2022年安徽省合肥市蜀山区中考数学一模试卷

2022年安徽省合肥市蜀山区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的.
1．（4分）在﹣2，，0，﹣1这四个数中，最小的数是（）
A．﹣2B．C．0D．﹣1
2．（4分）承载着复兴梦想的京张高铁，冬奥期间向世界展现“中国力量”和“中国自信”．京张高铁，总投资584亿元，584亿用科学记数法表示为（）
A．5.84×1011B．584×108C．5.84×1010D．0.584×1011
3．（4分）下列立体图形中，主视图是三角形的是（）
A．B．C．D．
4．（4分）计算a•（﹣a2）3的结果是（）
A．a6B．﹣a6C．a7D．﹣a7
5．（4分）两个直角三角板ABC，ADE如图摆放，其中∠BAC＝∠DEA＝90°，∠B＝45°，∠D＝60°，若DE∥BC，则∠BAD的大小为（）
A．15°B．22.5°C．30°D．45°
6．（4分）“稳字当头”的中国经济是全球经济的“稳定器”，稳就业，保民生，防风险，守住“稳”的基础，才有更多“进”的空间．2020，2021这两年中国经济的年平均增长率为5.1%，其中2021年的年增长率为8.1%，若设2020年的年增长率为x，则可列方程为（）
A．8.1%（1﹣x）2＝5.1%
B．（1+x）（1+8.1%）＝（1+5.1%）2
C．5.1%（1+x）2＝8.1%
D．（1+x）（1+8.1%）＝2（1+5.1%）
7．（4分）已知：a+b+c＝0，a＜b＜c，若一次函数y＝ax+c的图象经过点A，则点A的坐标不可以是（）
A．（﹣2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（2，3）D．（2，﹣3）
8．（4分）甲乙两台机床同时生产同一种零件，在某周的工作日内，两台机床每天生产次品的个数整理成甲、乙两组数据，如表，关于以上数据，下列说法正确的是（）
A．甲、乙的众数相同
B．甲、乙的中位数相同
C．甲的平均数大于乙的平均数
D．甲的方差小于乙的方差
9．（4分）如图，A，B表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接AC，BC，则∠ACB就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球线路ED与球门AB垂直，D为垂足，点C在ED上，当∠ACB最大时就是带球线路ED上的最佳射门角．若AB＝4，BD＝1，则当球员甲在此次带球中获得最佳射门角时DC的长度为（）
A．2B．3C．D．
10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（﹣2.2），C（0，2），当抛物线y＝2（x﹣a）2+2a与四边形OABC的边有交点时a的取值范围是（）
A．﹣1≤a≤0B．≤a≤
C．﹣4≤a≤D．≤a≤
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）使有意义的x的取值范围是．
12．（5分）分解因式：ab2﹣ac2＝．
13．（5分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B在第一象限，且△OAB为等边三角形，若反比例函数y＝在第一象限的图象经过边AB的中点，则k的值为．
14．（5分）已知：如图，△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝70°，AC＝4．点D是平面内动点，且AD＝1，将BD绕点B顺时针旋转70°得到BE，连接AE．
（1）在点D运动的过程中，AE的最小长度为．
（2）在点D运动的过程中，当AE的长度最长时，则∠DAB＝．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：20220﹣（﹣3）2+×．
16．（8分）观察以下等式：
第1个等式：×（1+）＝3﹣；
第2个等式：×（1+）＝3﹣；
第3个等式：×（1+）＝3﹣；
第4个等式：×（1+）＝3﹣；
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：；
（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1（点A1，B1，C1分别为A，B，C的对应点）；
（2）将（1）中的△A1B1C1绕原点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2（点A2，B2，C2分别为A1，B1，C1的对应点）．
18．（8分）如图，教学楼AB与旗杆CD的距离BC＝12m，O在AB上，且OB＝1.5m．在某次数学活动课中，甲小组在A测得旗杆顶部D的俯角为30°，同时乙小组从O处测得旗杆顶部D的仰角为38.7°．求教学楼AB的高度（精确到0.1m）．（参考数据：sin38.7°≈0.63，cos38.7≈0.78，tan38.7°≈0.80，≈1.73）
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AC，BC交以AB为直径的半⊙O于D，E．连接AE，BD，交点为F．
（1）证明：AF＝BC；
（2）当点F是BD中点时，求BE：EC值．
20．一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于点A（﹣3，1）和点B（a，3）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）O为坐标原点，求点O到直线AB的距离．
六、（本大题满分12分）
21．（12分）教育部去年4月份发布《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，提出多项措施改善和保证学生睡眠时间．今年年初，某中学为了解九年级学生的睡眠状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，睡眠时间x时，分为A：x≥9，B：8≤x＜9，C：7≤x＜8，D：x＜7四个睡眠时间段．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了名学生，请补全条形统计图；
（2）若该中学九年级共有1200名学生，请你估计该中学九年级学生中睡眠时间段为C 的学生有多少名？
（3）若从睡眠时间段为D的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，了解睡眠时间较少的原因，求所抽取的两人恰好都是女生的概率．
七、（本大题满分12分）
22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2ax+a﹣2与x轴交点为A，B．（1）判断点（，﹣）是否在抛物线y＝x2﹣2ax+a﹣2上，并说明理由；
（2）当线段AB长度为4时，求a的值；
（3）若w＝AB2，w是否存在最值，若存在请求出最值，若不存在请说明由．
八、（本大题满分14分）
23．已知：如图1，△ABC中，∠CAB＝120°，AC＝AB，点D是BC上一点，其中∠ADC ＝α（30°＜α＜90°），将△ABD沿AD所在的直线折叠得到△AED，AE交CB于F，连接CE．
（1）求∠CDE与∠AEC的度数（用含α的代数式表示）；
（2）如图2，当α＝45°时，解决以下问题：
①已知AD＝2，求CE的值；
②证明：DC﹣DE＝AD．
2022年安徽省合肥市蜀山区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的.
1．（4分）在﹣2，，0，﹣1这四个数中，最小的数是（）
A．﹣2B．C．0D．﹣1
【分析】有理数大小比较的法则：①正数＞0＞负数；②两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
解：∵|﹣2|＝2，|﹣1|＝1，而2＞1，
∴﹣2＜﹣1＜0，
∴其中最小的数是﹣2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较，掌握有理数大小比较方法是解答本题的关键．2．（4分）承载着复兴梦想的京张高铁，冬奥期间向世界展现“中国力量”和“中国自信”．京张高铁，总投资584亿元，584亿用科学记数法表示为（）
A．5.84×1011B．584×108C．5.84×1010D．0.584×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
解：584亿＝58400000000＝5.84×1010．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（4分）下列立体图形中，主视图是三角形的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据各个几何体的主视图的形状进行判断即可．
解：A．圆柱的主视图是矩形，故本选项不合题意；
B．圆锥的主视图是三角形，故本选项符合题意；
C．立方体的主视图是正方形，故本选项不合题意；
D．三棱柱的主视图是矩形，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，掌握各种几何体的三视图的形状是正确判断的前提．
4．（4分）计算a•（﹣a2）3的结果是（）
A．a6B．﹣a6C．a7D．﹣a7
【分析】利用幂的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则进行求解即可．
解：a•（﹣a2）3＝a•（﹣a6）＝﹣a7．
故选：D．
【点评】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
5．（4分）两个直角三角板ABC，ADE如图摆放，其中∠BAC＝∠DEA＝90°，∠B＝45°，∠D＝60°，若DE∥BC，则∠BAD的大小为（）
A．15°B．22.5°C．30°D．45°
【分析】由平行线的性质可得∠AOB＝90°，利用直角三角形的性质可求解∠BAE＝45°，∠DAE＝30°，进而可求解．
解：∵DE∥BC，∠AED＝90°，
∴∠AOB＝∠AED＝90°，
∵∠B＝45°，
∴∠BAE＝90°﹣45°＝45°，
∵∠D＝60°，
∴∠DAE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BAD＝∠BAE﹣∠DAE＝45°﹣30°＝15°，
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质，直角三角形的性质，求解∠BAE，∠DAE的度数是解题的关键．
6．（4分）“稳字当头”的中国经济是全球经济的“稳定器”，稳就业，保民生，防风险，守住“稳”的基础，才有更多“进”的空间．2020，2021这两年中国经济的年平均增长率为5.1%，其中2021年的年增长率为8.1%，若设2020年的年增长率为x，则可列方程为（）
A．8.1%（1﹣x）2＝5.1%
B．（1+x）（1+8.1%）＝（1+5.1%）2
C．5.1%（1+x）2＝8.1%
D．（1+x）（1+8.1%）＝2（1+5.1%）
【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），根据等量关系列出方程即可求解．
解：根据题意可得：（1+x）（1+8.1%）＝（1+5.1%）2．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解此类题一般是根据题意分别列出不同时间按增长率所得中国经济相等的方程．
7．（4分）已知：a+b+c＝0，a＜b＜c，若一次函数y＝ax+c的图象经过点A，则点A的坐标不可以是（）
A．（﹣2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（2，3）D．（2，﹣3）
【分析】根据条件得出a＜0，c＞0，所以一次函数经过一、二、四象限即可判断．解：∵a+b+c＝0，a＜b＜c，
∴a＜0，c＞0，
∴y＝ax+c的图象经过一、二、四象限，
∵（﹣2，3）在第二象限，（﹣2，﹣3）在第三象限，（2，3）在第一象限，（2，﹣3）在第四象限，
∴（﹣2，﹣3）不在函数图象上，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的图象，根据a和c的符号判断图象经过的象限是解决本题的关键．
8．（4分）甲乙两台机床同时生产同一种零件，在某周的工作日内，两台机床每天生产次品的个数整理成甲、乙两组数据，如表，关于以上数据，下列说法正确的是（）
A．甲、乙的众数相同
B．甲、乙的中位数相同
C．甲的平均数大于乙的平均数
D．甲的方差小于乙的方差
【分析】分别计算出甲、乙两组数据的平均数、众数、中位数及方差，再进一步求解可得．
解：甲组数据2、0、4、3、2的平均数为×（2+0+4+3+3）＝2.2，众数为2，中位数为2，方差为×[（2﹣2.2）2×2+（0﹣2.2）2+（3﹣2.2）2]+（4﹣2.2）2＝1.76，
乙组数据1、3、4、0、4的平均数为×（1+3+4+0+4）＝2.4，众数为4，中位数为3，方差为×[（4﹣2.4）2×2+（0﹣2.4）2+（1﹣2.4）2]+（3﹣2.4）2＝2.64，
∴甲的平均数小于乙的平均数，甲、乙的众数不相等、中位数不相等，甲的方差小于乙的方差，
故选：D．
【点评】此题主要考查了众数、中位数、方差和平均数，关键是掌握众数、中位数、平均数及方差的概念和方差公式．
9．（4分）如图，A，B表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接AC，BC，则∠ACB就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球线路ED与球门AB垂直，D为垂足，点C在ED上，当∠ACB最大时就是带球线路ED上的最佳射门角．若AB＝4，BD＝1，则当球
员甲在此次带球中获得最佳射门角时DC的长度为（）
A．2B．3C．D．
【分析】根据当球员甲在此次带球中获得最佳射门角时，△DBC∽△DAC，根据相似三角形的性质健康得到结论．
解：当△DBC∽△DAC时，∠ACB最大，
∴，
∴CD2＝BD•AD＝1×（1+4+）＝5，
∴CD＝，
故球员甲在此次带球中获得最佳射门角时DC的长度为，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（﹣2.2），C（0，2），当抛物线y＝2（x﹣a）2+2a与四边形OABC的边有交点时a的取值范围是（）
A．﹣1≤a≤0B．≤a≤
C．﹣4≤a≤D．≤a≤
【分析】根据抛物线的解析式得出抛物线开口向上，顶点为（a，2a），然后分两种情况讨论，求得经过四边形顶点的坐标时的a的值，根据图象即可得到a的取值范围．解：∵抛物线y＝2（x﹣a）2+2a，
∴抛物线开口向上，顶点为（a，2a），
当a＜0时，把A（﹣2，0）代入整理得0＝a2+5a+4，解得a＝﹣1，a＝﹣4；
把B（﹣2，2）代入整理得0＝a2+5a+2，解得a＝，
当a＞0时，把B（﹣2，2）代入整理得0＝a2+5a+2，解得a＝（不合题意，舍去）；
把C（0，2）代入整理得0＝a2+a﹣1，解得a＝（负数舍去），
综上，当抛物线y＝2（x﹣a）2+2a与四边形OABC的边有交点时a的取值范围是
≤a≤，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，分类讨论、数形结合是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）使有意义的x的取值范围是x≥2．
【分析】当被开方数x﹣2为非负数时，二次根式才有意义，列不等式求解．
解：根据二次根式的意义，得
x﹣2≥0，解得x≥2．
【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12．（5分）分解因式：ab2﹣ac2＝a（b+c）（b﹣c）．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
解：原式＝a（b2﹣c2）＝a（b+c）（b﹣c），
故答案为：a（b+c）（b﹣c）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．（5分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B在第一象限，且△OAB为等边三角形，若反比例函数y＝在第一象限的图象经过边AB的中点，则k的值为3．
【分析】过B作BD⊥OA于D，则B（2，2），进一步求得AB的中点为（3，），代入y＝即可求得k的值．
解：过B作BD⊥OA于D，
∵点A的坐标为（4，0），点B在第一象限，且△OAB为等边三角形，
∴B（2，2），
∴AB的中点为（3，），
∵反比例函数y＝在第一象限的图象经过边AB的中点，
∴k＝3×＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，中点坐标的求法，求得B点以及AB的中点的坐标是解题的关键．
14．（5分）已知：如图，△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝70°，AC＝4．点D是平面内动点，且AD＝1，将BD绕点B顺时针旋转70°得到BE，连接AE．
（1）在点D运动的过程中，AE的最小长度为3．
（2）在点D运动的过程中，当AE的长度最长时，则∠DAB＝125°．
【分析】（1）连接CE，证明△ABD≌△CBE（SAS），得出CE＝AD＝1，当点E在线段AC上时，AE最小，则可得出答案；
（2）在点D运动的过程中，当AE的长度最长时，点E在AC的延长线上，此时AE最大值＝4+1＝5；由等腰三角形的性质可得出答案．
解：（1）连接CE，如图1，
∵BD＝BE，BA＝BC，∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴CE＝AD＝1，
当点E在线段AC上时，AE最小，AE最小值＝4﹣1＝3；
故答案为：3；
（2）在点D运动的过程中，当AE的长度最长时，点E在AC的延长线上，由（1）可知AD＝CE＝1，此时AE最大值＝4+1＝5；
此时D、A、C、E在一条直线上，点D在CA的延长线上，如图2，
∵BA＝BC，∠ABC＝70°，
∴∠BAC＝55°，
∴∠DAB＝180°﹣55°＝125°；
故答案为：125°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：20220﹣（﹣3）2+×．
【分析】根据零指数幂、乘方、二次根式化简进行计算即可求解．
解：20220﹣（﹣3）2+×
＝1﹣9+6
＝﹣2．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握乘方、零指数幂、二次根式等知识点的运算．
16．（8分）观察以下等式：
第1个等式：×（1+）＝3﹣；
第2个等式：×（1+）＝3﹣；
第3个等式：×（1+）＝3﹣；
第4个等式：×（1+）＝3﹣；
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：；
（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．
【分析】（1）分析所给的等式中变化的数字与等式序号数的关系有怎样的规律，便可根据此规律写出第5个等式；
（2）分析所给的等式的形式，即可得出第n个等式，再把等式左边进行整理即可求证．解：（1）∵第1个等式：×（1+）＝3﹣，即；
第2个等式：×（1+）＝3﹣，即；
第3个等式：×（1+）＝3﹣，即；
第4个等式：×（1+）＝3﹣，即；
……
∴写出第5个等式为：，即，故答案为：；
（2））第n个等式为，即，证明：∵，
∴．
故答案：．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1（点A1，B1，C1分别为A，B，C的对应点）；
（2）将（1）中的△A1B1C1绕原点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2（点A2，B2，C2分别为A1，B1，C1的对应点）．
【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，轴对称变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
18．（8分）如图，教学楼AB与旗杆CD的距离BC＝12m，O在AB上，且OB＝1.5m．在某次数学活动课中，甲小组在A测得旗杆顶部D的俯角为30°，同时乙小组从O处测得旗杆顶部D的仰角为38.7°．求教学楼AB的高度（精确到0.1m）．（参考数据：sin38.7°≈0.63，cos38.7≈0.78，tan38.7°≈0.80，≈1.73）
【分析】过点O作OE⊥CD，垂足为E，过点A作AF⊥CD，交CD的延长线于点F，根据题意可得OB＝CE＝1.5m，AB＝CF，OE＝AF＝BC＝12m，然后分别在Rt△DOE和Rt△AFD中，利用锐角三角函数的定义求出DF，DE的长，进行计算即可解答．
解：过点O作OE⊥CD，垂足为E，过点A作AF⊥CD，交CD的延长线于点F，
则OB＝CE＝1.5m，AB＝CF，OE＝AF＝BC＝12m，
在Rt△DOE中，∠DOE＝38.7°，
∴DE＝OE tan38.7°≈12×0.80＝9.6（m），
在Rt△AFD中，∠FAD＝30°，
∴DF＝AF tan30°＝12×＝4（m），
∴EF＝FD+DE+EC＝4+9.6+1.5≈18.0（m），
∴AB＝EF＝18.0（m），
∴教学楼AB的高度为18.0m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AC，BC交以AB为直径的半⊙O于D，E．连接AE，
BD，交点为F．
（1）证明：AF＝BC；
（2）当点F是BD中点时，求BE：EC值．
【分析】（1）由圆周角定理推论可得∠ADB＝∠AEB＝90°，根据等腰直角三角形的性质可得AD＝BD，根据∠DAF+∠AFD＝∠BFE+∠FEB＝90°，且∠AFD＝∠BFE，即可得出∠DAF＝∠FBE，则可证明△ADF≌△BDC，即可得出答案；
（2）设DF＝a，则DF＝BF＝a，可得AD＝BD＝2a，根据勾股定理可得AF＝
＝＝a，由（1）中结论可得AF＝BC＝，由∠ADF＝∠BEF＝90°，∠AFD＝∠BFE，可证明△ADF∽△BEF，则，可得BE＝a，由CE＝BC ﹣BE可得出CE的长度，计算即可得出答案．
【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠AEB＝90°，
∵∠BAC＝45°，
∴AD＝BD，
∵∠DAF+∠AFD＝∠BFE+∠FEB＝90°，∠AFD＝∠BFE，
∴∠DAF＝∠FBE，
在△ADF和△BDC中，
，
∴△ADF≌△BDC（ASA），
∴AF＝BC；
（2）设DF＝a，则DF＝BF＝a，
∴AD＝BD＝2a，
在Rt△ADF中，
AF＝＝＝a，
∴AF＝BC＝，
∵∠ADF＝∠BEF＝90°，∠AFD＝∠BFE，
∴△ADF∽△BEF，
∴，
∴，
∴BE＝a，
∴CE＝BC﹣BE＝a﹣a＝a，
∴＝＝．
【点评】本题主要考查了圆周角定理及相似三角形的性质，熟练掌握圆周角定理及相似三角形的性质进行求解是解决本题的关键．
20．一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于点A（﹣3，1）和点B（a，3）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）O为坐标原点，求点O到直线AB的距离．
【分析】（1）把点A（﹣3，1）代入y2＝（m≠0），即可求得反比例函数的解析式，进一步求得点B的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）求得直线与坐标轴的交点，然后利用三角形面积公式即可求得点O到直线AB的距离．
解：（1）∵反比例函数y2＝（m≠0）的图象过点A（﹣3，1），
∴m＝﹣3×1＝﹣3，
∴反比例函数为y＝﹣，
把点B（a，3）代入得，3＝﹣，
∴a＝﹣1，
∴B（﹣1，3），
把点A（﹣3，1）和点B（﹣1，3）代入y1＝kx+b（k≠0）得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+4，
（2）设直线y＝x+4交x轴于C，交y轴于D，
令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝﹣4，
∴C（﹣4，0），D（0，4），
∴OC＝OD＝4，
∴CD＝＝4，
设点O到直线AB的距离为h，
∴S
＝＝，
△COD
解得h＝2，
∴点O到直线AB的距离为2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式以及三角形的面积，求得函数的解析式是解题的关键．
六、（本大题满分12分）
21．（12分）教育部去年4月份发布《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，提出多项措施改善和保证学生睡眠时间．今年年初，某中学为了解九年级学生的睡眠状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，睡眠时间x时，分为A：x≥9，B：8≤x＜9，C：7≤x＜8，D：x＜7四个睡眠时间段．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了50名学生，请补全条形统计图；
（2）若该中学九年级共有1200名学生，请你估计该中学九年级学生中睡眠时间段为C 的学生有多少名？
（3）若从睡眠时间段为D的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，了解睡眠时间较少的原因，求所抽取的两人恰好都是女生的概率．
【分析】（1）由A类别人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去A、B、D人数求出C对应人数，从而补全图形；
（2）用总人数乘以样本中C对应人数所占比例即可；
（3）画树状图，再由概率公式求解即可．
解：（1）本次抽样调查的学生人数为12÷24%＝50（名），C类别人数为50﹣（12+26+4）＝8（名），
补全图形如下：
（2）估计该中学九年级学生中睡眠时间段为C的学生有1200×＝192（名）；
（3）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，所抽取的两人恰好都是女生的结果有2个，
∴抽取的两人恰好都是女生的概率为＝．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
七、（本大题满分12分）
22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2ax+a﹣2与x轴交点为A，B．（1）判断点（，﹣）是否在抛物线y＝x2﹣2ax+a﹣2上，并说明理由；
（2）当线段AB长度为4时，求a的值；
（3）若w＝AB2，w是否存在最值，若存在请求出最值，若不存在请说明由．
【分析】（1）将点（，﹣）代入抛物线y＝x2﹣2ax+a﹣2，进行判断即可；
（2）由x2﹣2ax+a﹣2＝0，根据根与系数的关系可得x1+x2＝2a，x1•x2＝a﹣2，则AB＝
＝4，求出a的值即可；
（3）由（2）可得w＝4（a﹣）2+7，当a＝时，w有最小值7．
解：（1）点（，﹣）在抛物线y＝x2﹣2ax+a﹣2上，理由如下：
将点（，﹣）代入y＝x2﹣2ax+a﹣2，
得﹣a+a﹣2＝﹣，
∴点（，﹣）在抛物线y＝x2﹣2ax+a﹣2上；
（2）令y＝0，则x2﹣2ax+a﹣2＝0，
∴x1+x2＝2a，x1•x2＝a﹣2，
∴AB＝＝4，
解得a＝2或a＝﹣1；
（3）w存在最值，理由如下：
∵AB＝，
∴w＝4a2﹣4a+8＝4（a﹣）2+7，
当a＝时，w有最小值7．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
八、（本大题满分14分）
23．已知：如图1，△ABC中，∠CAB＝120°，AC＝AB，点D是BC上一点，其中∠ADC ＝α（30°＜α＜90°），将△ABD沿AD所在的直线折叠得到△AED，AE交CB于F，连接CE．
（1）求∠CDE与∠AEC的度数（用含α的代数式表示）；
（2）如图2，当α＝45°时，解决以下问题：
①已知AD＝2，求CE的值；
②证明：DC﹣DE＝AD．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝30°，由旋转的性质可得∠ADB ＝∠ADE＝180°﹣α，∠DAB＝∠DAE＝α﹣30°，AB＝AE＝AC，即可求解；
（2）①由等腰直角三角形的性质可求AH＝，由直角三角形的性质可求AC＝2，由等腰直角三角形的性质可求CE＝4；
②由“SAS”可证△ADE≌△AGC，可得DE＝CG，可得结论．
【解答】（1）解：∵∠CAB＝120°，AC＝AB，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∵∠ADC＝α，
∴∠DAB＝∠ADC﹣∠B＝α﹣30°，∠ADB＝180°﹣α，
∵将△ABD沿AD所在的直线折叠得到△AED，
∴∠ADB＝∠ADE＝180°﹣α，∠DAB＝∠DAE＝α﹣30°，AB＝AE＝AC，
∴∠CDE＝180°﹣α﹣α＝180°﹣2α，∠CAE＝120﹣2（α﹣30°）＝180°﹣2α，
∴∠AEC＝＝α；
（2）①解：如图2，过点A作AH⊥BC于H，
∵∠ADC＝45°，AH⊥BC，
∴∠ADC＝∠DAH＝45°，
∴AH＝HD，
∵AD＝2，
∴AH＝HD＝，
∵∠ACB＝30°，
∴AC＝2AH＝2，
∵∠CDE＝180°﹣2α＝90°，∠AEC＝α＝45°，
∴∠ACE＝∠AEC＝45°，
∴AE＝AC＝2，
∴CE＝AC＝4；
②如图3，过点A作AG⊥AD，交CD于G，
∵∠ADC＝45°，AG⊥AD，
∴∠ADC＝∠AGD＝45°，
∴AD＝AG，
∴DG＝AD，
∵∠DAG＝∠CAE＝90°，
∴∠CAG＝∠EAD，
又∵AC＝AE，AD＝AG，
∴△ADE≌△AGC（SAS），
∴DE＝CG，
∵CD＝CG+DG，
∴DC﹣DE＝AD．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．。