支架OB 上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M ，且M 与OB 长成正比，比例系数为k （k 为正常数）；在C ∆AO 区域（阴影区域）内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N ，且N 与C ∆AO 的面积成正比，比例系数为43k ．设x OA =，y OB =．
（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围； （2）求N-M 的最大值及相应的x 的值．
18．某校为创建“绿色校园”，在校园内种植树木，有A 、B 、C 三种树木可供选择，已知这三种树木6年内的生长规律如下：
A 树木：种植前树木高0.84米，第一年能长高0.1米，以后每年比上一年多长高0.2米；
B 树木：种植前树木高0.84米，第一年能长高0.04米，以后每年生长的高度是上一年生长高度的2倍；
C 树木：树木的高度()f t （单位：米）与生长年限t （单位：年，t ∈N ）满足如下函数：0.52
7
()1e t f t -+=+（(0)f 表示种植前树木的高度，取e 2.7≈）．
（1）若要求6年内树木的高度超过5米，你会选择哪种树木？为什么？ （2）若选C 树木，从种植起的6年内，第几年内生长最快？
19．（6分）有一款手机，每部购买费用是5000元，每年网络费和电话费共需1000元；每部手机第一年不需维修，第二年维修费用为100元，以后每一年的维修费用均比上一年增加100元.设该款手机每部使用x 年共需维修费用()f x 元，总费用()g x 元.（总费用=购买费用+网络费和电话费+维修费用） （1）求函数()f x 、()g x 的表达式：
（2）这款手机每部使用多少年时，它的年平均费用最少？
20．（6分）正项数列{}n a 的前n 项和Sn 满足：222(1)()0n n S n n S n n -+--+=
(1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)令221(2)n n n b n a +=
+，数列{bn}的前n 项和为Tn ，证明：对于任意的n ∈N*，都有Tn ＜
5
64
. 21．（6分）已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且22n n S a =-，数列{}n b 满足：对于任意n *∈N ，有
()11122122n n n a b a b a b n +++
+=-+.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求数列{}n b 的通项公式，若在数列{}n b 的两项之间都按照如下规则插入一些数后，构成新数列{}n c ：
n b 和1n b +两项之间插入n 个数，使这2n +个数构成等差数列，求2017c ；
（3）若不等式
16
25n n
p b a ≤-成立的自然数n 恰有3个，求正整数p 的值．
22．（8分）如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援？ （角度精确到1°
，参考数据：sin 41︒≈
cos 41︒≈
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D 【解析】 试题分析：1
1y x
=
-在区间()1,1-上为增函数；cos y x =在区间()1,1-上先增后减；()ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数；2x
y -=在区间()1,1-上为减函数，选D. 考点：函数增减性 2．C 【解析】 【分析】
根据sin 0θ<,tan 0θ>, 可判断θ所在象限. 【详解】
sin 0θ<,θ在三四象限.tan 0θ>, θ在一三象限，故θ在第三象限
答案为C 【点睛】
本题考查了三角函数在每个象限的正负，属于基础题型. 3．A 【解析】 【分析】
根据图象求出,,A ωϕ即可得到函数解析式. 【详解】 显然2A =，
因为
5212122T πππ
=+=，所以T π=，所以222T ππωπ
===， 由()212f π
-=得2sin[2()]212
π
ϕ⨯-
+=，
所以2,6
2
k π
π
ϕπ-
+=+
k Z ∈，即223
k π
ϕπ=+，k Z ∈， 因为0||ϕπ<<，所以23
ϕπ=， 所以2()2sin(2)3
f x x π=+. 故选：A 【点睛】
本题考查了根据图象求函数解析式，利用周期求ω，代入最高点的坐标求ϕ是解题关键，属于基础题. 4．A 【解析】 【分析】
根据数得250粒内夹谷30粒，根据比例，即可求得结论。

【详解】
设批米内夹谷约为x 石，则
302501500
x
=， 解得：180x = 选A 。

【点睛】
此题考查简单随机抽样，根据部分的比重计算整体值。

5．C 【解析】 【分析】
利用绝对值的几何意义求解，即2x a x -++表示数轴上x 与a 和－2的距离之和，其最小值为2a +． 【详解】
∵22x a x a -++≥+，∴由21x a x -++≥解集为R ，得21a +≥，解得31a a ≤-≥-或． 故选C ． 【点睛】
本题考查绝对值不等式，考查绝对值的性质，解题时可按绝对值定义去绝对值符号后再求解，也可应用绝对值的几何意义求解．不等式21x a x -++≥解集为R ，可转化为2x a x -++的最小值不小于1，这是解题关键．
6．C 【解析】 【分析】
由1x >，得10x ->，则441111
x x x x +=-++--，利用基本不等式，即可求解． 【详解】
由题意，因为1x >，则10x ->，
所以44111511x x x x +
=-++≥=--， 当且仅当411
x x -=-时，即3x =时取等号，
所以4
1
x x +
-的最小值为5，故选C ． 【点睛】
本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，合理构造是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 7．B 【解析】 【分析】
根据平均数和方差公式列方程组，得出x y +和2
2x
y +的值，再由
()
()2
222
x y x y xy +-+=
可求得xy 的值．
【详解】
由于样本的平均数为10，则有
91011105
x y
++++=，得20x y +=，
由于样本的方差为2，有()()2
2
101101025
x y +++-+-=，得()()2210108x y -+-=，
即()2
2
202008x y x y +-++=，2
2
208x y ∴+=，因此，()
()2
22962
x y x y xy +-+=
=，
故选B ． 【点睛】
本题考查利用平均数与方差公式求参数，解题的关键在于平均数与方差公式的应用，考查计算能力，属于中等题． 8．B 【解析】 【分析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的定义知4a 与2a 同号，再利用等比中项的性质可求出4a 的值. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，则
24
2
0a q a =>，21
02
a =
>，40a ∴>. 由等比中项的性质可得2
4261
842
a a a ==⨯=，因此，42a =，故选：B. 【点睛】
本题考查等比中项性质的应用，同时也要利用等比数列的定义判断出项的符号，考查运算求解能力，属于中等题. 9．B 【解析】 【分析】
先找到三视图对应的几何体原图，再求几何体的体积. 【详解】
由题得三视图对应的几何体原图是如图所示的三棱锥A-BCD ，
所以几何体的体积为1122233323
V =⋅⋅⋅=. 故选B 【点睛】
本题主要考查三视图找到几何体原图，考查三棱锥体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 10．C 【解析】
a n
＝－，前n 项和S n ＝－[(1)＋)]＋…＋＝
－1＝24，故n ＝624.故选C.
11．B 【解析】 【分析】
首先确定流程图所实现的功能，然后利用裂项求和的方法即可确定输出的数值. 【详解】
由流程图可知，程序输出的值为：1111023344556
S =++++⨯⨯⨯⨯， 即1111111123344556S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111263=-=. 故选B. 【点睛】
本题主要考查流程图功能的识别，裂项求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．B 【解析】 【分析】
先将函数()f x 化简，再根据三角函数的图像性质判断单调性和对称性，从而选择答案. 【详解】
()11
cos 2626f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
111
2cos 26226x x ππ⎤⎛⎫⎛⎫=+++⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦
1
2sin 2
3x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
122,2232
k x k k Z π
ππ
ππ-
≤
+≤+∈ 544,33
k x k k Z ππππ-≤≤+∈
根据选项有，当0k =时，在()f x 在0,3π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增.
又
1,232
x k k Z ππ
π+=+∈ 即2,3
x k k Z π
π=+
∈为()f x 的对称轴.
当0k =时，3
x π
=为()f x 的对称轴.
故选：B 【点睛】
本题考查()sin y A ωx φ=+的单调性和对称性质，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题 13．9 【解析】 【分析】
根据等比数列求和公式，将+1++720n n m a a a +⋅⋅⋅=进行转化，然后得到关于n 和m 的等式，结合
*,,n m N n m ∈<，讨论出n 和m 的值，得到答案.
【详解】
因为等比数列{}n a 中首项12a =，公比3q =，
所以1,,,n n m a a a +⋅⋅⋅成首项为1
23n n a -=⨯，公比为3的等比数列，共1n m -+项，
所以()
11+12313++27013
n m n n n m a a a --+⨯-+⋅⋅⋅==-
整理得1
1
720
3
13n m n -+--=
因为*
,,n m N n m ∈<
所以可得，等式右边为整数，故等式左边也需要为整数， 则13n -应是720的约数， 所以可得1
3
3,9,27n -=，
所以1,2,3n =，
当1n =时，得3721m =，此时*m N ∉ 当2n =时，得13241m -=，此时*m N ∉ 当3n =时，得2381m -=，此时6m =， 所以9m n +=， 故答案为：9. 【点睛】
本题考查等比数列求和的基本量运算，涉及分类讨论的思想，属于中档题. 14．1009
【解析】 【分析】 根据cos
2
n π
周期性，对2019项进行分类计算，可得结果。

【详解】
解：根据题意，cos
2
n π
()n *∈N 的值以0,1,0,1-为循环周期， 2019122019...S a a a =+++
320192019cos
2cos
3cos
...2019cos 2
2
22
π
π
ππ=+++++ ()()201720182019201902040608...2017cos 2018cos 2019cos 222πππ⎛
⎫=+-+++-+++++ ⎪⎝⎭
()20192504020180=+⨯+-+
=1009
故答案为：1009. 【点睛】
本题考查了周期性在数列中的应用，属于中档题。

15．1【解析】 【分析】
先利用正弦定理求出c=2,分析得到当点C 在AB 的垂直平分线上时，AB 边上的高最大，ABC ∆的面积最
大，利用余弦定理求出a =ABC ∆面积的最大值.
【详解】
由3A B C +=可得45C =︒，由正弦定理，得sin c
C
=
故sin 452c =︒=，
当点C 在AB 的垂直平分线上时，AB 边上的高最大，ABC ∆的面积最大，此时a b =.
由余弦定理知，2222cos c a b ab C =+-(2
24a ==，即a =
故ABC ∆面积的最大值为
11sin (41222
ab C =⨯+⨯=+
故答案为1【点睛】
本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.
16．5 【解析】 【分析】
根据程序框图依次计算出1y 、2y 、3y 后即可得解. 【详解】
由程序框图可知11x =-，()1314y =--=；2100x -<=<
，21y ==；
310x =>，32log 10y ==.
所以3124105y y y ++=++=. 故答案为：5. 【点睛】
本题考查了程序框图的应用，属于基础题.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）212x y x -=-
（1x <<）；（2
）2x =-，N-M
的最大值是(10k -.
【解析】
试题分析：（1）运用题设和实际建立函数关系并确定定义域；（2）运用基本不等式求函数的最值和取得最值的条件.
试题解析：（1）因为x OA =，x OB =，1y AB =+，由余弦定理，()2
222cos1201x y xy y +-=+，
解得21
2x y x
-=-，
由0x >，0y >得12x <<．又x y >，得212x x x ->-
，解得112
x +<<，
所以OA
的取值范围是⎛ ⎝⎭
．
（2）k ky M =OB =
，C 3S kx ∆AO N =⋅=，
则()21332x k x y k x x ⎛⎫
-N -M =-=- ⎪-⎝
⎭，
设2x t ⎫
-=∈⎪⎪⎝⎭
，
则()(
)(2213321041010t k t k t k k t t ⎡⎤⎛--⎡⎤⎛
⎫N -M =--=-+≤-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎣⎦
．
当且仅当34t t =
即t ⎫=⎪⎪⎝⎭
取等号，此时22x =-取等号，
所以当2x =-
时，N-M
的最大值是(10k -． 考点：阅读理解能力和数学建模能力、基本不等式及在解决实际问题中的灵活运用.
【易错点晴】应用题是江苏高考每年必考的重要题型之一，也是历届高考失分较多的题型.解答这类问题的关键是提高考生的阅读理解能力和数学建模能力，以及抽象概括能力.解答好这类问题要过:“审题、理解题意、建立数学模型、求解数学模型、作答”这五个重要环节，其中审题关要求反复阅读问题中提供的一些信息，并将其与学过的数学模型进行联系，为建构数学模型打下基础，最后的作答也是必不可少的重要环节之一，应用题的解答最后一定要依据题设中提供的问题做出合理的回答，这也是失分较多一个环节. 18．（1）选择C ；（2）第4或第5年. 【解析】 【分析】
（1）根据已知求出三种树木六年末的高度，判断得解；（2）设()g t 为第1t +年内树木生长的高度，先求
出0.5 1.5
0.5
0.520.5 1.5
7e e 1()(1e )(1e )
()t t t g t -+-+-+-=
++，设0.5 1.5
t u e -+=，则0.50.50.57(e 1)
()1(1e )g t e u u
-=+++，1 1.5[e ,e ]u -∈．再利用分析函数的单调性，分析函数的图像得解. 【详解】
（1）由题意可知，A 、B 、C 三种树木随着时间的增加，高度也在增加， 6年末：A 树木的高度为65
0.8460.10.2 4.442
⨯+⨯+
⨯=（米）： B 树木的高度为60.04(12)
0.84 3.3612
⨯-+=-（米）
： C 树木的高度为0.562
77e
(6) 5.11e 1
f e -⨯+==
≈++（米）， 所以选择C 树木．
（2）设()g t 为第1t +年内树木生长的高度，
则0.51.50.50.5150.520.5t 20.51.5777e ()
e 1()(1)()1e 1e (1e )1e ()g t
f t f t -+-+⋅-+-+-+-=+-=-=++++，
所以0.5 1.50.50.520.5 1.57e e 1()(1e )(1e )
()
t t t g t -+-+-+-=++，t ∈N ，05t ≤≤．
设0.5 1.5t u e -+=，则0.50.50.50.50.57(e 1)7(e 1)
()1(1)(1e )(1e )u g t u u e u u
--==+++++，1 1.5
[e ,e ]u -∈．。