高中数学人教A版必修4课时达标检测(二十三)平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 Word版含解析

课时达标检测（二十三）平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
一、选择题
1．(山东高考)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，若向量a ，b 的夹角为π6
，则实数m ＝( ) A ．23 B. 3 C ．0
D ．－ 3
答案：B
2．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( )
A ．4 2
B ．2 5
C ．8
D ．8 2 答案：D
3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )
A.⎝⎛⎭⎫79，73
B.⎝⎛⎭⎫－73
，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79 D.⎝⎛⎭⎫－79
，－73 答案：D
4．(湖北高考)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为( ) A.322 B.3 152
C ．－322
D ．－3 152 答案：A
5．已知i 与j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )
A ．(－∞，－2)∪⎝
⎛⎭⎫－2，12 B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞
C.⎝⎛⎭⎫－2，23∪⎝⎛⎭
⎫23，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 答案：A
二、填空题
6．已知A (1,2)，B (3,4)，|n |＝2，则|AB ·n |的最大值为________．
答案：4
7.如图，已知点A (1,1)和单位圆上半部分上的动点B ，若OA ⊥OB ，
则向量OB 的坐标为________．
答案：⎝⎛⎭
⎫－22，22 8．已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，若a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．
答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪⎝⎛⎭⎫0，13∪⎝⎛⎭
⎫13，＋∞ 三、解答题
9．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)．
(1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标；
(2)若|b |＝52
，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)设c ＝(x ，y )，∵|c |＝25，∴x 2＋y 2＝25，
∴x 2＋y 2＝20.
由c ∥a 和|c |＝25，
可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2，y ＝－4. 故c ＝(2,4)或c ＝(－2，－4)．
(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，
即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0，
∴2×5＋3a ·b －2×54＝0，整理得a ·b ＝－52
， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |
＝－1. 又θ∈[0，π]，∴θ＝π. 10．平面内有向量OA ＝(1,7)，OB ＝(5,1)，OP ＝(2,1)，点M 为直线OP 上的一动点．
(1)当MA ·
MB 取最小值时，求OM 的坐标； (2)在(1)的条件下，求cos ∠AMB 的值．
解：(1)设OM ＝(x ，y )，∵点M 在直线OP 上，
∴向量OM 与OP 共线，又OP ＝(2,1)．
∴x ×1－y ×2＝0，即x ＝2y .
∴OM ＝(2y ，y )．又MA ＝OA －OM ，OA ＝(1,7)，
∴MA ＝(1－2y,7－y )．
同理MB ＝OB －OM ＝(5－2y,1－y )．
于是MA ·MB ＝(1－2y )(5－2y )＋(7－y )(1－y )＝5y 2－20y ＋12.
可知当y ＝202×5
＝2时，MA ·MB 有最小值－8，此时OM ＝(4,2)． (2)当OM ＝(4,2)，即y ＝2时，
有MA ＝(－3,5)，MB ＝(1，－1)，
|MA |＝34，|MB |＝2， MA ·MB ＝(－3)×1＋5×(－1)＝－8.
cos ∠AMB ＝MA ·MB | MA ||MB |＝－834×2＝－41717.
11．设平面向量a ＝(cos α，sin α)(0≤α<2π)，b ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，且a 与b 不共线．
(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；
(2)若两个向量3a ＋b 与a －3b 的模相等，求角α.
解：(1)证明：由题意知，
a ＋
b ＝⎝
⎛⎭⎫cos α－12，sin α＋32， a －b ＝⎝
⎛⎭⎫cos α＋12，sin α－32， ∵(a ＋b )·(a －b )＝cos 2α－14＋sin 2α－34
＝0， ∴(a ＋b )⊥(a －b )．
(2)|a |＝1，|b |＝1，由题意知(3a ＋b )2＝(a －3b )2，化简得a ·b ＝0，∴－12cos α＋32
sin α＝0，
∴tan α＝33
， 又0≤α<2π，∴α＝π6或α＝7π6
. 高中数学学习技巧：
在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。

重视基础题和领悟数学思想方法，多做综合题目。