人教版高中数学选择性必修第一册2.3.2两点间的距离公式

由题可得aba＋＋ －2 111－×1b＝ －2 － 1＋1， 1＝0，
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解得ab＝＝－2，2，
即 N(－2,2)．所以直线 l2 的方程为 y－5＝54－＋22(x－4)，
即 x－2y＋6＝0.
法二：设直线 l2 上任一点的坐标为(x，y)，则点(x，y)关于直线 l：x－y ＋1＝0 的对称点的坐标为(y－1，x＋1)，因为它在直线 2x－y－3＝0 上．
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(2)法一：由x2－x－y＋y－1＝ 3＝0， 0， 解得xy＝ ＝45， ， 即直线 l 与直线 2x－y－3
＝0 的交点坐标为(4,5)．
在直线 2x－y－3＝0 上取一点 M(1，－1)，设点 M 关于直线 l 的对称点
N(a，b)，则线段 MN 的中点为 Ca＋2 1，b－2 1.
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[解析] 法一：∵|AB|＝ 3＋32＋－3－12＝2 13， |AC|＝ 1＋32＋7－12＝2 13， |BC|＝ 1－32＋7＋32＝2 26， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， ∴△ABC 是等腰直角三角形．
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是，|P→1P2|＝ x2－x12＋y2－y12
.由此得到 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
两点间的距离公式|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12
.
特别地，原点 O(0,0)与任一点 P(x，y)间的距离|OP|＝ x2＋y2 .
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当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝ |x2－x1| . 当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝ |y2－y1| .
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2.已知等腰梯形ABCD，建立适当的坐标系，证明：对 角线|AC|＝|BD|. 证明：如图，以等腰梯形ABCD的下底AB所在直线为x轴，以AB的中点 O为坐标原点建立平面直角坐标系，设梯形下底|AB|＝2a，上底|CD|＝ 2b，高为h，则A(－a,0)，B(a,0)，C(b，h)，
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解析：原式可化为 [a－－1]2＋b－22，对比两点间距离公式可得答 案为 B.
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2．已知点A(－3,4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b＝( A )
A．0或8
B．0或－8
C．0或6
D．0或－6
解析：由两点间距离公式得|AB|2＝(0＋3)2＋(b－4)2＝25，所以(b－4)2
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4．已知点M(x，y)，|OM|＝5，则x，y满足的方程为_x_2＋__y_2_＝__2_5_． 解析：由|OM|＝ x2＋y2＝5，得 x2＋y2＝25.
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两点间的距离公式
1．两点间的距离公式
如图，已知两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P→1P2＝(x2－x1，y2－y1)．于
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1.在平面直角坐标系xOy中，已知点M(0，－1)和N(2,5)． (1)若M，N是正方形一条边上的两个顶点，求这个正方形过顶点M的两 条边所在直线的方程； 解析：因为 M(0，－1)，N(2,5)，所以 kMN＝5－2－－01＝3，直线 MN 的 方程为 y＝3x－1.
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2．应用两点间距离公式的注意事项 两点间的距离公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式既可以写成 |P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12，也可以写成|P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22.
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[例1] 已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3,1)，B(3，－3)， C(1,7)，试判断△ABC的形状． 分析：思路一：由两点间距离公式求出三边的长 度，根据三边关系确定三角形的形状． 思路二：根据三边所在直线的斜率，能判断AC⊥ AB，再由两点间距离公式，得|AC|＝|AB|，判定三角形形状．
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[解析] (1)设直线l1上任一点的坐标为(x，y)， 则(x，y)关于点A(2，－3)的对称点的坐标为(4－x，－6－y)， 而点(4－x，－6－y)在直线l上，所以(4－x)－(－6－y)＋1＝0， 化简可得对称直线l1的方程为x－y－11＝0.
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2．3.2 两点间的距离公式
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[学习目标] 1.通过两点间距离公式的推导，体会数形结合思想． 2.理解并会应用两点间的距离公式． 3.用坐标证明简单的几何问题，能用代数方法解决几何问题．
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[例3] 已知点A(2，－3)，直线l：x－y＋1＝0.求： (1)直线l关于点A的对称直线l1的方程； (2)直线2x－y－3＝0关于直线l的对称直线l2的方程． 分析：(1)设直线l1上任一点的坐标为(x，y)，可求得(x，y)关于点A(2， －3)的对称点，再将对称点代入直线l的方程即可求得直线l关于点A的 对称直线l1的方程．
所以 2(y－1)－(x＋1)－3＝0，即 x－2y＋6＝0.
所以直线 l2 的方程为 x－2y＋6＝0.
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对称问题主要有以下几类：(1)点关于点的对称问题； (2)点关于直线的对称问题；(3)直线关于点的对称问题；(4)直线关于直 线的对称问题．重点是点关于点与点关于直线的对称问题．
求出P的坐标，
求出N的坐标
⇒求出直线 l2 的方程．
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②若直线l1与l平行，则直线l2与l也平行，首先变形使得直线l1与l的方程 中x，y项的系数对应相等，即l1：Ax＋By＋C1＝0，l：Ax＋By＋C＝0， 设直线l2的方程为Ax＋By＋C2＝0.在直线l1上任取一点P，在l上取一点 Q，则点P关于点Q的对称点M在直线l2上，确定C2的值，进而可得直线 l2的方程．
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1.判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明 确三角形的形状，以确定解题的方向． 2．在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征， 主要考查是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考 查边是否相等或是否满足勾股定理． 3．两点间的距离公式主要用于计算长度，求三角形的边长，还有后面 将要学到的弦长公式，以及证明三点共线问题．
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D(－b，h)．由两点间的距离公式，得 |AC|＝ －a－b2＋0－h2＝ a＋b2＋h2， |BD|＝ [a－－b]2＋0－h2＝ a＋b2＋h2， 所以|AC|＝|BD|.
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对称问题(2) 1．直线关于点的对称问题 直线l关于点P对称的直线l′满足：(1)直线l′与直线l平行；(2)直线l′ 上的任意一点关于点P的对称点都在直线l上．
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(2)法一：先求已知直线与对称直线的交点，然后在已知直线上任取一 点，求得该点关于对称直线的对称点，利用交点和对称点求对称直线 的方程． 法二：设直线l2上任一点的坐标为(x，y)，可求得点(x，y)关于直线l的 对称点的坐标，再将坐标代入直线2x－y－3＝0，即可求得对称直线l2 的方程．
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由距离公式，得
|AE|＝
2c＋a2＋ 23c－02＝ a2＋ac＋c2，
|CD|＝
c＋2a2＋0－ 23a2＝ a2＋ac＋c2，
所以|AE|＝|CD|.
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利用坐标法解决平面几何问题，建立恰当的坐标系非常 关键，如本题以AC所在直线为x轴，以点B为坐标原点，较易写出其他 各点的坐标，运算也相对简单；本题也可以以AC所在直线为x轴，以 AB的中点为坐标原点(或以BC的中点为坐标原点)，但坐标写起来麻 烦，运算时也很烦琐．
必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升
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预习教材，思考问题 问题1 两点间距离公式是如何推导的？ 问题2 “坐标法”解决平面几何问题的基本步骤是什么？
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[预习自测] 1．式子 a＋12＋b－22可以理解为( B ) A．点(a，b)与点(1，－2)间的距离 B．点(a，b)与点(－1,2)间的距离 C．点(a，b)与点(1,2)间的距离 D．点(a，b)与点(－1，－2)间的距离
分析：适当选择平面直角坐标系，确定各点的坐标，由两点间距离公 式，求出|AE|，|CD|，得出它们的关系．
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[证明] 如图所示，以B点为坐标原点，取AC所在直线为x轴， 建立平面直角坐标系xOy.
设△ABD 和△BCE 的边长分别为 a 和 c. 则 A(－a,0)，C(c,0)，E2c， 23c，D－a2， 23a，
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设正方形的另外两个顶点坐标分别为 M′(x1，y1)，N′(x2，y2)． 因为 M′在直线 x＋3y－7＝0 上， 且|O′M|2＝|O′M′|2， 所以 x1＋3y1－7＝0，① (0－1)2＋(－1－2)2＝(x1－1)2＋(y1－2)2，② 由①②联立，得yx11＝＝3－2， 或xy11＝＝41，. 故正方形的另外两个顶点的坐 标分别为(－2,3)，(4,1)．
(2)若M，N是正方形一条对角线上的两个顶点，求这个正方形另外一条 对角线所在直线的方程及正方形的另外两个顶点的坐标． 解析：由(1)得直线 MN 的方程为 3x－y－1＝0， 所以另外一条对角线所在直线的斜率为－13. 设 MN 的中点为 O′，则 O′(1,2)， 易知另外一条对角线过点 O′， 所以 y－2＝－13(x－1)，整理得 x＋3y－7＝0.
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2．直线关于直线的对称问题 求直线l1关于直线l的对称直线l2的问题，分为l1与l相交和l1与l平行两种 情况．①若l1与l相交，首先求出直线l1与l的交点P，然后在直线l1上选 择一点M，求出M关于直线l的对称点N，再由两点式或者点斜式求出直 线l2的方程，即
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设这个正方形过顶点 M 的另一条直线为 l，所以直线 l 的斜率 k′＝－ kM1N＝－13，直线 l 的方程为 y＝－13x－1， 整理得 x＋3y＋3＝0.故所求两条直线的方程分别为 3x－y－1＝0，x＋ 3y＋3＝0.
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法二：∵kAC＝1－7－－13＝32，kAB＝3－－3－－13＝－23， ∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. 又|AC|＝ 1＋32＋7－12＝2 13， |AB|＝ 3＋32＋－3－12＝2 13， ∴|AC|＝|AB|. ∴△ABC 是等腰直角三角形．
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用坐标法解决平面几何问题 坐标法解题的基本步骤 (1)建立适当的坐标系，用坐标表示有关的量；(2)进行有关代数运算； (3)把代数运算的结果“翻译”成几何关系．
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[例2] 如图，△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形．试 用坐标法证明：|AE|＝|CD|.
＝16，即b－4＝±4.所以b＝0或b＝8.
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3 ． 已 知 点 A(1 ， － 5) ， B( － 3 ， － 1) ， 线 段 AB 的 中 点 M ， 则 |OM| ＝ ____1_0_____. 解析：设 M(x，y)，则 x＝1－2 3＝－1， y＝－52－1＝－3. ∴|OM|＝ x2＋y2＝ －12＋－32＝ 10.