【教学方案】《余弦定理》时示范教学方案人教新课标B版

9.1.2余弦定理 第2课时
利用余弦定理的边角互化功能判定三角形形状，解决三角形，四边形中的边长、角度、面积问题.
教学重点：利用余弦定理的边角互化功能判定三角形形状，解决三角形，四边形中的边长、角度、面积问题．
教学难点：余弦定理的综合应用．
PPT 课件．
一、问题导入
问题1：学生先回忆上节课学习内容． 师生活动：学生回忆，老师引导． 预设的答案： 1．余弦定理
(1)三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .
(2)应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题． ①已知三边，求三角．
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． 2．余弦定理的变形 (1)余弦定理的变形：
cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .
(2)利用余弦定理的变形判定角：
在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角．
设计意图：承上启下，引入新课
引语：进一步学习余弦定理及其应用.（板书：余弦定理及其应用（2）） 【新知探究】
1． 已知两边和夹角，解三角形
问题2：已知两边及其中一边的对角解三角形，如何解三角形？ 师生活动：联系正弦定理、余弦定理进行分析
预设的答案：已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单．
设计意图：比较正弦定理、余弦定理，培养学生分析和归纳的能力. 2.在大量实例感知的基础上，总结出三角形形状的判定方法 问题3：判断该三角形的形状的方法可以有哪些？ 师生活动：结合例题感知、总结
预设的答案：判断该三角形的形状一般都有“走边”或“走角”两条路，利用余弦或者正弦定理进行边角互化.
设计意图：培养学生分析和归纳的能力.
问题4：自主阅读教材第10页例4，思考如何求解与平面多边形有关的问题？ 师生活动：联系正弦定理、余弦定理，将多边形问题转化为三角形问题
预设的答案：与平面多边形有关的问题，可以转化为三角形中的边或角问题，借助余弦定理或正弦定理来解决．
设计意图：通过例题进一步熟悉运用余弦定理解决解三角形问题能力，提高学生的数学运算及逻辑推理和直观想象的核心素养．
【巩固练习】
例1. （1）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则a
b
＝________.
（2）在△ABC 中，若lg (a ＋c )＋lg (a －c )＝lg b －lg 1
b ＋c
，则 A ＝________.
师生活动：余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，一般是利用余弦定理的变形式进行边、角互化．
预设的答案：（1）由余弦定理得b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 2
2a ＝a ，
所以a ＝2b ，即a
b
＝2.
（2）由题意可知lg (a ＋c )(a －c )＝lg b (b ＋c )， 所以(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )．即b 2＋c 2－a 2＝－bc . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－1
2.
又0°<A <180°，所以A ＝120°.
设计意图：进一步熟悉余弦定理及其运用
例2. 在ABC ∆中，已知cos cos a A b B =用两种方法判断该三角形的形状.师生活动：尝试运用正弦定理与余弦定理
预设的答案：解法一：由题意，a ⨯bc a c b 2222-+=b ⨯ca
b a
c 22
22-+
∴c 44222)(b a b a -=-=))((2222b a b a -+ ∴22222b a c b a +==或 ∴ABC ∆是等腰三角形或直角三角形.
解法二：由题意，sin A cos A =sin B cos B , ∴sin2A =sin2B , ∴2A =2B ,或2A +2B =180︒
∴A =B 或A +B =90︒ ∴ABC ∆是等腰三角形或直角三角形.
设计意图：判断该三角形的形状一般都有“走边”或“走角”两条路，利用余弦或者正弦定理进行边角互化.
例 3. 如图所示平行四边形ABCD 中，已知
180,2,42,4,25o B D AB BC CD AD +=====，
求四边形ABCD 的面积.
师生活动：与平面多边形有关的问题，可以转化为三角形中的边或角问题，借助余弦定理或正弦定理来解决．
预设的答案：连接A ，C 如图所示． 再,ABC ADC ∆∆中分别使用余弦定理可得：
2222cos AC AB BC AB BC B =+-⨯ 2222cos AC AD CD AD CD D =+-⨯
又因为180o B D +=，所以cos cos(180)cos o
D B B =-=-，因此
2222222424cos B B +-⨯⨯=++⨯
解得：cos 0B =，因此cos 0,2
D B D π
=∴==
从而可知四边形的面积为：
11
2422
⨯⨯⨯⨯= 设计意图：培养学生分析转化问题的能力
【课堂小结】
1．板书设计： 9.1.2余弦定理（2）
1．余弦定理及其变式 例1 2．解三角形 例2 3．判断三角形的形状 例3 练习与作业： 2．总结概括：
问题：（1）三角形的形状判断方法有哪些？ （2）对所给条件进行变形的途径有哪些特性？ 师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.
预设的答案：（1）利用正弦定理、余弦定理的边角互化功能判定三角形形状； （2）对所给条件进行变形，主要有两种途径：化边为角；化角为边，并常用正弦(余弦)定理进行边、角转换．
设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确余弦定理的有关知识． 布置作业：
【目标检测】
1. 思考辨析
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形．( ) (2)在△ABC 中，若a 2>b 2＋c 2，则△ABC 一定为钝角三角形．( ) (3)在△ABC 中，已知两边和其夹角时，△ABC 不唯一．( ) 设计意图：巩固运用余弦定理
2. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＋2ab ＝c 2，则角C 为( )
A.π4
B.3π4
C.π3
D.2π3 设计意图：巩固运用余弦定理的变式
3. 在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边)，则△ABC 的形状
为( )
A ．正三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形
设计意图：巩固运用余弦定理
4. 在△ABC 中，若（a ＋b ＋c ）（b ＋c －a ）＝3bc ，并且sin A ＝2sin B cos C ，试判断△ABC 的形状.
设计意图：巩固运用余弦定理的变式
5. 在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，且a ，b 是方程02322
=+-x x 的两根，
()1cos 2=+B A ．
(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长； (3)求△ABC 的面积． 设计意图：巩固运用余弦定理的变式 参考答案：
1. (1)√ (2)√ (3)× 由余弦定理可知，已知△ABC 的两边和其夹角时，第三边是唯一确定的，所以△ABC 是唯一的，(3)错误．
2.B
∵a 2＋b 2＋
2ab ＝c 2，∴a 2＋b 2－c 2＝－
2ab ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－2ab 2ab ＝－2
2
，
∵C ∈(0，π)，∴C ＝3π
4
.故选B .
3. B
∵sin 2
A 2＝1－cosA 2＝c －b 2c ，∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc
⇒a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理．故△ABC 为直角三角形．故选B .
4. 由已知条件（a ＋b ＋c ）（b ＋c －a ）＝bc 及余弦定理得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1
2
∴A ＝60°
又由已知条件sin A ＝2sin B cos C 得sin （B ＋C ）＝sin （B ＋C ）＋sin （B －C ） ∴sin （C －B ）＝0，∴B ＝C ，于是有A ＝B ＝C ＝60°，故△ABC 为等边三角形.
5. (1) ()cos cos[]C A B π=-+
()cos A B =-+1223
C π=-⇒=
（2）因为a ，b 是方程02322
=+-x x 的两根，所以⎩
⎨
⎧==+2
32ab b a
22222cos
3
AB b a ab π
∴=+- ()210a b ab AB =+-=⇒= （3）2
3sin 21==
∆C ab S ABC ．。