黄冈名师2020版高考数学大一轮复习10.7双曲线课件理新人教A版

|OA|=|AF1|-|OF1|=a.因为M的横坐标和A的横坐标相同, 所以M的横坐标为a. 答案:a
5.设动圆C与两圆C1:(x+ 5 )2+y2=4,C2:(x- 5 )2+y2=4 中的一个内切,另一个外切,则动圆圆心C的轨迹方程为 __________________________.
【解题指南】根据圆与圆相切关系求动圆圆心到两个 定圆圆心的距离之差,然后用定义法求解.
y2
＝1，即 x2 y2＝1.
5）2 （ 4 ）2
4
2
2
答案:
x2 4
y2＝1
【规律方法】 1.应用双曲线的定义需注意的问题 (1)注意“绝对值”:“到两定点(焦点)的距离之差的 绝对值为一常数,且该常数必须小于两定点间的距离”. 若定义中的“绝对值”去掉,点的轨迹是双曲线的一支.
(2)注意完全平方式:在焦点三角形中,注意定义、余弦 定理的活用,常将||PF1|-|PF2||=2a平方,建立 |PF1|·|PF2|间的联系.
所以
1
2k k
2
0且 2 1 k2
＝2k2 4 1 k2
0，2＞0，即k＞21＜，k＜
2，
所以1<k< 2 ,即k的取值范围是(1, 2 ).
②由(ⅰ)得x1+x2=
k
2k 2
1，x1x2=
2， k2 1
所以
AB ＝
1
k
2
g（x1
x
2）2
4x1x
2＝2
（1
k2）（2 （k2 1）2
3
3.(选修2-1P62A组T6改编)经过点A(5,-3),且对称轴都 在坐标轴上的等轴双曲线方程为________.
【解析】设双曲线的方程为:x2-y2=λ,把点A(5,-3)代
入,得λ=16,故所求方程为 x2 y2 ＝1.
16 16
答案: x2 y2 ＝1
16 16
考点一 双曲线的定义及标准方程
mn
可设为
x2 y2
=λ(λ≠0). (
)
mn
(4)等轴双曲线的离心率等于 2 ,且渐近线互相垂直. ()
(5)若双曲线
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0)与
x2 b2
y2 a2
1
(a>0,b>0)的离心率分别是e1,e2,则
1 e12
1 e22
＝1
(此结
论中两条双曲线为共轭双曲线). ( )
B.b-a>|MO|-|MT|
C.b-a<|MO|-|MT|
D.b-a=|MO|+|MT|
【解析】选A.如图,连接OT,PF2,则OT⊥F1T,在直角三 角形OTF1中, |F1T|= OF1 2 OT 2 =b,
因为M为线段F1P的中点,O为F1F2的中点,
所以|OM|=
1 2
|PF2|,
所以|MO|-|MT|=
第七节 双曲线 (全国卷5年5考 )
【知识梳理】 1.双曲线的定义 (1)平面内与两个定点F1,F2(|F1F2|=2c>0)的距离之差 的_绝__对__值__为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲 线.这两个定点叫做双曲线的_焦__点__.
(2)集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c 为常数且a>0,c>0. ①当_2_a_<_|_F_1F_2_|_时,M点的轨迹是双曲线; ②当_2_a_=_|_F_1F_2_|_时,M点的轨迹是两条射线; ③当_2_a_>_|_F_1F_2_|_时,M点不存在.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 x2 y2 1 (a>0,b>0) a2 b2
y2 x2 a2 b2 1
(a>0,b>0)
图形
标准方程
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0)
y2 a2
x2 b2
1 (a>0,b>0)
性质
范围 对称性 顶点 渐近线
x≥a或x≤-a,
x∈R,
y∈R
y≤-a或y≥a
4
2
直线的距离d= a ＝ 2a 1 a， 所以直线与圆相离.
222
(2)①设A(x1,y1),B(x2,y2),
由
c a
＝
2，
得
a2＝c2 1，
a 2＝1， c2＝2.
所以双曲线E的方程为x2-y2=1.
由
y＝kx 1，
x
2
y2＝1，
得(1-k2)x2+2kx-2=0.(ⅰ)
因为直线与双曲线的右支交于A,B两点,
解得
x y
8, 3
所以P(8,
3.
x 52 y2 36，
). 3 3
答案:(8, 3)3
2.(选修2-1P61练习T3改编)以椭圆 x2 y2 1 的焦点为
43
顶点,顶点为焦点的双曲线方程为________.
【解析】由已知得a=1,c=2,则双曲线方程为x2- y2 =1.
3
答案:x2- y2 =1
3x,2即yy22= ,
43
9x 2 4
即y=±3 x,所以渐近线方程为
2
y=± 3 x.
2
答案:y=± 3x
2
题组二:走进教材 1.(选修2-1P61A组T1改编)双曲线 x2 y2 ＝1上的点P到
16 9
点(5,0)的距离是6,则点P的坐标是________.
x2 y2
【解析】设P(x,y),由已知得: 16 9 1,
a2 b2
考点二 直线与双曲线的位置关系
【典例】(1)已知双曲线 x2 y2 1(a>0,b>0)的离心率
a2 b2
为
2
,则其渐近线与圆(x-a)2+y2=
1 4
a2的位置关系是
()
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
(2)若双曲线E: x2 -y2=1(a>0)的离心率等于 ,直线
a2
【解析】设圆C的圆心C的坐标为(x,y),半径为r,由已
知r>2,则
CC1 CC2
＝r ＝r
2， 或
2
CC1 CC2
＝r ＝r
2， 2，
所以||CC1|-|CC2||=4<2 5 =|C1C2|,即圆心C的轨迹L是
以C1,C2为焦点,4为实轴长的双曲线,
所以L的方程为
（
x2 4 ）2 （
方程,即
Ax By C＝0， F(x，y)＝0，
消去y,得
ax2+bx+c=0.
(1)当a≠0时,设一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式 为Δ,则Δ>0⇔直线与双曲线C相交; Δ=0⇔直线与双曲线C相切; Δ<0⇔直线与双曲线C相离.
(2)当a=0,b≠0时,即得到的是一次方程,则直线l与双 曲线C相交,且只有一个交点,此时,直线l与双曲线的渐 近线的位置关系是平行.
【解析】(利用定义解三角形)如图所示,
内切圆圆心M到各边的距离分别为|MA|,|MB|,|MC|,切 点分别为A,B,C,由三角形的内切圆的性质有|CF1|= |AF1|,|AF2|=|BF2|,|PC|=|PB|, 所以|PF1|-|PF2|=|CF1|-|BF2|=|AF1|-|AF2|=2a, 又|AF1|+|AF2|=2c,所以|AF1|=a+c,
mn
近线相同,且 x2 y2 =λ(λ≠0)可表示渐近线为
mn
y= n x 的任意双曲线.
m
(4)√.因为是等轴双曲线,所以a=b,c= 2 a,离心率等
于 2 .渐近线方程为y=±x,互相垂直.
(5)√.由已知,
e12
c12 a2
a
2
a2
b2
，e22
c22 b2
a2 b2 ， b2
所以
1 e12
a3
所以a=3,b=4,所以此双曲线的方程为 x2 y2 ＝1.
9 16
3.(2019·淄博模拟)过双曲线
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0)的
左焦点F1,作圆x2+y2=a2的切线交双曲线的右支于点P,
切点为T,PF1的中点M在第一象限,则以下结论正确的是
()
A.b-a=|MO|-|MT|
a2 b2
a,b,c 的关系
c2=_a_2_+_b_2 (c>a>0,c>b>0)
3.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其渐近线方 程为_y_=_±__x_,离心率为e= 2 .
【常用结论】 1.双曲线中的几个常用结论 (1)焦点到渐近线的距离为b. (2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线. (3)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e= 2 ⇔双 曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系).
【基础自测】 题组一:走出误区 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)平面内到两点F1(-1,0),F2(1,0)的距离之差等于1 的点的轨迹是双曲线. ( )
(2)方程 x2 y2 1 (mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.
mn
()
(3)与双曲线 x2 y2 1(mn>0)共渐近线的双曲线方程
可表示为
x2 a2
y2 b2
=t(t≠0).
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2+ny2=1(mn<0).
3.直线与双曲线的位置关系
判断直线l与双曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程
Ax+By+C=0(A,B不同时为0)代入双曲线C的方程,消去
y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元
2
y=kx-1与双曲线E的右支交于A,B两点.
①求k的取值范围;
②若AB=6
3 ,点C是双曲线上一点,且
uuur
uuur uuur
OC＝m（OA OB），
求k,m的值.
【解析】(1)选C.因为一条渐近线方程为ay-bx=0,又离
心率为 c＝ 2，所以a=b,所以一条渐近线方程为y-x=0,
a
由(x-a)2+y2= 1 a2知圆心为(a,0),半径为 1 a,圆心到
对称轴:_坐__标__轴__,对称中心:_原__点__
A1(-a,0),A2(a,0)
y =bx
a
A1(0,-a),A2(0,a)
y = ax
b
标准方程
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0)
y2 a2
x2 b2
1
(a>0,b>0)
性质
离心率
c e= a
,e∈_(_1_,_+_∞__)_,其中c=
(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为 2b2 .
a
(5)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上,则AB
与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a+2|AB|.
(6)双曲线的离心率公式可表示为 e＝
1
b2 a2 .
2.巧设双曲线方程
(1)与双曲线
x2 a2
y2 b2
=1(a>0,b>0)有共同渐近线的方程
【题组练透】
1.(2018·福州模拟)设F1,F2分别是双曲线x2-
y2 9
=1的
左、右焦点.若点P在双曲线上,且|PF1|=5B.3
C.7
D.3或7
【解析】选D.因为||PF1|-|PF2||=2, 所以|PF2|=7或3.
2.已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0)的左、右焦点分别
【解析】(1)×.已知点的轨迹是双曲线的一支.到两点 F1(-1,0),F2(1,0)的距离之差的绝对值为1的点的轨迹 是双曲线. (2)×.例如当m=-1,n=-1时,方程为y2-x2=1,表示焦点在 y轴上的双曲线.
(3)√.易知双曲线 x2 y2 1 与 x2 y2=λ(λ≠0)渐
mn
k
2）＝6
3，
整理得28k4-55k2+25=0,
所以k2= 5
7
或k2= 5
4
,又1<k<
2,
所以k= 5 ,x1+x2=4 5 ,y1+y2=k(x1+x2)-2=8,
2
设C(x3,y3),由
1 2
|PF2|-(
1 2
|PF1|-|F1T|
)
=
1 2
(|PF2|-|PF1|)+b=
1 ×(-2a)+b=b-a.
2
4.(2019·唐山模拟)P是双曲线 x2 y2 1 右支上一
a2 b2
点,F1,F2分别为左、右焦点,且焦距为2c,则△PF1F2的
内切圆圆心的横坐标是________.
1 ＝ a2 e22 a 2 b2
b2 a2 b2
1.
2.双曲线 3x2 y2 3 的渐近线方程为________.
43
【解析】双曲线化为标准方程 x2 y2 1，焦点在x轴
49
上,所以渐近线方程为y=± 3 x.
2
答案: y=± 3 x
2
【一题多解】由 3x2 =y02 得
43
为F1,F2,以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交
点为(3,4),则此双曲线的方程为 ( )
x2 A.
y2
＝1
16 9
C. x2 y2 ＝1 9 16
x2 B.
y2 ＝1
34
D. x2 y2 ＝1 43
【解析】选C.因为以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近
线的一个交点为(3,4),所以c=5, b＝4，又c2=a2+b2,
2.求双曲线标准方程的一般方法 (1)定义法:依定义得出距离之差的等量关系式,求出a 的值,由定点位置确定c的值.
(2)待定系数法:设出双曲线方程的标准形式,根据已知
条件,列出参数a,b,c的方程并求出a,b,c的值.与双曲
线
x2 a2
y2 b2
1
有相同渐近线时,可设所求双曲线方程
为 x2 y2 =λ(λ≠0).