设参法

设参法：
第一阶段：设参完直接代入 例1. 已知
234
x y z
==，求：2
22xy yz zx x y z ++++的值 （
2629
，提示：令234x y z
k ===（到这一步为止，此题中的k 没有任何的要求），
222222629xy yz zx k x y z k ++=++，此时k 有要求了，不能为0。

所以原题最完整的解答为：当0
234
x y z
===时，
222xy yz zx x y z ++++无意义；当0234
x y z
==≠时，222
2629xy yz zx x y z ++=++） 例2. 已知32a c e b d f ===，求：2223242
2223242
23432342a c e b d f --------------+++⨯+++⨯的值
（2009年普陀区新知杯预赛） （
49，提示：将32a b =、32c d =、3
2
e f =代入即可） 例3. （回家作业）23y x =，求：22x xy
y xy
+-的值
（15
2-，提示：2323y x y x =⇔=，可以设32x k y k =⎧⎨=⎩
，代入22x xy y xy +-即可）
例4. 已知
232x y z -==，求：222
xy yz
x y z +++的值 （0，提示：想明白为什么可以倒，
02能倒一下吗？30能倒一下吗？令()0232
x y z
k k ===≠-，然后直接代入。

看看这里设的时候对k 直接有要求了，不像前面一题，设的时候对k 没有任何要求）
例5. 已知a c
b d
=，求：()()7
77777a b a b c d c d ++-
++ （0，提示：令a bk a c k c dk
b d =⎧==⇒⎨=⎩，代入()()()()7
7
7
7777777777777101a b b k a b b k b c d d k d c d d k ++++-=-=++++）
例6. （回家作业）已知
x y z a b b c c a ==
---，求：200220032004x y z
a b c
++++的值
（0，提示：令()()()x a b k x y z
k y b c k a b b c c a z c a k =-⎧⎪===⇒=-⎨---⎪
=-⎩，所以0x y z ++=）
例7. （回家作业）已知
()0x y z
xyzabc a b c ==≠，求：
()()()()()()
xyz a b b c c a abc x y y z z x ++++++的值 （1，提示：令()0x ak
x y z k y bk k a b c z ck
=⎧⎪
===⇒=≠⎨⎪=⎩
，直接代入即可）
例8. 若
111123
x y z ==+++，则2x y z -+=______. （2015年希望杯初三一试）
（0，提示：令111111212313x k k y x y z k z k ⎧=-⎪⎪
⎪
===⇒=-⎨+++⎪
⎪=-⎪⎩
，代入2x y z -+得0）
例9. 已知
x y z
a b b c c a
==
---，求证：0x y z ++= （提示：令()()()x a b k x y z
k y b c k a b b c c a z c a k
=-⎧⎪===⇒=-⎨---⎪
=-⎩，所以0x y z ++=。

通过此题，提到这是条
件等式的证明问题，而设参法是一种非常重要的证明条件等式的方法！！！） 例10. 已知a b c ≠≠，且
b c c a a b
x y z
---==，求证：0ax by cz ++= （提示：令()0x y z
k k b c c a a b ===≠---，所以()()()()0x b c k
y c a k k z a b k =-⎧⎪=-≠⎨⎪
=-⎩，然后直接代入）
例11. 已知
x y z
b c a c a b a b c
==
+-+-+-，求证：()()()0b c x c a y a b z -+-+-=
（提示：令()()()x b c a k x y z
k y c a b k b c a c a b a b c z a b c k
=+-⎧⎪===⇒=+-⎨+-+-+-⎪
=+-⎩，直接代入要证明的式子中
去） 例12. 已知
a b c m n p
==，求证：()()
()2
222222a b c m n p am bn cp ++++=++ （提示：令a mk
a b c k b nk m n p c pk
=⎧⎪
===⇒=⎨⎪=⎩
，代入要证明的式子，这里就可以提到证明题的书写格式
了，左边XXX =，XXX =右边，所以左边=右边） 例13. 已知
2
22p q r
x yz y zx z xy
==---，求证：()()px qy rz x y z p q r ++=++++
（提示：令()()()222222
p k x yz p q r k q k y zx x yz y zx z xy r k z xy ⎧=-⎪⎪
===⇒=-⎨---⎪=-⎪⎩
，代入要证明的式子，左边
XXX =，XXX =右边，所以左边=右边）
例14. 如果312123a a a b b b ==，求证：对任意正整数n 都有11223311112233
n
n n n
n n n
p a p a p a a b p b p b p b ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭ （提示：令11
31222123
3
3a kb a a a k a kb b b b a kb
=⎧⎪
=
==⇒=⎨⎪=⎩，直接代入就可以证明了） 例15. 已知,,,a b c x 均不为零，且
22x y z
a b c a c a b c
==
++--+，求证：22a b c x y z x z x y z ==++--+ （提示：令()()
()
()
20222x k a b c x y z
k k y k a c a b c a c a b c z k a b c =++⎧⎪===≠⇒=-⎨++--+⎪
=-+⎩，然后代入下面要证明的内容中） 例16. （回家作业）已知
2244x y z
a b c a b c a b c
==
+++--+，求证：2244a b c
x y z x y z x y z
==+++--+
（提示：令2244x y z
k a b c a b c a b c ===+++--+，则()()()2244x k a b c y k a b c z k a b c =++⎧⎪=+-⎨⎪
=-+⎩，从而推出
2929449x y z ka
x y z kb x y z kc ++=⎧⎪
+-=⎨⎪-+=⎩，所以1
29912991
4499a a x y z ka k
b b x y z kb k
c c x y z kc k ⎧==⎪++⎪⎪==⎨
+-⎪
⎪==⎪
-+⎩，也就是说2244a b c
x y z x y z x y z
==+++--+）
例17. 已知222x yz y xz z xy a b c ---==，其中(
)()()222
0abcxyz x yz y zx z xy ≠⎧⎪⎨---≠⎪⎩，求证：222a bc b ca c ab
x y z
---== （1994年蓝溪市初中数学竞赛）
（提示：令222x yz y xz z xy
k a b c ---===，则222x yz
a k y xz
b k z xy
c k ⎧-=
⎪⎪
⎪-=
⎨⎪
⎪-=
⎪⎩
，从而推出2
2224222223322
22
2x yz y xz z xy x x yz y z y z xy xz x yz
a bc k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+--+-=-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，化简一下得()33343322
2233x x y z xyz x xy xz x yz a bc k k ++-++--==，所以23332
3a bc x y z xyz x k
-++-= 同理，我们可以推出2233323b ca c ab x y z xyz y z k --++-==，所以222a bc b ca c ab
x y z
---==） 例18. 若230
3056z x y c
b a ==≠⎧⎪
⎨==-≠⎪⎩，并且32323mx y z a x my z b x y nz c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩
，则m n +=______.
至此，我们推出4m n +=）
例19. 正整数,,a b c 满足等式3a b c =，且2
439a b c +⎛⎫
= ⎪
+⎝⎭
，2268a b +=，则2c =_______． （2014年华杯赛8年级决赛）
（144，提示：令3a b k c ==，利用合分比性质，我们有3a b k c +=+。

由于2
439a b c +⎛⎫
= ⎪+⎝⎭
，而,,a b c
都是正整数，所以23
k =。

至此，我们推出2
233a b a c ==⇒=，代入22688a b b +=⇒=，代入
2
123
b c c =⇒=，所以2144c =） 例20. 若
x y
y z
=，2x y z ++=，4x z =，则有序数对(),,x y z =______. （842,,777⎛⎫ ⎪⎝⎭或842,,333⎛⎫
- ⎪⎝⎭，提示：令x y k y z ==，从而推出2y kz x ky k z =⎧⎨==⎩
，容易知道00yz x ≠⇒≠，结合224x k z
k x z ⎧=⇒=±⎨=⎩
（1）如果2k =，则24y z x z =⎧⎨=⎩，代入2x y z ++=得到解842,,777⎛⎫
⎪⎝⎭
（2）如果2k =-，则24y z x z =-⎧⎨=⎩，代入2x y z ++=得到解842,,333⎛⎫
- ⎪⎝⎭
综上所述，得到两组解：842,,777⎛⎫ ⎪⎝⎭或842,,333⎛⎫
- ⎪⎝⎭
）
例21. 已知()()()()()()
222x y z
b c b c a c a c a b a b a b c ==-+--+--+-，则
333x y z xyz ++=______.
（3，提示：令
()()()()()()
222x y z
k b c b c a c a c a b a b a b c ===-+--+--+-，则
()()()()()()
222x k b c b c a y k c a c a b z k a b a b c =-+-⎧⎪=-+-⎨⎪
=-+-⎩，容易发现0x y z ++=，所以()()333
30x y z xyz x y z ++-=++=，
所以
33333x y z xyz
xyz xyz
++==） 例22.
第二阶段：当连比的分子分母只是一个是由字母构成，另一个是由数字构成的话，设参完得到一个方
程组，解出来后再代入： 例23. 已知
2345a b b c c a +++===，求：
2
234
a b c a b c ++-+++ （1
3
，提示：本题不是设参法的题目，放在这里是给大家演示一个过程，由于6281234510a b a b b c c a b c a b c c a +=⎧+++⎪===⇒+=⇒++=⎨⎪+=⎩，所以4
26
a b c =⎧⎪
=⎨⎪=⎩，所以21221
2342643
a b c a b c ++--==++++）
例24. 已知
135x y z z x ==++，求：22x y y z
-+的值 （32，提示：()()30054x k x k
y z k k y k k z x k z k
==⎧⎧⎪⎪
+=≠⇒=-≠⎨⎨⎪⎪+==⎩⎩
，所以
2232242x y k k y z k k -+==+-+） 例25. 若
111
3x y z
++=，并且234x y z =-=，则x y z ++=______. （512，提示：令223434k x k x y z k y k z ⎧=⎪⎪
⎪
=-==⇒=-⎨⎪
⎪=⎪⎩
，代入111234331k x y z k k k ++=⇒-+=⇒=，所
以11164352341212
x y z -+++=
-+==）
例26. 已知
123x y z z x ==++，求：z y x
+的值 （1983年哈尔滨竞赛题） （2，提示：令
123
x y z z x
k ++===） 例27. 已知
230234a b b c c a +--==≠，求：
56789a b c
a b
+-+的值 （50101，提示：令()230234a b b c c a k k +--===≠，则115221235343
5a k a b k b c k b k c a k c k ⎧
=-⎪+=⎧⎪
⎪⎪
-=⇒=⎨⎨⎪⎪
-=⎩⎪=⎪⎩
，然后代入
56789a b c
a b
+-+就得到结果了）
例28. 已知::3:2:1xy yz zx =，求：::x y z
（3:6:2，提示：令31222xy k
x xz k yz k y yz k zx k
=⎧⎪
=⇒===⎨⎪=⎩
，同理33y xy k z xz k ===） 例29. 若实数x 、y 满足
53385921
958x y x y x
+-+-==
，则有序数对(),x y =______. （38,53⎛⎫
- ⎪⎝⎭
或()3,6，提示：令53385921958x y x y k x +-+-===，利用
539395
38585
3x k k x y k k y +-⎧=⇒=⎪⎪⎨
-+⎪=⇒=⎪⎩，代入59218x y k x +-=得59218x y kx +-=，从而推出935893
59218535
k k k k -+-⋅
+⋅-=⋅
，接下来解这个方程得
()()()()()
222293933582185
59315581058934515751201057224120722453360
k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k --++-=⋅
⇒-++-=-⇒-++-=-⇒=-⇒=-⇒-= 所以0k =或2，从而推出9335558833k x k y -⎧==-⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩或9335
586
3k x k y -⎧==⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩
，所以答案为38,53⎛⎫- ⎪⎝⎭或()3,6）
例30. 已知
22221234
x y y z z u u x
++++===
，且1x y z u +++=，求：733x y z u +++的值 （2，提示：令222222223123424x y k
y z k
x y y z z u u x k z u k u x k
+=⎧⎪+=++++⎪
====⇒⎨+=⎪⎪+=⎩，然后通加得
3
10310
k k =⇒=。

()()2124z x ⨯-⇒=，而22343837
,242413777x k z u k x u k z k y k u x k u x k u k
⎧=⎪+=+=⎧⎧⎪⇒⇒⇒==⎨
⎨⎨+=+=⎩⎩⎪=⎪⎩
，然后全部代入733x y z u +++即可） 例31. 实数,,x y z 满足222
222
426426246xy yz zx x y z x y y z z x ++===+++++，则有序数对(),,x y z =________.
（()1,2,3，提示：（1）如果,,x y z 中至少有一个为0，比如0x =，代入
222
222222
0042246
xy x y z x y z x y z x y ++=⇒++=⇒===+++。

很容易证明，如果0y =或0z =，但是此时分母为0，不符合要求； （2）如果,,x y z 均不为0，则426426426426xy yz zx x y y z z x
x y y z z x xy yz zx
+++==⇒==+++，裂项
后得
426426y x z y x z +=+=+，从而推出246123
x y z
x y z ==⇒==
令23x k
y k z k
=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
（0k ≠），代入2222
22
26246zx x y z z x ++=+++推出()()2
2
2222222222
23331231236246122464
k k k k k k k k ++⋅++=⇒==⋅+++++，所以1k =，从而得到第二组解：()1,2,3
综上所述，()(),,1,2,3x y z =）
第三阶段：当连比的分子分母都是由字母构成的话，设参完得到一个方程组，如何解出参数k （通加
或者通乘经常用到），解出k 后代回去得到另一个方程组，看看这个方程组对最后的解题有没有帮助 例32. 已知
a b b c c a c a b +++==
，求：a b
c
+ （1-或2，提示：令a b ck
a b b c c a k b c ak c a b c a bk
+=⎧+++⎪
===⇒+=⎨⎪+=⎩，通加得()()2a b c k a b c ++=++。

当0a b c ++=时，则1a b c c c +-==-；当0a b c ++≠时，则2k =，所以222a b c
b c a c a b
+=⎧⎪
+=⎨⎪+=⎩
，则
22a b c
c c
+==） 例33. 如果0abc ≠，且
a b b c c a
c a b
+++==
，求：()()()a b b c c a abc +++ （8或1-，提示：令a b ck
a b b c c a k b c ak c a b c a bk
+=⎧+++⎪
===⇒+=⎨⎪+=⎩
，通加得()()2a b c k a b c ++=++。

当0a b c ++=时，则
()()()()()()
1a b b c c a c a b abc
abc
+++---=
=-；当0a b c ++≠时，则2k =，所
以222a b c
b c a c a b
+=⎧⎪
+=⎨⎪+=⎩
，则
()()()()()()2228a b b c c a c a b abc abc +++==） 例34. （回家作业）如果有理数,,a b c 满足
12
a b c b c c a a b ==≠+++，那么代数式()2015
2016a b c -++的值是_______.
（2015年迎春杯复赛初一组）
（2016，提示：令()()()
a k
b
c a b c
k b k c a b c c a a b c k a b =+⎧⎪===⇒=+⎨+++⎪
=+⎩，通加后得()2a b c k a b c ++=++。

如果0a b c ++≠，则1
2
k =，与题意矛盾，所以0a b c ++=，从而推出
()
2015
20162016a b c -++=）
例35. 设,,a b c 为非零实数，且
a b c a b c a b c
a b c
-++-++-==
，求：()()()b c c a a b P abc +++=的值 （8或1-，提示：令
a b c ka
a b c a b c a b c k a b c kb a b c a b c kc
-++=⎧-++-++-⎪
===⇒-+=⎨⎪+-=⎩
，通加，则()()2a b c k a b c ++=++，然后和前面几题相同的办法来分类讨论）
例36. 若
x y z t y z t z t x t x y x y z ===++++++++，求：x y y z z t t x
z t t x x y y z
+++++++++++
（4或4-，提示：设()
()()()x k y z t y k z t x x y z t k y z t z t x t x y x y z z k t x y t k x y z
⎧=++⎪
=++⎪====⇒⎨++++++++=++⎪
⎪=++⎩
，通加得()3x y z t k x y z t +++=+++。

（1）当0x y z t +++=时，
4x y y z z t t x
z t t x x y y z +++++++=-++++（2）当0x y z t +++≠时，则1
3k =，所以()333y z t x y x x y x y z t x y ++=⎧⇒-=-⇒=⎨
++=⎩
，同理我们可以推出x y z t ===，所以
4x y y z z t t x
z t t x x y y z
+++++++=++++） 例37. （回家作业）若实数,,,x y z t 满足
2222x y z t x y z t x y z t x y z t
x y z t
++++++++++++===，则
x y y z z t t x
z t t x x y y z
+++++++=++++_______. （4-或4，提示：
222222221111x y z t x y z t x y z t x y z t
x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t
++++++++++++===
++++++++++++⇒-=-=-=-++++++++++++⇒===
（1）如果0x y z t +++=，则()x y z t +=-+，所以
1x y
z t
+=-+。

同理，1y z z t t x t x x y y z +++===-+++，从而推出4x y y z z t t x
z t t x x y y z
+++++++=-++++； （2）如果0x y z t +++≠，则
x y z t x y z t x y z t x y z t
x y z t
x y z t ++++++++++++===
⇒=== 所以
4x y y z z t t x
z t t x x y y z
+++++++=++++； 综上所述，本题的答案为4-或4） 例38. 若
a b c d b c d a ===，求：
a b c d
a b c d
-+-+++ （0，提示：令a bk
b ck
a b c d k c dk b c d a d ak =⎧⎪=⎪
====⇒⎨=⎪⎪=⎩，通加得()a b c d a b c d k +++=+++，当
0a b c d +++≠，此时1k =。

所以0a b c d
a b c d a b c d
-+-===⇒
=+++；当0a b c d +++=时，
a b c d
a b c d
-+-+++无意义）
例39. 已知一列数127,a a a L ，且178,5832a a ==，
356
124234567
a a a a a a a a a a a a =====，求：5a （648，提示：令
26356
1246756717234567
,a a a a a a k a ka a ka k a a k a a a a a a a ======⇒====L ，所以61858323k k =⇒=±，而25771
6489
a k a a ===）
例40. 三个不同的正数,,x y z 满足
y x y x x z z y +==-，则x y
=_____. （2，提示：令
y x y x k x z z y +===-，本题只要求出k ，题目就做好了。

容易得y kx kz
x y kz x ky
=-⎧⎪+=⎨⎪=⎩
，将y kx kz
x y kz
=-⎧⎨
+=⎩相加得2x y kx +=。

将x ky =代入得22ky y k y +=，由于y 为正数，所以()()22220210k k k k k k +=⇒--=⇒-+=。

由于x
k y
=，并且,x y 均为正数，所以k 为正数，从而推出2k =）
例41. 若()6150,25325x y x y xy x y y x y x -==≠≠-，求：22
22
45623x xy y x xy y -+-+的值 （2000年全国初中数学联赛）
（92，方法1：令()()3361525512325615615x ky x ky
x y x y k y k x y k y kx y x y x x y kx x y kx
==⎧⎧-⎪⎪
===⇒=-⇒+=⎨⎨-⎪⎪-=-=⎩⎩
，对
()3512x ky
k y kx
=⎧⎪⎨
+=⎪⎩相乘得()2516k xy k xy +=。

由于0xy ≠，所以1k =或16-。

当1k =时，此时3x y =，代入615x y kx -=检验成立，代入22224569232x xy y x xy y -+=-+；当1
6k =-
时，2y x =-，代入615x y kx -=检验不成立，所以舍弃
方法2：利用等比性质，我们有
()()25156152515615311752075375207531x y x y x y x y x x
y x y x y y x y x x
++--==⇒===-+-+，从而推出3x y =，所以()()()()2
222222222
43536456279
23623233y y y y x xy y y x xy y y y y y y
-⋅+-+===-+-⋅+） 例42. 已知三个正有理数,,x y z 满足
131267x y z y x z y z ==++，则y
x
=________. （2015学年迎春杯7年级网赛） （13
【解答1】利用等比性质，我们有()()21131267131226713
x y z x y z y x z y z y x z y z ++====++++++，所以
13y
x
= 【解答2】令131213126767x ky
x y z k y kx kz y x z y z z ky kz
=⎧⎪
=
==⇒=+⎨++⎪=+⎩
，将x ky =代入1312y kx kz =+得()
211312y k kz -=，而()67617z ky kz ky k z =+⇒=-，联立()()2
11312176y k kz
k z ky
⎧-=⎪⎨
-=⎪⎩，左边和左边乘，右边和右边乘得()
()221131772k k k --=（注意，yz 已经约去，因为,y z 都是正有理数）。

化简这个方程得3213785710k k k ⨯--+=，利用因式定理对其因式分解，得
()()()1317110k k k --+=。

由于三个数都是正有理数，所以0k >，可能的情况有113
k =
或1
7 （1）当113k =时，代入()()2
11312176y k kz
k z ky ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩得y z =，同时满足这两个等式；
（2）当17k =时，代入()()2
113121760
y k kz
k z ky y ⎧-=⎪⎨-=⇒=⎪⎩，矛盾；
综上所述，113
k =
，所以1
13y x k ==）
例43. 已知
33224,0,,,,5292222a b b c c a abc a b b c c a a b c a b b c c a ++-==≠≠≠≠≠+---，求：
23529a b c
a b c
++--的值 （第14届五羊杯） （511
-
，提示：令332242222a b b c c a k a b b c c a ++-===---，则
()()()()()()()()()3322232322222212424a b k a b k a k b
b c k b c k b k c c a k c a k c k a
+=--=+⎧⎧⎪⎪
+=-⇒-=+⎨⎨⎪⎪-=--=-⎩⎩相乘然后利用0abc ≠得()()()()()()23222232140k k k k k k k ---=++-⇒=或
11
2。

当0k =时，推出2a b c b =-⎧⎨=-⎩
然后直
接代入得23552911a b c a b c ++=---；当112k =时，推出73
43a c b c ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
，然后直接代入分母得5290a b c --=，矛盾）
例44. 若,,x y z 都是正数，满足
222y z x z x y x y z
x y z
+-+-+-==，则()()()
()()()
323232333x y y z z x x z y x z y ---=---_____.
（18，提示： 令
222y z x z x y x y z k x y z +-+-+-===，从而推出222y z x kx
z x y ky x y z kz
+-=⎧⎪
+-=⎨⎪+-=⎩，通加后得()()2x y z k x y z ++=++。

考虑到0x y z ++>，从而推出2k =，所以222222y z x x z x y y x y z z +-=⎧⎪
+-=⎨⎪+-=⎩
利用222222y z x x z x y y x y z z +-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩我们可以推出323232z x y x y z y z x =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩和232323y x z z y x x z y =-⎧⎪
=-⎨⎪=-⎩
，将这两个结果代入
()()()()()()323232333x y y z z x x z y x z y ------得
()()()()()()3232321
3332228
x y y z z x z x y x z y x z y y z x ---⋅⋅==---⋅⋅） 例45. 已知
22b a c b a b c a b b c a a b c +-++==
++-++，且0abc ≠，求：a b
c b
+-的值 （5，提示：222222b a c b a b c a b b c a a b c a b a a c
a b b c a a b c b a c b a b c b a c b a b c
+-++++-++-+==⇔==⇔==
++-+++-+++-++，令()()
2222a bk
a b a a c
k b a a c b k b a c b a b c a c k a b c ⎧=⎪-+===⇒-=+-⎨+-++⎪
+=++⎩。

由()()22222a bk
b b bk bk
c b k c b bk b a a c b k
k =⎧⎪⇒-=+-⇒=--⎨
-=+-⎪⎩（想想为什么0k ≠），由()()()22
11a bk bk bk c k bk b c k c bk c a c k a b c k =⎧⎪⇒+=++⇒-=-⇒=-⎨
+=++-⎪⎩
（想想为什么1k ≠，如果10k b =⇒=与0abc ≠矛盾）。

至此，我们发现221
b bk b bk k k --=--，考虑到0b ≠，所以
()()()2322
1211113
k k k k k k k k k k --=-⇒---+=-⇒=-，所以我们有23a kb b ==，
2
4
13
bk c b k =-=-，代入
2
3543
b b a b
c b b b ++==--）
例46. 已知
23234x y xy y z yz z x zx x y xy y z yz z x zx +-+-+-==++++++，且231
x y z
=-，求：,,x y z
（4x y z ===-，提示：首先容易知道0,0,0x y z ≠≠≠，所以2323435711123435723435711111123411111123435711
2311
x y xy y z yz z x zx
x y xy y z yz z x zx
xy yz zx
x y xy y z yz z x zx xy yz zx x y xy y z yz z x zx x y y z z x x y y z z x k
k x y y z
+-+-+-==
++++++---⇒+=+=+
++++++---⇒==
++++++---⇒==++++++++++++⇒===---++=-⇒+3511
47153221
112219522
k
k z x k x k y
k z ⎧⎪⎪
⎪+=-⎨⎪⎪++=-⎪⎩⎧=--⎪⎪
⎪⇒=--
⎨⎪⎪=--⎪⎩ 然后代入
231x y z =-,从而可以求出1
2
k =-，所以4x y z ===-） 第四阶段：没有明显的连比，能从题目中找到设参法能用的地方，两点记住：
1、有等号就可以设参。

如果一个等号连接两个未知数，则只要一个参数就可以表示两个未知数了。

如
果一个等号连接三个未知数，那么要两个参数来表示
2、有不等号也能设参，比如a b >我们可以设()0a b k k -=>，从而转化为等式来处理 例47. 已知
112x y +=，求：23333x y xy x y x y
++++的值
（提示：前面此题是用整体代入的思想，我们不妨换一种思路，如果将y 看成参数，则11112221y x x y x y y +=⇒=-⇒=-，然后直接代入也是可以的。

这里还可以这样来设参：令11
1,1t t x y
=+=-，然后直接代入） 例48. 若1ab =，求：
22
11
11a b +
++的值 （1，提示：将b 看成参数，则1
a b
=
，然后直接代入） 例49. 已知1abc =，求：
111
a b c
ab a bc b ca c ++
++++++ （1，提示：将,b c 都看成参数，则1
a bc
=
代入） 例50. 若()4360,2700x y z x y z xyz --=+-=≠，求：222
222
522310x y z x y z +---
（13-，提示：436032702x y z x z
x y z y z --==⎧⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩
）
例51. 若()230,32600x y z x y z xyz -+=--=≠，求：222
222
2x y z x y z +++-
（
13
20，提示：230432603x y z x z x y z y z -+==⎧⎧⇒⎨⎨--==⎩⎩
）
例52. 设
112
223
x y z -+-==
，则222x y z ++的最小值为______. （
6617
，提示：令112223x y z k -+-===，则21x k =+、21y k =-、32z k =+，从而推出
()()()222
2
2
2
22222212132441441912417126666171717x y z k k k k k k k k k k k k ++=++-++=+++-++++=++⎛
⎫=++
⎪⎝
⎭
所以最小值为
6617
，当6
17k =-时取到等号）
例53. 若实数,,,,a b c d e 满足123453a b c d e a b c d e +=+=+=+=+=+++++，则关于x 的方程
4320ax bx cx dx e ++++=的实数解为______.
（1x =±，提示：令123453a b c d e a b c d e k +=+=+=+=+=+++++=，则1
2345
a k
b k
c k
d k
e k =-⎧⎪=-⎪⎪
=-⎨⎪=-⎪=-⎪⎩，代
入3a b c d e k +++++=从而推出()51533k k k -+=⇒=，所以()(),,,,2,1,0,1,2a b c d e =--，从而推出4320ax bx cx dx e ++++=就是()()
43222201220x x x x x x +--=⇒-++= 考虑到2
2
172221048x x x ⎛
⎫++=++> ⎪⎝
⎭，所以解为1x =±）
例54. 设,,,a b c d 都是正整数，且54a b =，32c d =，19c a -=，求：d b -
（757，提示：设参法的变种，此时设4523,,,a m b m c n d n ====，由于19c a -=，则
2
2
4
2
19319101n m m n m n n m ⎧+==⎧⎪-=⇒⇒⎨⎨=-=⎪⎩⎩，所以3535
1031000243757d b n m -=-=-=-=） 例55. 设,a b 都是正整数，且23
2
1817a b
a b ⎧=⎪⎨-=⨯⎪⎩
，求：a （18，提示：根据2
3
a b =，可以设()3
2
a m m Z
b m
+
⎧=⎪∈⎨=⎪⎩，所以()32221181718a b m m m m m -=-=-=⨯⇒=）
例56. 若正整数34a b =、56c b =，并且32915ad bc -=⨯⨯，则ac bd -有_____个正因数
（96，提示：根据题意，我们可以设43a m b m ⎧=⎪⎨=⎪⎩、65
c n
d n
⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以()4536353532915235ad bc m n m n m n m n -=-=-=⨯⨯=⨯⨯ 考虑到()535|n m n m n -，所以()
553|235n ⨯⨯，从而推出1n =或3
（1）如果1n =，代入()()35533532351235m n m n m m -=⨯⨯⇒-=⨯⨯，从而推出
()353|235m ⨯⨯，所以1m =、3、5或15，检验一下，都不能满足要求；
（2）如果3n =，代入()()355333235325m n m n m m -=⨯⨯⇒-=⨯，从而推出()
33|25m ⨯，所以1m =或5。

检验一下，5m =满足()33325m m -=⨯；
综上所述，443355a m b m ⎧==⎪⎨==⎪⎩、66
55
3
3c n d n ⎧==⎪⎨==⎪⎩
，所以()463535535353531512357ac bd -=⨯-⨯=⨯⨯-=⨯⨯⨯，一共有
()()()()1151319161+⨯+⨯+⨯+=个正因数）
例57. 已知bc ad =，求证：()()
2222ab c d cd a b -=-
（提示：如果,,,a b c d 中有一个为0，那么必然有两个为0，此时很容易证明等式成立。

如果没有一个为0，那么设
a c
k b d ==，然后将a bk c dk =⎧⎨=⎩
代入式子就可以证明出来了） 例58. 设2222112212121,1,0x y x y x x y y +=+=+=，求证：2222121211221,1,0x x y y x y x y +=+=+=
（提示：12120x x y y +=可以构造等比，然后用设参法） 例59. 若正整数,,,a b c d 满足ab cd =，求证：a b c d +++是合数
（提示：a d
ab cd c b
=⇒
=，设a d p c b q ==，其中,p q 为正整数并且d p b q =互素，也就是说
a p c q =、d p
b q
=就是约分的过程 令a mp c mq =⎧⎨=⎩
、d np b nq =⎧⎨=⎩，其中,m n 都是正整数，则
()()a b c d mp nq mq np m n p q +++=+++=++，其中2
2m n p q +≥⎧⎨+≥⎩
，所以a b c d +++是合数）
例60. （回家作业）已知正整数,,,a b c d 满足ab cd =。

求证：2016201620162016a b c d +++为合数
（2016年北京市初二数学竞赛） （【证明】容易推出a d ab cd c b =⇔=，假设a d
c b
=约分后化为最简分数q p ，从而推出
a d q
c b p
== 假设在
a q
c p =化简过程中约分了m ，则a mq c mp =⎧⎨=⎩
假设在
d q
b p =化简过程中约分了n ，则d nq b np =⎧⎨=⎩
至此，我们推出 ()
()
()
()
()()
20162016201620162016
2016
2016
2016
2016201620162016a b c d mq np mp nq m n p q +++=+++=++
一定为合数）
例61. 某单位发年终奖100万元，其中一等奖每人1.5万元，二等奖每人1万元，三等奖每人0.5万
元。

若三等奖与一等奖人数之差不小于93人，但小于96人，则该单位获奖的总人数是______.
（2016年北京市初二数学竞赛）
（147，提示：假设获得一等奖的有a 个人，获得二等奖的有b 个人，获得三等奖的有c 个人，
从而推出 1.50.5100322009396a b c a b c a c ++=⇒++=⎧⎪
⎨≤-<⎪⎩
如果a c >，则9393a c a -≥⇒≥，此时3a 肯定超过200了，所以a c <
不妨设93c a k =++，其中0k =、1或2，代入32200a b c ++=得
()329320042107a b a k a b k ++++=⇒++=。

由于42a b +为偶数，所以k 一定是奇数，从而推出1k =，所以42106253a b a b +=⇒+=
我们要求的就是()93294a b c a b a k a b ++=++++=++，所以答案为147） 例62. 若正整数,,x y z 满足66319982345992x y z x y z x y z >>>⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
，则(),,x y z =______.
（()667,666,665，提示：令663663663x a
y b z c
=+⎧⎪
=+⎨⎪=+⎩
，则0,,a b c a b c Z +
>>>⎧⎨∈⎩，代入原方程组得923425a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩。

消去字母a 得27b c +=。

结合0b c >>我们推出51b c =⎧⎨
=⎩或3
2b c =⎧⎨=⎩。

代入9a b c ++=，发现只有一组解满足a b >，从而推出432a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以663667
663666663665x a y b z c =+=⎧⎪
=+=⎨⎪=+=⎩
，从而得到
答案()667,666,665）
例63. （回家作业）若正整数,,x y z 满足782435671456x y z x y z x y z >>>⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
，则y =______.
（81，提示：不妨设()787878,,78z a x a b c
y z b y a b a b c Z x y c z a
+-==+++⎧⎧⎪⎪
-=⇒=++∈⎨⎨⎪⎪-==+⎩⎩
，代入2435671456x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩得
()()()()()()787878243
5786787781456
a b c a b a a b c a b a ⎧++++++++=⎪⎨
++++++++=⎪⎩，化简一下得3291811552a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩ 我们要求y ，也就是要求出,a b 的值，消去c ，从而推出37a b +=，所以21a b =⎧⎨=⎩或1
4a b =⎧⎨=⎩
代入329a b c ++=进行检验，发现只有2
1a b =⎧⎨=⎩才能得到正整数1c =，所以
78782181y a b =++=++=）
例64. 若非负整数,,,a b c d 满足2
3420
b a
c b
d c a b c d -≥⎧⎪-≥⎪
⎨-≥⎪⎪+++=⎩，这样的有序数对(),,,a b c d 有______对
（5，提示：利用234b a c b d c -≥⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩我们可以推出2
3549b a c b a d c a ≥+⎧⎪
≥+≥+⎨⎪≥+≥+⎩，从而推出
416204161a b c d a a a +++≥+⇔≥+⇔≤
（1）如果1a =，则416a b c d a +++≥+取到等号，意味着2
59b a c a d a ≥+⎧⎪
≥+⎨⎪≥+⎩
都取到等号，所以
()(),,,1,3,6,10a b c d =
（2）如果0a =，考虑到223420b a b c b d c b c d -≥⇒≥⎧⎪-≥⎪
⎨-≥⎪⎪++=⎩，继续前面的过程有点繁琐，直接设参。

令
22b p b p -=⇒=+、335c b q c b q p q --=⇒=++=++、
449d c r d c r p q r --=⇒=++=+++（,,p q r 都是非负整数），代入20b c d ++=我们推出163220324p q r p q r +++=⇒++=，可能的情况有(),,p q r =()1,0,1、()0,0,4、()0,1,2、
()0,2,0
综上所述，一共有5组满足要求的非负整数解）
例65. 满足20152025201520252015242025x x y z x y z ≤<⎧⎪≤++<⎨⎪≤++<⎩
的不同的有序整数组(),,x y z 的个数为 ．
（2016年全国初中数学联赛C 卷）
（500，提示：一旦x 取定，则201520252015242025x y z x x y z x -≤+<-⎧⎨-≤+<-⎩。

令24y z m y z n +=⎧⎨+=⎩，则4222
m n y n m z -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，为了使得,y z 都是整数，只要n 为偶数即可。

考虑到20152025x n x -≤<-这个范围内，整数一共有10个，其中一定有5个是偶数，所以可以有51050⨯=种取法使得,y z 都是整数（n 有5种取法，m 有10种取法）
最后，x 也有10种取法，所以答案为51010500⨯⨯=）
例66. 若自然数,a b 满足()()()
33221132a b a b --=+，这样的有序数对(),a b 有______对
（0，提示：由于方程的右边肯定大于0，如果0a =，那么b 必须等于0，检验一下，不成立
显然，,a b 都不能等于1，接下来我们只要讨论22a b ≥⎧⎨≥⎩
的情况即可 假设22a m b n =+⎧⎨=+⎩，其中,m n 都是自然数，则方程变为 ()()()()()()()()()()()
33223232223332233223332222222221213222612761273444426123777272493444164161618m n m n m m m n n n m m n n m n m n m n m n m n mn m n m n mn m n m n mn m mn n m n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-+-=+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⇒++++++=+++++⎣⎦
⇒+++++++++++=++++++++ 显然，右边有的项左边都有，而且对应系数左边都比右边大，而且左边的常数项为49，右边的常数项为48，这会导致左边永远大于右边，所以()()()
33221132a b a b --=+没有自然数解） 例67. 满足(
)320152x x y x y ≤⎧⎪⎨-=+⎪⎩的有序正整数对(),x y 有_____对
（17，提示：由于,x y 都是正整数，从而推出()3
232x y x y x y -=+≥⇒-≥。

令()2x y k k -=≥，则()()3333
2333
k k x y x y x y x y y k k y y --=+⇒-=-+⇒=+⇒=。

容易知道，33
k k -肯定是正整数，接下来我们只要计算有多少个大于等于2的整数k ，使得332201533
k k k k x y k k -+=+=+=≤成立即可。

简单尝试一下，发现当18k =时，3220153k k +<；当19k =时，3220153k k +>，所以2k =、3、、18，有17对满足要求） 例68. 若k 为实数，121k -与()
121k k -都是整数，则k 有______种不同的取值 （3，提示：令()1,021m m Z m k =∈≠-，则1122
k m =+，所以()()21222111211122
m m m k k m m m ===-+-+++必须为整数，从而推出11m +=±、2± 考虑到0m ≠，所以2m =-、3-或1，对应的k 值有3个）。