2021版高考数学(文)大一轮人教A广西专用考点39 直线、平面平行的判定与性质

考点规范练39直线、平面平行的判定与性质
考点规范练A册第30页
基础巩固
1.对于空间的两条直线m,n和一个平面α,下列命题中的真命题是()
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若m∥α,n⊂α,则m∥n
C.若m∥α,n⊥α,则m∥n
D.若m⊥α,n⊥α,则m∥n
答案:D
解析:对A,直线m,n可能平行、异面或相交,故A错误;对B,直线m与n可能平行,也可能异面,故B错误;对C,m与n垂直而非平行,故C错误;对D,垂直于同一平面的两直线平行,故D正确.
2.下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB ∥平面MNP的图形的序号是()
A.①③
B.②③
C.①④
D.②④
答案:C
解析:对于图形①,平面MNP与AB所在的对角面平行,即可得到AB∥平面MNP;对于图形④,AB∥PN,即可得到AB∥平面MNP;图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行.
3.(2019重庆六校联考)设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则α∥β的一个充分条件是()
A.存在一条直线a,a∥α,a∥β
B.存在一条直线a,a⊂α,a∥β
C.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
D.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
答案:D
解析:对于选项A,若存在一条直线a,a∥α,a∥β,则α∥β或α与β相交,若α∥β,则存在一条直线a,使得a∥α,a∥β,所以选项A是α∥β的一个必要条件;同理,选项B,C的内容也
是α∥β的一个必要条件而不是充分条件;对于选项D,可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中,成为相交直线,则有α∥β,所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件.故选D.
4.已知平面α,直线m,n满足m⊄α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:A
解析:当m⊄α,n⊂α时,由线面平行的判定定理可知,m∥n⇒m∥α;但反过来不成立,即m∥α不一定有m∥n,m与n还可能异面.故选A.
5.已知平面α和不重合的两条直线m,n,下列选项正确的是()
A.如果m⊂α,n⊄α,m,n是异面直线,那么n∥α
B.如果m⊂α,n与α相交,那么m,n是异面直线
C.如果m⊂α,n∥α,m,n共面,那么m∥n
D.如果m⊥α,n⊥m,那么n∥α
答案:C
解析:如图(1)可知A错;如图(2)可知B错;
如图(3),m⊥α,n是α内的任意直线,都有n⊥m,故D错.
∵n∥α,∴n与α无公共点,
∵m⊂α,∴n与m无公共点,
又m,n共面,∴m∥n,故选C.
6.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,且
MD=NB=1,G为MC的中点.则下列结论不正确的是()
A.MC⊥AN
B.GB∥平面AMN
C.平面CMN⊥平面AMN
D.平面DCM∥平面ABN
答案:C
解析:显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体,把该几何体放置到正方体中(如图),取AN的中点H,连接HB,MH,则MC∥HB,又HB⊥AN,所以MC⊥AN,所以A正确;
由题意易得GB∥MH,
又GB⊄平面AMN,MH⊂平面AMN,
所以GB∥平面AMN,所以B正确;
因为AB∥CD,DM∥BN,且AB∩BN=B,CD∩DM=D,
所以平面DCM∥平面ABN,所以D正确.
7.已知平面α∥β,P∉α且P∉β,过点P的直线m与α,β分别交于A,C,过点P的直线n与α,β分别交于B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长为.
答案:24
5
或24
解析:如图(1),∵AC∩BD=P,
∴经过直线AC与BD可确定平面PCD.
∵α∥β,α∩平面PAB=AB,β∩平面PCD=CD,∴AB∥CD.
∴PA
AC =PB
BD
,即6
9
=8-BD
BD
,解得BD=24
5
.
图(1)
图(2) 如图(2),同理可证AB∥CD.
∴PA
PC =PB
PD
,即6
3
=BD-8
8
,解得BD=24.
综上所述,BD=24
5
或24.
8.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有条.
答案:6
解析:过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,记AC,BC,A1C1,B1C1的中点分别为E,F,E1,F1,则直线EF,E1F1,EE1,FF1,E1F,EF1均与平面ABB1A1平行,故符合题意的直线共6条.
9.如图,四棱锥P-ABCD的底面是一直角梯形,AB∥CD,BA⊥AD,CD=2AB,PA⊥底面ABCD,E为PC的中点,则BE与平面PAD的位置关系为
答案:平行
解析:取PD的中点F,连接EF,AF,
CD.
在△PCD中,EF1
2
∵AB∥CD且CD=2AB,
∴EF AB,
∴四边形ABEF是平行四边形,
∴EB∥AF.
又EB⊄平面PAD,AF⊂平面PAD,
∴BE∥平面PAD.
10.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,则点Q满足条件时,有平面D1BQ∥平面PAO.
答案:Q为CC1的中点
解析:如图,假设Q为CC1的中点,因为P为DD1的中点,
所以QB∥PA.
连接DB,因为P,O分别是DD1,DB的中点,
所以D1B∥PO.
又D1B⊄平面PAO,QB⊄平面PAO,
所以D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO.
又D1B∩QB=B,所以平面D1BQ∥平面PAO.
故Q满足条件Q为CC1的中点时,有平面D1BQ∥平面PAO.
11.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥AB,AB=2AA1,M是AB的中点,△A1MC1是等腰三角形,D为CC1的中点,E为BC上一点.
(1)若BE=3EC,求证:DE∥平面A1MC1;
(2)若AA1=1,求三棱锥A-MA1C1的体积.
答案:(1)证明如图①,取BC中点N,连接MN,C1N.
∵M是AB的中点,∴MN∥AC∥A1C1,
∴M,N,C1,A1共面.
∵BE=3EC,∴E是NC的中点.
又D是CC1的中点,∴DE∥NC1.
∵DE⊄平面MNC1A1,NC1⊂平面MNC1A1,
∴DE∥平面A1MC1.
(2)解如图②,当AA1=1时,AM=1,A1M=√2,A1C1=√2.
∴三棱锥A-MA1C1的体积
V A-A
1MC1=V C
1-A1AM
=1
3
×1
2
AM·AA1·A1C1=√2
6
.
图①
图②
12.如图,在多面体ABCDE中,平面ABE⊥平面ABCD,△ABE是等边三角形,四边形ABCD 是直角梯形,AB⊥AD,AB⊥BC,AB=AD=1
2
BC=2,M是EC的中点.
(1)求证:DM∥平面ABE;
(2)求三棱锥M-BDE的体积.
答案:(1)证法一取BE的中点O,连接OA,OM,
∵O,M分别为线段BE,CE的中点,∴OM=1
2
BC.
又AD=1
2
BC,∴OM=AD,
又AD∥CB,OM∥CB,∴OM∥AD.
∴四边形OMDA为平行四边形,
∴DM∥AO,又AO⊂平面ABE,MD⊄平面ABE,
∴DM∥平面ABE.
证法二取BC的中点N,连接DN,MN(图略),
∵M,N分别为线段CE,BC的中点,∴MN∥BE,
又BE⊂平面ABE,MN⊄平面ABE,∴MN∥平面ABE,
同理可证DN∥平面ABE,
MN∩DN=N,∴平面DMN∥平面ABE,
又DM⊂平面DMN,∴DM∥平面ABE.
(2)解法一∵平面ABE⊥平面ABCD,AB⊥BC,BC⊂平面ABCD,
∴BC⊥平面ABE,∵OA⊂平面ABE,∴BC⊥AO,
又BE⊥AO,BC∩BE=B,∴AO⊥平面BCE,
由(1)知DM=AO=√3,DM∥AO,
∴DM⊥平面BCE,
∴V M-BDE=V D-MBE=1
3×1
2
×2×2×√3=2√3
3
.
解法二取AB的中点G,连接EG,
∵△ABE是等边三角形,∴EG⊥AB,
∵平面ABE∩平面ABCD=AB,平面ABE⊥平面ABCD,且EG⊂平面ABE, ∴EG⊥平面ABCD,
即EG为四棱锥E-ABCD的高,
∵M是EC的中点,
∴M-BCD的体积是E-BCD体积的一半,
∴V M-BDE=V E-BDC-V M-BDC=1
2
V E-BDC,
∴V M-BDE=1
2×1
3
×1
2
×2×4×√3=2√3
3
.
即三棱锥M-BDE的体积为2√3
3
.
能力提升
13.如图,透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水(未满),固定容器底面一边BC于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下面四个命题:
①没有水的部分始终呈棱柱形;
②水面EFGH所在四边形的面积为定值;
③棱A1D1始终与水面所在平面平行;
④当容器倾斜如图所示时,BE·BF是定值.
其中正确命题的个数是()
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:C
解析:由题图,显然①是正确的,②是错误的;
对于③,∵A1D1∥BC,BC∥FG,
∴A1D1∥FG,且A1D1⊄平面EFGH,FG⊂平面EFGH,
∴A1D1∥平面EFGH(水面).③是正确的;
对于④,∵水是定量的(定体积V),
∴S△BEF·BC=V,
即1
2
BE·BF·BC=V.
∴BE·BF=2V
BC
(定值),即④是正确的,故选C.
14.设α,β,γ为三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,在命题“α∩β=m,n⊂γ,且,则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题.
①α∥γ,n⊂β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m⊂γ.
可以填入的条件有()
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
答案:C
解析:由面面平行的性质定理可知,①正确;当n∥β,m⊂γ时,n和m在同一平面内,且没有公共点,所以平行,③正确.选C.
15.如图,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中
点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=a
3
,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=.
答案:2√2a
3
解析:如图所示,连接AC,易知MN∥平面ABCD.
又平面PQNM∩平面ABCD=PQ,MN⊂平面PQNM,
∴MN∥PQ.
又MN∥AC,∴PQ∥AC.
∵AP=a
3
,
∴PD
AD =DQ
CD
=PQ
AC
=2
3
,
∴PQ=2
3AC=
2√2
3
a. 16.在三棱锥S-ABC 中,△ABC 是边长为6的正三角形,SA=SB=SC=15,平面DEFH 分别与AB ,BC ,SC ,SA 交于D ,E ,F ,H.D ,E 分别是AB ,BC 的中点.如果直线SB ∥平面DEFH ,那么四边形DEFH 的面积为 . 答案:45
2
解析:取AC 的中点G ,连接SG ,BG.
易知SG ⊥AC ,BG ⊥AC ,
故AC ⊥平面SGB ,所以AC ⊥SB.
因为SB ∥平面DEFH ,SB ⊂平面SAB ,平面SAB ∩平面DEFH=HD , 所以SB ∥HD. 同理SB ∥FE.
又D ,E 分别为AB ,BC 的中点,则H ,F 也为AS ,SC 的中点,从而得HF 1
2AC DE , 所以四边形DEFH 为平行四边形.
又AC ⊥SB ,SB ∥HD ,DE ∥AC ,所以DE ⊥HD ,
所以四边形DEFH 为矩形,其面积S=HF ·HD=(1
2AC)·(1
2SB)=
452
.
17.如图,棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为菱形,平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD.
(1)求证:平面AB 1C ∥平面DA 1C 1;
(2)在直线CC 1上是否存在点P ,使BP ∥平面DA 1C 1?若存在,求出点P 的位置;若不存在,说明理由.
答案:(1)证明由棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的性质, 知AB 1∥DC 1,A 1D ∥B 1C.
∵AB 1∩B 1C=B 1,A 1D ∩DC 1=D , ∴平面AB 1C ∥平面DA 1C 1. (2)解存在这样的点P 满足题意.
如图,在C1C的延长线上取点P,使C1C=CP,连接BP,
∵B1B CC1,∴BB1 CP,
∴四边形BB1CP为平行四边形,∴BP∥B1C.
∵A1D∥B1C,∴BP∥A1D.
又A1D⊂平面DA1C1,BP⊄平面DA1C1,
∴BP∥平面DA1C1.
高考预测
18.如图,已知正方形ABCD的边长为6,点E,F分别在边AB,AD上,AE=AF=4,现将△AEF 沿线段EF折起到△A'EF位置,使得A'C=2√6.
(1)求五棱锥A'-BCDFE的体积;
(2)在线段A'C上是否存在一点M,使得BM∥平面A'EF?若存在,求A'M;若不存在,请说明理由.
解:(1)连接AC,设AC∩EF=H,连接A'H.
因为四边形ABCD是正方形,AE=AF=4,
所以H是EF的中点,且EF⊥AH,EF⊥CH.
从而有A'H⊥EF,CH⊥EF,
又A'H∩CH=H,
所以EF⊥平面A'HC,且EF⊂平面ABCD.
从而平面A'HC⊥平面ABCD.
过点A'作A'O垂直HC且与HC相交于点O,
则A'O⊥平面ABCD.
因为正方形ABCD的边长为6,AE=AF=4,
所以A'H=2√2,CH=4√2,
所以cos∠A'HC=A'H 2+CH2-A'C2
2A'H·CH
=
2×2√2×4√2
=1
2
.
所以HO=A'H·cos∠A'HC=√2,则A'O=√6.所以五棱锥A'-BCDFE的体积
V=1
3×(62-1
2
×4×4)×√6=28√6
3
.
(2)线段A'C上存在点M,使得BM∥平面A'EF,此时A'M=√6
2
.证明如下:
连接OM,BD,BM,DM,且易知BD过O点.
A'M=√6
2=1
4
A'C,HO=1
4
HC,
所以OM∥A'H.
又OM⊄平面A'EF,A'H⊂平面A'EF,
所以OM∥平面A'EF.
又BD∥EF,BD⊄平面A'EF,EF⊂平面A'EF, 所以BD∥平面A'EF.
又BD∩OM=O,所以平面MBD∥平面A'EF, 因为BM⊂平面MBD,
所以BM∥平面A'EF.
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