第八讲四点共圆初步

【练习1】
【解析】 取BC 中点O 及点O 关于AC 的对称点O ′，分别以O 、O ′为圆心，OC 、O C ′长度为半径作圆，两
圆与直线EF 有两个交点（如图），一个是点B ，另外一个是线段AB 的中点，所以满足条件的P 点一定在线段AB 上，应选B ．
【练习2】
【解析】
1
212DAC
DBC K BDC CAB
∠∠==∠∠
【练习3】
【解析】 以A 为圆心，以AB 为半径作圆，并在优弧上任取一点E ，连接EB 、ED ．
∵150BCD ∠=
°，∴30E ∠=°， ∴260BAD E ∠=∠=°．
此题直接用等腰三角形的内角关系也很简单，只是为了让学生练习一下辅助圆思想，该方法在这里 并不是最直接的．
第八讲
四点共圆初步
D C B A
E D
C B A
【练习4】
⑴ ⑵ ⑶ 【解析】 ⑴因为AD 是⊙O 的直径，所以090,ABD ∠=又0128,C ∠=且、、、A B C D 四点共圆，
所以052,A ∠=故038.ADB ∠=
⑵因为AB 是⊙O 的直径，所以090.ACB ∠=又030,BAC ∠=所以060.B ∠=由、、、A B C D 四点共圆，故0120.D ∠= ⑶如图，在 AC 上任取E 点，则由、、、A B C E 四点共圆有0,E n ∠=
故022.AOC E n ∠=∠=
【练习5】
【解析】 ∵AB AC =，∴B C ∠=
∠， ∵CD DE =，∴C CED ∠=
∠， ∴B CED ∠=
∠， ∴A B D E 、、、四点共圆．
【练习6】
(a)
F
E
D C B
A
(b)
F E D
C
B
A
【解析】 如图(a)，∵A B F E 、、、四点共圆，∴DEF B ∠=∠，
∵AB CD ∥，∴180B C
∠+∠=°，∴180DEF C ∠+∠=°， ∴C D E F 、、、四点共圆，即CDEF 是圆内接四边形．
如图(b)，∵A B F E 、、、四点共圆，∴180DEF B ∠+∠=
°， ∵AB CD ∥，∴B DCF ∠=
∠，∴180DEF DCF ∠+∠=°， ∴C D E F 、、、四点共圆，即CDEF 是圆内接四边形．
E
D
B
A
【练习7】
【解析】 连接CD ，
∵BF AB ⊥，∴90BAF F ∠+∠=°，
∵AB 是直径，∴90ACD BAD
∠+∠=°， ∴ACD F ∠=
∠， ∴C D F E 、、、四点共圆．
【练习8】
【解析】 连接PQ ，
∵TA TB 、是切线，
∴TAB AQP ∠=
∠，TBA BQP ∠=∠， ∵180TAB TBA T
∠+∠+∠=°， ∴180AQP BQP T
∠+∠+∠=°， 即180AQB T
∠+∠=°． ∴T A Q B 、、、四点共圆．。