北京市丰台区高考数学一模试卷(理科)

高考数学一模试卷（理科）
一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）
1.复数z=的共轭复数是（）
A. B. C. 1+i D. 1-i
2.已知集合A={-2，3，1}，集合B={3，m2}，若B⊆A，则实数m的取值集合为（）
A. {1}
B. {}
C. {1，-1}
D. {}
3.设命题p：∀x∈（0，+∞），ln x≤x-1，则￢p为（）
A. ∀x∈（0，+∞），ln x＞x-1
B. ∃x0∈（0，+∞），ln x0≤x0-1
C. ∀x∉（0，+∞），ln x＞x-1
D. ∃x0∈（0，+∞），ln x0＞x0-1
4.执行如图所示的程序框图，如果输入的a=1，输出的S=15，那么判断框内的条件可
以为（）
A. k＜6
B. k≤6
C. k＞6
D. k＞7
5.下列函数中，同时满足：①图象关于y轴对称；②∀x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），
＞0的是（）
A. f（x）=x-1
B. f（x）=log2|x|
C. f（x）=cos x
D. f（x）=2x+1
6.已知α和β是两个不同平面，α∩β=l，l1，l2是与l不同的两条直线，且l1⊂α，l2⊂β，
l1∥l2，那么下列命题正确的是（）
A. l与l1，l2都不相交
B. l与l1，l2都相交
C. l恰与l1，l2中的一条相交
D. l至少与l1，l2中的一条相交
7.已知F1，F2为椭圆M：=1和双曲线N：-y2=1的公共焦点，P为它们的一个
公共点，且PF1⊥F1F2，那么椭圆M和双曲线N的离心率之积为（）
A. B. 1 C. D.
8.在平面直角坐标系中，如果一个多边形的顶点全是格点（横纵坐标都是整数），那
么称该多边形为格点多边形，若△ABC是格点三角形，其中A（0，0），B（4，0），且面积为8，则该三角形边界上的格点个数不可能为（）
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
9.已知平面向量=（1，-3），=（-2，m），且∥，那么m=______．
10.从4名男生、2名女生中选派3人参加社区服务，如果要求恰有1名女生，那么不
同的选派方案种数为______．
11.直线y=kx+1与圆（α为参数）相交于M，N两点，若|MN|=2，则
k=______．
12.若△ABC的面积为2，且A=，则=______．
13.已知函数f（x）=cos（2x+φ）（-＜φ＜0）．
①函数f（x）的最小正周期为______；
②若函数f（x）在区间[]上有且只有三个零点，则φ的值是______．
14.已知数列{a n}对任意的n∈N*，都有a n∈N*，且a n+1=，
①当a1=8时，a2019=______
②若存在m∈N*，当n＞m且a n为奇数时，a n恒为常数p，则p=______．
三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）
15.已知函数f（x）=cos（2x-）-2sin2x+a（a∈R），且f（）=0．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在区间[0，m]上是单调函数，求m的最大值．
16.随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争．吸
引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务，在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如图所
示．
（Ⅰ）若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率；
（Ⅱ）现有2名大学毕业生在这15座城市中各随机选择一座城市就业，且2人的选择相互独立记X为选中月平均收入薪资高于8500元的城市的人数，求X的分布列和数学期望E（X）；
（Ⅲ）记图中月平均收入薪资对应数据的方差为s12，月平均期望薪资对应数据的方差为s22，判断s12与s22的大小．（只需写出结论）
17.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，平
面ABCD⊥平面ABB1A1，∠BAA1=60°，AB=AA1=2BC=2CD=2．
（Ⅰ）求证：BC⊥AA1；
（Ⅱ）求二面角D-AA1-B的余弦值；
（Ⅲ）在线段DB1上是否存在点M，使得CM∥平面DAA1？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
18.已知函数f（x）=（x-2）e x-ax3ax2．
（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a≤e时，求证：x=1是函数f（x）的极小值点．
19.已知抛物线C：y2=2px过点M（2，2），A，B是抛物线C上不同两点，且AB∥OM
（其中O是坐标原点），直线AO与BM交于点P，线段AB的中点为Q．
（Ⅰ）求抛物线C的准线方程；
（Ⅱ）求证：直线PQ与x轴平行．
20.设n∈N*且n≥2，集合S n={（x1，x2…，x n）||x1|=1，|x i+1|=2|x i|（i=1，2…，n-1）}．
（Ⅰ）写出集合S2中的所有元素；
（Ⅱ）设（a1，a2，…a n），（b1，b2，..b n）∈S n，证明“a i=b i”的充要条件是“a i=b i（i=1，2，3，…n）”；
（Ⅲ）设集合T n={x i|（x1，x2，..x n）∈S n}，求T n所有正数之和．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：复数===-i，∴复数的共轭复数是+i，
故选：A．
先利用两个复数的除法法则化简复数，再依据共轭复数的定义求出复数的共轭复
数．
本题考查两个复数代数形式的混合运算法则以及共轭复数的概念．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了集合的包含关系的简单应用，属于基础试题.
若B⊆A，则m2=1，即可求解满足条件的m
【解答】
解：∵A={-2，3，1}，B={3，m2}，
若B⊆A，
则m2=1
∴m=1或m=-1
实数m的取值集合为{1，-1}
故选：C．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查含有一个量词的命题的否定．是基本知识的考查．
全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．
【解答】
解：由全称命题的否定是特称命题．可知命题p：∀x∈（0，+∞），ln x≤x-1，则￢p是：￢p：∃x0∈（0，+∞），ln x0＞x0-1．
故选：D．
4.【答案】A
【解析】解：若a=1，
第一次条件成立，S=1，a=-1，k=2，
第二次条件成立，S=1-4=-3，a=1，k=3，
第三次条件成立，S=-3+9=6，a=-1，k=4，
第四次条件成立，S=6-16=-10，a=1，k=5，
第五次条件不成立，S=-10+25=15，a=-1，k=6，
此时k=6不满足条件．输出S=15，
即k=5不成立，k=6不成立，
则条件k＜6，
故选：A．
根据程序框图进行模拟计算，确定k终止的条件即可．
本题主要考查程序框图的识别和应用，利用模拟运算法是解决本题的关键．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性与单调性综合应用，关键是掌握函数的奇偶性与单调性的定义以及判断方法．
【解答】
解：根据题意，若f（x）的图象关于y轴对称，则函数f（x）是偶函数，
若；②∀x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），＞0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数；
据此分析选项：
对于A，f（x）=x-1，为奇函数，不符合题意；
对于B，f（x）=log2|x|，为偶函数，则在（0，+∞）上，f（x）=log2x，为增函数，符合题意；
对于C，f（x）=cos x，为偶函数，但在区间（0，+∞）上不是增函数，不符合题意；
对于D，f（x）=2x+1，为非奇非偶函数，不符合题意；
故选：B．
根据题意，分析可得要求函数是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数；据此分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合可得答案．
6.【答案】A
【解析】解：
∵l1∥l2，
∴l1∥β，
又l1⊂α，α∩β=l，
∴l1∥l，
同理l2∥l，
故选：A．
由线面平行的性质易得三线互相平行．
此题考查了线面平行的性质，难度不大．
7.【答案】B
【解析】解：∵F1，F2为椭圆M：=1和双曲线N：-y2=1的公共焦点，
∴m2-2=n2+1，
∵P为它们的一个公共点，且PF1⊥F1F2，∴（不妨设m＞0，n＞0）．
解得：m=2，n=1，⇒c2=m2-2=n2+1=2，
∴椭圆M和双曲线N的离心率之积为．
故选：B．
利用m2-2=n2+1，（不妨设m＞0，n＞0）．求得m，n即可．
本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：设三角形的高为h，则三角形的面积S=4h=8，即h=4，
即C点的纵坐标为4，
若C（4，4）或（0，4）时，则三角形边边界上的格点个数为12个，
若C（2，4），则三角形边边界上的格点个数为8个，
若C（1，4）或（3，4），则三角形边边界上的格点个数为6个，
则不可能的为10个，
故选：C．
根据条件设三角形的高为h，结合三角形的面积得到高h=4，即顶点C在直线y=4上，结合C的整点坐标，利用数形结合进行排除即可．
本题主要考查合情推理的应用，结合条件求出三角形的高即顶点A的位置，利用数形结合以及特殊值法是解决本题的关键．
9.【答案】6
【解析】解：∵∥，∴1×m-（-3）×（-2）=0，解得m=6．
故答案为：6．
根据两个向量平行的坐标表示可得．
本题考查了平面向量共线的坐标表示．属于基础题．
10.【答案】12
【解析】解：从4名男生、2名女生中选派3人参加社区服务，如果要求恰有1名女生，则有C21•C42=12种，
故答案为：12．
根据分步计数原理即可求出．
本题考查排列组合的实际应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：圆（α为参数）
转换为直角坐标方程为：x2+（y-3）2=4，
则：点（0，3）到直线的距离d==，
所以：，
解得：k=，
故答案为：．
首先把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
12.【答案】4
【解析】解：由△ABC的面积为2，
得：||×|×sin=2，
所以||||=8，
所以=||||cos=8×=4，
故答案为：4．
由三角形面积公式得：△ABC的面积为2，得：||×|×sin=2，所以||||=8，
由平面向量的数量积运算：=||||cos=8×=4，得解．
本题考查了三角形面积公式及平面向量的数量积运算，属中档题．
13.【答案】π -
【解析】解：①函数f（x）=cos（2x+φ）（-＜φ＜0）．
函数f（x）的最小正周期T==；
②由x∈[]，可得2x+φ∈[φ，+φ]，
根据函数f（x）在区间[]上有且只有三个零点，
可得
解得：
∴φ=；
故答案为：π，
①根据周期公式T=，可得答案；
②根据x∈[]，求解内层函数的范围，结合余弦函数的图象可得φ的值．
本题考查了余弦函数的性质的应用，属于基础题
14.【答案】2 1
【解析】解：①由题意，可知：
a1=8，
，
，
，
a5=3×a4+1=3×1+1=4，
…
∴数列{a n}：8，4，2，1，4，2，1，…
即数列{a n}从第二项起是以3为最小正周期的周期数列．
∵（2019-1）÷3=672 (2)
∴a2019=2．
②由①可知，a n为奇数的只有奇数1，
∴p=1．
本题第一题主要考查数列的奇偶问题，通过枚举法可发现数列{a n}从第二项起是以3为最小正周期的周期数列，即可得到a2019的值；第二题主要考查对题意的理解a n为奇数的只有奇数1，从而p=1．
本题第一题主要考查周期数列的判定，第二题主要针对题意的理解．本题属基础题．
15.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=cos（2x-）-2sin2x+a，
=，
=，
且f（）=0．
解得：a=1．
所以：f（x）=．
（Ⅱ）由于：f（x）在区间[0，m]上是单调函数，
故：①当函数为单调递增时，
（k∈Z），
解得：（k∈Z），
所以：m，
②当函数为单调递减时，（k∈Z），
解得：，
综上所述：m的最大值为．
【解析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的变换和函数的值求出函数的关系式．（Ⅱ）利用函数的关系式和函数的单调性的应用求出m的最大值．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
16.【答案】解：（Ⅰ）设该生该月平均收入薪资高于8500元的城市为事件A，
∵15座城市中月收薪资高于8500元的有6个，
∴该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率P（A）==．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知选中平均薪资高于8500元的城市的概率为，
低于8500元的概率为，
∴X～B（2，），
P（X=0）=（）2=，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
∴X的分布列为：
E（X）=2×．
（Ⅲ）．
【解析】（Ⅰ）求出15座城市中月收薪资高于8500元的有6个，由此能求出该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率．
（Ⅱ）推导出X～B（2，），由此能求出X的分布列和E（X）．
（Ⅲ）．
本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】证明：（Ⅰ）∵四棱柱
ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为直角
梯形，
AB∥CD，AB⊥BC，平面ABCD⊥平面
ABB1A1，交线为AB，
∴BC⊥平面ABB1A1，
∵AA1⊂平面ABB1A1，∴BC⊥AA1．
（Ⅱ）∵BC⊥平面ABB1A1，∠BAA1=60°，
解：
AB=AA1=2BC=2CD=2．
∴以B为原点，在平面ABB1A1中，过B
作BB1的垂线为x轴，BB1为y轴，BC
为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（，-1，0），B（0，0，0），A1
（，1，0），D（，-，1），
=（0，2，0），=（-，1，0），
=（-，，1），
设平面AA1D的法向量=（x，y，z），
则，取x=2，得=（2，0，），
平面AA1B的法向量=（0，0，1），
设二面角D-AA1-B的平面角为θ，
则cosθ===．
∴二面角D-AA1-B的余弦值为．
（Ⅲ）假设在线段DB1上存在点M，使得CM∥平面DAA1，B1（0，2，0），C（0，0，1），
设M（a，b，c），=λ，λ∈[0，1]．则=，
∴（a-，b+，c-1）=（-），解得M（，，1-λ），
∴=（，，-λ），
∵CM∥平面DAA1，平面DAA1的法向量=（2，0，），
∴=-=0，解得，
∴在线段DB1上存在点M，使得CM∥平面DAA1，且=．
【解析】（Ⅰ）由AB⊥BC，平面ABCD⊥平面ABB1A1，交线为AB，得BC⊥平面ABB1A1，由此能证明BC⊥AA1．
解：（Ⅱ）以B为原点，在平面ABB1A1中，过B作BB1的垂线为x轴，BB1为y轴，BC 为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-AA1-B的余弦值．
（Ⅲ）设M（a，b，c），=λ，λ∈[0，1]．则=，求出=（，，-λ），平面DAA1的法向量=（2，0，），利用向量法能求出在线段DB1上存在点M，使得CM∥平面DAA1，且=．
本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线面平行的点是否存在的判断与示法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
18.【答案】解：（Ⅰ）a=0时，f（x）=（x-2）e x，
f′（x）=（x-1）e x，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，
令f′（x）＜0，解得：x＜1，
故f（x）在（-∞，1）递减，在（1，+∞）递增；
（Ⅱ）f′（x）=（x-1）（e x-ax），
x≥1时，x-1≥0，
令h（x）=e x-ax，则h′（x）=e x-a≥0，
故h（x）在（1，+∞）递增，故h（x）≥h（1）=e-a≥0，
故x≥1时，h′（x）≥0，h（x）在（1，+∞）递增，
x＜1时，x-1＜0，h′（x）=e x-a＞0，h（x）＞h（1）=e-a＞0，
故x＜1时，h′（x）＜0，h（x）在（-∞，1）递减，
故x=1是函数f（x）的极小值点．
【解析】（Ⅰ）代入a的值，求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．
本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．
19.【答案】解：（Ⅰ）抛物线C：y2=2px
过点M（2，2），
∴4=4p，即p=1，
∴抛物线C的准线方程x=-=-，
证明（Ⅱ）∵M（2，2），AB∥OM，
∴k AB=k OM=1，
设直线AB的方程为y=x+m，设A（x1，
y1），
B（x2，y2），
由，消x可得y2-2y+2m=0，
∴△=4-8m＞0，即m＜且m≠0，
∴y1+y2=2，y1y2=2m，
∵线段AB的中点为Q，
∴y Q=（y1+y2）=1，
∵直线OA的方程为y=•x=•x，①
直线BM的方程为y-2=（x-2）=（x-2）=（x-2），②，
由①②解得y===1，
∴y p=1
∴直线PQ的方程为y=1，
故直线PQ与x轴平行
【解析】（Ⅰ）把点代入即可求出p的值，可得抛物线C的准线方程，
（Ⅱ）由题意可设直线AB的方程为y=x+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理定理可得y1+y2=2，即可求出点Q的纵坐标，在再分别求出直线OA，BM的方程，求出点P的纵坐标，即可证明
本题考查了抛物线的方程，直线和抛物线的位置关系，韦达定理，直线方程，考查了运算求解能力，属于中档题
20.【答案】解：（1）依题意，|x1|=1，|x2|=2|x1=2，∴x1=±1，x2=±2，|∴集合S2中的所有元素为：（1，2），（1，-2），（-1，2），（-1，-2）共四个元素．
（2）证明：①充分性，当a i=b i时，显然a i=b i成立．
②必要性，依题意，，其中p i∈{-1，1}，
所以a i=，其中p i∈{-1，1}，
下面证明的符号与最后一项的符号相同．且不为0．
当p n=1时，=+2n-1=2n-1-=2n-1-=1＞0，即当p n=1时，
＞0，
当p n=-1时，=-2n-1≤-2n-1=-2n-1=-1＜0，即当p n=-1时，
＜0．
a i=
b i成立时，假设a i≠b i，且他们有k项不相同（k≥1，k∈N），
则a i-b i为这k项的二倍的和或差，将这k项按绝对值从小到大排列起来，分别
记作p1c1，p2c2，……，p k c k，p i∈{-1，1}，
则a i-b i=p1c1+p2c2+……+p k c k，
设绝对值最大项c k=，
若p k=1，a i-b i=p1c1+p2c2+……+p k c k≥+2m＞0，
若p k=-1，a i-b i=p1c1+p2c2+……+p k c k≤-2m＜0，
这与a i=b i矛盾，故假设错误，即当a i=b i时，有a i=b i（i=1，2，3，…n），充分性成立．
综上“a i=b i”的充要条件是“a i=b i（i=1，2，3，…n）．
（3）T n={x i|（x1，x2，..x n）∈S n}，故T n可以记作：T n=，
p i∈{-1，1}，
由（2）知，要使T n取正值，需要最后一项系数p n=1，而前n-1项的系数可以任意选取，则前n-1项的系数取-1的有=2n-1项，
前n-1项的系数取1的也有=2n-1项，且它们相加为0．故T n所有正数之和为2n-1个2n相加，故T n所有正数之和为2n-1×2n=22n-1．
【解析】（1）根据题意，直接列出即可
（2）利用以a i=不为零这个特性，结合反证法可以证明．
（3）根据计数原理，T n为正时，最后一项的系数必为正数，再看前n-1项的情况，数出个数相加即可．
本题考查了数列递推关系等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。