厦门大学《风工程》课件-桥梁空气动力失稳分析

桥梁空气动力失稳分析
一、Scanlan 颤振分析方法
Scanlan 给出的颤振力（矩）有如下的形式：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++=ααρ)k (H K U B )k (KH U y )k (KH )B 2(U 21F *
32*2*12l
22**2*1231(2)()()()2y B M U B KA k KA k K A k U U ααρα⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦
式中，B 为桥面宽；K=U B /ω为无量纲频率；H i 和A i （i=1,2,3）称为颤振导数（flutter derivatives ）或气动导数（aerodynamic derivatives ）是无量纲频率k 的函数。

式中六个颤振导数（又可称为气动导数）必须通过风洞试验得到。

这也是Scanlan 方法的核心。

先假设已知某桥的颤振导数来讨论颤振临界风速的解。

根据风洞试验结果，识别颤振导数的方法见后面有关章节。

在颤振力（矩）作用下桥梁主梁节段的二维运动方程为：
l 2y y y F )y y 2y (m =++ωωξ αααααωαωξαM )2(I 2=++
将气动力公式代入运动方程，同时将方程无量纲化，可将运动方程转化为：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+'+'=+'+''ααρξ*32*2*122y y y H K KH B
y KH m
B B y K B y K 2B y ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
+'+'=
+'+''ααρααξαααα*32*2*142
A K KA
B y KA I B K K 2 式中，
U B K ;
U
B K ;
B
Ut s ;ds dy
y y y ααωω=
=
=='
设上述方程的解为：
iks
0t i 0e B
y e B y B y ==ω iks 0
t i 0e e ~αααω== 将其代入运动方程，可得：
0H K m B i H K m B B y )H K m B K K 2(i K K 0*222*3220*122y y 2
2y =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⋅+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅+-αρρρξ
0)A K I B KK 2(i A K I B K K B y )A K m B i 0*224*3242
20*122=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-⋅+--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-αρζρρααα 若要y 0和α0有非零解，其系数行列式必为零，也即其实部和虚部同时为零。

可得下列方程组：
0X A I B 14X
A I
B 2H m B 2X H A I B m B H A I B m B A I B 13
y 2*34
y y 2y 23*24
y *12y 4*2*142*1*242*34=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅-+ωωρωωζζωωρζρωωζρρρρραααααα022X A I B H m B X A I B 222X H A I B m B A H I B m B H m B A I B y 2y 2y *242y 2*122*34y y y 3*3*142*3*142*12*24=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅+-ωωζωωζρωωρρζζωωζρρρρρραα
αααα同时满足上面两个方程的即为颤振方程的解。

在横坐标为K ，纵坐标为X 的坐标系中，上述方程组的解为两条逐渐接近的曲线。

这两根曲线最终将相交于（K C ，X C ）点，此点对应于颤振临界风速。

颤振频率和颤振临界风速可分布用如下的公式计算：
y c c X ωω⋅=
c c c K /B U ω=
2、实际桥梁的二自由度颤振分析
前面介绍了二维模型（结构）的颤振分析。

实际桥梁中，必须计入全桥结构振型的影响。

考虑到桥梁颤振主要表现为竖向弯曲和扭转耦合振动，通常又以一阶竖向弯曲和扭转耦合运动的颤振临界风速最低，所以，可将运动的物理坐标表示为振型和广义坐标的函数。

即：
)t (p )x (y 1⋅=φ
)t (q )x (1⋅=ψα
式中，)x (1φ和)x (1ψ分别为一阶竖向弯曲和一阶扭转振型函数；)t (p 和)t (q 分
别为相应的广义坐标。

由此，颤振方程可重新写为
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++=++q H C K U q B H KC U p H KC )B U ()p p 2p (M *3122*212*1112
2
y
y y 1 ρωωζ
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++=++q A C K U q B A KC U p A KC )B U ()q q 2q (I *3222*222*1122221 ρωωζααα 式中，
⎰
=全桥
dx )x ()x (m M 211φ
⎰
=
全桥
dx )x ()x (I I 211ψ
⎰
=L
2111dx )x (C φ
⎰
=L
2122dx )x (C ψ
⎰
=L
1112dx )x ()x (C φψ
根据运动方程可解临界风速。

3、根据Scanlan 颤振分析方法的原理，人们已发展了很多新的分析方法。

提出多模态耦合颤振概念。

4、颤振导数的识别 (Scanlan 基本方法)
Scanlan 颤振分析方法及以此为基础的各种修正方法中，通过风洞试验获取颤振导数，从而构成颤振力（力矩）是这一方法的核心。

获取颤振导数的方法是在风洞中对桥面节段模型进行试验，在不同的风速下测量模型的响应，然后应用振动系统参数识别方法识别出颤振导数。

将颤振方程可改写成如下形式：
2
1232y y y y y y H y H H ζωωαα++=++
21232y A y A A ααααζωαωαα++=++
式中，
m
B H H 2*1
1ω
ρ=
m
B H H 3*2
2ω
ρ=
m
B H H 2
3*3
3ωρ=
I
B A A 3*
11ω
ρ=
I
B A
A 4*2
2ω
ρ= I
B A A 2
4*3
3ωρ=
设颤振方程的解为
t sin e y y t ωλ0=
)t sin(e t θωααλ-=0
将解式代入运动方程，可得到关于t sin ω和t cos ω的联立方程组。

若使t sin ω和
t cos ω对任意t 不恒为零，则其系数必为零。

由此可得到如下的方程
()()2
y
y y 220
3
2
12cos y H
cos sin y H H ωλωζωλθαθλθωαλ++-=+++
()()ωωζλωθαθλθωαωy y sin y H sin cos y H H 220
030
2
1+=-+-+
()()
()θ
ωθλθωωζθ
ωλθωλθθλθωλααααcos cos sin sin cos cos A cos sin A y A 2
22320
1
22++++-=+++
()()()
()()()
θωθλθωωζθ
ωλθωλθθλθωωααααsin sin cos cos sin sin A sin cos A y A -+-++--=-+-+2
22320
1
22
根据以上方程，在试验中可采取如下步骤来获取颤振导数：
（1）首先在零风速下测得二自由度节段模型的频率和阻尼比ωy ，αω，ζy 和ζα；
（2）锁住模型的扭转自由度，使其只能作竖向振动。

此时α0=0。

在不同风速下给模型一初始位移，测量其自由衰减信号，可得λ=λ1，由上四式中第一式
可得
()y y 112H ωζλ+=
（3）锁住模型的弯曲自由度，使其只能作扭转运动。

此时y o =0。

用和前同
样的方法测量不同风速下的阻尼比λ=λ2及频率ω=ω2，由上四式中第3、4式可得：
()ααωζλ+=222A
2
2222
3A λωωα--=
（4）对模型不作任何约束，使其作耦合振动，测定在不同风速下的阻尼λ，频率ω、相位角以及两上自由度的幅度比α0/y 0，并利用已经得到的H 1、A 2和A 3，可得所谓交叉导数如下：
()()⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡++-++=222
32200
1cos sin A cos y A ωλθθλωωλωθωαα
()()[]
ωωζωλωθλωζλωλω
θωαy y 1y y 1222
y
22H 2cos 2H sin y H +-++--+=
()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-+--+=
θωθλθλωζλωλωθαsin cos cos H 2H cos y H 2y y 12
22y 00
3 根据如上所得的H i 、A i (I=1,2,3)可求得在不同的无量纲风速下的颤振导数*i H 和*i A （i=1,2,3）
5、根据Scanlan 方法的原理，人们将振动系统参数识别的很多方法用于桥梁颤振导数的识别，目前已提出了很多更有效、精度更高的方法。

比如MITD 法、总体最小二乘法等。

目前正在尝试用随机减量法在紊流风场中同时识别颤振导数和气动导纳函数。

另外，还有强迫振动方法识别颤振导数法。