学年高中数学第章不等式..基本不等式的应用习题课课时作业含解析新人教A版必修
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A．4 B.
C．8 D．9
解析：由题得， ＝ － ＝(a－1,1)， ＝ － ＝(－b－1,2)．∵A，B，C三点共线，
∴ ∥ ，
∴(a－1)×2－1×(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1，又a>0，b>0，∴ ＋ ＝ ·(2a＋b)＝5＋ ＋ ≥5＋2 ＝9，当且仅当 即 时，等号成立．
答案：D
12．x>0，y>0，x＋y＋3＝xy，且不等式(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，那么实数a的取值范围是________．
得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤ .
(2)因为 ＋b≥2a， ＋c≥2b， ＋a≥2c，
故 ＋ ＋ ＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即 ＋ ＋ ≥a＋b＋c.
所以 ＋ ＋ ≥1.
即 ＋ ＋ < ＋ ＋ .
14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tanA，tanB是关于x的方程x2＋(1＋p)x＋p＋2＝0的两个实根，c＝4.
A．3 B．2
C．9 D．36
解析：由题意得a＋b＝6，又a>0，b>0，a＋b≥2· ，∴ab≤ 2＝9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立．
答案：C
3．x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，那么 ＋ 的最小值是()
A．2 B．2
C．4 D．2
解析：∵lg 2x＋lg 8y＝lg 2，∴lg(2x·8y)＝lg 2，∴2x＋3y＝2，∴x＋3y＝1.
又∵x>0，y>0，∴ ＋ ＝(x＋3y)· ＝2＋ ＋ ≥2＋2 ＝4 ，应选C.
答案：C
4．直线mx－y＋n＝0过点(2,1)，其中m，n是正数，那么mn的最大值为()
A. B.
C. D.
解析：依题意得2m－1＋n＝0，即2m＋n＝1，又m，n是正数，所以1＝2m＋n≥2 ，即mn≤ (当且仅当2m＝n时取等号)．应选C.
答案：
13．a，b，c为不全相等的正实数，且abc＝1.求证： ＋ ＋ < ＋ ＋ .
证明：因为a，b，c都是正实数，且abc＝1，
所以 ＋ ≥2 ＝2 ，
＋ ≥2 ＝2 ，
＋ ≥2 ＝2 ，
以上三个不等式相加，得2 Fra bibliotek2( ＋ ＋ )，
又因为a，b，c不全相等，所以不能取等号，
所以2 >2( ＋ ＋ )，
∴12>7m－m2，
解得m<3或m>4，
∴m的取值范围为(－∞，3)∪(4，＋∞)．
答案：(－∞，3)∪(4，＋∞)
三、解答题(每题10分，共20分)
9．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：
(1)ab＋bc＋ac≤ ；
(2) ＋ ＋ ≥1.
解析：证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
课时作业22 根本不等式的应用习题课
[
一、选择题(每题5分，共25分)
1．a≥0，b≥0，且a＋b＝2，那么()
A．ab≤ B．ab≥
C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤2
解析：由a＋b＝2，得ab≤ 2＝1，排除A、B；又 ≥ 2，所以a2＋b2≥2.
答案：C
2．a>0，b>0，x＝1为f(x)＝6x2－ax－b的零点，那么ab的最大值为()
答案：30
7．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．
解析：设水池池底的一边长为xm，那么另一边长为 m，总造价为y＝480＋80× ×2＝480＋320 ≥480＋320×2 ＝1 760，当且仅当x＝ ，即x＝2时，y取最小值1 760.所以水池的最低总造价为1 760元．
答案：C
5．制作一个面积为1 m2，形状为直角三角形的铁支架框，有以下四种长度的铁管供选择，较经济(够用且耗材最少)的选法是()
A．4.6 mB．4.8 m
C．5 mD．5.2 m
解析：设直角三角形支架框的一条直角边长为xm，那么另一条直角边长为 m，斜边长为 m，所以周长为l＝x＋ ＋ ≥2 ＋2，当且仅当x＝ ，即x＝ ≈1.414时，等号成立，
所以l≈2.828＋2＝4.828 m，应选C.
答案：C
二、填空题(每题5分，共15分)
6．某公司一年购置某种货物600吨，每次购置x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费之和最小，那么x的值是________．
解析：总费用4x＋ ×6＝4 ≥4×2 ＝240，当且仅当x＝ ，即x＝30时等号成立．
解析：由(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，得(x＋y)2＋1≥a(x＋y)，即a≤(x＋y)＋ 恒成立，只需a≤ min即可．
由x＋y＋3＝xy，得x＋y＋3＝xy≤ 2，即(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0，解得x＋y≥6或x＋y≤－2(舍去)．
设t＝x＋y，那么t≥6，(x＋y)＋ ＝t＋ .设f(t)＝t＋ ，那么当t∈[6，＋∞)时，f(t)单调递增，所以f(t)＝t＋ 的最小值为6＋ ＝ ，所以a≤ ，即实数a的取值范围是 .
10．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起，包括维修费在内，每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入为50万元．
(1)问捕捞几年后总盈利最大？最大是多少？
(2)问捕捞几年后的平均利润最大？最大是多少？
解析：(1)设捕捞n年后的总盈利为y万元，那么
y＝50n－98－
＝－2n2＋40n－98
＝－2(n－10)2＋102，
所以捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．
(2)年平均利润为 ＝－2
≤－2 ＝12，
当且仅当n＝ ，即n＝7时上式取等号．
所以，捕捞7年后的平均利润最大，最大是12万元．
[
11．设 ＝(1，－2)， ＝(a，－1)， ＝(－b,0)(a>0，b>0，O为坐标原点),假设A，B，C三点共线，那么 ＋ 的最小值是()
答案：1 760
8．x>0，y>0，且 ＋ ＝2，假设4x＋y>7m－m2恒成立，那么m的取值范围为________．
解析：∵x>0，y>0，且 ＋ ＝2，
∴4x＋y＝(4x＋y) × ＝ · ≥ ＝12，
当且仅当 ＝ 且 ＋ ＝2，即x＝ ，y＝6时，等号成立，即4x＋y取得最小值12.
∵4x＋y>7m－m2恒成立，
C．8 D．9
解析：由题得， ＝ － ＝(a－1,1)， ＝ － ＝(－b－1,2)．∵A，B，C三点共线，
∴ ∥ ，
∴(a－1)×2－1×(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1，又a>0，b>0，∴ ＋ ＝ ·(2a＋b)＝5＋ ＋ ≥5＋2 ＝9，当且仅当 即 时，等号成立．
答案：D
12．x>0，y>0，x＋y＋3＝xy，且不等式(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，那么实数a的取值范围是________．
得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤ .
(2)因为 ＋b≥2a， ＋c≥2b， ＋a≥2c，
故 ＋ ＋ ＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即 ＋ ＋ ≥a＋b＋c.
所以 ＋ ＋ ≥1.
即 ＋ ＋ < ＋ ＋ .
14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tanA，tanB是关于x的方程x2＋(1＋p)x＋p＋2＝0的两个实根，c＝4.
A．3 B．2
C．9 D．36
解析：由题意得a＋b＝6，又a>0，b>0，a＋b≥2· ，∴ab≤ 2＝9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立．
答案：C
3．x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，那么 ＋ 的最小值是()
A．2 B．2
C．4 D．2
解析：∵lg 2x＋lg 8y＝lg 2，∴lg(2x·8y)＝lg 2，∴2x＋3y＝2，∴x＋3y＝1.
又∵x>0，y>0，∴ ＋ ＝(x＋3y)· ＝2＋ ＋ ≥2＋2 ＝4 ，应选C.
答案：C
4．直线mx－y＋n＝0过点(2,1)，其中m，n是正数，那么mn的最大值为()
A. B.
C. D.
解析：依题意得2m－1＋n＝0，即2m＋n＝1，又m，n是正数，所以1＝2m＋n≥2 ，即mn≤ (当且仅当2m＝n时取等号)．应选C.
答案：
13．a，b，c为不全相等的正实数，且abc＝1.求证： ＋ ＋ < ＋ ＋ .
证明：因为a，b，c都是正实数，且abc＝1，
所以 ＋ ≥2 ＝2 ，
＋ ≥2 ＝2 ，
＋ ≥2 ＝2 ，
以上三个不等式相加，得2 Fra bibliotek2( ＋ ＋ )，
又因为a，b，c不全相等，所以不能取等号，
所以2 >2( ＋ ＋ )，
∴12>7m－m2，
解得m<3或m>4，
∴m的取值范围为(－∞，3)∪(4，＋∞)．
答案：(－∞，3)∪(4，＋∞)
三、解答题(每题10分，共20分)
9．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：
(1)ab＋bc＋ac≤ ；
(2) ＋ ＋ ≥1.
解析：证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
课时作业22 根本不等式的应用习题课
[
一、选择题(每题5分，共25分)
1．a≥0，b≥0，且a＋b＝2，那么()
A．ab≤ B．ab≥
C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤2
解析：由a＋b＝2，得ab≤ 2＝1，排除A、B；又 ≥ 2，所以a2＋b2≥2.
答案：C
2．a>0，b>0，x＝1为f(x)＝6x2－ax－b的零点，那么ab的最大值为()
答案：30
7．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．
解析：设水池池底的一边长为xm，那么另一边长为 m，总造价为y＝480＋80× ×2＝480＋320 ≥480＋320×2 ＝1 760，当且仅当x＝ ，即x＝2时，y取最小值1 760.所以水池的最低总造价为1 760元．
答案：C
5．制作一个面积为1 m2，形状为直角三角形的铁支架框，有以下四种长度的铁管供选择，较经济(够用且耗材最少)的选法是()
A．4.6 mB．4.8 m
C．5 mD．5.2 m
解析：设直角三角形支架框的一条直角边长为xm，那么另一条直角边长为 m，斜边长为 m，所以周长为l＝x＋ ＋ ≥2 ＋2，当且仅当x＝ ，即x＝ ≈1.414时，等号成立，
所以l≈2.828＋2＝4.828 m，应选C.
答案：C
二、填空题(每题5分，共15分)
6．某公司一年购置某种货物600吨，每次购置x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费之和最小，那么x的值是________．
解析：总费用4x＋ ×6＝4 ≥4×2 ＝240，当且仅当x＝ ，即x＝30时等号成立．
解析：由(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，得(x＋y)2＋1≥a(x＋y)，即a≤(x＋y)＋ 恒成立，只需a≤ min即可．
由x＋y＋3＝xy，得x＋y＋3＝xy≤ 2，即(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0，解得x＋y≥6或x＋y≤－2(舍去)．
设t＝x＋y，那么t≥6，(x＋y)＋ ＝t＋ .设f(t)＝t＋ ，那么当t∈[6，＋∞)时，f(t)单调递增，所以f(t)＝t＋ 的最小值为6＋ ＝ ，所以a≤ ，即实数a的取值范围是 .
10．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起，包括维修费在内，每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入为50万元．
(1)问捕捞几年后总盈利最大？最大是多少？
(2)问捕捞几年后的平均利润最大？最大是多少？
解析：(1)设捕捞n年后的总盈利为y万元，那么
y＝50n－98－
＝－2n2＋40n－98
＝－2(n－10)2＋102，
所以捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．
(2)年平均利润为 ＝－2
≤－2 ＝12，
当且仅当n＝ ，即n＝7时上式取等号．
所以，捕捞7年后的平均利润最大，最大是12万元．
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11．设 ＝(1，－2)， ＝(a，－1)， ＝(－b,0)(a>0，b>0，O为坐标原点),假设A，B，C三点共线，那么 ＋ 的最小值是()
答案：1 760
8．x>0，y>0，且 ＋ ＝2，假设4x＋y>7m－m2恒成立，那么m的取值范围为________．
解析：∵x>0，y>0，且 ＋ ＝2，
∴4x＋y＝(4x＋y) × ＝ · ≥ ＝12，
当且仅当 ＝ 且 ＋ ＝2，即x＝ ，y＝6时，等号成立，即4x＋y取得最小值12.
∵4x＋y>7m－m2恒成立，