2020年中考数学全真模拟试卷(四川成都专用)(六)(解析版)

2020年中考数学全真模拟卷(某某某某专用)(六)
数学
注意事项:
1. 全卷分A卷和B卷,A卷满分100分,B卷满分50分;考试时间120分钟．
2. 在作答前,考生务必将自己的某某.某某号涂写在试卷和答题卡规定的地方,考试结束,监考人员将试卷和答题卡一并收回. 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂;非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写,字体工整.笔迹清楚.
4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸.试卷上答题无效.
5．保持答题卡清洁,不得折叠.污染.破损等.
A卷(共100分)
一．选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)
1．下面四个数中比﹣4小的是()
A．3B．2C．﹣3D．﹣5
【点拨】有理数大小比较的法则:①正数都大于0;②负数都小于0;③正数大于一切负数;④两个负数,绝对值大的其值反而小,据此判断即可．
【解析】解:根据有理数比较大小的方法,可得
﹣5＜﹣4＜﹣3＜2＜3,
∴四个数中比﹣4小的数是﹣5．
故选:D．
2．下列几何体中,从正面看(主视图)是长方形的是()
A．B．
C．D．
【点拨】主视图是分别从物体正面看,所得到的图形．
【解析】解:圆锥的主视图是等腰三角形,
圆柱的主视图是长方形,
圆台的主视图是梯形,
球的主视图是圆形,
故选:B．
3．我国是世界上严重缺水的国家之一,目前我国年可利用的淡水资源总量为27500亿米3,27500亿这个数保留两个有效数字为()
A．2.75×1012B．2.8×1010C．2.8×1012D．2.7×1010
【点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|＜10,n为整数．确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时,n是正数;
当原数的绝对值＜1时,n是负数．
【解析】解:27500亿＝27500 0000 0000＝2.75×1012≈2.8×1012,
故选:C．
4．下列运算正确的是()
A．x2+x2＝x4B．a2•a3＝a5
C．(3x)2 ＝6x2D．(mn)5÷(mn)＝mn4
【点拨】根据合并同类项.同底数幂的乘法.除法和幂的乘方计算判断即可．【解析】解:A.x2+x2＝2x2,错误;
B.a2•a3＝a5 ,正确;
C.(3x)2 ＝9x2,错误;
D.(mn)5÷(mn)＝(mn)4,错误;
故选:B．
5．下列四个图案中,是轴对称图形的是()
A．B．
C．D．
【点拨】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴．
【解析】解:A.不是轴对称图形,因为找不到任何这样的一条直线,使它沿这条直线折叠后,直线两旁的部分能够重合,即不满足轴对称图形的定义．不符合题意;
B.不是轴对称图形,因为找不到任何这样的一条直线,使它沿这条直线折叠后,直线两旁的部分能够重合,
即不满足轴对称图形的定义．不符合题意;
C.是轴对称图形,符合题意;
D.不是轴对称图形,因为找不到任何这样的一条直线,使它沿这条直线折叠后,直线两旁的部分能够重合,
即不满足轴对称图形的定义．不符合题意．
故选:C．
6．使函数y=√x+1
有意义的自变量x的取值X围为()
x
A．x≠0B．x≥﹣1C．x≥﹣1且x≠0D．x＞﹣1且x≠0
【点拨】根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可得解．
【解析】解:由题意得,x+1≥0且x≠0,
解得x≥﹣1且x≠0．
故选:C．
7．如图,AB∥CD,那么()
A．∠BAD与∠B互补B．∠1＝∠2
C．∠BAD与∠D互补D．∠BCD与∠D互补
【点拨】根据两直线平行,内错角相等;两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补解答即可．【解析】解:∵AB∥CD,
∴∠BAD与∠D互补,即C选项符合题意;
当AD∥BC时,∠BAD与∠B互补,∠1＝∠2,∠BCD与∠D互补,
故选项A.B.D都不合题意,
故选:C．
8．在学校的体育训练中,小杰投实心球的7次成绩就如统计图所示,则这7次成绩的中位数和众数分别是()
A．9.7m,9.8m B．9.7m,9.7m C．9.8m,9.9m D．9.8m,9.8m
【点拨】将这7个数据从小到大排序后处在第4位的数是中位数,利用出现次数最多的数是众数找到众数
即可．
【解析】解:把这7个数据从小到大排列处于第4位的数是9.7m,因此中位数是9.7m,
9.7m出现了2次,最多,
所以众数为9.7m,
故选:B．
9．把二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝a(x﹣h)2+k的形式,下列变形正确的是()
A．y＝(x+1)2+3B．y＝(x﹣2)2+3C．y＝(x﹣1)2+5D．y＝(x﹣1)2+3
【点拨】利用配方法整理即可得解．
【解析】解:y＝x2﹣2x+4,
＝x2﹣2x+1+3,
＝(x﹣1)2+3．
故选:D．
10．如图,四边形OABC为菱形,点A,B在以O为圆心的弧上,若OA＝2,∠1＝∠2,则扇形ODE的面积为()
A．4
3πB．5
3
πC．2πD．3π
【点拨】连接OB,根据等边三角形的性质可以求得∠AOC＝120°,再结合∠1＝∠2,即可求得扇形所在的圆心角的度数,从而根据扇形的面积公式进行求解．
【解析】解:如图,连接OB,
∵OA＝OB＝OC＝AB＝BC,
∴∠AOB+∠BOC＝120°．
又∵∠1＝∠2,
∴∠DOE＝120°,
∴S扇形ODE=120π×4
360=4
3
π．
故选:A．
二．填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)
11．若|x﹣2|＝3,则x＝5或﹣1 ．
【点拨】根据绝对值的性质把原方程去掉绝对值符号,再求出x的值即可．
【解析】解:当x﹣2＞0时,x﹣2＝3,解得,x＝5;
当x﹣2＜0时,x﹣2＝﹣3,解得,x＝﹣1．
故x＝5或﹣1．
12．如图所示,小明为了测量学校里一池塘的宽度AB,选取可以直达A.B两点的点O处,再分别取OA.OB的中点M.N,量得MN＝20m,则池塘的宽度AB为40 m．
【点拨】根据题意知MN是△ABO的中位线,所以由三角形中位线定理来求AB的长度即可．
【解析】解:∵点M.N是OA.OB的中点,
∴MN是△ABO的中位线,
∴AB＝AMN．
又∵MN＝20m,
∴AB＝40m．
故答案是:40．
13．若点A(2,y1),B(﹣1,y2)都在直线y＝﹣2x+1上,则y1与y2的大小关系是y1＜y2．【点拨】由所给直线解析式的比例系数为负数可得y将随x的增大而减小．
【解析】解:∵直线y＝﹣2x+1的比例系数为﹣2,
∴y随x的增大而减小,
∵2＞﹣1,
∴y1＜y2,
故答案为y1＜y2．
14．如图,PA.PB是⊙O的切线,A.B是切点,点C是劣弧AB上的一个动点(点C不与点A.点B重合),若∠P＝30°,则∠ACB的度数是105 °．
【点拨】连接OA,OB,由PA,PB为圆O的切线,利用切线的性质得到两个角为直角,再利用四边形的内角和定理求出∠AOB的度数,进而求出大角∠AOB的度数,利用圆周角定理即可求出∠ACB的度数．
【解析】解:连接OA,OB,
∵PA,PB分别为圆O的切线,
∴∠OAP＝∠OBP＝90°,
∵∠P＝30°,
∴∠AOB＝150°,
即大角∠AOB＝360°﹣150°＝210°,
则∠ACB=1
2
大角∠AOB＝105°．
故答案为:105．
三．解答题(共6小题,满分54分)
15．(12分)计算题:
(1)﹣24+√16−|﹣3|﹣(﹣π)0+2cos60°;
(2)解不等式组:{2x−3＞x+1
1
2
(x+1)＞x−2
．
【点拨】(1)原式第一项利用乘方的意义计算,第二项利用算术平方根定义计算,第三项利用绝对值的代数意义化简,第四项利用零指数幂法则计算,最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果;
(2)分别求出不等式组中两不等式的解集,找出解集的公共部分即可确定出不等式组的解集．
【解析】解:(1)原式＝﹣16+4﹣3﹣1+1＝﹣15;
(2){2x−3＞x+1①
1
2
(x+1)＞x−2②
,
由①得:x＞4;
由②得:x＜5,
则不等式组的解集为4＜x＜5．
16．(6分)如图,为了测量某风景区内一座塔AB的高度,小明分别在塔的对面一楼房CD的楼底C.楼顶D处,测得塔顶A的仰角为45°和30°,已知楼高CD为10m,求塔的高度．(sin30°＝0.50,cos30°≈
0.87,tan30°≈0.58)
【点拨】过点D作DE⊥AB于点E,设塔高AB＝x,则AE＝(x﹣10)m,在Rt△ADE中表示出DE,在Rt△ABC 中表示出BC,再由DE＝BC可建立方程,解出即可得出答案．
【解析】解:过点D作DE⊥AB于点E,得矩形DEBC,
设塔高AB＝xm,则AE＝(x﹣10)m,
在Rt△ADE中,∠ADE＝30°,
则DE=AE
tan30°
=√3(x﹣10)米,
在Rt△ABC中,∠ACB＝45°,
则BC＝AB＝x,
由题意得,√3(x﹣10)＝x,
解得:x＝15+5√3≈23.7．即AB≈23.7米．答:塔的高度约为23.7米．
17．(8分)先化简,再求值:(m+2+5
2−m )÷3−m
2m−4
,其中m＝﹣1．
【点拨】把m+2看成m+2
1
,先计算括号里面的,再算乘法,化简后代入求值．
【解析】解:(m+2+5
2−m )÷3−m
2m−4
,
＝(m+2
1−5
m−2
)⋅2(m−2)
3−m
,
=m2−4−5
m−2⋅2(m−2)
3−m
,
=(m−3)(m+3)
m−2⋅2(m−2)
3−m
,
＝﹣2(m+3),
＝﹣2m﹣6,
当m＝﹣1时,原式＝﹣2×(﹣1)﹣6＝2﹣6＝﹣4．
18．(8分)一个不透明的布袋里装有6个白球,2个黑球和若干个红球,它们除颜色外其余都相同,从中任意
摸出1个球,是白球的概率为2
3
．
(1)布袋里红球有多少个？
(2)小亮和小丽将布袋中的白球取出5个,利用剩下的球进行摸球游戏,他们约定:先摸出1个球后不放回,
再摸出1个球,若两个球中有红球则小亮胜,否则小丽胜,你认为这个游戏公平吗？请用列表或画树状图说明理由．
【点拨】(1)设布袋里红球有x个,根据“白球的概率为2
3
”可得关于x的分式方程,解之可得答案;
(2)列表得出所有等可能结果,从中找到符合条件的结果数,再根据概率公式计算可得．
【解析】解:(1)设布袋里红球有x个,
根据题意,得:6
6+2+x =2
3
,
解得:x＝1,
经检验:x＝1是原分式方程的解,
所以布袋里有1个红球;
(2)列表如下:
白黑黑红
白(白,黑) (白,黑) (白,红)
黑(黑,白) (黑,黑) (黑,红)
黑(黑,白) (黑,黑) (黑,红)
红(红,白) (红,黑) (红,黑)
由表知,共有12种等可能结果,其中两个球中有红球的有6种情况,两个球中没有红球的有6种情况, ,
∴P(小亮胜)＝P(小丽胜)=1
2
∴这个游戏公平．
19．(10分)如图,已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象在第一象限的交点为A(2,4)．
(1)求正比例函数与反比例函数的解析式;
(2)平移直线OA,平移后的直线与x轴交于点B,与反比例函数的图象在第一象限的交点为C(4,n)．求B.C
两点的距离．
【点拨】(1)分别设出一次函数解析式和反比例函数的解析式,代入点A的坐标,即可得出各解析式．
(2)利用已知的反比例函数的解析式,可得出n的值;设平移后的一次函数解析式,代入点C的坐标,即可得出平移后的函数式,练力量两函数式,求解方程组,即可得出点B的坐标,利用两点间的距离公式,即可得出B.C的距离．
【解析】解:(1)设正比例函数的解析式为y＝k1x,
(1分)
反比例函数的解析式为y=k2
x
(2分)
根据题意得:4＝k1×2,4=k2
2
解得:k1＝2,k2＝8
所以,正比例函数的解析式为y＝2x,
．(2分)
反比例函数的解析式为y=8
x
(2)因为点C(4,n)在反比例函数y=8
的图象上
x
=2,
所以,n=8
4
即点C的坐标为(4,2)(1分)
因为AO∥BC,所以可设直线BC的表达式为y＝2x+b(1分)
又点C的坐标为(4,2)在直线BC上
所以,2＝2×4+b,
解得b＝﹣6,
即直线BC的表达式为y＝2x﹣6(1分)
直线BC与x轴交于点B,设点B的坐标为(m,0)
可以得:0＝2m﹣6,
解得m＝3,
所以点B的坐标为(3,0)(1分)
∴BC=√5(1分)
20．(10分)如图,在平面直角坐标系中,常数b＜0,m＞0,点A.B的坐标分别为(−b
2
,0).(m,2m+b),正方形BCDE 的顶点C.D分别在x轴的正半轴上．
(1)直接写出点D和点E的坐标(用含b.m的代数式表示);
(2)求BC
AC
的值;
(3)正方形BC′D′E′和正方形BCDE关于直线AB对称,点C′.D′.E′分别是点C.D.E的对称点,C′D′
交y轴于点M,D′N⊥x轴,垂足为N,连接MN．
①若点N和点A关于y轴对称,求证:MN＝MD′;
②若1
AD−AO −1
AD+AO
=1
4AO
,求BC
OC
的值．
【点拨】(1)利用A.B的坐标用b.m表示图中各种线段,即得到D.E的坐标．
(2)用含b.m的式子代入要求的BC
AC
,刚好能约去b.m．
(3)①由C.C'关于直线AB对称入手,连接AC'得AC'＝AC,易证D'.C'.A在同一直线上．又因为N.A关于y
轴对称,得OA＝ON,AM＝MN,易得MN为Rt△AND'斜边上的中线,得证．②把已知等式进行整理,得到AD与
AO的关系,把含b.m的式子代入,再代入求BC
OC
即可．
【解析】解:(1)∵四边形BCDE是正方形
∴∠ACB＝∠BCD＝∠CDE＝∠E＝90°,BC＝CD＝DE＝BE
∵A(−b
2
,0),B(m,2m+b),
∴OA=−b
2
,OC＝m,CD＝DE＝BE＝BC＝2m+b
∴OD＝OC+CD＝m+2m+b＝3m+b
∴D(3m+b,0),E(3m+b,2m+b)
(2)∵AC＝OC﹣OA＝m﹣(−b
2)＝m+b
2
∴BC
AC =2m+b
m+b
2
=2
(3)①连接AC',
∵正方形BC′D′E′和正方形BCDE关于直线AB对称∴AC'＝AC,∠AC'B＝∠ACB＝90°
∵正方形BC'D'E'中,∠BC'D'＝90°
∴∠AC'D'＝90°+90°＝180°,即点A.C'.D'在同一直线上∵点N和点A关于y轴对称,M在y轴上
∴MN＝MA
∴∠MNA＝∠MAN
∵D'N⊥x轴
∴∠D'NA＝∠D'NM+∠MNA＝90°
∴∠ND'M+∠MAN＝90°
∴∠ND'M＝∠D'NM
∴MN＝MD′
②∵1
AD−AO −1
AD+AO
=1
4AO
∴AD+AO
(AD−AO)(AD+AO)−AD−AO
(AD+AO)(AD−AO)
=1
4AO
∴AD+AO−(AD−AO)
AD2−AO2=1
4AO
∴2AO
AD2−AO2=1
4AO
∴AD2﹣AO2＝8AO2∴AD2＝9AO2
∴AD＝3AO
∵AD＝OD﹣OA＝3m+b﹣(−b
2)＝3m+3b
2
∴3m+3b
2=3(−b
2
)
解得:b＝﹣m
∴BC
OC =2m+b
m
=2m−m
m
=1
B卷(共50分)
一．填空题(共5小题,每小题4分,满分20分)
21．某学校计划开设A.B.C.D四门校本课程供全体学生选修,规定每人必须并且只能选修其中一门,为了了解各门课程的选修人数．现从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查,并把调查结果绘制成如图所示的条形统计图．已知该校全体学生人数为1200名,由此可以估计选修C课程的学生有240 人．
【点拨】根据样本的数据,可得样本C占样本的比例,根据样本的比例,可C占总体的比例,根据总人数乘以C占得比例,可得答案．
【解析】解:C占样本的比例10
20+12+10+8=1
5
,
C占总体的比例是1
5
,
选修C课程的学生有1200×1
5
=240(人), 故答案为:240．
22．若关于x的方程3−2x
x−3−mx−2
3−x
=−1无解,则m的值是1或5
3
．
【点拨】分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程无解确定出x的值,代入整式方程计算即可求出m 的值．
【解析】解:去分母得:3﹣2x+mx﹣2＝﹣x+3,
整理得:(m﹣1)x＝2,
当m﹣1＝0,即m＝1时,方程无解;
当m﹣1≠0时,x﹣3＝0,即x＝3时,方程无解,此时2
m−1=3,即m=5
3
,
故答案为:1或5
3
．
23．如图都是由同样大小的黑棋子按一定规律摆出的图案,第①个图案有4个黑棋子,第②个图案有9个黑棋子,第③个图案有14个黑棋子,…,依此规律,第n个图案有1499个黑棋子,则n＝300 ．
【点拨】仔细观察每一个图形中黑棋子的个数与图形序列号的关系,找到规律,利用规律求解即可．【解析】解:观察图1有5×1﹣1＝4个黑棋子;
图2有5×2﹣1＝9个黑棋子;
图3有5×3﹣1＝14个黑棋子;
图4有5×4﹣1＝19个黑棋子;
…
图n有5n﹣1个黑棋子,
当5n﹣1＝1499,
解得:n＝300,
故答案:300
24．如图,在边长为4的菱形ABCD中,∠A＝60°,M是AD边的中点,点N是AB边上一动点,将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN,连接A′C,则线段A′C长度的最小值是．
【点拨】根据题意,在N的运动过程中A′在以M为圆心.AD为直径的圆上的弧AD上运动,当A′C取最小值时,由两点之间线段最短知此时M.A′.C三点共线,得出A′的位置,进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可．
【解析】解:如图所示:
∵在N的运动过程中A′在以M为圆心,MA的长为半径的圆上,
∴MA′是定值,A′C长度取最小值时,即A′在MC上时,
过点M作MF⊥DC于点F,
∵在边长为4的菱形ABCD中,∠A＝60°,M为AD中点,
∴MD＝2,∠FDM＝60°,
∴∠FMD＝30°,
MD＝1,
∴FD=1
2
∴FM＝DM×cos30°=√3,
∴MC=2+CF2=2√7,
∴A′C＝MC﹣MA′＝2√7−2．
故答案为:2√7−2．
(x＜0)的图象相交于点A和点B．当y1＞y2＞0时,x 25．如图,一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2=m
x
的取值X围是﹣2＜x＜﹣0.5 ．
【点拨】根据一次函数与反比例函数交点纵坐标,结合图象确定出所求x的X围即可．
【解析】解:根据图象得:当y1＞y2＞0时,x的取值X围是﹣2＜x＜﹣0.5,
故答案为:﹣2＜x＜﹣0.5
二．解答题(共3小题,满分30分)
26．(8分)在环境创优活动中,某居民小区要在一块靠墙(墙长25米)的空地上修建一个矩形养鸡场,养鸡场的一边靠墙,如果用60m长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场,设养鸡场平行于墙的一边BC的长为x(m),养鸡场的面积为y(m2)
(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值X围;
(2)养鸡场的面积能达到300m2吗？若能,求出此时x的值,若不能,说明理由;
(3)根据(1)中求得的函数关系式,判断当x取何值时,养鸡场的面积最大？最大面积是多少？
x2+20x,然后利用墙长25米可得到x的取【点拨】(1)先用x表示出AB,根据矩形的面积公式得到y=−1
3
值X 围;
(2)令y ＝300得到−1
3
x 2
+20x ＝300,解得x ＝30,然后根据x 的取值X 围可判断养鸡场的面积不能达到
300m 2
;
(3)把(1)中的解析式配成顶点式,然后利用二次函数的性质求解．
【解析】解:(1)BC ＝x ,则AB =1
3(60﹣x ), 所以y ＝x •1
3(60﹣x )=−1
3x 2
+20x (0＜x ≤25); (2)不能．理由如下:
当y ＝300时,即−1
3x 2
+20x ＝300, 整理得x 2
﹣60x +900＝0,解得x 1＝x 2＝30,
因为0＜x ≤25,
所以x ＝30不满足条件,
所以养鸡场的面积不能达到300m 2
;
(3)y =−1
3x 2
+20x =−1
3(x ﹣30)2
+300, 因为0＜x ≤25,
所以当x ＝25时,y 的值最大,最大值为−1
3(25﹣30)2
+300=8753
．
答:当x 取25m 时,养鸡场的面积最大,最大面积是
8753
m 2．
27．(10分)如图,在平面直角坐标系中,⊙M 过原点O ,与x 轴交于A (4,0),与y 轴交于B (0,3),点C 为劣弧
AO的中点,连接AC并延长到D,使DC＝4CA,连接BD．
(1)求⊙M的半径;
(2)证明:BD为⊙M的切线;
(3)在直线MC上找一点P,使|DP﹣AP|最大．
【点拨】(1)利用A,B点坐标得出AO,BO的长,进而得出AB的长,即可得出圆的半径;
(2)根据A,B两点求出直线AB表达式为:y=−3
4x+3,根据B,D两点求出BD表达式为y=4
3
x+3,进而得
出BD⊥AB,求出BD为⊙M的切线;
(3)根据D,O两点求出直线DO表达式为y=5
6x又在直线DO上的点P的横坐标为2,所以p(2,5
3
),此时
|DP﹣AP|＝DO=√61．
【解析】(1)解:∵M过原点O,与x轴交于A(4,0),与y轴交于B(0,3), ∴AB是⊙O的直径,
由题意可得出:OA2+OB2＝AB2,AO＝4,BO＝3,
∴AB＝5,
∴圆的半径为5
2
;
(2)证明:由题意可得出:M(2,3
2
)
又∵C为劣弧AO的中点,由垂径定理且MC=5
2
,故C(2,﹣1) 过D作DH⊥x轴于H,设MC与x轴交于K,
则△ACK∽△ADH,
又∵DC＝4AC,
故DH＝5KC＝5,HA＝5KA＝10,
∴D(﹣6,﹣5)
设直线AB表达式为:y＝kx+b,
{4k+b=0
b=3,
解得:{k=−3
4 b=3
故直线AB表达式为:y=−3
4
x+3,
同理可得:根据B,D两点求出BD的表达式为y=4
3
x+3,
∵k AB×k BD＝﹣1,
∴BD⊥AB,BD为⊙M的切线;
(3)解:取点A关于直线MC的对称点O,连接DO并延长交直线MC于P, 此P点为所求,且线段DO的长为|DP﹣AP|的最大值;
设直线DO表达式为y＝kx,
∴﹣5＝﹣6k,
,
解得:k=5
6
x
∴直线DO表达式为y=5
6
,
又∵在直线DO上的点P的横坐标为2,y=5
3
),
∴P(2,5
3
此时|DP﹣AP|＝DO=√62+52=√61．
28．(12分)已知抛物线y＝ax2+bx+3经过A(﹣3,0),B(﹣1,0)两点(如图1),顶点为M．
(1)a.b的值;
(2)设抛物线与y轴的交点为Q(如图1),直线y＝﹣2x+9与直线OM交于点D．现将抛物线平移,保持顶点在直线OD上．当抛物线的顶点平移到D点时,Q点移至N点,求抛物线上的两点M.Q间所夹的曲线MQ
̂扫过的区域的面积;
(3)设直线y＝﹣2x+9与y轴交于点C,与直线OM交于点D(如图2)．现将抛物线平移,保持顶点在直线OD 上．若平移的抛物线与射线CD(含端点C)没有公共点时,试探求其顶点的横坐标的取值X围．
【点拨】(1)将A.B两点的坐标代入抛物线的解析式中,即可求出待定系数的值．
(2)连接MQ.DN后,由图可以发现MQ
̂扫过的面积正好是▱MQND的面积;连接QD,则▱MQND的面积是两倍的△MQD的面积,所以这道题实际求的是△MQD的面积;由(1)的抛物线解析式,不难求出顶点M的坐标,联立直线OM和直线CD的解析式可以求出点D的坐标;以OQ为底,M.D两点的横坐标差的绝对值为高即可得△MQD 的面积,则此题可求．
(3)在平移过程中,抛物线的开口方向和大小是不变的,即二次项系数不变;抛物线的顶点始终在直线OM
上,根据直线OM的解析式(y=1
2x)可表达出抛物线顶点的坐标(h,1
2
h),可据此先设出平移后的抛物线解析
式;若求平移的抛物线与射线CD(含端点C)没有公共点时顶点横坐标的取值X围,那么就要考虑到两个关键位置:
①抛物线对称轴右侧部分经过C点时,抛物线顶点横坐标h的值(设此时h＝α);
②抛物线对称轴左侧部分与直线CD恰好有且只有一个交点时,h的值(设此时h＝β);
那么,符合条件的抛物线顶点横坐标的取值X围可表达为:h＜α或h＞β．
【解析】解:(1)将A(﹣3,0),B(﹣1,0)代入抛物线y＝ax2+bx+3中,得:
{9a −3b +3=0a −b +3=0, 解得:a ＝1.b ＝4．
(2)连接MQ .QD .DN ,由图形平移的性质知:QN ∥=
MD ,即四边形MQND 是平行四边形;
由(1)知,抛物线的解析式:y ＝x 2+4x +3＝(x +2)2
﹣1,则点M (﹣2,﹣1).Q (0,3);
则,直线OM :y =1
2x ,联立直线y ＝﹣2x +9,得: {y =1
2x
y =−2x +9, 解得{x =185
y =
95
．
则D (185,9
5
);
曲线MQ
̂扫过的区域的面积:S ＝S ▱MQND ＝2S △MQD ＝2×12
×OQ ×|x M ﹣x D |＝3×|﹣2−185
|=845
．
(3)由于抛物线的顶点始终在y =12
x 上,可设其坐标为(h ,12
h ),设平移后的抛物线解析式为y ＝(x ﹣
h )2+1
2h ;
①当平移后抛物线对称轴右侧部分经过点C (0,9)时,有:
h 2+12h ＝9,解得:h =
−1−√145
4
(依题意,舍去正值)
②当平移后的抛物线与直线y ＝﹣2x +9只有一个交点时,依题意: {
y =−2x +9
y =(x −ℎ)2+12ℎ
, 消去y ,得:x 2
﹣(2h ﹣2)x +h 2
+1
2h ﹣9＝0,
h﹣9)＝﹣10h+40＝0,解得:h＝4
则:△＝(2h﹣2)2﹣4(h2+1
2
或h＞4．结合图形,当平移的抛物线与射线CD(含端点C)没有公共点时,h＜−1−√145
4。