高考数学一轮 知识点各个击破 第二章 课时跟踪检测(十三)函数模型及其应用 文 新人教A版

课时跟踪检测(十三) 函数模型及其应用
1．设甲、乙两地的距离为a (a ＞0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数图象为( )
2．(2012·湖北三校联考)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为
R %(即每销售100元征税R 元)，若年销售量为⎝
⎛⎭
⎪⎫30－5
2
R 万件，要使附加税不少于128万元，
则R 的取值范围是( )
A ．[4,8]
B ．[6,10]
C ．[4%,8%]
D ．[6%,100%]
3．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低1
3，
现在价格为8 100元的计算机经过15年的价格应降为( )
A ．2 000元
B ．2 400元
C ．2 800元
D ．3 000元
4．(2013·温州月考)某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式
是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间
t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，
这两种方式电话费相差( )
A ．10元
B ．20元
C ．30元
D.403
元 5．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数
x 之间关系的是( )
A ．y ＝100x
B ．y ＝50x 2
－50x ＋100 C ．y ＝50×2x
D ．y ＝100log 2x ＋100
6．(2013·长春联合测试)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支
股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )
A．略有盈利B．略有亏损
C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况
7．(2012·河南调研)为了在“十一”黄金周期间降价搞促销，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不予优惠；②如果超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③如果超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7拆优惠．辛云和她母亲两次去购物，分别付款168元和423元，假设她们一次性购买上述同样的商品，则应付款额为__________．8．(2012·镇江模拟)如图，书的一页的面积为600 cm2，设计要求
书面上方空出2 cm的边，下、左、右方都空出1 cm的边，为使中间文
字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．
9．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份
销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七
月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________．
10．(2012·湖南十二校联考)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过收益的20%.
请分析函数y＝
x
150
＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因．
11．高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是4 500元/台．当笔记本电脑销售价为6 000元/台时，月销售量为a台．市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为x(0<x<1)，那么月销售量减少的百分率为x2.记销售价提高的百分率为x时，电脑企业的月利润是y元．
(1)写出月利润y与x的函数关系式；
(2)如何确定这种笔记本电脑的销售价，使得该公司的月利润最大．
12.如图，已知矩形油画的长为a，宽为b.在该矩形油画的四边
镶金箔，四个角(图中斜线区域)装饰矩形木雕，制成一幅矩形壁
画．设壁画的左右两边金箔的宽为x，上下两边金箔的宽为y，壁画
的总面积为S.
(1)用x，y，a，b表示S；
(2)若S为定值，为节约金箔用量，应使四个矩形木雕的总面积最大．求四个矩形木雕总面积的最大值及对应的x，y的值．
1．某地2011年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，如果该城市人口平均每年增长率为1%.问为使2021年底该城市人均住房面积增加到7 m2，平均每年新增住房面积至少为(1.0110≈1.104 6)()
A．90万m2B．87万m2
C．85万m2D．80万m2 Array
2.一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满
缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象
可能是图中的________．
3．(2011·湖北高考)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆
/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)
[答题栏]
答案
课时跟踪检测(十三)
A级
1．D 2.A 3.B 4.A
5．选C 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型．
6．选B 设该股民购这支股票的价格为a，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝
a ×1.1n ，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1－10%)n ＝a ×1.1n ×0.9n ＝a ×(1.1×0.9)n
＝0.99n
·a <a ，故该股民这支股票略有亏损．
7．解析：依题意，价值为x 元商品和实际付款数f (x )之间的函数关系式为
f (x )＝
⎩⎪⎨⎪
⎧
x ，0≤x ≤200，0.9x ，200<x ≤500，500×0.9＋x －
，x >500.
当f (x )＝168时，由168÷0.9≈187<200，故此时x ＝168；当f (x )＝423时，由423÷0.9＝470∈(200,500]，故此时x ＝470.所以两次共购得价值为470＋168＝638元的商品，又500×0.9＋(638－500)×0.7＝546.6元，即若一次性购买上述商品，应付款额为546.6元．
答案：546.6元
8．解析：设长为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝600，则中间文字部分的面积S ＝(a －2－1)(b －2)＝606－(2a ＋3b )≤606－26×600＝486，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝30，b ＝20时，S 最
大
＝486.
答案：30 cm,20 cm
9．解析：七月份的销售额为500(1＋x %)，八月份的销售额为500(1＋x %)2
，则一月份
到十月份的销售总额是3 860＋500＋2 [500(1＋x %)＋500(1＋x %)2
]，根据题意有3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2
]≥7 000，
即25(1＋x %)＋25(1＋x %)2
≥66， 令t ＝1＋x %，则25t 2
＋25t －66≥0， 解得t ≥65或者t ≤－11
5(舍去)，
故1＋x %≥6
5，解得x ≥20.
答案：20
10．解：对于函数模型y ＝f (x )＝
x
150
＋2， 当x ∈[10,1 000]时，f (x )为增函数，
f (x )max ＝f (1 000)＝
1 000150＋2＝20
3
＋2<9， 所以f (x )≤9恒成立．
但当x ＝10时，f (10)＝115＋2>10
5，
即f (x )≤x
5
不恒成立．
故函数模型y ＝
x
150
＋2不符合公司要求． 11．解：(1)依题意，销售价提高后变为6 000(1＋x )元/台，月销售量为a (1－x 2
)台，则y ＝a (1－x 2
)[6 000(1＋x )－4 500]．
即y ＝1 500a (－4x 3
－x 2
＋4x ＋1)(0<x <1)． (2)由(1)知y ′＝1 500a (－12x 2
－2x ＋4)， 令y ′＝0，得6x 2
＋x －2＝0， 解得x ＝12或x ＝－2
3
(舍去)．
当0<x <12时，y ′>0；当1
2<x <1时，y ′<0.
故当x ＝1
2时，y 取得最大值．
此时销售价为6 000×3
2
＝9 000(元)．
故笔记本电脑的销售价为9 000元时，该公司的月利润最大． 12．解：(1)由题意可得S ＝2bx ＋2ay ＋4xy ＋ab ，其中x >0，y >0. (2)依题意，要求四个矩形木雕总面积的最大值即求4xy 的最大值．
因为a ，b ，x ，y 均大于0，所以2bx ＋2ay ≥22bx ·2ay ，从而S ≥4abxy ＋4xy ＋ab ，当且仅当bx ＝ay 时等号成立．
令t ＝xy ，则t >0，上述不等式可化为 4t 2
＋4ab ·t ＋ab －S ≤0， 解得－S －ab 2≤t ≤S －ab 2.
因为t >0，所以0＜t ≤S －ab
2，
从而xy ≤
ab ＋S －2abS
4
.
由⎩⎪⎨⎪⎧
bx ＝ay ，
S ＝2bx ＋2ay ＋4xy ＋ab ，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝abS －ab
2b ，y ＝
abS －ab
2a
.
所以当x ＝
abS －ab 2b ，y ＝abS －ab
2a
时，四个矩形木雕的总面积最大，最大值为
ab ＋S －2abS .
B 级
1．选B 由题意
＋
10
×7－500×610
≈86.6(万m 2
)
≈87(万m 2
)．
2．解析：当h ＝0时，v ＝0可排除①、③；由于鱼缸中间粗两头细，∴当h 在H
2附近时，
体积变化较快；h 小于H 2时，增加越来越快；h 大于H
2
时，增加越来越慢．
答案：②
3．解：(1)由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60； 当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，
再由已知得⎩
⎪⎨
⎪⎧
200a ＋b ＝0，
20a ＋b ＝60，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－13，
b ＝200
3.
故函数v (x )的表达式为
v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
60，0≤x ≤20，1
3－x ，20≤x ≤200.
(2)依题意并由(1)可得
f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
60x ，0≤x ≤20，1
3x －x ，20≤x ≤200.
当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，
故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200； 当20≤x ≤200时，f (x )＝1
3x (200－x )≤
13⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤x ＋－x 22＝10 000
3，当且仅当x ＝200－x ， 即x ＝100时，等号成立．
所以当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值
10 000
3
.
综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值10 000
3
≈3 333，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．。