基于分数阶积分器的分数阶混沌系统状态观测器同步研究

收稿日期：２０１９ ０５ １７；修回日期：２０１９ ０７ ０７ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（６１６７２２９８，６１８７３３２６）；湖南省自然科学基金资
助项目（
２０１８ＪＪ４０２９，２０１９ＪＪ６００２４）；湖南省科技厅重点项目（２０１７ＧＫ２２０４）；湖南省教育厅重点项目（１７Ａ０５０）；基于分数阶系统的混沌保密通信技术研究与应用重点实验室资助项目（２０１７ＫＪ１８６）；衡阳市信息安全及其应用研究重点实验室资助项目（２０１８ＫＪ１２０）；衡阳市科技计划项目（２０１７ＫＪ２５）；湖南工学院科技创新团队支持计划资助项目
作者简介：贾雅琼（１９８２ ），女，山西长治人，副教授，博士，主要研究方向为混沌同步（ｙａｑｉｏｎｇｊｉａ＠１６３．ｃｏｍ）；蒋国平（１９６６ ），男，江苏镇江人，
教授，博导，主要研究方向为混沌控制、复杂网络；俞斌（
１９７９ ），男，江苏扬州人，副教授，博士研究生，主要研究方向为混沌保密通信．基于分数阶积分器的分数阶混沌系统
状态观测器同步研究
贾雅琼１，２ａ，蒋国平１，俞　斌１
，２ｂ（１．南京邮电大学自动化学院，南京２１００２３；２．湖南工学院ａ．电气与信息工程学院；ｂ．计算机与信息科学学
院，湖南衡阳４
２１００２）摘　要：提出了一种基于分数阶积分器的分数阶混沌系统状态观测器同步算法。

通过引入一个新的变量，该变
量是将驱动系统的输出信号与传输信道中干扰的和进行分数阶积分处理，然后再作为输入信号加到观测系统
中，以便实现分数阶混沌系统的状态观测系统同步。

然后利用Ｌ
ｙａｐｕｎｏｖ稳定性理论和线性矩阵不等式证明了该方法的正确性。

将该同步方法应用于分数阶Ｃｈｅｎ混沌系统，得出了同步误差曲线，仿真结果表明了该同步方
法的有效性，最终实现了分数阶混沌系统的状态观测器同步。

关键词：状态观测器混沌同步；分数阶混沌系统；分数阶积分；线性矩阵不等式
中图分类号：ＴＰ１３；Ｏ４１５．５ 文献标志码：Ａ 文章编号：１００１ ３６９５（２０２０）１０ ０３１ ３０３４ ０４
ｄｏｉ：１０．１９７３４／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１ ３６９５．２０１９．０５．０２１５
Ｓｔｕｄｙｏｆｏｂｓｅｒｖｅｒｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｏｒｄｅｒｃｈａｏｔｉｃｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ
ｂａｓｅｄｏｎｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｏｒｄｅｒｉｎｔｅｇｒａｌ
ＪｉａＹａｑｉｏｎｇ１，２ａ，ＪｉａｎｇＧｕｏｐｉｎｇ１，ＹｕＢｉｎ
１，２ｂ（１．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＡｕｔｏｍａｔｉｏｎ，ＮａｎｊｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＰｏｓｔｓ＆Ｔｅｌｅｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ，Ｎａｎｊｉｎｇ２１００２３，Ｃｈｉｎａ；２．ａ．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ＆Ｉｎｆｏｒｍａ
ｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ
，ｂ．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒ＆ＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅ，ＨｕｎａｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ＨｅｎｇｙａｎｇＨｕｎａｎ４２１００２，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｐｒｏｐｏｓｅｄａｎｏｂｓｅｒｖｅｒｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｏｒｄｅｒｃｈａｏｔｉｃｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｂａｓｅｄｏｎｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｏｒｄｅｒｉｎｔｅ
ｇｒａｌ．Ｉｔｃｒｅａｔｅｄａｎｅｗｖａｒｉａｂｌｅ
，ｗｈｉｃｈｗａｓｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｔｈｅｆｒａｃｔｉｏｎａｌｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｓｕｍｏｆｔｈｅｏｕｔｐｕｔｓｉｇｎａｌａｎｄｅｘｔｅｒｎａｌｕｎｋｎｏｗｎｄｉｓｔｕｒｂａｎｃｅ．Ａｎｄｔｈｅｎｉｔｕｓｅｄｔｈｅｖａｒｉａｂｌｅａｓａｎｉｎｐｕｔｓｉｇｎａｌｔｏｐｕｔｉｎｔｏｔｈｅｏｂｓｅｒｖｅｒｓｙｓｔｅｍｔｏｒｅａｌｉｚｅｔｈｅｏｂｓｅｒｖｅｒｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｏｒｄｅｒｃｈａｏｔｉｃｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ．ＩｔｔｕｒｎｅｄｏｕｔｔｏｂｅｃｏｒｒｅｃｔｉｎｔｈｅｍｅｔｈｏｄｏｆｔｈｅＬｙａｐｕｎｏｖｓｔａｂｉｌｉｔｙｔｈｅｏｒｙａｎｄｌｉｎｅａｒｍａｔｒｉｘｉｎｅｑｕａｌｉｔｙｆｏｒｍ．Ｕｎｄｅｒｔｈｅｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎｃｏｎｔｒｏｌ，ｔｈｅｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎｅｒｒｏｒｓｗｅｒｅｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ．Ｔｈｅｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓ
ｓｈｏｗｔｈｅｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓｏｆｔｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄｍｅｔｈｏｄ．Ｆｉｎａｌｌｙ
，ｉｔｒｅａｌｉｚｅｄｔｈｅｃｈａｏｔｉｃｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｏｂｓｅｒｖｅｒｃｈａｏｔｉｃｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ；ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｏｒｄｅｒｃｈａｏｔｉｃｓｙｓｔｅｍ；ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｏｒｄｅｒｉｎｔｅｇｒａｌ；ｌｉｎｅａｒｍａｔｒｉｘｉｎｅｑｕａ ｌｉｔｙ（ＬＭＩ）
０　引言
近年来，分数阶微积分逐渐成为了一种有效的数学工具，
其在信号处理、图像处理、生物系统和自动控制等［
１～４］领域的广泛应用吸引了越来越多研究人员的关注。

又由于分数阶混
沌系统具有相比整数阶混沌系统更复杂的动力学行为，使得分
数阶混沌系统在保密通信和电子工程领域的应用具有巨大的潜
力，也使其成为了非线性系统领域的研究热点。

其中有很多分
数阶混沌系统的同步方法被陆续提出，包括滑模控制［５］、自适应
控制［６］和非线性反馈控制［７］等。

但需要注意的是，这些同步方
法研究的大多数是状态变量，而在实际的物理系统中，由于技术
和经济条件的限制，状态变量是很难直接测量的，所以在这种情
况下，使用状态观测器同步就显得尤为重要。

文献［
８，９］提出了一种针对非线性分数阶系统的非线性分数阶状态观测器。

文献［１０～１３］实现了分数阶混沌系统的
状态观测器同步。

文献［１４］实现了基于降维分数阶积分状态观测器的分数阶混沌系统同步。

文献［１５］通过设计一个状态观测器，实现了一种适用于非线性分数阶复杂混沌系统的改进型投影同步。

文献［１６］通过控制输入饱和度和测量量化问题，实现了非线性分数阶不稳定系统的状态观测器控制。

文献［１７］基于状态观测器方法和分数阶系统稳定性理论，设计分数阶时滞混沌系统同步控制器，使得分数阶时滞混沌系统达到同步。

然而这些分数阶状态观测器的同步性能容易受到外部干扰或者噪声的影响。

基于此，本文设计了一种可以有效抑制信道噪声的基于分数阶积分器的分数阶状态观测器，通过引入一个新的变量，该变量是将驱动系统的输出信号与传输信道中干扰的和进行分数阶积分处理，然后再作为输入信号加到观测系统中，利用Ｌｙａｐｕｎｏｖ稳定性理论和分数阶线性矩阵不等式（ＬＭＩ）证明该方法的正确性。

１　预备知识定义１［１３］　Ｒｉｅｍａｎｎ Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ（Ｒ Ｌ）定义分数阶微积分为第３７卷第１０期
２０２０年１０月　计算机应用研究ＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎＲｅｓｅａｒｃｈｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒｓＶｏｌ．３７Ｎｏ．１０Ｏｃｔ．２０２０
Ｄαｆ（ｔ）＝１Γ（ｍ－α）ｄｍｄｔｍ∫ｔ
ｔ０ｆ（τ）（ｔ－τ）α－ｍ＋１ｄτ
（１）
其中：α表示分数阶阶数，且ｍ－１＜α＜ｍ，ｍ＝［α］＋１，［α］表
示α的整数部分；Γ（·）表示ｇａｍｍａ函数，定义为Γ（ｍ－α）＝
∫∞０
ｔｍ－α－１ｅ－ｔｄｔ。

根据Ｌｅｉｂｎｉｚ规则，函数ｆ（ｘ（ｔ））＝ｘ（ｔ）ＴＰｘ（ｔ）关于ｔ的分
数阶定义为［１８］
Ｄαｆ（ｘ（ｔ））＝ｘ（ｔ）ＴＰＤαｘ（ｔ）＋Ｐｐｘ（２）
其中：ｐｘ＝∑∞ｋ＝１Γ（１＋ｑ）Γ（１＋ｋ）Γ（１－ｋ＋ｑ）（Ｄｋｘ）（Ｄｑ－ｋ
ｘ），且假设其边
界存在［８］
‖ｐｘ‖≤β‖ｘ‖２（３）
引理１［１９］　令ｘ、ｙ是同维实向量，则对于ε＞０的标量，有
如下不等式成立：
２ｘＴｙ≤ε－１ｘＴｘ＋εｙＴｙ（４）
引理２［１２，２０］　令ｘ＝０是非自治分数阶系统Ｄαｘ（ｔ）＝ｆ（ｔ，
ｘ）（０＜α＜１）的平衡点，假设存在一个Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数Ｖ（ｔ，
ｘ（ｔ））和ｉ阶函数αｉ（ｉ＝１，２，３）满足：
α１（‖ｘ‖）≤Ｖ（ｔ，ｘ（ｔ））≤α２（‖ｘ‖）（５）
Ｄαｘ（ｔ）Ｖ（ｔ，ｘ（ｔ））≤－α３（‖ｘ‖）（６）
则非线性分数阶Ｄαｘ（ｔ）＝ｆ（ｔ，ｘ）（０＜α＜１）满足渐进稳定。

引理３［２１］　对于一个给定的对称矩阵，Ｓ＝Ｓ
１１Ｓ１２Ｓ２１Ｓ
２２，
ＬＭＩ不等式Ｓ＝Ｓ
１１Ｓ１２Ｓ２１Ｓ
２２＜０等效为：Ｓ２２＜０和Ｓ１１－
Ｓ１２Ｓ－１２２ＳＴ
１２＜０，其中Ｓ１１＝ＳＴ
１１，Ｓ１２＝ＳＴ
２１，Ｓ２２＝ＳＴ
２２。

２　问题描述
考虑如下非线性分数阶系统：
Ｄαｘ（ｔ）＝Ａｘ（ｔ）＋ｇ（ｘ（ｔ），ｙ（ｔ））＋ｈ（ｔ）
ｙ（ｔ）＝Ｃｘ（ｔ{），０＜α＜１（７）
其中：状态变量ｘ（ｔ）∈Ｒｎ，输出ｙ（ｔ）∈Ｒｍ，外部输入矢量
ｈ（ｔ）∈Ｒｑ；Ａ和Ｃ是已知参数的实矩阵；ｇ（ｘ（ｔ），ｙ（ｔ））是连续
非线性函数。

在混沌同步中，以式（７）作为混沌驱动系统，其输出ｙ（ｔ）
通过传输信道发送到响应系统。

假设信道中存在一个有界干
扰或噪声ｄ，在接收端有
珋ｙ＝ｙ（ｔ）＋ｄ（８）
对于一个传统的比例观测器，响应系统可以表示为［１０，１１］
Ｄα＾ｘ（ｔ）＝Ａ＾ｘ（ｔ）＋ｇ（＾ｘ（ｔ），ｙ（ｔ））＋ｈ（ｔ）＋Ｌ（珋ｙ（ｔ）－＾ｙ（ｔ））
＾ｙ（ｔ）＝Ｃ＾ｘ（ｔ{）（９）
其中：Ｌ＝［ｌ１，ｌ２，…，ｌｎ］Ｔ表示观测器增益。

根据式（７）～（９），误差动力学系统可以表示为
Ｄαｅ（ｔ）＝（Ａ－ＬＣ）ｅ（ｔ）＋ｇ（ｘ（ｔ），ｙ（ｔ））－ｇ（＾ｘ（ｔ），ｙ（ｔ））－Ｌｄ
（１０）
其中：ｅ（ｔ）＝ｘ（ｔ）－＾ｘ（ｔ）表示误差向量。

根据式（１０），由于项Ｌｄ（ｔ）的存在，误差向量将不会趋于
零，而且干扰还将被放大，如果增益Ｌ较大，则抗噪声性能将
极度恶化。

此即为传统比例观测器的内在缺点。

３　基于分数阶积分器的分数阶混沌系统状态观测器
同步
本文提出一种新的分数阶混沌系统状态观测器同步策略，
使得混沌同步中的抗噪声性能提高。

设定一个新的变量：珔ｘ＝Ｉα珋ｙ（ｔ）（１１）其中：Ｉα珋ｙ（ｔ）表示分数阶积分，对其进行分数阶微分可以得到Ｄα珔ｘ＝珋ｙ（ｔ）＝ｙ（ｔ）＋ｄ＝Ｃｘ（ｔ）＋ｄ（１２）根据式（７）和（１２），可以得到式（７）混沌驱动系统的增维系统为Ｄαｘ（ｔ）珔 ｘ＝Ａ０Ｃ ０·ｘ（ｔ）珔 ｘ＋ｇ（ｘ（ｔ），ｙ（ｔ）） ０＋ ０１·ｄ＋ｈ（ｔ） ０珓ｙ＝［０　１］·ｘ（ｔ）珔 ｘ（１３）令ｚ＝ｘ（ｔ）珔 ｘ，Ａ１＝Ａ０Ｃ ０，Ｆ（ｚ）＝ｇ（ｘ（ｔ），ｙ（ｔ）） ０，Ｈ（ｔ）＝ｈ（ｔ） ０，Ｅ＝ ０１，Ｃ１＝［０　１］，则式（１３）可以重写为Ｄαｚ（ｔ）＝Ａ１ｚ＋Ｆ（ｚ）＋Ｅｄ＋Ｈ（ｔ）珓ｙ＝Ｃ１ｚ（ｔ{）（１４）构建式（１４）的观测系统如下：Ｄα＾ｚ（ｔ）＝Ａ１＾ｚ＋Ｆ（＾ｚ）＋Ｈ（ｔ）＋Ｌ１（珓ｙ－珓ｙ＾）＋ｌ２ＥＩα（珓ｙ－珓ｙ＾）珓ｙ＾（ｔ）＝Ｃ１＾ｚ（ｔ{）（１５）误差系统可以表示为Ｄαｅ１（ｔ）＝（Ａ１－Ｌ１Ｃ１）ｅ１（ｔ）－ｌ２ＥＩα（珓ｙ－珓ｙ＾）＋Ｆ（ｚ）－Ｆ（＾ｚ）＋Ｅｄ（１６）其中ｅ１（ｔ）＝ｚ（ｔ）－＾ｚ（ｔ）表示误差。

再令ｑ＝－ｌ２Ｉα（珓ｙ－珓ｙ＾）＝－ｌ２Ｃ１Ｉαｅ１（ｔ）（１７）对式（１７）求分数阶微分得到Ｄαｑ＝－ｌ２Ｃ１ｅ１（ｔ），则式（１６）的增维系统可以表示为Ｄαｅ１（ｔ） ｑ＝Ａ１－Ｌ１Ｃ１Ｅ－ｌ２Ｃ１ ０·ｅ１（ｔ） ｑ＋Ｆ（ｚ）－Ｆ（＾ｚ） ０＋Ｅ ０·ｄ＝（Ａ１ＥＯ ０－Ｌ１ｌ ２·［Ｃ１　０］）·ｅ１（ｔ） ｑ＋Ｆ（ｚ）－Ｆ（＾ｚ） ０＋Ｅ ０·ｄ（１８）令ｅ２＝ｅ１ ｑ，Ａ２＝Ａ１ＥＯ ０，Ｌ２＝Ｌ１ｌ ２，Ｆ１（ｚ）＝Ｆ（ｚ）－Ｆ（＾ｚ） ０，Ｅ１＝Ｅ ０，Ｃ２＝［Ｃ１　０］，则式（１８）可以重写为Ｄαｅ２（ｔ）＝（Ａ２－Ｌ２Ｃ２）ｅ２（ｔ）＋Ｆ１（ｚ）＋Ｅ１ｄ（１９）接下来通过下面的定理证明本文提出的分数阶积分观测器稳定性的条件。

定理１　如果存在正实数ε１和ｍ，式（３）中定义的正常数β，还有一个正定对称矩阵Ｐ＝ＰＴ＞０，Ｌ２根据如下不等式选择：ＰＡ２－ＸＣ２＋ｍ２ε１２Ｉ＋βＰ＋２δＰＰＰＴ－２ε１ Ｉ＜０（２０）其中：Ｘ＝ＰＬ２；Ｉ表示单位矩阵；δ是一个正常数。

那么误差系统式（１９）将收敛于如下的邻域：Ｄ１＝｛ｅ２：‖ｅ２‖≤（γ／δ）·｜ｄ｜＋μ｝（２１）其中：γ＝‖ＥＴ１Ｐ‖／λｍｉｎ（Ｐ）；λｍｉｎ（Ｐ）表示矩阵Ｐ的最小特征值；μ表示一个较小的正常数。

由此可以得出，系统式（１４）和（１５）可以实现全局同步。

证明　选择误差系统式（１９）的Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数：Ｖ＝ｅＴ２Ｐｅ２（２２）
对式（２２）求分数阶导数，并结合式（２）（３），有
·５３０３·第１０期贾雅琼，等：基于分数阶积分器的分数阶混沌系统状态观测器同步研究
ＤαＶ＝ｅＴ２（ｔ）ＰＤαｅ２（ｔ）＋Ｐｐｅ＝ｅＴ２（ｔ）Ｐ［（Ａ２－
Ｌ２Ｃ２）ｅ２（ｔ）＋Ｆ１（ｚ）＋Ｅ１ｄ］＋Ｐｐｅ（２３）
根据引理１（式（４）），令式（２３）中ｅＴ
２Ｐ＝ｘＴ，Ｆ１（ｚ）＝ｙ，
则有
ｅＴ２（ｔ）ＰＦ１（ｚ）≤１２εｅＴ２ＰＰＴｅ２（ｔ）＋ε
２‖Ｆ１（ｚ）‖２（２４）
将式（２４）代入式（２３）可以得出
ＤαＶ≤ｅＴ２（ｔ）Ｐ（Ａ２－Ｌ２Ｃ２）ｅ２（ｔ）＋１
２ε１ｅＴ２（ｔ）ＰＰＴｅ２
（ｔ）＋
ε１
２‖Ｆ１（ｚ）‖２＋Ｐｐｅ＋ｅＴ２（ｔ）ＰＥ１ｄ（２５）
其中ε１＞０。

由于ｇ（ｘ（ｔ），ｙ（ｔ））是Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ函数，故有［１０］
‖Ｆ１（ｚ）‖≤ｍ‖ｅ２（ｔ）‖　ｍ≥０（２６）
利用不等式（２６），则式（２５）可以写为
ＤαＶ≤ｅＴ２（ｔ）Ｐ（Ａ２－Ｌ２Ｃ２）ｅ２（ｔ）＋１
２ε１ｅＴ２（ｔ）ＰＰＴｅ２（ｔ）
＋
ｍ２ε１
２‖ｅ２（ｔ）‖２＋Ｐｐｅ＋ｅＴ２（ｔ）ＰＥ１ｄ（２７）
将式（３）代入式（２７）可得
ＤαＶ≤ｅＴ２（ｔ）Ｐ（Ａ２－Ｌ２Ｃ２）ｅ２（ｔ）＋１
２ε１ｅＴ２（ｔ）ＰＰＴ
ｅ２（ｔ）＋
ｍ２ε１
２‖ｅ２（ｔ）‖２＋βＰ‖ｅ２（ｔ）‖２＋ｅＴ２（ｔ）ＰＥ１ｄ＝
ｅＴ２（ｔ）［Ｐ（Ａ２－Ｌ２Ｃ２）＋１
２ε１
ＰＰＴ
＋
ｍ２ε１
２＋βＰ］ｅ２（ｔ）＋ｅＴ２（ｔ）ＰＥ１ｄ（２８）
根据文献［１９］，有
ｅＴ２（ｔ）ＰＥ１ｄ≤２‖ｅＴ２（ｔ）‖·‖ＰＥ１‖·｜ｄ｜（２９）
由引理３和式（２０），可得
ＤαＶ≤－２δｅＴ２Ｐｅ２＋２‖ｅＴ２（ｔ）‖·‖ＰＥ１‖·｜ｄ｜≤
－２δλｍｉｎ（Ｐ）‖ｅ２（ｔ）‖２＋２‖ｅＴ２（ｔ）‖·‖ＰＥ１‖·｜ｄ｜＝
－２δλｍｉｎ（Ｐ）‖ｅＴ２（ｔ）‖·（‖ｅ２（ｔ）‖－‖ＰＥ１‖
δλｍｉｎ（Ｐ）·｜ｄ｜）＝
－２δλｍｉｎ（Ｐ）‖ｅＴ２（ｔ）‖·（‖ｅ２（ｔ）‖－（γ／δ）·｜ｄ｜）（３０）
如果误差向量ｅ２（ｔ）不属于Ｄ１，则有
ＤαＶ≤－２δλｍｉｎ（Ｐ）‖ｅＴ２（ｔ）‖，
‖ｅ２（ｔ）‖＞（γ／δ）·｜ｄ｜＋μ（３１）
综上，根据Ｌｙａｐｕｎｏｖ稳定理论，误差系统式（１９）将收敛于
邻域Ｄ１。

４　仿真结果
在混沌保密通信系统中，混沌同步的实现是关键所在，本
文以分数阶Ｃｈｅｎ混沌系统为例，其方程为
ＤαＸ＝３５（ｘ
２－ｘ１）
－７ｘ１－ｘ１ｘ３＋２８ｘ
２ｘ１ｘ２－３ｘ
３
＝
－３５３５０－７２８０
００－３·ｘ１ｘ２ｘ
３＋０－ｘ１ｘ３ｘ１ｘ
２ｙ＝ ＣＸ
（３２）
假设驱动系统式（３２）表示为
Ｄαｚ（ｔ）＝Ａ１ｚ＋Ｆ（ｚ）＋Ｅｄ＋Ｈ（ｔ）
珓ｙ＝Ｃ１ｚ（ｔ{）
（３３）
其中：ｚ＝ｘ１ｘ２ｘ３珋 ｘ，Ａ１＝－３５３５００－７２８００００－３０ｃ１ ０００Ｆ（ｚ）＝０－ｘ１ｘ３ｘ１ｘ２ ０，Ｈ（ｔ）＝ｈ（ｔ） ０００Ｅ＝ ０００１，Ｃ１＝［０　０　０　１］信道干扰ｄ在均匀分布的区间（－０．５，０．５）随机取值。

ｈ（ｔ）表示外部输入信号。

根据式（１５），构建系统式（３３）的观测系统为Ｄα＾ｚ（ｔ）＝Ａ１＾ｚ＋Ｆ（＾ｚ）＋Ｈ（ｔ）＋Ｌ１（珓ｙ－珓ｙ＾）＋ｌ２ＥＩα（珓ｙ－珓ｙ＾）珓ｙ＾（ｔ）＝Ｃ１＾ｚ（ｔ{）（３４）其中：观测器的增益矩阵Ｌ１＝［ｌ１１　ｌ１２　ｌ１３　ｌ１４］Ｔ。

将式（３３）减去式（３４），可以得到误差系统为Ｄαｅ１（ｔ）＝（Ａ１－Ｌ１Ｃ１）ｅ１（ｔ）－ｌ２ＥＩα（珓ｙ－珓ｙ＾）＋Ｆ（ｚ）－Ｆ（＾ｚ）＋Ｅｄ（３５）其中：ｅ１＝［ｘ１－＾ｘ１　ｘ２－＾ｘ２　ｘ３－＾ｘ３　珋ｘ－珋ｘ＾］Ｔ。

令ｅ１１＝ｘ１－＾ｘ１，ｅ１２＝ｘ２－＾ｘ２，ｅ１２＝ｘ３－＾ｘ３。

利用式（１７）和（１８），系统式（３５）可以改写为Ｄαｅ２（ｔ）＝（Ａ２－Ｌ２Ｃ２）ｅ２（ｔ）＋Ｆ１（ｚ）＋Ｅ１ｄ（３６）其中：Ａ２＝－３５３５０００－７２８０００００－３００１０００１ ０００００，Ｃ２＝［０　０　０　１　０］，Ｅ１＝［０　０　０　１　０］Ｔ。

本文中分数阶阶数α＝０．９５，利用Ｊａｃｏｂｉａｎ矩阵可以计算出Ｌｉｐｃｈｉｔｚ常数ｍ。

其中Ｆ（ｚ）＝［０　－ｘ１ｘ３　ｘ１ｘ２　０］Ｔ明显可微，故其偏导数为 Ｆ（ｚ） ｚ＝００００－ｘ３０－ｘ１０ｘ２ｘ１００ ００００。

Ｊａｃｏｂｉａｎ矩阵的范数即为‖ Ｆ（ｚ） ｚ‖。

设定驱动系统的初始值为（０．２　０．１　０．３），图１给出了Ｊａｃｏｂｉａｎ矩阵范数的结果，从图中可以得出，ｍ＝５８．４是比较合适的选择。

选定ｍ＝５８．４，根据定理１对线性矩阵不等式（２０）的约束条件，选择其中的主要参数为ε１＝１．２１４６×１０－１４，β＝１，δ＝１．０５，可以得出矩阵Ｐ为Ｐ＝１．０×１０－９×０．００７４－０．００３４０－０．０００４０－０．００３４－０．００６９００００００００－０．０００４０００．２８８９－０．０００４０００－０．０００４－０． ００１４以及观测器的增益矩阵Ｌ２＝１．０１４×［０．１５６９　－０．０７６３　０　３．１８１９　－１．０２５６］Ｔ。

利用ＭＡＴＬＡＢ进行仿真，令（α１，α２，α３）＝（０．９５，０．９５，０．９５），得到的分数阶Ｃｈｅｎ混沌系统的吸引子和相图分别如图２和３所示。

根据分数阶积分器状态观测器同步算法，得到的同步误差曲线如图４～６所示。

仿真结果表明同步误差在很短的时间收敛并趋近于零，实现了状态观测器同步。

·６３０３·计算机应用研究第３７卷。