【人教版九年级数学上册教案】24.2点和圆、直线和圆的位置关系(第2课时)

24.2 点和圆、直线和圆的地址关系
第 2课时
教课目标
( 一 ) 教课知识点
1．认识圆与圆之间的几种地址关系．
2．认识两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径 R和 r 的数目关系的联系．
( 二 ) 能力训练要求
1．经历研究两个圆之间地址关系的过程，训练学生的研究能力．
2．经过平移实验直观地研究圆和圆的地址关系，发展学生的识图能力和着手操作能力．( 三 ) 感情与价值观要求
1．经过研究圆和圆的地址关系，体验数学活动充满着研究与创立，感觉数学的慎重性以及数学结论的确定性．
2．经历研究图形的地址关系，丰富对现实空间及图形的认识，发展形象思想．
教课要点
研究圆与圆之间的几种地址关系，认识两圆外切、内切与两圆圆心距、半径
R 和
r
的数目
d
关系的联系．
教课难点
研究两个圆之间的地址关系，以及外切、内切时两圆圆心距d、半径 R和 r 的数目关系的过程．
教课方法
教师讲解与学生合作交流研究法
教具准备
投电影三张
第一张： ( 记作§ 3．6A)
第二张： ( 记作§ 3．6B)
第三张： ( 记作§ 3．6C)
教课过程
Ⅰ．创建问题情境，引入新课
[ 师 ] 我们已经研究过点和圆的地址关系，分别为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种；还研究了直线和圆的地址关系，分别为相离、相切、订交．它们的地址关系都有三种．今日
我们要学习的内容是圆和圆的地址关系，那么结果能否是也是三种呢？没有检查就没有发言权．下边我们就来进行有关商讨．
Ⅱ．新课讲解
一、想想
[ 师 ] 大家思虑一下，在现实生活中你见过两个圆的哪些地址关系呢？
[ 生 ] 如自行车的两个车轮间的地址关系；车轮轮胎的两个界限圆间的地址关系；用一
只手拿住大小两个圆环时两个圆环间的地址关系等．
[ 师 ] 很好，现实生活中我们见过的有关两个圆的地址很多．下边我们就来谈论这些位
置关系分别是什么．
二、研究圆和圆的地址关系
在一张透明纸上作一个⊙O．再在另一张透明纸上作一个与⊙O1半径不等的⊙ O2．把两张透明纸叠在一起，固定⊙O1，平移⊙ O2，⊙ O1与⊙ O2有几种地址关系？
[ 师 ] 请大家先自己着手操作，总结出不一样的地址关系，而后相互交流．
[ 生 ] 我总结出共有五种地址关系，以以下图：
[ 师 ] 大家的归纳、总结能力很强，能说出五种地址关系中各自有什么特色吗？从公共
点的个数和一个圆上的点在另一个圆的内部还是外面来考虑．
[ 生 ] 如图： (1) 外离：两个圆没有公共点，而且每一个圆上的点都在另一个圆的外面；
(2)外切：两个圆有独一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外面；
(3)订交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外面，有的在另一个
圆的内部；
(4)内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，⊙2上的点在⊙ 1 的内部；
O O
(5)内含：两个圆没有公共点，⊙2上的点都在⊙1的内部．
O O
[ 师 ] 总结得很优异，假如只从公共点的个数来考虑，上边的五种地址关系中有相同类
型吗？
[ 生 ] 外离和内含都没有公共点；外切和内切都有一个公共点；订交有两个公共点．
[ 师 ] 所以只从公共点的个数来考虑，可分为相离、相切、订交三种．
经过大家的谈论我们可知：
投电影 ( § 3． 6A)
(1)假如从公共点的个数，和一个圆上的点在另一个圆的外面还是内部来考虑，两个圆
的地址关系有五种：外离、外切、订交、内切、内含．
外离
(2) 假如只从公共点的个数来考虑分三种：相离、相切、订交，而且相离，相切
内含
外切
内切．
三、例题讲解
投电影 ( § 3． 6B)
两个相同大小的肥皂泡黏在一起，其剖面以以下图( 点O，O＇是圆心 ) ，分开两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线， TP、 NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．
解析：由于两个圆大小相同，所以半径OP＝ O＇P＝ OO＇，又 TP、NP分别为两圆的切线，
所以 PT⊥ OP，PN⊥ O＇P，即∠ OPT＝∠ O＇PN＝90°，所以∠ TPN等于360°减去∠ OPT＋∠ O＇PN＋∠ OPO＇即可．
解：∵ OP＝ OO＇＝ PO＇，
∴△ PO＇ O是一个等边三角形．
∴∠ OPO＇＝60°．
又∵ TP与 NP分别为两圆的切线，
∴∠ TPO＝∠ NPO＇＝90°．
∴∠ TPN＝360°－2×90°－60°＝120°．
四、想想
如图 (1) ，⊙O1与⊙O2外切，这个图是轴对称图形吗？假如是，它的对称轴是什么？切
点与对称轴有什么地址关系？假如⊙O1与⊙ O2内切呢？〔如图(2) 〕
[ 师 ] 我们知道圆是轴对称图形，对称轴是任向来径所在的直线，两个圆能否也构成一
个轴对称图形呢？这就要看切点T 能否在连接两个圆心的直线上，下边我们用反证法来证明．反证法的步骤有三步：第一步是假设结论不成立；第二步是依据假设推出和已知条件或
定理相矛盾的结论；第三步是证明假设错误，则本来的结论成立．
证明：假设切点 T 不在 O1O2上．
由于圆是轴对称图形，所以 T 关于 O1O2的对称点 T＇也是两圆的公共点，这与已知条件⊙O1和⊙ O2相切矛盾，所以假设不成立．
则 T在 O1O2上．
由此可知图 (1) 是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线，切点与对称轴的地址关系是切点在对称轴上．
在图 (2) 中应有相同的结论．
经过上边的谈论，我们可以得出结论：两圆相内切或外切时，两圆的连心线必定经过
切点，图 (1) 和图 (2) 都是轴对称图形，对称轴是它们的连心线．
五、议一议
投电影 ( § 3． 6C)
设两圆的半径分别为R和 r ．
(1)当两圆外切时，两圆圆心之间的距离 ( 简称圆心距 ) d与R和r拥有如何的关系？反之当
d 与 R和 r 满足这一关系时，这两个圆必定外切吗？
(2) 当两圆内切时 ( ＞
) ，圆心距 d 与 R 和 r 拥有如何的关系？反之， 当
d 与 R 和 r 满
R r
足这一关系时，这两个圆必定内切吗？
[ 师 ] 如图，请大家相互交流．
[生]在图 (1) 中，两圆相外切，切点是．由于切点
A 在连心线
1
2
上，所以
1 2
＝
1
A
OO OO OA
＋2＝＋ ，即 d ＝ ＋ ；反之，当 d ＝ ＋
时，说明圆心距等于两圆半径之和，
1
、 、
OA R r R r R r O A
O 2 在一条直线上，所以⊙ O 1 与⊙ O 2 只有一个交点 A ，即⊙ O 1 与⊙ O 2 外切．
在图 (2) 中，⊙ O 与⊙ O 相内切， 切点是 B ．由于切点 B 在连心线 OO 上，所以 OO ＝ OB
1
2
1
2
1 2
1
－O 2B ，即 d ＝ R － r ；反之，当 d ＝ R － r 时，圆心距等于两半径之差，即 O 1O 2＝ O 1B － O 2B ，说
明 O 1、 O 2、 B 在一条直线上， B 既在⊙ O 1 上，又在⊙ O 2 上，所以⊙ O 1 与⊙ O 2 内切．
[ 师 ] 由此可知，当两圆相外切时，有
d ＝ R ＋ r ，反过来，当 d ＝ R ＋ r 时，两圆相外切，
即两圆相外切
d ＝ R ＋ r ．
当两圆相内切时， 有 d ＝ R － r ，反过来， 当 d ＝ R － r 时，两圆相内切， 即两圆相内切
d ＝ R － r ．
Ⅲ．课堂练习
随堂练习
Ⅳ．课时小结
本节课学习了以下内容：
1．研究圆和圆的五种地址关系；
2．谈论在两圆外切或内切状况下，图形的轴对称性及对称轴，以及切点和对称轴的位
置关系；
3．商讨在两圆外切或内切时，圆心距 d 与 R 和 r 之间的关系．
Ⅴ．课后作业
习题 3．9
Ⅵ．活动与研究
已知图中各圆两两相切，⊙ O 的半径为 2R ，⊙ O 1、⊙ O 2 的半径为 R ，求⊙ O 3 的半径．
解析：依据两圆相外切连心线的长为两半径之和，假如设⊙O3的半径为r ，则O1O3＝O2O3＝R＋ r ，连接OO3就
有
OO3⊥O1O2，所以OO2O3构成了直角三角形，利用勾股定理可求得⊙O3的半径r ．
解：连接 O2O3、OO3，
∴∠ O2OO3＝90°， OO3＝2R－ r ，
O2O3＝R＋ r ， OO2＝ R．
∴(R＋r ) 2＝ (2 R－r ) 2＋R2．
∴r＝2
R．3
板书设计
§3． 6 圆和圆的地址关系一、 1．想想 2 ．研究圆和圆的地址关系
3．例题讲解 4 ．想想 5 ．议一议
二、课堂练习
三、课时小结
四、课后作业。