湖南省怀化市重点名校2018-2019学年高一下学期期末经典数学试题含解析

湖南省怀化市重点名校2018-2019学年高一下学期期末经典数学试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A ．至少有1名男生和至少有1名女生 B ．至多有1名男生和都是女生 C ．至少有1名男生和都是女生 D ．恰有1名男生和恰有2名男生 【答案】D 【解析】
试题分析：A 中两事件不是互斥事件；B 中不是互斥事件；C 中两事件既是互斥事件又是对立事件；D 中两事件是互斥但不对立事件 考点：互斥事件与对立事件
2．已知()f x 为定义在R 上的函数，其图象关于y 轴对称，当0x ≥时，有(1)()f x f x +=-，且当[0,1)x ∈时，2()log (1)=+f x x ，若方程()0f x kx -=（0k >）恰有5个不同的实数解，则k 的取值范围是（ ） A ．11
[,)74
B
．11[,)64
C ．11[,)65
D ．11[,)75
【答案】C 【解析】 当0x ≥时，有
()()1f x f x +=-，所以()()()21f x f x f x +=-+=，
所以函数()f x 在[0,)+∞上是周期为[0,)+∞的函数， 从而当[1,2)x ∈时，1[0,1)x -∈，有2(1)log f x x -=，
又()22[(1)1]1(1)()log ()log f x f x f x f x x f x x -+=--⇒-=-=⇒=-，
即()22log (1),[0,1)
log ,[1,2)x x f x x x +∈⎧=⎨-∈⎩
，有易知()f x 为定义在R 上的偶函数，
所以可作出函数()f x 的图象与直线(0)y kx k =>有5个不同的交点，
所以517141
61
k k k k <⎧⎪≥⎪⎨->-⎪⎪-≤-⎩，解得1165k ≤<，故选C.
点睛：本题主要考查了函数的奇偶性、周期性、对称性，函数与方程等知识的综合应用，着重考查了数形结合思想研究直线与函数图象的交点问题，解答时现讨论得到分段函数的解析式，然后做出函数的图象，将方程恰有5个不同的实数解转化为直线与函数的图象由5个不同的交点，由数形结合法列出不等式组是解答的关键.
3．设等差数列{}n a ，2812,a a +=则9S 等于（ ） A ．120 B ．60
C ．54
D ．108
【答案】C 【解析】 【分析】
题干中只有一个等式，要求前9项的和，可利用等差数列的性质解决。

【详解】
1928199()9
12,542
a a a a a a S ++=+==
=，选C. 【点睛】
题干中只有一个等式，要求前9项的和，可利用等差数列的性质2m n p q r +=+=
2m n p q r a a a a a +=+=解决。

也可将等式全部化为1,a d 的表达式，整体代换计算出9S
4．已知平面向量a ，b ，c ，e ，在下列命题中：①//a b 存在唯一的实数R λ∈，使得b a λ=；②e 为单位向量，且a //e ，则a a e =±；③2
a a a ⋅=；④a 与
b 共线，b 与
c 共线，则a 与c 共线；⑤若
a b b c ⋅=⋅且0b ≠，则a c =.正确命题的序号是( )
A ．①④⑤
B ．②③④
C ．①⑤
D ．②③
【答案】D 【解析】 【分析】
分别根据向量的平行、模、数量积即可解决。

【详解】
当a 为零向量时不满足，①错；当b 为零向量时④错，对于⑤：两个向量相乘，等于模相乘再乘以夹角的余弦值，b 与,a c 有可能夹角不一样或者,a c 的模不一样，两个向量相等要保证方向、模都相同才可以，因此选择D 【点睛】
本题主要考查了向量的共线，零向量。

属于基础题。

5．已知数列{}n a 满足12a =，()()11n
n n n a a a n N *+=+-∈，则
4
2
a a 的值为（ ） A ．
1615
B ．
43
C ．
13
D ．83
【答案】B 【解析】 【分析】
由()11n
n n n a a a +=+-，得()111n
n n
a a +-=+
，然后根据递推公式逐项计算出2a 、4a 的值，即可得出4
2
a a 的
值. 【详解】
()11n
n n n a a a +=+-，()111n
n n
a a +-∴=+
，则21111
1122
a a =-
=-=， 32
11123a a =+
=+=，431121133a a =-=-=，因此，4224
233a a =⨯=，故选B.
【点睛】
本题考查数列中相关项的计算，解题的关键就是递推公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 6．一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是 A ．两次都中靶 B ．至少有一次中靶 C ．两次都不中靶 D ．只有一次中靶 【答案】A 【解析】 【分析】
利用对立事件、互斥事件的定义直接求解． 【详解】
一个人打靶时连续射击两次，
事件“至多有一次中靶”的互斥事件是两次都中靶． 故选：A ． 【点睛】
本题考查互事件的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件、互斥事件的定义的合理运用． 7．若不等式220ax bx ++>的解集是11|23x x ⎧
⎫
-<<⎨⎬⎩⎭
，则+a b 的值为（ ） A ．12 B ．14-
C ．12-
D ．10
【答案】B
【解析】
【分析】
将不等式解集转化为对应方程的根，然后根据韦达定理求出方程中的参数,a b，从而求出所求．【详解】
解：不等式220
ax bx
++>的解集为
11
,
23⎛⎫-
⎪
⎝⎭
，
11
,
23
∴-为方程220
ax bx
++=的两个根，根据韦达定理：
11
23
112
23
b
a
a
⎧
-+=-
⎪⎪
⎨
⎪-⨯=
⎪⎩
解得
12
14
2
a
a b
b
=-
⎧
∴+=-
⎨
=-
⎩
，故选：B。

【点睛】
本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及韦达定理的运用和一元二次不等式解集与所对应一元二次方程根的关系，属于中档题．
8．如图,已知平行四边形ABCD,BE EC
=,则( )
A．
1
2
AE AB AD
=+B．
1
2
AE AB AD
=-
C．
1
2
AE AB AD
=+D．
1
2
AE AB AD
=-+
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平面向量的加法运算，即可得到本题答案.
【详解】
由题，得
1
2
=+=+
AE AB BE AB AD.
故选：A
【点睛】
本题主要考查平面向量的加法运算，属基础题.
9．cos40sin80sin40sin10
+的值等于（）
A．
1
2
-B．3
-C．
1
2
D．
3
2
【答案】D
【解析】
【分析】
利用诱导公式先化简00
sin80=cos10，再利用差角的余弦公式化简得解. 【详解】
由题得原式=003
cos40cos10sin40sin10cos(4010)
+=-=.
故选D
【点睛】
本题主要考查诱导公式和差角的余弦公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
10．如图是一个正四棱锥，它的俯视图是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正四棱锥的特征直接判定即可.
【详解】
正四棱锥俯视图可以看到四条侧棱与顶点,且整体呈正方形.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了正四棱锥的俯视图,属于基础题.
11．已知函数()sin 3cos f x x x =+，则下列命题正确的是（ ） ①()f x 的最大值为2； ②()f x 的图象关于,06π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
对称； ③()f x 在区间5,66ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭上单调递增； ④若实数m 使得方程()f x m =在[0,2]π上恰好有三个实数解1x ，2x ，3x ，则12373
x x x π
++=； A ．①② B ．①②③
C ．①③④
D ．①②③④
【答案】C 【解析】 【分析】
()=2sin()3f x x π+，由此判断①的正误，根据()06f π
-≠判断②的正误，由
22,2
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈求出()f x 的单调递增区间，即可判断③的正误，结合()f x 的图象判
断④的正误. 【详解】
因为()sin 3cos =2sin()3
f x x x x π
=++，故①正确
因为()2sin 106
6
f π
π
-==≠，故②不正确
由22,2
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈得522,66
k x k k Z ππ
ππ-
≤≤+∈ 所以()f x 在区间5,66ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调递增，故③正确
若实数m 使得方程()f x m =在[0,2]π上恰好有三个实数解， 结合()=2sin()3
f x x π
+的图象知，必有0,2x x π== 此时()=2sin()33
f x x π
+
=，另一解为3
x π
=
即1x ，2x ，3x 满足12373
x x x π
++=
，故④正确
综上可知：命题正确的是①③④ 故选：C 【点睛】
本题考查的是三角函数的图象及其性质，解决这类问题时首先应把函数化成三角函数基本型.
12．某单位共有老年人180人,中年人540人,青年人人,为调查身体健康状况,需要从中抽取一个容量为的样本，用分层抽样方法抽取进行调查，样本中的中年人为6人,则和的值不可以是下列四个选项中的哪组（ ） A ． B ． C ．
D ．
【答案】B 【解析】 【分析】
根据分层抽样的规律，计算和的关系为：
，将选项代入判断不符合的得到答案.
【详解】
某单位共有老年人180人,中年人540人,青年人人, 样本中的中年人为6人，则老年人为：
青年人为：
代入选项计算，B 不符合 故答案为B 【点睛】
本题考查了分层抽样，意在考查学生的计算能力. 二、填空题：本题共4小题 13．已知()0,θπ∈，且2
sin()4
10
π
θ-=
，则tan2θ=________． 【答案】247
- 【解析】
试题分析：由2
sin()4
π
θ-
=
)221sin cos sin cos 5θθθθ-=⇒-=
解方程组：221sin cos {5sin cos 1θθθθ-=+=
得：4sin 5{3cos 5θθ==或3
sin 5
{
4
cos 5θθ=-
=-
因为()0,θπ∈，所以sin 0,θ>所以3sin 5
{4
cos 5
θθ=-
=-
不合题意，舍去
所以4tan 3θ=，所以224
22tan 243tan 21tan 7413θθθ⨯
===--⎛⎫- ⎪
⎝⎭
，答案应填：247-. 考点：同角三角函数的基本关系和两角差的三角函数公式. 14．已知2{(,)|9,0}M x y y x y ==-≠，{(,)|}N x y y x b ==+，若M
N ≠∅，则b 的取值范
围是__________． 【答案】(3,32]- 【解析】
数形结合法，注意y ＝29x -，y≠0等价于x 2＋y 2＝9(y ＞0)，它表示的图形是圆x 2＋y 2＝9在x 轴之上的部分(如图所示)．
结合图形不难求得，当－3＜2时，直线y ＝x ＋b 与半圆x 2＋y 2＝9(y ＞0)有公共点． 15．若42log (4)log 2,a b ab += 则+a b 的最小值是__________． 【答案】94
【解析】 【分析】 根据对数相等得到1114b a +=，利用基本不等式求解()114a b b a ⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
的最小值得到所求结果. 【详解】
()()()2422221
log 4log 4log 4log 4log 22
a b a b a b a b ab +=+=+=+=
则42a b ab +=，即44a b ab +=
1114b a
⇒
+= ()1111444a b
a b a b b a b a
⎛⎫∴+=++=+++ ⎪⎝⎭
由题意知0ab >，则
04a
b
>，0b a >
则559
244444
a b a b a b b a b a +=
++≥⋅+= 当且仅当4a b
b a
=，即2a b =时取等号 本题正确结果：9
4
【点睛】
本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到11
14b a
+=的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.
16．某小区拟对如图一直角△ABC 区域进行改造，在三角形各边上选一点连成等边三角形DEF ,在其内建造文化景观．已知2010AB m AC m ==，,则DEF 面积最小值为____
【答案】7537
【解析】 【分析】
设,DE x CED θ=∠=，然后分别表示,BE FEB ∠，利用正弦定理建立等式用θ表示x ，从而利用三角函数的性质得到x 的最小值，从而得到面积的最小值. 【详解】
因为2010AB m AC m ==，，所以222010103BC m =-=， 显然，,6
3
B A π
π
∠=
∠=
，
设,DE x CED θ=∠=，则3
6
6
EFB CEF B π
π
π
θθ∠=∠-∠=+-
=+
，且02
π
θ<<
，
则cos CE x θ=，所以103cos BE x θ=，
在BEF ∆中，由正弦定理可得：
103cos sin()
sin
6
6
x x θ
π
πθ=
+，
求得103103
2cos 3sin 7sin()
x θθθϕ=
=++，
其中2127
cos ,sin 7ϕϕ=
=
，则02πϕ<<， 因为0θϕπ<+<，所以当2
π
θϕ+=时，sin()θϕ+取得最大值1，
则x 的最小值为
1021
7
， 所以面积最小值为2
31021753477S ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
， 【点睛】
本题主要考查了利用三角函数求解实际问题的最值，涉及到正弦定理的应用，属于难题.对于这类型题，关键是能够选取恰当的参数表示需求的量，从而建立相关的函数，利用函数的性质求解最值. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，在四棱锥A DCBE -中，AC BC ⊥，底面DCBE 为平行四边形，DC ⊥平面ABC ．
（1）求证：BC ⊥平面ACD ； （2）若30ABC ∠=︒，2AB =，3EB =B ACE -的体积；
（3）设平面ADE
平面ABC =直线l ，试判断BC 与l 的位置关系，并证明．
【答案】（1）证明见解析；（2）1
2
；（3）BC l ，证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据题意得到BC DC ⊥，AC BC ⊥，BC ⊥面ACD 从而得到线线垂直；（2）由图形特点得到BE ⊥面ABC ，B ACE E ABC V V --=代入数据可得到体积值；（3）证明//BC 平面ADE ，利用平面ADE
平面
=ABC l ，可得BC l ．.
【详解】
（1）证明：∵DC ⊥面ABC ，
BC ⊂面ABC ，
∴BC DC ⊥，
又∵AC BC ⊥，
AC ⊂面ACD ，
CD ⊂面ACD ，AC CD C =，
∴BC ⊥面ACD ，
（2）∵底面DCBE 为平行四边形，
DC ⊥面ABC ，
∴BE ⊥面ABC ， ∴111133322B ACE E ABC V V --==
⨯⨯⨯⨯=． （3）BC l ．
证明：∵底面DCBE 为平行四边形，
∴BC ED ∥，
∵BC ⊄面ADE ，ED ⊂面ADE ，
∴BC ∥面ADE ，
又∵面ADE 面=ABC l ，
BC ⊂面ABC ，
∴BC l ．
18．已知函数，，最小值为.
（1）求当时，求的值；
（2）求
的表达式； （3）当时，要使关于t 的方程有一个实数根，求实数k 的取值范围.
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
【分析】
（1）直接代入计算得解；（2）先求出，再对t 分三种情况讨论，结合二次函数求出
的表达式；（3）令，即有一个实数根，利用一次函数性
质分析得解.
【详解】
（1）当时，，所以.
（2）因为，所以，所以
（）
当时，则当时，
当时，则当时，
当时，则当时，
故
（3）当时，，令即
欲使有一个实根，则只需或
解得或.
所以的范围：.
【点睛】
本题主要考查三角函数的范围的计算，考查二次函数的最值的求法和方程的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.
19．现有一个算法框图如图所示。

（1）试着将框图的过程用一个函数来表示；
（2）若从[]ππ-，中随机选一个数x 输入，则输出的y 满足12
y >的概率是多少？ 【答案】（1）[)[]
sin ,,0cos ,0,x x y x x ππ⎧∈-⎪=⎨∈⎪⎩；（2）16. 【解析】
【分析】
（1）根据输出结果的条件可得定义域；根据最终的条件结构可得到不同区间内的解析式，从而得到函数解析式；（2）分别在两段区间内求得不等式的解集，根据几何概型计算公式求得结果.
【详解】
（1）由程序框图可知，若要输出结果，[],x ππ∈-
根据条件结构可知，当[),0x π∈-时，sin y x =；当[]0,x π∈时，cos y x =
∴框图可用函数[)[]sin ,,0cos ,0,x x y x x ππ⎧∈-⎪=⎨∈⎪⎩
来表示 （2）当0x π-≤<时，sin y x =
1sin 2
x >
在[),0π-上无解 当0x π≤≤时，cos y x = 1cos 2x >在[]0,π上解集为：0,3π⎡⎫⎪⎢⎣⎭
∴所求概率为：1326
π
π= 【点睛】
本题考查读懂程序框图的功能、几何概型中的长度型问题的求解；关键是能够根据三角函数的值域准确求解出自变量的取值范围，从而利用几何概型的知识来进行求解.
20．已知圆22:230C x y x ++-=.
（1）求圆C 的半径和圆心坐标；
（2）斜率为1的直线m 与圆C 相交于D 、E 两点，求CDE ∆面积最大时直线m 的方程.
【答案】（1）圆C 的圆心坐标为()1,0-，半径为2；（2）30x y -+=或10x y --=．
【解析】
【分析】
（1）将圆C 的方程化为标准方程，可得出圆C 的圆心坐标和半径；
（2）设直线m 的方程为y x b =+，即0x y b -+=，设圆心到直线m 的距离d ，计算出直线m 截圆C 的
弦长DE =，利用基本不等式可得出CDE ∆的最大值以及等号成立时对应的d 的值，利用点的到直线的距离可解出实数b 的值.
【详解】
（1）将圆C 的方程化为标准方程得()2
214x y ++=，
因此，圆C 的圆心坐标为()1,0-，半径为2；
（2）设直线m 的方程为y x b =+，即0x y b -+=，
设圆心到直线m 的距离d ，则02d <<
，且DE =， CDE ∴∆的面积为
2214222CDE d d S DE d ∆-+===，
当且仅当d =
d ==
解得3b =或1-.
因此，直线m 的方程为30x y -+=或10x y --=．
【点睛】
本题考查圆的一般方程与标准方程之间的互化，以及直线截圆所形成的三角形的面积，解题时要充分利用几何法将直线截圆所得弦长表示出来，在求最值时，可利用基本不等式、函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
21．已知17tan tan tan 6αβγ++=，4cot cot cot 5
αβγ++=-，17cot cot cot cot cot cot 5
αββγγα++=-，求tan()αβγ++. 【答案】11
【解析】
【分析】
根据题设条件，结合三角数的基本关系式，分别求得 2tan tan tan tan tan tan 3
βγαγαβ++=，和5tan tan tan 6
αβγ=-，再利用两角和的正切的公式，进行化简、运算，即可求解. 【详解】 由tan tan tan tan()tan 1tan tan tan()tan[()]tan tan 1tan()tan 1tan 1tan tan αβγαβγαβαβγαβγαβαβγγαβ
++++-++=++==+-+-⋅- tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan tan tan tan tan 1tan tan tan tan tan tan 1tan tan αβγαβγ
αβγαβγαβαβαγβγαβαγβγ
αβ
++-++--==-------， 由17cot cot cot cot cot cot 5
αββγγα++=-， 可得111tan tan tan 17tan tan tan tan tan tan tan tan tan 5
αβγαββγγααβγ++++==- 又由17tan tan tan 6αβγ++=，所以5tan tan tan 6
αβγ=-， 由4cot cot cot 5αβγ++=-， 得111tan tan tan tan tan tan 4tan tan tan tan tan tan 5
βγαγαβαβγαβγ++++==-， 可得2tan tan tan tan tan tan 3
βγαγαβ++=， 所以175()tan tan tan tan tan tan 661121tan tan tan tan tan tan 13
αβγαβγαβαγβγ--++-==----， 即tan()11αβγ++=.
【点睛】
本题主要考查了两角和与差的正切函数的化简、求值问题，其中解答中熟记两角和与差的正切公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题.
22．如图，已知点P 在圆柱OO 1的底面⊙O 上，11AB A B 、分别为⊙O 、⊙O 1的直径，且1A A ⊥平面PAB ．
（1）求证：1BP A P ⊥；
（2）若圆柱1OO 的体积122120V OA AOP π∠︒＝，＝，＝，
①求三棱锥A 1﹣APB 的体积．
②在线段AP 上是否存在一点M ，使异面直线OM 与1A B 所成角的余弦值为25
？若存在，请指出M 的位置，并证明；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①23②见解析
【解析】
【分析】 （1）根据BP AP ⊥，1BP AA ⊥得出BP ⊥平面1A AP ，故而1BP A P ⊥；（2）
①根据圆柱的体积计算1AA ，根据120AOP ∠=︒计算BP ，AP ，代入体积公式计算棱锥的体积；②先证明1A BP ∠就是异面直线OM 与1A B 所成的角，然后根据12cos 5
A BP ∠=
可得OM BP ，故M 为AP 的中点． 【详解】
（1）证明：∵P 在⊙O 上，AB 是⊙O 的直径，AP BP ∴⊥， 1AA ⊥平面1PAB AA BP ∴⊥，， 又1AP AA A ⋂＝，
BP ∴⊥平面1PAA ，又1A P ⊂平面1PAA ，故1BP A P ⊥．
（2）①由题意211412V OA AA AA πππ⋅⋅⋅＝＝＝
，解得13AA ＝， 由2120OA AOP ∠︒＝，＝，得302BAP BP ∠︒＝，＝，3,AP =，
1223232
PAB S ∆∴=⨯⨯=∴三棱锥1A APB ﹣的体积1112332333
PAB V S AA ∆=⋅=⨯= ②在AP 上存在一点M ，当M 为AP 的中点时，使异面直线OM 与1A B 所成角的余弦值为
25． 证明：∵O 、M 分别为AB AP 、的中点，则//OM BP ，
1A BP ∴∠就是异面直线OM 与1A B 所成的角，
11345AA AB A B ∴＝，＝，＝又1BP A P ⊥，
在1Rt A PB ∆中，11BP 2cos
A B 5
A P
B ∠==． ∴在AP 上存在一点M ，当M 为AP 的中点时，使异面直线OM 与1A B 所成角的余弦值为25
．
【点睛】
本题主要考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算以及异面直线所成的角，属于中档题．。