中考数学复习 第14课时 二次函数的实际应用测试

第三单元函数
第十四课时二次函数的实际应用
1. (8分)(xx眉山)东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．
(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；
(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件，若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？
2. (8分)(xx济宁)某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y(单位：个)与销售单价x(单位：元)有如下关系：
y＝－x＋60(30≤x≤60)．
设这种双肩包每天的销售利润为w元．
(1)求w与x之间的函数解析式；
(2)这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？
3. (8分)(xx成都)随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择．李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家．设他出地铁的站点与文化宫的距离为x(单位：千米)，乘坐地铁的时间y1(单位：分钟)是关于x的一次函数，其关系如下表：
(1)求y 1关于x 的函数表达式；
(2)李华骑单车的时间y 2(单位：分钟)也受x 的影响，其关系可以用y 2＝1
2x 2－11x ＋78来描
述．请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫站回到家所需要的时间最短？并求出最短时间．
4. (8分)(xx 青岛)青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨1
3
.下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：
(1)该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？
(2)今年旺季来临，豪华间的间数不变．经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？
5. (9分)(xx 河北)某厂按用户的月需求量x (件)完成一件产品的生产，其中x >0.每件的售价为18万元，每件的成本y (万元)是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需要量x (件)成反比．经市场调研发现，月需求量x 与月份n (n 为整数，1≤n ≤12)符合关系式
x ＝2n 2－2kn ＋9(k ＋3)(k 为常数)，且得到了表中的数据．
成本y(万元/件)1112
需求量x(件/月)120100
(1)求y与x满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；
(2)求k，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；
(3)在这一年12个月中，若第m个月和第(m＋1)个月的利润相差最大，求m.
6. (9分)(xx南雅中学一模)九年级(3)班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天(1≤x≤90，且x为整数)的售价与销售量的相关信息如下，已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y(单位：元/件)，每天的销售量为p(单位：件)，每天的销售利润为w(单位：元).
时间x(天)1306090
每天销售量p(件)1981408020
(1)求出w与x的函数关系式；
(2)问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；
(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果．
第6题图
1. 解：(1)当每件蛋糕利润是14元时，提高了(14－10)÷2＝2个档次，
∵提高2个档次，
∴此批次蛋糕属第3档次产品；
(2)设烘焙店生产的是第x 档次的产品，则每件的利润为10＋2(x －1)，每天的产量为76－4(x －1)，
由题意可得[10＋2(x －1)][76－4(x －1)]＝1080， 整理得8x 2－128x ＋440＝0，
解得x 1＝5，x 2＝11(∵11＞6，不符合题意，舍去)， 答：该烘焙店生产的是第5档次的产品．
2. 解：(1)w ＝(x －30)·y ＝(x －30)·(－x ＋60)＝－x 2＋90x －1800， ∴w 与x 的函数关系式为w ＝－x 2＋90x －1800(30≤x ≤60)； (2)w ＝－x 2＋90x －1800＝－(x －45)2＋225， ∴当x ＝45时，w 有最大值，w 最大值为225，
答：销售单价定为45元时，每天销售利润最大，最大销售利润225元； (3)当w ＝200时，可列方程－(x －45)2＋225＝200， 解得x 1＝40，x 2＝50， ∵50＞48，
∴x 2＝50(不符合题意，应舍去)，
答：该商店销售这种双肩包每天想要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元． 3. 解：(1)设一次函数为y 1＝kx ＋b (k ≠0)， 将x ＝8，y ＝18和x ＝9，y ＝20代入，
得⎩⎨⎧8k ＋b ＝189k ＋b ＝20，解得⎩
⎨⎧k ＝2b ＝2，
∴y 1与x 的函数关系式为y 1＝2x ＋2；
(2)设李华从文化宫乘地铁和骑单车回家共需y 分钟，
∵y 2＝12
x 2
－11x ＋78，
∴y ＝y 1＋y 2＝12x 2－9x ＋80＝12(x －9)2
＋792
，
∵1
2
>0， ∴当x ＝9时，y 最小＝79
2
(分钟)，
答：李华应选择在B 站出地铁，才能使他从文化宫回到家的时间最短，最短时间为79
2分钟．
4. 解：(1)设该酒店有豪华间a 间，则：
40000a ＝24000a －10(1＋1
3
)， 解得a ＝50，
经检验a ＝50是原方程的解，符合题意， ∴旺季每间＝40000÷50＝800(元)，
答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元； (2)设该酒店豪华间上涨x 元，日总收入为w 元，则
w ＝(x ＋800)(50－x 25)＝－125x 2＋18x ＋40000＝－1
25
(x －225)2＋42025，
∵－1
25
＜0，
∴当x ＝225时，w 有最大值，此时w max ＝42025，
答：当每间价格上涨225元时，日总收入最高，最高总收入为42025元． 5. 解：(1)由题意，设y ＝a ＋b x
，由表中数据，
得⎩⎪⎨⎪⎧11＝a ＋b
12012＝a ＋b 100
，解得⎩⎨⎧a ＝6b ＝600
，
∴y ＝6＋600x
，
由题意，若12＝18－(6＋
600x
)， 则
600x ＝0，∵x >0，∴600
x
>0， ∴一件产品的利润不可能是12万元；
(2)将n ＝1，x ＝120代入x ＝2n 2－2kn ＋9(k ＋3)，得120＝2－2k ＋9k ＋27， 解得k ＝13，
将n ＝2，x ＝100代入x ＝2n 2－2kn ＋9(k ＋3)，得100＝8－4k ＋9(k ＋3)， 解得k ＝13，
由题意，得18＝6＋600
x
，解得x ＝50，
∴50＝2n 2－26n ＋144，即n 2－13n ＋47＝0， ∵b 2－4ac ＝(－13)2－4×1×47<0， ∴方程无实根，
∴不存在某个月既无盈利也不亏损；
(3)∵第m 个月的利润为W m ＝x(18－y )＝18x －x(6＋600
x
)＝12(x －50)＝12(2m 2－26m ＋144－50)
＝24(m 2－13m ＋47)，
∴第(m ＋1)个月的利润为W m ＋1＝24[(m ＋1)2－13(m ＋1)＋47]＝24(m 2－11m ＋35)， 若W m ≥W m ＋1，W m －W m ＋1＝48(6－m )，m 取1时，W m －W m ＋1＝240，利润相差最大； 若W m <W m ＋1，W m ＋1－W m ＝48(m －6)，m ＋1≤12，m 取11时，W m ＋1－W m ＝240，利润相差最大， ∴m ＝1或m ＝11.
6. 解：(1)当1≤x ≤50时，设商品的售价y 与时间x 的函数关系式为y ＝kx ＋b (k 、b 为常数且k ≠0)，
∵y ＝kx ＋b 经过点(0，40)、(50，90)，代入得
∴⎩⎨⎧b ＝4050k ＋b ＝90，解得⎩
⎨⎧k ＝1b ＝40，
∴售价y 与时间x 的函数关系式为y ＝x ＋40； 当50＜x ≤90时，y ＝90， ∴售价y 与时间x 的函数关系式为
y ＝⎩⎨⎧x ＋40（1≤x≤50，且x 为整数）90 （50＜x≤90，且x 为整数）
， 由数据可知每天的销售量p 与时间x 成一次函数关系，
设每天的销售量p 与时间x 的函数关系式为p ＝mx ＋n (m 、n 为常数，且m ≠0)， ∵p ＝mx ＋n 经过点(60，80)、(30，140)，代入得，
∴⎩⎨⎧60m ＋n ＝8030m ＋n ＝140，解得⎩⎨⎧m ＝－2n ＝200
，
∴p ＝－2x ＋200(1≤x ≤90，且x 为整数)，
当1≤x ≤50时，w ＝(y －30)·p＝(x ＋40－30)(－2x ＋200)＝－2x 2＋180x ＋2000； 当50＜x ≤90时，w ＝(90－30)(－2x ＋200)＝－120x ＋12000， 综上所述，每天的销售利润w 与时间x 的函数关系式是w ＝
⎩
⎨
⎧－2x2＋180x ＋2000（1≤x≤50，且x 为整数）
－120x ＋12000（50＜x≤90，且x 为整数）； (2)当1≤x ≤50时，w ＝－2x 2＋180x ＋2000＝－2(x －45)2＋6050， ∵a ＝－2＜0且1≤x ≤50，
∴当x ＝45时，w 取最大值，最大值为6050元，
当50＜x ≤90时，w ＝－120x ＋12000，∵k ＝－120＜0，w 随x 增大而减小， ∴当x ＝50时，w 取最大值，最大值为6000元， ∵6050＞6000，
∴当x ＝45时，w 最大，最大值为6050元，
答：销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元； (3)24天．
【解法提示】当1≤x ≤50时，令w ＝－2x 2＋180x ＋2000≥5600，即－2x 2＋180x －3600≥0， 解得30≤x ≤60， ∵1≤x ≤50， ∴30≤x ≤50， ∴50－30＋1＝21(天)，
当50＜x ≤90时，令w ＝－120x ＋12000≥5600，即－120x ＋6400≥0， 解得x ≤5313
，
∵50＜x≤90，x为整数，
∴50＜x≤53，53－50＝3(天)，
综上可知：21＋3＝24(天)，
答：该商品在销售过程中，共有24天每天的销售利润不低于5600元．
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