湖北省枣阳市2018-2019学年高一数学下册期中检测题-附答案

湖北省枣阳市鹿头中学高一年级2018-2019学年度下学期期中测试
数学试题
★ 祝考试顺利 ★ 时间：120分钟 分值150分_
第I 卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分） 1．等差数列{n a }中，3a ＝2，5a ＝7，则7a ＝
A ．10
B ．20
C ．16
D ．12 2．要得到函数sin(2)4
y x π
=-的图象，只要将函数sin 2y x =的图象( )
A ．向左平移4
π单位 B ．向右平移4
π
单位
C ．向左平移8
π单位 D ．向右平移8
π
单位
3．已知1cos 5α=-，sin α=
α的终边所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．已知等差数列{}n a 中，512716,1a a a +==，则10a 的值是（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 5．函数()sin cos f x x x =-的值域为 ．
6．若函数()sin cos (0)g x a x x a =>的最大值为1
2
，则函数()sin cos f x x a x =+的图象的一条对称轴方程为 A. 0x = B. 34x π=-
C. 4x π=-
D. 54
x π=- 7．在△ABC 中，下列关系式不一定成立的是（ ）。

A ．22(2cos )a c b a C b -=- B ．cos cos a b C c B =+
C ．
cos 2cos 2cos A C c a
B b
--=
D ．2222cos 2cos 2cos a b c bc A ac B ab C ++=++
8．D 是ABC ∆边BC 延长线上一点，记(1)AD AB AC λλ=+-. 若关于x 的方程
22sin (1)sin 10x x λ-++=在[0,2)π上恰有两解，则实数λ的取值范围是（ ）
A. 2-<λ
B.2λ<-或122--=λ
C.122--=λ
D.4-<λ或122--=λ 9．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝1
n n
b b +＝3，n ∈N *，若数列{
c n }满足c n ＝ba n ，则c 2 013＝( ) A ．92 012 B ．272 012 C ．92 013 D ．272 013
10．已知函数321
,(,1]12()111,[0,]3
62x x x f x x x ⎧∈⎪⎪+=⎨⎪-+∈⎪⎩ ，函数()sin 226g x a x a π⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
(0)a >，
若存在1x 、2x [0,1],∈使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是 A ．14[,]23
B ．1(0,]2
C ．24[,]33
D ．1[,1]2
11．在ΔABC
12．式子),,(c b a σ满足),,(),,(),,(b a c a c b c b a σσσ==，则称),,(c b a σ为轮换对称式．给出如下三个式子：①abc c b a =),,(σ；②222),,(c b a c b a +-=σ；③C B A C C B A 2cos )cos(cos ),,(--⋅=σC B A ,,(是ABC ∆的内角）．其中，为轮换对称式的个数是( )
A ．0
B ． 1
C ．2
D ． 3
第II 卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）
13．在等差数列{}n a 中，已知1254=+a a ，那么它的前8项和8S 等于_________ 14．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45
，则cos α＝________.
15．已知向量a 与b 的夹角是
3
π
，且||1a =，||4b =，若(3)a b a λ+⊥，则实数
λ=_______．
16．已知1cos 7
α=，13cos()14αβ-=，且π02βα<<<，
则cos β= ．
三、解答题（70分）
17．（本题12分）（12分）已知函数f(x)=sin()A x ωϕ+(其中A>0,0,02
π
ωϕ><<)的
图象如图所示。

（Ⅰ）求A ，ω及ϕ的值；
（Ⅱ）若tan α=2, ,求()8
f π
α+的值。

18．（本题12分）已知数列{}n a 的首项为1a =3，通项n a 与前n 项和n s 之间满足
2n a =n s ·n s 1-（n≥2）。

(1)求证：⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n S 1是等差数列，并求公差； (2)求数列{}n a 的通项公式。

19．（本小题满分13分） 已知1cos ,2a x →
⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，()sin cos ,1b x x →=+，()f x a b →→
=⋅，
（Ⅰ）若02
π
α<<
，sin α=
()f α的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间. 20．（本题121,2a b ==. ⑴若a ∥b ，求a b ⋅；
⑵若,a b 的夹角为0135，求a b +； ⑶若a b -与a 垂直，求a 与b 的夹角. 21．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，已知内角3
A π
=，边BC =.设内角B x =,ABC ∆的面积为y .
（Ⅰ）求函数()y f x =的解析式和定义域；
（Ⅱ）当角B 为何值时，ABC ∆的面积最大。

)1,(sin ),2cos ,cos 2(x b x x a ωωω==0>ωb a x f ⋅=)()(x f π
4π]2
,2[ππ-
参考答案
1．D 【解析】
试题分析：根据等差数列的性质可知第五项减去第三项等于公差的2倍，由
5a =3a +5得到2d 等于5，然后再根据等差数列的性质得到第七项等于第五项加上
公差的2倍，把5a 的值和2d 的值代入即可求出7a 的值。

即可知
7a =533+2d=+2d+2d=422512a a a d +=+⨯=,故选D.
考点：等差数列
点评：此题考查学生灵活运用等差数列的性质解决实际问题，是一道基础题． 2．D 【解析】
试题分析：将函数sin 2y x =的图象向右平移8
π单位得到函数sin(2)4
y x π
=-的图象，
故选D
考点：本题考查了三角函数的图象变换
点评：三角函数平移变换中，将x 变换为x ＋ϕ，这时才用“正向左，负向右”法则解决，属基础题 3．B 【解析】
试题分析：1cos 0,sin 05
αα=-<=
>，α∴的终边在第二象限．故B 正确． 考点：三角函数所在象限的符号． 4．A 【解析】
试题分析：由等差数列的性质知512710a a a a +=+，所以1016115a =-=．故选A ． 考点：等差数列的性质．
5．[. 【解析】
试题分析：因为()sin cos f x x x =-)4
x π
-，所以()f x ∈[.
考点：三角函数中的归一公式，三角函数值域问题. 6．B
【解析】
试题分析：由函数()sin cos (0)g x a x x a =>可化为()sin 22
a g x x =.又因为函数()g x 的最
大值为12
.所以1a =.所以函数()sin cos )4
f x x x x π
=+=+.正弦函数的对称轴即
函数值为最大或最小时x 的值，通过将下列四个选项逐一代入可知34
x π
=-成立.故选B.
考点：1.三角函数的最值.2.二倍角公式.3.化一公式.4.三角函数的对称轴. 7．C 【解析】
试题分析：根据题意，由于对于A,22222(2cos )=+-2b cos a c b a C b c a b a C -=-⇔显然成立，对于B ，根据投影的定义可知cos cos a b C c B =+成立，对于C ，由于
cos 2cos 2cos A C c a
B b --=
正弦定理可知不一定成立，而对于D ，
2222cos 2cos 2cos a b c bc A ac B ab C ++=++符合投影的运用，故答案为C.
考点：解三角形
点评：主要是考查了解三角形的运用，属于基础题。

8．D 【解析】
试题分析：
D
在
ABC
∆边
BC
延长线上，因此由
(1)(1)(1)(1)BD BA AD BA AB AC BA AC BC λλλλλ=+=++-=-+-=-，
知11λ->，故0λ<，由于0,π都不是原方程的解，故原方程在(0,)(,2)πππ上恰有两解，这等价于
22sin 1112sin 1sin sin x x x x
λ+=-=+-在(0,)(,2)πππ上恰有两解，令sin t x =，即要求
121t t λ=+-在(1,0)(0,1)-上恰有两解，故当直线y λ=与1
()21,(1,0)(0,1)f t t t t
=+-∈-
（“双钩”或称“耐克”型函数）恰有一个交点时符合题意，因为当(1,0)(0,1)t ∈-时sin t x =在(0,)(,2)x πππ∈始终恰好有两个解12,x x .
(0,1)t ∈时()10f t f ≥=->；又0λ<，故只需考虑(1,0)t ∈-时的情况，()f t 在
(1,-上递增，在(上递减，(1f =-，(1)4f -=-，故当4-<λ或122--=λ时直线y λ=与()f t 恰有一个交点，即原方程恰好2解.
考点：1、向量共线的计算；2、三角函数；3、双钩函数的单调性与值域；4、数形结合. 9．D
【解析】由已知条件知{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为3，公比为3的等比数列，∴ a n ＝3n ，b n ＝3n ，又c n ＝ba n ＝33n ，∴c 2 013＝33×2 013＝272 013. 10．A
【解析】本题考查函数的值域,函数的导数及应用,函数的单调性,集合间的关系,转化思想及分析问题解决问题的能力.
当1(,1]2x ∈时，323322226(1)246(),()0,1(1)(1)x x x x x x f x f x x x x +-+'===>+++所以函数在1
(,1]2
上是增函数，则1
()()(1),2f f x f <≤即1()1;6f x <≤当1[0,]2x ∈时，11()36
f x x =-+是减函数，则
11
()()(0),0();26
f f x f f x ≤≤≤≤即所以函数()f x 值域是[0,1]; 当[0,1]x ∈时，0,6
6
x
ππ
≤
≤
所以
1sin 126
x π≤≤，又0,a >则 (0)()(1)g g x g ≤≤，即322()2,2a a g x -≤≤-
所以函数()g x 值域为3[22,2];2
a
a --若存在
1x 、2x [0,1],∈使得12()()f x g x =成立，则应满足3[0,1][22.2],2
a
a --≠∅所以有 221
3202
a a
-≤⎧⎪
⎨-≥⎪⎩，解得14.23a ≤≤故选A 11．C. 【解析】
试题分析：∵1cos 4sin 6=+B A ，
∴1cos 16cos sin 48sin 361)cos 4sin 6(2222=++⇒=+B B A A B A ①， 同理，75sin 16sin cos 48cos 3622=++B B A s A ②，
①+②，得2
1sin cos cos sin =+B A B A ，即2
1)sin(=+B A ，∴2
1sin =C ， ∴6
π
=C 或
65π，若65π=C ，则6π=+B A ，∴1326
cos 40cos 4sin 6>=⋅+>+π
B A ，矛盾 ∴6
π
=
C ，∴2
3
cos =
C . 考点：三角恒等变形. 12．C 【解析】
试题分析：根据题意，由于式子),,(c b a σ满足),,(),,(),,(b a c a c b c b a σσσ==，那么可知①abc c b a =),,(σ；满足轮换对称式，对于②222),,(c b a c b a +-=σ；不满足，错误 ③
2(,,)cos cos()cos =cos cos()+cos()A B C C A B C C A B A B σ=⋅---+（）
=cosCcosAcosB
C B A ,,(是ABC ∆的内角）
故可知满足轮换对称式，故答案有2个成立，故答案为C. 考点：新定义的运用
点评：主要是考查了不等式的比较大小的运用，属于基础题 13．48
【解析】解：因为等差数列{}n a 中，已知4518a a 12a a +==+，而8S =4（18a a +）=48
14．－35
【解析】因为A 点纵坐标y A ＝45
，且A 点在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35
. 15．32
- 【解析】 试
题
分
析
：由题意
()3a b a
λ+⊥ ，可得
(
)
2
30303cos 03
a b a a a b a b π
λλλ+⋅=⇒+⋅=⇒+= ， 即320λ+= ，解得32
λ=-
考点：本题考查向量垂直的充要条件，向量的数量积的运算 点评：解决本题的关键是掌握向量垂直的充要条件 16．2
1
. 【解析】
试题分析：由已知得14
3
3)sin(734sin =
-=
βαα，， 则)](cos[cos βααβ--=2
1
1433734141371)sin(sin )cos(cos =⨯+⨯=-⋅+-⋅=βααβαα. 考点：三角函数基本关系和两角和差公式. 17．（1）A=2，ω=2（2）6
5
-
【解析】（Ⅰ）由图知A=2, ……………………1分
T=2(
588
ππ
-)=π, ∴ω=2, ……………………3分 ∴f(x)=2sin(2x+ϕ)
又∵()8f π=2sin(4
π
+ϕ)=2,
∴sin(4
π
+ϕ)=1,
∴
4π+ϕ=22k ππ+,ϕ=4
π
+2k π,(k ∈Z) ∵02
π
ϕ<<
,∴ϕ=4
π
……………………6分
由（Ⅰ）知：f(x)=2sin(2x+4
π
)，
∴()8f πα+=2sin(2α+2π)=2cos2α=4cos 2
α-2…………9分
∵tan α=2, ∴sin α=2cos α,
又∵sin 2α+cos 2α=1, ∴cos 2α=1
5
,
∴()8f πα+=6
5
- ……………………12分
18．(1)证明略 (2))
83)(53(18
--=
n n a n
【解析】(1)2（1--n n S S ）=1-⋅n n S S 2
1111-=-⇒
-n n S S ∴⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是等差数列，且公差为－21
(2)
n
S n S n n 356
)21)(1(311-=⇒--+=， 当n =1时，a 1=3，当n ≥2时，a n =S n －S n-1=)
83)(53(18
--n n
19π=，3,,88k k k Z ππππ⎡⎤
-
+∈⎢⎥⎣
⎦
. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）由于02
π
α<<，sin α=
cos α= 利用数量积公式，可得
∴()()1
cos sin cos 2
f a b αααα→→
=⋅=+-
，代入数据即可求出结果；（Ⅱ）根据三角恒等
变换，可得()f x a b →→
=⋅24x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭，所以()f x 的最小正周期T π=,由222,2
4
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
k Z ∈解不等式，即可求出函数()f x 的的单调增区间为.
试题解析：解: （Ⅰ）
02
π
α<<
，sin α=
∴cos α=
∴()()111
cos sin cos 222
f a b αααα→→
=⋅=+-
=-= （Ⅱ）()()1cos sin cos 2
f x a b x x x →→
=⋅=+-，
∴()()1cos sin cos 2f x a b x x x →→
=⋅=+-
21sin cos cos 2
x x x =+-
11cos 21sin 2222x x +=+-11sin 2cos 222x x =+24x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭ 所以()f x 的最小正周期T π=, 由222,2
4
2
k x k k Z ππ
π
ππ-≤+
≤+
∈得，3,88
k x k k Z ππ
ππ-
≤≤+∈， 所以()f x 的的单调增区间为3,,88k k k Z ππππ⎡⎤
-
+∈⎢⎥⎣
⎦
. 考点：1.同角的基本关系；2.三角函数的性质. 20．⑴2±；⑵1；⑶045. 【解析】
试题分析：（1）当a ∥b 时两向量的方向相同或相反，所成角为0或180。

根据数量积公式cos a b a b θ⋅=可求a b ⋅的值。

（2）先求模的平方将问题转化为向量的数量积问题。

（3）两向量垂直则其数量积为0，根据数量积公式即可求得两向量的夹角。

试题解析：（1）当a ∥b 时，,a b 的夹角0θ=或180。

1,2a b ==，所以cos a b a b θθ⋅==。

当0θ=时，2cos 02a b ⋅==。

当180θ=时，2cos180a b ⋅==-。

（2）2
2
2
2
2
22cos1351221(1a b a b a b a b a b +=++⋅=++=++⨯=，所以1a b +=。

（3）设,a b 的夹角θ。

当b a -与a 垂直时，()2
2
cos 10a b a a a b a a b θθ-⋅=-⋅=-==，所以cos θ=。

因为0180θ≤≤，所以45θ=。

考点：1向量共线的定义；2向量的数量积；3向量的模长；4向量垂直问题。

21．（Ⅰ）2sin()3y x x π=-，定义域2|03x x π⎧
⎫<<⎨⎬
⎩⎭
；（Ⅱ）B=3π。

【解析】
试题分析：（Ⅰ）ABC ∆的内角和A B C π++=
3
A π
=
∴203B π<<
.即203
x π
<< sin sin AC BC B A = ∴ sin 4sin sin BC
AC B x A ==
12
sin sin()23y AB AC A x x π∴=
⋅=- 2(0)3
x π
<< ……………… 6分
（Ⅱ）y =21
sin(
)sin )32
x x x x x π-=+
26sin cos x x x =+7)2)6666
x x ππππ
=--<-<
当26
2
x π
π
-
=
即3
x π
=时，y 取得最大值。

所以当角B 为3
π
时，ABC ∆的面积取得最大值为 12分 考点：正弦定理；三角形的面积公式；三角函数=sin (x+)y A ωϕ的性质；二倍角公式；和差公式。

点评：三角函数和其他知识点相结合往往是第一道大题，一般较为简单，应该是必得分的题目。

而有些同学在学习中认为这类题简单，自己一定会，从而忽略了
对它的练习，因此导致考试时不能得满分，甚至不能得分。

比如此题在第二问中，就较易忘掉应用第一问求出θ的范围。

因此我们在平常训练的时候就要要求自己“会而对，对而全”。

22．(1) f (4
π
) =1 (2) ]8
,83[ππ-
【解析】(1) x x x b a x f ωωω2cos sin cos 2)(+=⋅= --- 2分
)4
2sin(2π
ω+
=x --- 3分
∵)(x f 的周期为π． ∴1=ω --- 5分
)4
2sin(2)(π
+
=x x f
12
cos 2sin )4(=π
+π=π∴f --- 7分
(2) )4
2sin(2)(π
+=x x f
当ππ
π
ππ
k x k 22
4
222
+≤
+
≤+-（Z k ∈）时，f(x)单增， -- 10分
即ππππk x k +≤≤+-
883（Z k ∈）,∵∈x ]2
,2[ππ- ∴f (x )在]2
,2[π
π-上的单调递增区间为]8
,83[π
π-
---12分。