《固体物理学》房晓勇-思考题06第六章_能带理论基础

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第六章 能带理论基础
产生禁带的原因：是在布区边界上存在布拉格反射 .
6.7 定性说明能带形成的原因。 解答： 6.8 什么是弱周期场近似？按照弱周期场近似，禁带产生的原因是什么？ 解答： 弱周期场近似也称为近自由电子近似， 是假定周期场的起伏比较 小，作为零级近似，可以用势场的平均值代替晶格势场，周期势的起伏作为 微扰处理。 对于在倒格矢 G 中垂面及其附近的波矢 k ，即布里渊区界面附近的波 矢 k ，由于采用简并微扰计算，致使能级间产生排斥作用，从而使 E (k ) 函 数在布里渊区界面处“断开” ，即发生突变，从而产生了禁带。 可以用右面的图来描述禁带形成的原因： 6.9 什么是紧束缚近似？按照紧束缚近似，禁带是如何产生的？ 解答：当晶体是由相互作用较弱的原子组成时，周期场随空间的起伏比较显著。此时，电子在某一个 原子附近时，将主要受到该原子场的作用，其他原子场的作用可以看做一个微扰作用。基于这种设想建立 的近似方法，称为紧束缚近似。 6.10 一个能带有 N 个准连续能级的物理原因是什么？ 解答： 这是由于晶体中含有的总原胞数 N 通常都是很大的，所以 k 的取值是十分密集的，相应的能级 也同样十分密集，因而便形成了准连续的能级。 6.11 旺尼尔函数具有哪些性质？ 解答：旺尼尔函数具有的性质：一是局域性。旺尼尔函数只依赖于 r − Rl ，它可以表示成各种平面 波的叠加，是以格点 Rl 为中心的波包，具有定域性质。二是正交性。不同能带和格点上的旺尼尔函数是 正交的。 6.12 结构格林函数与一般格林函数的区别在哪里？ 解答：一般格林函数代表空间中所有源点产生的球面波在观察点的叠加，而格林函数则代表晶体中所 有等价点 r′′ 产生的球面波子波在观察点的叠加。见图 6-14 6.13 为什么引入正交平面波法？这种方法有何优点？ 解答：同内层电子态正交的平面波称为正交化平面波，电子的布洛赫波函数只有在两个离子实的中间 区域是变化平缓的，在离子实区域（简称芯区） ，晶体势很强，波函数不像平面波，而具有类似于孤立原 子中电子波函数的急剧震荡特性。因为平面波展开收敛很慢，使其难以成为能带计算的实用方法，而价电 子波函数的振荡部分出现离子实区域，此波函数又必须与内层电子的波函数正交，正交平面波正好在离子 实区域引进振荡成分，恰好能描述价电子的特征。 这种方法的优点是减少了计算工作量，只需取几个正交的平面波就会得到很好的结果。 6.14 试说明正交平面波同一般平面波的区别。 6.15 什么是赝势？赝势法的基本思想是什么？ 解答：价电子波函数在离子实附近振荡，即等价于受到一个排斥势作用，这种排斥势对离子实强吸引势的 抵消，使价电子受到的势场等价于一个弱的平滑势，称为赝势（Pseudopotential，简称为 PP） 。 赝势法的基本思想是：适当选取一个平滑势，波函数用少数波函数展开，使计算出的能带结果与真实的接 近。
第六章 能带理论基础 第六章 能带理论基础 6.1 能带理论作了那些近似和假定？得到那些结果？ 解答：能带理论的近似：一是绝热近似（Born-Opeenheimer)。即把电子系统与原子核（离子实）分开 考虑的处理方法。二是平均场近似（单电子近似） 。即把每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中 的运动。 能带理论的假设：假设晶格具有严格的周期性。 在绝热近似、平均场近似和晶格周期长假定条件下，多电子体系问题可以简化为晶格周期场下的单电 子问题。能从理论上得到材料的能带结构或电子结构，以及相关的费米面、能态密度和电子云的的分布， 或笼统的简称为材料的能带结构或电子结构。 6.2 周期场是能带形成的必要条件吗？ 解答：不是。能带论虽然是从周期场中推导出来的，但周期场并不是能带形成的必要条件，在非晶体 中固体中，电子同样具有能带结构， 解（中南大学 5.2） ：周期场对能带的形成是必要条件，这是由于在周期场中运动的电子的波函数是一 个周期性调幅的平面波，即是一个布洛赫波。由此使能量本征值也称为波矢的周期函数，从而形成了一系 列的能带。 6.3 什么是布洛赫电子？什么是布洛赫波？布洛赫波有哪些性质？ 解答： 能用 Ψ r = uk r e− k ⋅r 表示， 而且满足 uk r = uk r + Rn 的这种被周期函数所调幅的平面波 函数称为布洛赫波。把能用布洛赫波函数描述其运动状态的电子称为布洛赫电子。 布洛赫波性质： 电子的共有化运动性质， 即在晶格周期场中的电子在各原胞对应点出现的几率均相同， 电子可以看做在整个晶体中自由运动。平面波的因子描述了晶体电子共有化运动，而周期函数因子则描述 可电子在原胞中的运动，它取决于原胞中电子的势场。 6.4 为什么 ℏ k 称为布洛赫电子的“准动量”或“晶体动量” ？ 解答：由于布洛赫波函数波矢动量的本征值，而是晶格周期势场中电子能量的本征值。因此， ℏ k 不 是晶格电子的真实动量，它只是一个具有动量量纲的量。在研究电子在外场作用下的运动，以及研究电子 与声子、光子的相互作用时， ℏ k 起着动量的作用，所以 ℏ k 称为布洛赫电子的“准动量”或“晶体动量” 。 6.5 什么是禁带？禁带出现在什么位置？ 解答：相邻两个能带之间可能出现电子不允许有的能量间隙，称为晶带，也成为能隙。 在一维晶格中，禁带发生在波矢 k = π / a 和 k ′ = −π / a 处，或者一般的表述为禁带出现在 k 空间倒格 矢的中点上。在三维空间，可以表述为禁带出现在布里渊区界面上。 6.6 禁带是否一定出线？出现晶带与哪些因素有关？ 解答：禁带不一定出现。在一维情况下，禁带一定出现，在三维情况下，在 k 空间的不同方向，不连 续的能量范围不一定相同，从而不连续不一定导致禁带的发生，这就是说，不同能带的禁带不一定存在， 可能发生能量交叠。 在布里渊区界面是否出现禁带与下列因素有关：一是与周期势场的具体形式有关，若在某个布里渊区 界面上， V r 的展开式系数 V G 时，则此布里渊区界面上将不出现能隙，两个能带联为一体；二是与
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