福建省漳浦第一中学2021-2022学年高二下学期第二次调研考试数学试卷(含答案)

漳浦一中2021-2022学年下学期第二次调研考试
高二（数学）试卷
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求.)
1．双曲线2
21
y x -=的渐近线方程是（ ）
A
0y ±= B 30y ±=
C ．0x y ±=
D ．0x =
2．若函数()3
e x
f x x a =++的图象在点()()0,0f 处的切线方程为2y kx k =+，则=a （ ）
A ．1-
B ．0
C ．1 D
．2
3
，下底面半径为（
）
A ．9π B
． C
． D ．
4．某新能源汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程x (单位：万千米)对应维修保养费用y (单
位：万元)的四组数据，这四组数据如下表：
若用最小二乘法求得回归直线方程为0.58y x a =+，则估计该款汽车行驶里程为6万千米时
的维修保养费是（ ） A ．3.34万元 B ．3.62万元 C ．3.82万元
D ．4.02万元
5．已知抛物线216y x =的焦点为F ，P 点在抛物线上，Q 点在圆()()2
2
:624C x y -+-=上，则
PQ PF +的最小值为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 6．函数()ln f x x =图象上一点P 到直线
2y x =的最短距离为（ ）
A ．
(1ln 2
5
- B ．
(1ln 25
+ C
D 7．实验女排和育才女排两队进行比赛，在一局比赛中实验女排获胜的概率是23
，没有平局.若采用三局两胜制，即先胜两局者获胜且比赛结束，则实验女排获胜的概率等于（ ）
A ．49
B ．827
C ．1627
D ．2027
8．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122BB BC ==，E 为1AA 的中点，点F 为线段1CC 上的动
点，则三棱锥1E BB F -的外接球表面积的最大值为（ ） A ．π B ．4π C ．5π D ．10π
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．一组样本数据12,,,n x x x ⋯的平均数为()0x x ≠，标准差为s ．另一组样本数据
122,,,n n n x x x ++⋯，的平均数为3x ，标准差为s ．两组数据合成一组新数据
1212,,,,,,n n n x x x x x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅，新数据的平均数为y ，标准差为s '，则（ ）
A ．2y x >
B ．2y x =
C ．s s '>
D ．s s '=
10．已知随机变量ξ，η满足25ξη+=，且()~10,0.2B ξ，则下列说法正确的是（ ）
A ．()()46P P ξξ===
B ．()1E η=
C ．()0.64
D η= D ．() 1.6D
E ξξ-=⎡⎤⎣⎦
11．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台12O O ，在轴截面ABCD 中，
2cm AB AD BC ===，且2CD AB =，下列说法正确的有（ ）
A ．30ADC ∠=︒
B ．该圆台轴截面ABCD 面积为233cm
C ．该圆台的体积为373cm 3
π
D ．沿着该圆台表面，从点C 到AD 中点的最短距离为5cm 12．已知函数()21ln 12
f x x x x =--+，则（ ）
A ．()f x 的图象关于直线1x =对称
B ．()f x 在[)2,+∞上为减函数
C ．()f x 有4个零点
D ．00x ∃>，使()00f x >
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中，不放回地随机抽取两次，每次抽取一张，“在第一次抽到
标号是4的条件下，第二次抽到的标号是奇数”的概率为_______．
14．在三棱柱111ABC A B C -中，()0,2,3AB =-，()
23,0,3AC =--，133,0,2AA ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，则该三
棱柱的高为_______．
15．某圆锥高为1，底面半径为3，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为
_________．
16．已知椭圆C 1：22
214x y b
＋＝（0＜b ＜2）的离心率为12，F 1和F 2是C 1的左右焦点，M 是C 1
上的动点，点N 在线段F 1M 的延长线上，｜MN ｜＝｜MF 2｜，线段F 2N 的中点为P ，则 ｜F 1P ｜的最大值为__________．
四、解答题(本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.)
17．（本题满分10分）
2020年初，新型冠状病毒肆虐，全民开启防疫防控。

冠状肺炎的感染主要是人与人之间进行传播，可以通过飞沫以及粪便进行传染，冠状肺炎感染人群年龄大多数是40岁以上的人群．该病毒进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间．潜伏期越长，感染到他人的可能性越高，现对200个病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统计发现潜伏期中位数为5，平均数为7.1，方差为5.06，如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的2×2列联表：
(1)是否有95%的把握认为“长潜伏期”与年龄有关？
(2)假设潜伏期Z 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ，现在很多省份对入境旅客一律要求隔离14天，请用概率的知识解释其合理性；
附：2
2
()()()()()
n ad bc a b c d a c b d χ-=++++．
若随机变量Z 服从正态分布()2
,N μσ
，则()0.683P Z μσμσ-≤≤+≈，
(22)0.954P Z μσμσ-≤≤+≈，(33)0.997P Z μσμσ-≤≤+≈， 5.06 2.25≈．
18．（本题满分12分）
如图，在直三棱柱ABC —111A B C 中，底面△ABC 是以角B 为直角的等腰直角三角形，且腰长为2，D 为BC 的中点，三棱柱体积42V =． (1)求三棱柱的外接球的表面积和体积； (2)求三棱锥11B ADC -的体积. 19．（本题满分12分）
有一个猜谜语活动，有A 和B 两道谜语，小明猜对A 谜语的概率为0.8，猜对获得奖金10
元，猜对B 谜语的概率为0.5，猜对获得奖金20元．猜不出不给奖金． (1)设事件A ：“两道谜语中小明恰好答对一道”，求()P A ；
(2)如果按照规则猜谜：只有在猜对一道谜语的情况下，才有资格猜下一道． (i)如果猜谜语顺序由小明选择，小明应该先猜哪一道呢？请说明理由
(ii)若小明已经获得30元奖金，此时主办方临时增加了一道终极谜语C ，参赛者可以自行选择是否继续猜谜．假设小明猜对C 谜语的概率为a ，若小明不继续，可以直接拿走奖金，若继续且答错C 谜语，则没收全部奖金．若继续且答对C 谜语，即可获得奖金90元．问：概率a 至少为何值，值得小明同学继续猜谜？
20.（本题满分12分）
长期潜伏 非长期潜伏 总计 40岁以上
30
110 140 40岁及40岁以下 20 40 60 总计
50
150
200
()
2P k χ≥
0.1 0.05 0.01
k
2.706
3.841 6.635
已知四棱锥P —ABCD 中，△ABD ､△BCD ､△BDP 都是正三角形23AB AP ==， (1)求证：平面ACP △平面BDP ；
(2)求直线BP 与平面ADP 所成角的正弦值. 21．（本题满分12分）
已知椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>的离心率为25
5，12,A A 是C 的上、下顶点，且
122A A =．过点()0,2P 的直线l 交C 于B ，D 两点（异于12,A A ），直线1A B 与2A D 交于点Q ．
(1)求C 的方程；
(2)证明：点Q 的纵坐标为定值． 22．（本题满分12分）
已知函数()()2ln 11f x a x x =+--，()e 2x
g x ax =-.
(1)讨论()f x 的单调性；
(2)若对任意的[)0,x ∈+∞，()()0f x g x +≥恒成立，求实数a 的取值范围.
漳浦一中2021-2022学年下学期第二次调研考试
高二数学参考答案及评分标准
一、1-4 A C D A 5-8 C B D C 二、9.BC 10.BD 11.BCD 12.AB
三、13．35 14． 3
2
15．2 16．3
8.【详解】
如图建立空间直角坐标系，则()()()10,0,0,0,0,2,1,0,1B B E ， △()()111,0,1,1,0,1,0BE EB BE EB ==-⋅=， △1BE EB ⊥，即1B EB 为直角三角形，
所以可设三棱锥1E BB F -的外接球的球心()
0,,1O y ()()0,1,02F t t ≤≤， 所以球的半径为()
()2
2
2111R y y t =+=
-+-，
△()()222111y y t +=-+-，即()212t y -=，又[]0,2t ∈，△()[]2
120,1t y -=∈，即10,2y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，
△2
511,2R y ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦
，245R ππ≤，所以三棱锥1E BB F -的外接球表面积的最大值为5π.
12.解：()21ln 12
f x x x x =--+定义域为{}|1x x ≠，
因为()ln ,0
ln ln ,0
x x y x x x >⎧==⎨-<⎩，其中()ln y x =-与ln y x =关于y 轴对称，即ln y x =的图象关于
y 轴对称，
将 ln y x =向右平移1个单位得到ln 1y x =-，即ln 1y x =-关于1x =对称，
又()
2
21
1
1
1222
y x x x =-+=--+
关于直线1x =对称，故函数()f x 的图象关于直线1x =对称，故A 正确；
当1x >时()()21ln 12
f x x x x =--+，则()()21
11
1
x x f x x x x -'=-+=--，
所以当2x >时()0f x '<，当12x <<时()0f x '>，即()f x 在()1,2上单调递增，在[)2,+∞上单
调递减，故B 正确；
所以当2x >时()f x 在2x =处取得极大值即最大值，又因为()212ln 212202
f =--⨯+=，根据对称性可得()00f =，所以()f x 只有2个零点，故C 错误；
由()max 0f x =，所以不存在00x >，使()00f x >，故D 错误；故选：AB
16.由条件得2224144c b a -==，△23b =，△椭圆1C 的方程是22143
x y +=，221c a b =-=， △()11,0F -，()21,0F ．由于点N 在线段1F M 的延长线上，2MN MF =， 所以1124F N MF MF =+=，
△点N 的轨迹是以1F 为圆心，以4为半径的圆，方程为()2
2116x y ++=． 设(),P x y ，则()21,0F 关于(),P x y 对称的点的坐标为()21,2x y -， △()()2
2
211216x y -++=，化简得点P 的轨迹方程为224x y +=，
即点P 的轨迹是以原点为圆心，以2为半径的圆，()11,0F -，所以1F P 的最大值为3．
四、解答题：
17. (1)2
2
200(304011020) 3.171406050150
χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，……………………………………3分
由于3.17<3.841，……………………………………4分
故没有95%的把握认为“长潜伏期”与年龄有关，……………………………………5分
(2)由题意知潜伏期()2
~7.1,2.25Z N ，……………………………………6分
由10.997
(13.85)0.00152
P Z -≥≈
=，……………………………………9分 得知潜伏期超过14天的概率很低．因此隔离14天是合理的．………………………………10分
18.(1)易知1
2222
ABC S =⨯⨯=，……………………………………1分
三棱柱体积11242ABC V S BB BB =⋅==，解得122BB =.…………………2分
取AC 中点O ，取11A C 中点1O ，连接1OO 交1AC 于H ，易知O 为ABC 的外心，1O 为111A B C △的外心，H 即为外接球的球心，……………………3分
222222AC =+=，
故外接球半径为(
)(
)
2
2
122
22
222
AC +==，…………………………4分
故外接球表面积为24216ππ⨯=，……………………………………5分
体积为3
432233
ππ⨯=.……………………………………6分
(2)易知1BB AB ⊥，又AB BC ⊥，1BB BC B =，所以AB ⊥面11BCC B ，………………………8分
故11111111142
22223323
ADC A DC DC B B B V V S AB --==⋅=⨯⨯⨯⨯=
.………………………………12分 19. (1)()0.8(10.5)(10.8)0.50.5P A =⨯-+-⨯=；……………………………………2分
(2)(i)有两种顺序：△先猜A ，△先猜B ．
设选择先猜A 谜语得到的奖金为X 元，选择先猜B 谜语得到的奖金为Y 元﹒ △X 的可能取值为：0，10，30，
()010.80.2P X ==-=，()()100.810.50.4P X ==⨯-=，()300.80.50.4P X ==⨯=， △X 的分布列为： X 0
10
30
P 0.2 0.4 0.4
则()100.4300.416E X =⨯+⨯=；……………………………………5分 Y 的可能取值为：0，20，30，
()00.5P Y ==，()()200.510.80.1P Y ==⨯-=，()300.50.80.4P Y ==⨯=， △Y 的分布列为： Y 0
20
30
P 0.5 0.1 0.4
则()200.1300.414E Y =⨯+⨯=，……………………………………8分 △()()E X E Y >，△小明应该先猜A ；……………………………………9分
(ii)设小明继续猜谜语得到的奖金为Z 元，Z 的可能取值为：0，90， 则Z 的分布列为： Z 0
90
P 1－a a 则()90E Z a =，
若()30E Z ≥，则13
a ≥，即当a 至少为1
3时，值得小明同学继续猜谜…………………12分
20. 证明：(1)连接OP ，如图所示：
在四边形ABCD 中△ABD ､△BCD 都是正三角形， 所以四边形ABCD 是菱形，点O 为BD 中点； 因为△ABD ､△BDP 都是正三角形， 所以AO BD PO BD ⊥⊥，
因为AO PO O =，,AO PO ⊂面APC ，所以BD △平面APC ，. 因为BD ⊂平面BDP ，
所以平面ACP △平面BDP . ……………………………6分 (2)由题意可得3OA OP OC ===，因为3AP =，所以120AOP ∠=°，
以O 为原点，直线OA ，OB 分别为x 轴，y 轴，
过点O 与平面ABCD 垂直的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系如下所示：
则()()
()()330,0,0,3,0,0,0,1,0,0,1,0,,0,22O A B D P ⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭
， 所以33333
(3,1,0),(,0,),(,1,)2222
AD AP BP =--=-
=-- 设平面ADP 的法向量为n ()x y z =，，，则有·0·0n AD n AP ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，得30
333
022x y x z ⎧--=⎪
⎨-+=⎪⎩取1x =，得()
1,3,3n =-；……………………………9分
设直线BP 与平面ADP 所成角为θ，
则()()
()()
()22222233113322sin 33133122n BP n BP θ⎛⎫⨯-+-⨯-+⨯
⎪⋅⎝⎭==⎛⎫⎛⎫
+-+⨯-+-+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
=217， 所以直线BP 与平面ADP 所成角的正弦值为21
7
.……………………………12分 21. (1)因为12
22A A b ==，所以1b =，……………………………1分 因为25
5c e a =
=
，其中222c a b =-， 所以设2222
25,55
a c a
b a
c ==-=
，解得25a =．……………………………3分
所以椭圆C 的方程为2
215
x y +=．……………………………4分
(2)显然直线l 的斜率存在，设直线l 方程为2y kx =+，
联立直线l 与椭圆C 方程，消去y 得，()22
1520150k x kx +++=．……………………………5分
设1122(,),(,)B x y D x y ，当()()222400601520510k k k ∆=-+=->，即2
1
5
k >
时， 有122
22
12015
,1515k x x x x k k +=-
=++．……………………………6分 直线1A B 方程为：1111y y x x --=
，直线2A D 方程为：22
1
1y y x x ++=．………………………7分 两式相除得，()()()()2121122
1212121
1111133x y x kx kx x x y y x y x kx kx x x -++-===++++，……………………………9分 因为()121234
kx x x x =-+，所以
12
12311144931344
x x y y x x -+-==-+-，……………………………11分 整理得12
y =．即点Q 的纵坐标为定值1
2．……………………………12分
22. (1)()f x 的定义域为()1,-+∞．…………1分
△()()2ln 11f x a x x =+--，△()221
111
a x a f x x x -+-'=
-=++．……………………………2分 当211a -≤-，即0a ≤时，()0f x '<，()f x 在()1,-+∞上单调递减；…………3分 当211a ->-，即0a >时，则当121x a -<<-时，()0f x '>，当21x a >-时，()0f x '<， △()f x 在()1,21a --上单调递增，在()21,a -+∞上单调递减．…………4分 综上所述，当0a ≤时，()f x 在()1,-+∞上单调递减；
当0a >时，()f x 在()1,21a --上单调递增，在()21,a -+∞上单调递减．……………………5分 (2) 由()()0f x g x +≥，得()2ln 11e 20x a x x ax +--+-≥， 即()()
()l 1n e 212ln 1e
2ln 1x x ax x a x a x +-≥+-+=-+，
即()()()ln 1g x g x ≥+在[)0,x ∈+∞上恒成立．…………7分 令()()ln 1h x x x =-+，[)0,x ∈+∞，则()11011
x
h x x x '=-
=≥++， △()h x 在[)0,∞+上单调递增，△()()00h x h ≥=，△()ln 1x x ≥+，…………9分
即只需()e 2x
g x ax =-在[)0,∞+上单调递增．
△()e 2x
g x a '=-，△()0g x '≥在[)0,∞+上恒成立，即e
2
x a ≤在[)0,∞+上恒成立．
△函数e 2
x
y =在[)0,∞+上单调递增，△min e 122x a ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭， 故实数a 的取值范围是1,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦．……………………………12分。