线性系统的可控性.ppt

注意: (1).(2-6) 是无穷矩阵。如不注意到这一点容 易出错; (2). t 是[t1，t2] 中的任一固定点（包括端 点）！
例2-3：令
F(t )
sin1000t sin 2000t
F(t)
F(1)
(t)
sin1000t sin 2000t
103 cos1000t
2
103
cos
2000t
定理2-1 f1, f2 , …, fn在[t1，t2]上线性无关的充分必要条 件是W(t1，t2)非奇异。 证明：充分性：反证法。
事实上，若 fi 线性相关，则存在非零 1×n行向 量，使得
αF(t) 0 t [t1,t2]
因此有
t2
W(t1,t2 ) F(t)F *(t)dt 0 t1
A(t)为n n, B(t)为n p, C(t)为q n, D(t)为q p阵。
注1：一个函数 f 称为在 [t0, ) 上分段连续， 系指对任意给定的闭区间 [t1, t2] [t0, ) , 其不 连续点的个数有限。
注2：也存在其它类型的控制信号， 但容许控 制是工程中最容易实现，因而也是应用最为广 泛的一类控制信号。
容易看出，当 t 0, ,
1000 <2。
时，rnak[F(t) F(1)(t)]
但却有如下结论：
定理：设 fi (i=1,2,n) 在[t1，t2]上解析，则 fi 在
[t1，t2]上线性无关的充分必要条件是在[t1，t2]上几 乎处处有
rank[F(t) F(1) (t) F(Байду номын сангаас1) (t)] n 证明：略。
维复值向量函数，F是由 fi 构成的n×p矩阵。则 称
t2
W(t1,t2)nn F(t)F * (t)dt t1
为fi (i=1,2,…,n) 在[t1，t2]上的Gram矩阵。其中， F*表示F的共轭转置。
注意:当给定t1 和 t2 后，上式右端的积分是常数阵。 下面的定理将表明，Gram矩阵的引入给向量组无 关性判别带来了很大的方便。
W(t0 ,t1)
W(0,1)
1 0
F(t)F *
(t )
1 0
t t 2
[t
t 2 ]dt
1 1
3
4
1 1
4 5
这个例子表明了Gram矩阵的一些特有性 质。
三、一些有用的判别准则
定理2-2 设 f1, f2 , …, fn 是定义在[t1，t2]上的1×p的 复值函数，且在[t1，t2] 上有一直到 (n1)阶的连续导 数。令 F表示这些向量构成的n×p矩阵，F(k) 表示 F 的第 k 阶导数。若在[t1，t2] 上存在某个数 t0 , 使得如 下 n×np 矩阵
定义2-1 若存在不全为零的复数 1,2, ,n,使得
1f1(t) 2f2(t) n fn (t) 0 t [t1, t2]
成立，则称在复数域上，实变量复值函数 f1, f2, , fn 在区间 [t1, t2] 上线性相关。否则，称其为
在 [t1, t2] 上线性无关。
注意：
1) 实变量复值函数系指定义在实数域上的复值函 数。
]
t t
3 3
3t 2
3t
2
2,
t (0, 1]
rank[
f1(t) f2 (t)
f1(1) f2(1)
(t )
(t
] )
t3
t
3
3t 2
3t
2
2,
t [1,0)
rank[
f1(t) f2 (t)
f1(1) f2(1)
(t (t
) )
] t0
0
例2-2表明，尽管定理2-2比定理2-1有时来的 方便，但在使用时应特别注意，以免给出错误的 结论。事实上，在例2-2中我们找不到 t0, 使得
证明：充分性的证明与定理2-2相同，即用反证法可 证明。必要性：反证法。
若不然， fi 在[t1，t2]上线性无关，但却有 rank[F(t0 ) F(1) (t0 ) F(n1) (t0 ) ] n,
0, 使得 [F(t0 ) F(1) (t0 ) F(n1) (t0 ) ] 0
F( j) (t0 ) 0, j 0,1,
2) 与线性代数中常值向量的线性相关性或无关性 不同，当讨论一组变量的线性相关性或无关性 时，给出变量所定义的区间至为重要。
3） 1,2, ,n 为复常数。
4) 不失一般性，可假设t1>t2。fi (t) 在区间上的 连续性假设将贯穿于整个讲义。
例：令f1(t)=t, f2(t)=t2，讨论它们在[0, 1]上的线性 相关性。
[t1,t2]上线性相关，则存在非零1×n行向量 ，
F(t) 0,t [t1,t2]
F(k) (t) 0,t [t1,t2],k 1, 2, ,n 1
因 t0 [t1,t2] ，故
[F(t0 ) F(1) (t0 )
F(n1) (t0 )] 0
这说明矩阵 [F(t0) F(1) (t0)
F(n1) (t0)] 行线性相关，
2).系统的的状态能否由输出来反映？——导 致可观测性概念的提出。
由动态方程 x A(t)x B(t)u y C(t)x D(t)u
可知，可控性要研究的是矩阵对 (A(t), B(t)) 的关系；由于系统是否可观测不取决于输入信 号的具体形式，反映的是系统自身结构的性质， 因此，可令 u=0，则显然，可观测性要研究的 是矩阵对(A(t), C(t)) 之间的关系。
第二章
线性系统的可控性、 可观测性
可控性和可观测性问题的提出
1. 基本假设和容许控制 给定线性系统：
x A(t)x B(t)u y C(t)x D(t)u, t [t0, ) (2 1) A(t)为n n, B(t)为n p, C(t)为q n, D(t)为q p阵。
在本课程以下的讨论中，始终假设：
根据定义，考虑方程 t t2,t [0, 1]。这样的常数 不存在，因此，它们在[0, 1]上线性无关。
例2-1 讨论定义在[1, 1]上的两个连续函数 f1 和 f2 分别在 [1, 0], [0, 1], [1, 1] 上的线性相关性和线性
无关性：
f1(t) t, t [1, 1]
t, t [0, 1] f2(t) t, t [1, 0]
线性无关的如下矩阵描述在线性系统中有时 更为有用：
1×p维复值向量函数组 f1, f2 , …, fn 在[t1, t2]上线性无关，当且仅当
[1 2
f1
n
]
f2
:
αF(t
)
0
0
fn
: [ 1 2
f1
n ],
F(t
)
:
f2
fn
二、Gram 矩阵
定义2-2 设 f1, f2 , …, fn 是定义在[t1，t2]上的1×p
因为fi 在[t1，t2]上解析,
0, 使得 t [t0 ,t0 ],
F(t )
n 0
(t
t0 n!
)n
F(n )
(t0
)
F(t )
n 0
(t
t0 )n n!
F(n) (t0) 0,t [t0 ,t0
],
F(t) 0, t [t1,t2（] 解析开拓）,
与 fi 在[t1，t2]上线性无关的假设相矛盾。证完。
可控性和可观测性问题是控制系统分析和设 计中必须回答的问题。
u
Gp
y
C
典型的输入/输出反馈控制系统: 仅输入 u 和输出 y 可测量 若不能回答对象可控性和可观测性的问题，系统控制 器 C 有可能无法设计。
§2-1时间函数的线性无关性
一、一组给定函数在某个区间上的线性相关性 1.标量情形：
考虑一组定义在区间 [t1, t2]上的复值连续函数 f1, f2, , fn, 有：
1). A(t)、B(t)、C(t)、D(t) 各个分量在 [t0, ) 上连续；
2). u(t) 是定义在 [t0, ) 上连续或分段连续函数 组成的控制向量。 这样的控制称为 容许控制。
D(t )
u p1
B(t)
x x C(t)
yq1
A (t )
x A(t)x B(t)u y C(t)x D(t)u
作为定理2-3的一个直接推论，我们有
推论1：若 fi (i 1, , n)在[t1，t2]上解析且线性无 关， 则对所有 t [t1,t2] ，有
rank[F(t) F(1) (t) F(n1) (t) ] n
推fi 在论[2t1：，若t2]向的量每组一f个i 在子[t区1，间t2上]上也解线析性且无线关性。无关，则
即 W(t1, t2) 行线性相关 det W(t1,t2) 0 ，矛盾。
必要性。 反证法。设 fi 在[t1,t2]上线性无关，但 W(t1,t2) 奇异。故必存在一个1×n 行向 量 ，使得
W(t1,t2 ) 0
或者 t2 W(t1,t2 ) * [ F(t )][ F(t )]*dt 0 t1
例：考虑如下二阶系统，其中仅输入和输出可测
量：
x1 x2
4x1 5x2
u
2u
u G(s)
y
y 6x2
显然，在这个例子中，系统的状态不能被完全观 测到。事实上，x1和输出y没有直接和间接的联系。
u x1
x1
4 2
x2
x2 6
y
5
直观地看，x1不能通过输出反映出来。
1). 系统的状态能否由 u 来控制？——导致可 控性概念的提出；
1 0
0 1
x1 x2
1 0
u
状态 x2 显然不能通过输入 u来改变其运动轨迹。 事实上，若x2(t0)非零，x2将发散到无穷。
u x1
x1
1
x2
x2
2).系统的的状态能否由输出来反映？
对许多反馈系统来说，仅有输入和输出信号 是可以测量的。但为了进行控制律的设计，必须 了解系统的内部状态。因此，系统的的状态能否 通过输出来反映的问题就变得十分重要。
rank[F(t0 ) F(1) (t0 ) F(n1) (t0 )] n ( A.1)
则在[t1，t2]上， f1, f2 , …, fn 在复数域上线性无关。
例：F(t
)
f1(t)
f2
(t
)
t t 2
[0,1]
[F(t
)
F'(t
)]
t t 2
1
2t
证明： 用反证法。若式(A.1)成立，但f1, f2 , …, fn 在
注3：A(t), B(t), C(t), D(t) 各个分量连续的假 设可以放宽到分段连续， 但会在理论分析上带 来一些困难。
2. 可控性和可观测性的概念 在系统分析和设计中两个关键问题是：
1). 系统的状态能否由 u 来控制？ 例：考虑如下二阶系统：
x1 x2
x1 x2
u
x1
x2
f2
f1
-1
1
-1
1
从例2－1可见，虽然一个函数组在某个时间区间 [t1,t2]上是线性无关的，但在[t1,t2] 中的某个子区 间上却可以是线性相关的。然而在[t1,t2]上一定存 在这样的子区间，函数组在这个子区间上是线性
无关的，而且在包含这个子区间的任何区间上都 是线性无关的。在上述例子中，[, ] 就是这
其秩小于n，这与假设相矛盾。
证完
需要注意的是，定理2-2仅是充分条件。可以举 出反例。
例2-2 设定义在[-1, 1]上的两个函数f1(t)= t3, f 2(t)= t3 , 它们在[-1，1]上线性无关，但可验证
rank
[
f1 (t ) f2 (t)
f1(1) f2(1)
(t (t
) )
rank[F(t0 ) F(1) (t0 ) F(n1) (t0 )] n
但若所论函数是解析函数，则有如下更强的结 果：
定理2-3 假设对每个 i, fi 在[t1，t2]上解析。令 t0 是 [t1，t2] 中的任一固定点，则向量函数组 fi 在[t1，t2] 上线性无关的充分必要条件是
rank[F(t0 ) F(1) (t0 ) F(n1) (t0 ) ] n, (2 6)
因为对于[t1,t2]中所有t，被积函数 [ F(t)][ F(t)]*
是非负的连续函数，故前式意味着
矛盾。
F(t) 0 t [t1,t2 ]
证完。
例：令f1(t)=t, f2(t)=t2。讨论它们在[0, 1]上的线性 相关性。令
F(t )
f1(t)
f2
(t
)
t t 2
考虑Gram矩阵：
样的子区间，这里 是小于1的任何正数。
f2
f1
[]
-1
-ε ε
1
2.向量情形： 将以上概念推广到向量函数组的情形。令f1,
f2 , …, fn 为 1×p 维复值向量函数，若存在不全为
零的复数 1,2, ,n ，使得 1f1(t) 2f2(t) nfn(t) 0 t [t1, t2]
则称1×p维复值向量函数 f1, f2 , …, fn 在 [t1, t2] 上 线性相关。否则，称为线性无关。