湖北省天门市、仙桃市、潜江市2016-2017学年高一数学下学期期末考试试题 理(含解析)

湖北省天门市、仙桃市、潜江市2016-2017学年高一数学下学期期末
考试试题理（含解析）
本试卷共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1. 已知全集,集合，集合，则下列结论中成立的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得：，
则：，，， .
本题选择D选项.
2. 由首项，公差确定的等差数列，当时，序号n等于
A. 99
B. 100
C. 96
D. 101
【答案】B
【解析】试题分析：由通项公式可知
考点：等差数列通项公式
3. 已知向量，且，则实数k的值为
A. -8
B. -2
C. 1.5
D. 7
【答案】A
【解析】由题意：
结合向量垂直的充要条件有：，
解得： .
本题选择A选项.
点睛： (1)当向量a与b是坐标形式给出时，若证明a⊥b，则只需证明a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(2)当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明a·b＝0.
(3)数量积的运算a·b＝0⇔a⊥b中，是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.
4. 函数的最小值为
A. 1
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】整理函数的解析式：
，
据此可得：当时，函数取得最小值： .
本题选择D选项.
5. 已知，则不等式，，中不成立的个数为
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】D
【解析】取，则，但是此时，
取，则，但是此时，
即题中所给的三个不等式均错误.
本题选择D选项.
6. 已知函数，则的概率为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由对数的运算法则可得：，
当时，脱去符号可得：，解得：，此时；
当时，脱去符号可得：，解得：，此时；
据此可得：概率空间中的7个数中，大于1的5个数满足题意，
由古典概型公式可得，满足题意的概率值： .
本题选择B选项.
7. 若函数是偶函数，是奇函数，则的值是
A. B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】对于偶函数有=，所以，解得；对于定义域为的奇函数，，解得，所以.故本题正确答案为A.
8. 公元263年左右，我国数学有刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形的
面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”。

某同学利用刘徽的“割圆术”思想设计了一个计算圆周率的近似值的程序框图如图，则输出S的值为（参考数据：）
A. 2.598
B. 3.106
C. 3.132
D. 3.142
【答案】C
【解析】阅读流程图可得，输出值为： .
本题选择C选项.
点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路
(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．
(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．
(3)按照题目的要求完成解答并验证．
9. 某次月考后，从所有考生中随机抽取50名考生的数学成绩进行统计，并画出频率分布
直方图如图所示，则该次考试数学成绩的众数的估计值为
A. 70
B.
C. 75
D. 80
【答案】C
【解析】频率分布直方图中最高的部分为，
据此可得该次考试数学成绩的众数的估计值为 .
本题选择C选项.
10. 正数满足等式，则的最小值为
A. B. C. D. 4
【答案】A
【解析】试题分析：因为，且，，所以
，当且仅当，即时，等号成立，所以正确答案为A.
考点：基本不等式.
11. 如图，圆C内切于扇形AOB，∠AOB=，若在扇形AOB内任取一点，则该点在圆C内的
概率为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】试题分析：设圆的半径为，故选C．
考点：1、圆的面积公式；2、扇形的面积公式；3、几何概型．
12. 若函数（）与函数的部分图像如图所示，则函数图像的一条对称轴的方程可以为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：因为的最大值为,所以,则,将点代入得,又,则,所以
,由得.当时,.故选B.
考点：的图象.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上对应题号后
的横线上）
13. 函数的定义域为__________．
【答案】[1，3）
【解析】函数有意义，则：，求解关于实数x的不等式组可得函数的定义域为[1，3）.
点睛：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．
14. 公差不为零的等差数列中，成等比数列，则其公比__________．
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，由题意可得：，
即：，
解得：，
则公比 .
15. 在边长为2的正三角形中，设，则__________．
【答案】-1
【解析】试题分析：因为，所以为的中点即，∵，
∴，
考点：向量线性运算与数量积的几何运算.
16. 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，
测得点A的仰角为60o，再由点C沿北偏东15o方向走10米到位置D，测得∠BDC=45o，则塔AB的高度______．
【答案】米
【解析】试题分析：由题意知，，又∠BDC＝45°，，故,由正弦定理得,又因为,所以.
考点：正弦定理、解三角形.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 求函数的最大值，以及此时x的值．
【答案】，
【解析】试题分析：
整理函数的解析式为，结合均值不等式的结论可得当时，函数的最大值为. 试题解析：
因为，所以，得
因此
当且仅当，即时，等号成立
由，因而时，式中等号成立
因此，此时
18. 当都为正数且时，试比较代数式与的大小．
【答案】
【解析】试题分析：
由题意，两式均为正数，做差之后结合均值不等式的结论可得.
试题解析：
因为，所以
因此
因为为正数，所以
因此，当且仅当时等号成立
19. 的三个角所对的边分别为，．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若为锐角三角形，求函数的取值范围．
【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ）
【解析】试题分析：
(I)由题意结合正弦定理边化角，然后结合三角函数的性质可得，故；
(II)将三角函数式化简为，结合三角函数的性质和三角形为锐角三角形可得函数的取值范围是.
试题解析：
（Ⅰ）因为，所以由正弦定理，得
因为，所以，
所以
所以，故
（Ⅱ）因为，，所以
所以
又为锐角三角形，，
所以
所以
20. 已知首项为1的数列的前n项和为，若点在函数的图象上．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，且，其中，求数列的前n项和．
【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ）
【解析】试题分析：
(I)由题意得到通项公式和前n项和的关系，分类讨论可得数列的通项公式为；
(II)利用题意首先求得数列的通项公式，然后错位相减可得数列的前n项和.
试题解析：
（Ⅰ）因为点在函数的图像上，
所以，①
所以，②
由②－①得
所以
此式对不成立，所以
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以
所以
所以③
④
③－④得
所以
所以，所以
21. 某校高二奥赛班N名学生的物理测评成绩（满分120分）分布直方图如下，已知分数在100～110的学生数有21人。

（Ⅰ）求总人数N和分数在110～115分的人数n;
（Ⅱ）现准备从分数在110～115分的n名学生（女生占）中任选2人，求其中恰好含有一名女生的概率；
（Ⅲ）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩x（满分150分），物理成绩y进行分析，下面是该生7次考试的成绩。

数学88 83 117 92 108 100 112
物理94 91 108 96 104 101 106
已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？
附：对于一组数据其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
【答案】（Ⅰ）6;（Ⅱ） ;（Ⅲ）115分
【解析】试题分析：
(I)由题意结合频率分布直方图的结论可得；
(II)利用题意写出所有的事件，结合古典概型公式可得所求的概率为;
(III)结合所给数据，求得回归方程为，据此估计他的物理成绩大约是115分.
试题解析：
（Ⅰ）分数在100～110内的学生的频率为
所以该班总人数为
分数在110～115内的学生的频率为
分数在110～115内的学生的人数
（Ⅱ）由题意分数在110～115内有6名学生，其中女生有2名，
设男生为女生为
从6名学生中选出2人的基本事件为
共15个
其中恰好含有一名女生的基本事件为
共8个
所以所求的概率为
（Ⅲ）
由于x与y之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到
所以线性回归方程为当时，
所以估计他的物理成绩大约是115分
22. 已知函数．
（Ⅰ）设，求方程的根；
（Ⅱ）设，函数，已知时存在使得．若有且只有一个零点，求b的值．【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ）
【解析】试题分析：
(I)由题意得到关于的一元二次方程，解方程可得；
(II)由函数的解析式结合均值不等式的结论和(1)的结论可得 .
试题解析：
（Ⅰ）因为，所以，
方程，即，亦即
所以，于是，解得
（Ⅱ）当时，
因为
当且仅当时取等号
所以是的唯一的零点
当时，则
当，
是的零点
又因为当时存在使得
且，由零点存在定理知在（-2,，）必存在另一零点
此时，存在2个零点，不符合题意
综上可得
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