2016-2017北京西城四中初二下学期期中考试

北京四中2016~2017学年度第二学期期中考试初二年级数学数学
数学试卷
一、选择（每小题3分，共30分）
1．直角三角形的两条直角边长分别为2和3，则斜边长是（ ）．
A ．4
B ．5
C
D
【答案】D
【解析】设斜边长为c ，两条直角边2a =，3b =，
则在直角三角形中，222a b c +=
，∴c
2．直线2
23
y x =-+不过以下哪个象限（ ）．
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】C
【解析】223y x =-+，2
03
k =-<，y 随x 增大而减小，
20b =>，在y 轴正半轴，画图知不经过第三象限．
3．如图，公路AC ，BC 互相垂直，公路AB 的中点M 与点C 被湖隔开，若测得AM 的长为1.2km ，则M ，
C 两点间的距离为（ ）．
A ．0.5km
B ．0.6km
C ．0.9km
D ．1.2km
【答案】D
【解析】∵AM BM =且90ACB ∠=︒， ∴ 1.2CM AM MB ===．
4．下列判断错误的是（ ）
A ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B ．四个内角都相等的四边形是矩形
C ．四条边都相等的四边形是菱形
D ．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 【答案】D
【解析】两条对角线垂直且平分的四边形是菱形．
5．某市6月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（ ）．
M
C
B
A
A ．21，21
B ．21，21.5
C ．21，22
D ．22，22
【答案】C
【解析】根据统计图知，众数为21，表示数据最多的．
中位数22，中间两数相加除2．
6．点(2,)A a -与点(2,)B b 都在一次函数31y x =-+的图象上，则（ ）．
A ．a b >
B ．a b =
C ．a b <
D ．无法比较
【答案】A
【解析】由函数31y x =-+，30k =-<，y 随x 增大而减小，
∵22-<，∴a b >．
7．菱形ABCD 的边长为5，一条对角线长为6，则菱形面积为（ ）．
A ．30
B ．20
C ．24
D ．48
【答案】C
【解析】∵菱形ABCD ， ∴AC BD ⊥于O ， ∵6AC =，5BC =， ∴3AO OC ==， 在Rt BOC △中，
4BO ==，
∴8BD =，
∴1
86242
ABCD S =⨯⨯=菱形．【注意有数字】
8．如图，平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线AE 交CD 于E ，5AB =，3BC =，则EC 的长是（ ）．
D
A
B
C
O
A ．1
B ．1.5
C ．2
D ．3
【答案】C
【解析】∵平行四边形ABCD ， ∴DC AB ∥，AD BC =． ∵AE 平分DAB ∠， ∴DAE BAE ∠=∠， ∵DC AB ∥， ∴DEA EAB ∠=∠， ∴DAE DEA ∠=∠， ∴3AD DE ==， ∵5DC AB ==，
∴2EC CD DE =-=．
9．如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．根据最近人体构造学的研究成果表明，
一般情况下人的指距d 和身高h 成某种关系．下表是测得的指距与身高的一组数据：
根据上表解决下面这个实际问题：姚明的身高是226厘米，可预测他的指距约为（ ）． A ．25.3厘米
B ．26.3厘米
C ．27.3厘米
D ．28.3厘米
【答案】C
【解析】根据数据得指距每增加1cm ，身高增高9cm ． 所以(226160)97.3-≤≈，
7.32027.3cm +=．
10．李阿姨每天早晨从家慢跑到小区公园，锻炼一阵后，再慢跑回家．表示李阿姨离开家的距离y （单
位：米）与时间t （单位：分）的函数关系的图象大致如下图所示，则李阿姨跑步的路线可能是（用P 点表示李阿姨家的位置）（ ）．
E
D C
B
A
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】由函数图象知该分段函数分布三部分，第二段函数中y 不变， 即第二段上李阿姨离家距离不变，选D ．
二、填空（每小题3分，共18分）
11．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点D ，4cm AC =，120AOD ∠=︒，则BC 的长为__________
cm ．
【答案】【解析】∵矩形ABCD ， ∴AC BD =，
∴AO BO OC OD ===， ∵120AOD ∠=︒， ∴60AOB ∠=︒， ∴AOB △为等边三角形， 又∵4AC =， ∴2AO BO AB ===， 在直角三角形ABC 中，
BC ==．
12．直线23y x =-与y 轴交点坐标为__________． 【答案】(0,3)-
【解析】令0x =，得3y =-，所以与y 轴交点(0,3)-．
13．写出一个过点(1,1)-的一次函数解析式__________． 【答案】y x =-
【解析】答案不唯一．
14．如图，在正方形ABCD 中，ABE △和CDF △为直角三角形，90AEB CFD ∠=∠=︒，5AE CF ==，
12BE DF ==，则EF 的长是___________．
D
C
B
A
【答案】【解析】∵四边形ABCD 是正方形， ∴90BAD ABC BCD ADC ∠=∠=∠=∠=︒，
AB BC CD AD ===， ∴90BAE DAG ∠+∠=︒， 在ABE △和CDF △中，
AB CD AE CF BE DF =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
， ∴ABE △≌(SSS)CDF △， ∴ABE CDF ∠=∠， ∵90AEB CFD ∠=∠=︒， ∴90ABE BAE ∠+∠=︒， ∴ABE DAG CDF ∠=∠=∠，
同理：ABE DAG CDF BCH ∠=∠=∠=∠， ∴90DAG ADG CDF ADG ∠+∠=∠+∠=︒， 即90DGA ∠=︒， 同理：90CHB ∠=︒， 在ABE △和ADG △中， 90ABE DAG AEB DGA AB DA ∠=∠⎧⎪
∠=∠=︒⎨⎪=⎩
， ∴ABE △≌(AAS)ADG △， ∴AE DG =，BE AG =， 同理：5AE DG CF BH ====，
12BE AG DF CH ====，
∴1257EG GF FH EF ====-=， ∵1809090GEH ∠=︒-︒=︒， ∴四边形EGFH 是正方形，
∴EF ==
15．已知，在平面直角坐标系中，(6,0)A ，(2,2)B -，(0,4)C ，四边形ABCD 为平行四边形，则点D 坐 标是__________．
【答案】(4,6)，(8,6)-，(4,2)- 【解析】如图有三种情况：
F
E
D
C
B
A
①平行四边形ABCD ，
因为从B 到A 是向右移4个单位，
向上移2个单位，所以C 到D ，也向右移4个单位， 向上移2个单位得到(4,6)． ②平行四边形2CBD A ，
因为从C 到B 向右移2个单位，向下移6个单位，
所以从A 到2D 向右移2个单位，向下移6个单位得到(8,6)-． ③平行四边形3CD BA ，
因为从A 到B 向左移4个单位，向下移2个单位，
所以从C 到3D 向左移4个单位，向下移2个单位，得到(4,2)-．
16．在数学课上，老师提出如下问题：
小云的作法如下：
请回答：小云的作图依据是__________．
【答案】四条边都相等的四边形是菱形，菱形对边互相平行 【解析】由菱形性质得出A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是菱形．
三、解答（共52分）
17．已知：如图，E 、F 分别是平行四边形ABCD 的边BC 、AD 上的点，且12∠=∠．
求证：AE CF =．
【答案】见解析
【解析】∵平行四边形ABCD ，∴AB CD =，B D ∠=∠， 在ABE △和CDF △中， 12B D AB CD ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴ABE △≌(AAS)CDF △．
18．已知点(6,6)A 在直线1:3l y kx =-上， （1）直线1l 解析式为__________． （2）画出该一次函数的图象．
（3）将直线1l 向上平移5个单位长度得到直线2l ，2l 与x 轴的交点C 的坐标为__________． （4）直线2l 与直线OA 相交于点B ，B 点坐标为__________． （5）三角形ABC 的面积为__________．
（6）由图象可知不等式3kx x -<的解集为__________．
【答案】（1）332y x =
-；（2）见解析；（3）4,03⎛⎫
- ⎪⎝⎭
；（4）(4,4)--；（5）203；（6）6x < 【解析】解：（1）把(6,6)A 代入3y kx =-中，
21F E
D
C
B
A
得636k -=，32k =
， 所以1l 解析式为3
32
y x =-
（2）如图．
（3）2
:352
l y x =
-+， 3
22
x =+， 令0y =，3
202x +
=，
解得4
3
x =-，
所以2l 与x 轴交点坐标4,03⎛⎫
- ⎪⎝⎭．
（4）设直线OA 解析式(0)y kx k =≠，
把(6,6)A 代入y kx =中，
66k =， 1k =，
所以直线:OA y x =，
则32
2y x y x
⎧
=+⎪⎨⎪=⎩， )
解得：4
4
x y =-⎧⎨=-⎩，
∴B 点坐标(4,4)--． （5）ABC ACO BCO S S S =+△△△，
114
64223ACO A S CO y =⨯⨯=⨯⨯=△，
1148
42233BCO B S CO y =⨯⨯=⨯⨯=△，
820
433
ABC S =+=△．
（6）
由图知6x <．
19．如图，菱形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点O ，分别过点C 、D 作CE BD ∥，DE AC ∥，CE 和
DE 交于点E ．
（1）求证：四边形ODEC 是矩形．
（2）当60ADB ∠=︒
，AD =EA 的长．
【答案】见解析
【解析】解：（1）证明：∵OC DE ∥， OD CE ∥，
∴四边形ODEC 是平行四边形， ∵菱形ABCD ， ∴AC BD ⊥， ∴90COD ∠=︒， ∴四边形ODEC 是矩形． （2）∵菱形ABCD ， ∴AC BD ⊥，
=x
x
O E
D
C B
A
∴AB BC CD AD ===， ∵60ADB ∠=︒， ∴60ADB CDB ∠=∠=︒， ∵矩形ODEC ， ∴OD CE ∥，
∴60DCE ODC ∠=∠=︒， 又∵90CED ∠=︒， ∴30CDE ∠=︒，
∴1
2
CE CD =，
在Rt CDE △中，
3DE =，
∵3DE OC ==， ∴6AC =， ∴Rt AEC △中，
AE =．
20．如图1所示，某乘客乘高速列车从甲地经过乙地到丙地，列车匀速行驶，图2为列车离乙地路程y
（千米）与行驶时间x （小时）时间的函数关系图象．
（1）填空：甲、丙两地距离__________千米．
（2）求高速列车离乙地的路程y 与行驶时间x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围．
【答案】（1）1050千米；（2）见解析
【解析】解：（1）根据函数图形得，甲、丙两地距离为：
9001501050+=（千米）．
（2）①设高速列车离乙地的路程y 与行驶时间x 之间， 的函数关系式：(0)y kx b k =+≠， 把(0,900)，(3,0)代入得， 900
30b k b =⎧⎨
+=⎩
， 解得：300900
k b =-⎧⎨=⎩，
∴300900(03)y x x =-+≤≤． ②当3 3.5x <≤时，设11y k x b =+， 把(3,0)，(3.5,150)代入得，
图1
丙
乙
甲
图2
x （小时）
30
3.5150k b k b +=⎧⎨
+=⎩， 解得：11
300
900k b =⎧⎨=-⎩，
∴300900y x =-，
∴300900(03)300900(3 3.5)
x x y x x -+⎧=⎨
-<⎩≤≤≤．
21．将正方形纸片ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点M 重合，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，连
接EF 、EM ，边AB 折叠后与BC 边交于点G ，连接MG 、AG ． （1）依题意补全图形．
（2）猜想MAG ∠的度数为__________（精确到1︒）．
（3）比较在（1）中所作出的线段EF 与AM 的大小关系为EF __________AM ． 证明过程如下：
【答案】（1）见解析；（2）45︒；（3）=
【解析】解：（1）
（2）45MAG ∠=︒， （3）EF AM =，
证：过F 作FH AB ∥交AD 于H ， ∵正方形ABCD ， ∴90D DAB ∠=∠=︒， ∴DA AB =， ∵FH AB ∥，
∴90EHF ∠=︒，FH AB =， ∵A 与M 关于EF 对称， ∴AM EF ⊥于O ， ∴90EOA ∠=︒， ∵90EAO AEF ∠+∠=︒，
90EAO OAB ∠+∠=︒．
M
D
C
B
A F G H E
O
A
B
C
D
M
∴AEO OAB ∠=∠， ∵DC AB ∥， ∴DM A M AB ∠=∠， ∴DMA AEO ∠=∠， 在ADM △与FHE △中， 90AD FH D FHE DMA HEF =⎧⎪
∠=∠=︒⎨⎪∠=∠⎩
， ∴ADM △≌(AAS)FHE △，
∴AM EF =．
22．如图，在矩形OABC 中，已知A ，C 两点的坐标分别为(4,0)A 、(0,2)C ，D 为OA 的中点，设点P
是AOC ∠平分线上的一个动点（不与点O 重合）． （1）试证明：无论点P 运动到何处，PC 总与PD 相等．
（2）当点P 运动到与点B 的距离最小时，求P 的坐标． （3）己知(1,1)E -，当点P 运动到何处时，PDE △的周长最小？求出此时点P 的坐标和PDE △的周长．
【答案】见解析
【解析】解：（1）∵(4,0)A ，(0,2)C ，D 为OA 的中点， ∴D 点坐标为(2,0)， ∴OC OD =，
又∵点P 是AOC ∠平分线上的一个动点， ∴45COP DOP ∠=∠=︒， ∴POC △≌POD △， ∴PC PD =，
即无论点P 运动到何处，PC PD =，
（2）过B 作BP 垂直AOC ∠的平分线于P 点， 过P 点作PN x ⊥轴于N ，交BC 于M 点，
OP 交BC 于H 点， ∵OP 平分AOC ∠，
∴45COP NOP ∠=∠=︒，
∴PHM △、COH △和PON △都是等腰直角三角形， ∴PHB △是等腰直角三角形， ∴PM 垂直平分BH ， ∴2CH CO ==， ∴422BH =-=，
∴1
12
PM BH =
=， ∴123ON PN ==+=， ∴P 点坐标(3,3)．
（3）解：连CE 交AOC ∠的平分线于P 点， 连PD 、CD 、ED ，如图，
∵OC OD =，OP 平分直角AOC ． ∴OP 垂直平分CD ， ∴PC PD =，
∴PD PE PC PE CE +=+=，
此时，PDE △周长最小，
设直线CE 的解析式为(0)y kx b k =+≠， 把(0,2)C ，(1,1)E -代入， 21b k b =⎧⎨
+=-⎩解得3
2k b =-⎧⎨=⎩
， ∴直线CE 的解析式为32y x =-+， 而P 点的横纵坐标相等，设(,)P a a ． 把P 点坐标代入32y x =-+得1
2
a =
， ∴11,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
∵CE =
DE =
∴PDE △
23．已知：如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，AD BC ⊥于点D ，M 为BC 中点，求证：2AB DM =．
【答案】见解析
【解析】解：取AC 的中点N ，连接MN ，DN ．
∵M 为BC 的中点， ∴MN 为ABC △的中位线，
∴MN AB ∥，且1
2
MN AB =
， ∴B NMC ∠=∠，又2B C ∠=∠， ∴2NMC C ∠=∠，
∵NMC ∠为DMN △的外角，
∴2NMC MDN MND C ∠=∠+∠=∠， 又DN 为Rt ADC △斜边上中线， ∴1
2
DN NC AN AC ===， ∴MDN C ∠=∠， ∴MND C MDN ∠=∠=∠， ∴DM MN =， ∴1
2
DM AB =
．
四、附加（共20分）
1．平行四边形ABCD 中点M 、N 分别是AD 边和BC 边的中点，将MNCD 沿MN 翻折，点C 落在点C '，
点D 落在点D '处． （1）依题意补全图形．
（2）若70B ∠=︒，则BNC '∠=__________．
（3）当平行四边形ABCD 满足下列哪个条件时，点C '刚好与点A 重合__________．
①2BC AB =
②60B ∠=︒ ③AC BD ⊥ ④AC BA ⊥
N
A
B
C
D
M
D
A
B
C
M
N
【答案】（1）见解析（2）40︒ （3）④
【解析】（1）如图
（2）40BNC '∠=︒， ∵平行四边形ABCD ， ∴70B D ∠=∠=︒，
∵M 、N 为AD ，BC 中点， ∴MN AB ∥， ∴110MNB ∠=︒， ∴70MNC ∠=︒， ∵C 与C '关于MN 对称， ∴70MNC '∠=︒，
∴18014040BNC '∠=︒-︒=︒． （3）④ 当C '与A 重合， 则m AC ⊥于O ，
∵M ，N 是AD ，BC 中点， ∴MN AB ∥，
∴90BAC NOC ∠=∠=︒， ∴AC BA ⊥．
2．方成同学看到一则材料，甲开汽车，乙骑自行车从M 地出发沿一条公路匀速前往N 地，设乙行驶
的时间为(h)t ，甲乙两人之间的距离为(km)y ，y 与t 的函数关系如图1所示，方成思考后发现了图1的
部分正确信息，乙先出发1h ，甲出发0.5小时与乙相遇，请你帮助方成同学解决以下问题： （1）分别求出线段BC ，CD 所在直线的函数表达式． （2）当2030y <<时，求t 的取值范围．
（3）分别求出甲、乙行驶的路程S 甲、S 乙与时间t 的函数表达式，并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图象．【注意有文字】
（4）丙骑摩托车与乙同时出发，从N 地沿同一条公路匀速前往M 地，若丙经过4
h 3
与乙相遇，问丙
出发后多少时间与甲相遇．
D'C'
N
M
C
B A
D O N
M C
B
A D
【答案】见解析
【解析】解：（1）直线BC 的函数解析式为y kt b =+，
把(1.5,0)，7100,33⎛⎫
⎪⎝⎭代入得 1.50
7
10033k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 得40
60k b =⎧⎨=-⎩
，∴直线BC 解析式为4060y t =-．
设直线CD 的函数解析式为y m n =+．
把7100,33⎛⎫
⎪⎝⎭，(4,0)代入得7
1003
340m n m n ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩， 解得2080
m n =-⎧⎨=⎩，
∴直线CD 函数解析式为：2080y t =-+，
（2）设甲的速度为km /h a ，乙的速度为km /h b ， 0.5 1.577
1001333a b a b =⎧⎪
⎨⎛⎫-=+ ⎪⎪⎝
⎭⎩， 计算得6020
a b =⎧⎨=⎩，
∴甲的速度为60km /h ，乙的速度为20km /h ， ∴OA 函数解析式为20(01)y t t =≤≤， 所以A 的纵坐标为20，
2030y <<时，20406030t <-<，将934
t <<
． 20208030t <-+<，得5
32
t <<，
（3）由题意得：7606013S t t ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭甲≤≤，【注意有文字】
20(04)S t t =乙≤≤，【注意有文字】
图1
3
)
（4）当43
t =
时，803S =△，
丙距M 地的路程S 与时间t 的函数表达式为：4080(02)S t t =-+丙≤≤．
4080760605t S t t S -+=⎧⎪→=⎨
-=⎪⎩
丙
甲， 所以丙出发7
h 5
与甲相遇．
3．在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，CD 为AB 边上的中线．在Rt AEF △中，90AEF ∠=︒，
AE EF =，AF AC <．连接BF ，M ，N 分别为线段AF ，BF 的中点，连接MN ． （1）如图1，点F 在ABC △内，求证：CD MN =．
（2）如图2，点F 在ABC △外，依题意补全图2，连接CN ，EN ，判断CN 与EN 的数量关系 与位置关系，并加以证明．
【答案】见解析
【解析】解（1）∵Rt ABC △中，
CD 是AB 边上的中线，
∴1
2
CD AB =，
∵M 、N 分别为线段AF ，BF 的中点，
∴1
2
MN AB =，
∴MN CD =． （2）如图．
图1M
N
F E
D
C
B
A
图2
F
E
D
C
B
A
连接EM ，DN ，
∵Rt AEF △是等腰直角三角形，
∴EM AF ⊥且1
2EM AF =， 同理CD AB ⊥且1
2
CD AB =，
又∵M ，N 是AF ，FB 中点，
∴MN AB ∥且1
2
MN AB =， DN AF ∥且1
2
DN AF =
， ∴EM DN =，CD MN =，
又∵DN AF ∥，MN AB ∥， ∴FMN FAB ∠=∠，
NDA FAB ∠=∠， ∴FMN NDA ∠=∠，
∵90CDB EMF ∠=∠=︒， ∴EMN CDN ∠=∠，
∴EMN △≌(SAS)NDC △， ∴EN CN =， ∴ENM DCN ∠=∠， ∵CDN △中，
180CND NDB DCN CDB ∠+∠+∠+∠=︒， ∵90CDB ∠=︒，
∴90CND NDB DCN ∠+∠+∠=︒， ∵MN AB ∥，AF DN ∥，
∴四边形ADNM 是平行四边形， ∴MAD MND ∠=∠， ∴MND BDN ∠=∠，
∴90CND DNM MNE ∠+∠+∠=︒， ∴CN EN ⊥．
N M A
B
C
D
E
F。