计算机应用基础课程第14讲数据结构基础_1

二叉树的前序序列为
ABDEFCHGI
中序序列为
DBFEACGHI
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9.2.4 二叉树
2)中序遍历
所谓中序遍历是指在访问根结点、遍历左子树、
遍历右子树这三者中，首先遍历左子树，然后访问
根结点，最后遍历右子树；并且，在遍历左、右子
树时，仍然先遍历左子树，然后访问根结点，最后
⑹在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子
树和右子树，并且所有叶子结点都在同一层上，
这样的一棵二叉树称作满二叉树。
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9.2.4 二叉树
满二叉树结点总和为:
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9.2.4 二叉树
⑺一棵深度为k的有n个结点的二叉树，对树中的
码是指数据元素（记录）中某个项或组合项的值，用
它可以标识一个数据元素（记录）。能唯一确定一个
数据元素（记录）的关键码，称为主关键码；而不能
唯一确定一个数据元素（记录）的关键码，称为次关
键码。如学生情况表中“学号”即可看成主关键码，
“姓名”则作为次关键码，因可能有同名同姓的学生
；查找表是指由具有同一类型（属性）的数据元素（
具有层次关系的数据都可以用树这种结构来描述 。在所有的层次关系中人们最熟悉的是血缘关系， 按血缘关系可以很直观地理解树结构中各数据元素 结点之间的关系。
行政各机构也是一个典型的层次关系。
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9.2.4 二叉树
树形结构 （除了一个称为根的结点外）每个元素 都有且仅有一个直接前趋，有零个或多个直接后继。
子树，也要区分它是左子树还是右子树。因此二叉
树具有五种基本形态，如图所示。
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9.2.4 二叉树
二叉树具有五种基本形态
Ф
(a) (b)
左子树
(c)
右子树
(d)
左子树
(e)
右子树
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二叉树2个重要的特点：
①非空二叉树只有一个根结点； ②每一个结点最多有两棵子树，
1. 二叉树（Binary Tree）
二叉树是个有限元素的集合，该集合或者为空、
或者由一个称为根(root)的元素及两个不相交的、
被分别称为左子树和右子树的二叉树组成。当集合
为空时，称该二叉树为空二叉树。在二叉树中，一
个元素也称作一个结点。
二叉树是有序的，即若将其左、右子树颠倒，就
成为另一棵不同的二叉树。即使某个结点只有一棵
《计算机应用基础》第9讲 9.2 数据结构
9.2.4 二叉树
9.3 常用查找与排序方法
9.3.1 查找
9.3.2 排序
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9.2.4 二叉树
根据数据结构中各数据元素之间的前驱与后继关 系的复杂程度，逻辑上可以把数据结构分为线性结 构和非线性结构两大类。
上一讲重点介绍的是数据结构中的线性结构：
构中至少存在一个数据元素，有两个或1 两个以上的
直接前驱（或直接后继）元素。2
C
F
G
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计算机应用基形结构就是一种十分重要的非线性结构，可以 用来描述客观世界中广泛存在的层次结构关系，这 种结构的特点是：有一个特定的结点称为根结点， 它没有前趋，其它结点可以有多个后继，但只有唯 一的前驱结点。
右子树，最后访问根结点；并且，在遍历左、右子 树时，仍然先遍历左子树，然后遍历右子树，最后
访问根结点。 后序遍历二叉树的过程是一个递归的过程。
若二叉树为空，则结束，返回。否则： （1）后序遍历左子树； （2）后序遍历右子树；
（3）访问根结点。 前例: 后序序列为
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9.2.4 二叉树
完全二叉树
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完全二叉树
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9.2.4 二叉树
3.二叉树的主要性质
① 性质1 一棵非空二叉树的第i层上最多有2i-1 个结点（i≥1）参见满二叉树
② 性质2 一棵深度为k的二叉树中，最多具有2k －1个结点。参见满二叉树
lchild data rchild
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9.2.4 二叉树
4. 二叉树的存储结构
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存放了地址个数？ 空指针个数？
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9.2.4 二叉树
4. 二叉树的存储结构
在计算机中，二叉树通常采用链式存储结构。
【问题】若用链表存储一棵二叉树时，每个结点 除数据域外，还有指向左孩子和右孩子的两个指针 。在这种存储结构中，N个结点的二叉树共有 ________个指针域，其中有________个指针域是存 放了地址，有________________个指针是空指针。
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9.2.4 二叉树
前序遍历二叉树的过程是一个递归的过程。简述 如下：
若二叉树为空，则结束，返回。否则： （1）访问根结点； （2）前序遍历左子树； （3）前序遍历右子树。
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9.2.4 二叉树
特别注意：在遍历左右 子树时仍然采用前序遍历 方法。参见右例的访问序 列
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9.2.4 二叉树
例：右图 前序序列 中序序列 后序序列
ABDHECFG HDBEAFCG HDEBFGCA
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例：左图
前序序列 JGDEABHFC
中序序列 DGAEBJHFC
后序序列 DABEGCFHJ
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9.2.4 二叉树
已知中序和后序遍历（或中序和前序遍历），是 否能够求解前序（后序）遍历结果？
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9.2.4 二叉树
2. 二叉树中相关名词术语
⑴ 结点所拥有的子树的个数称为该结点的度。
⑵ 度为0的结点称为叶结点，度不为0的结点称为分 支结点
⑶ 树中一个结点的子树的根结点称为这个结点的孩 子，这个结点称为它孩子结点的双亲，具有同一 个双亲的孩子结点互称为兄弟。
⑷ 如果一棵树的一串结点n1, n2, …, nk有如下关
图中的结点 可表示为血缘 关系，也可代 表多层行政机 构名
在树的图形表示中，总是认为在用直线连接起来的
两端结点中，上端结点是前趋，下端结点是后继。
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9.2.4 二叉树
在树的结构中，每一个结点只有一个前趋，前趋
结点称为父结点；没有前趋的结点只有一个，直称
为树的根结点，简称为树的根。
2) 折半查找 也称二分查找，它是一种效率较高的查找方法，它 要求查找表必须是顺序结构存储且表中数据元素按关 键码有序排列。
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2n n-1 n+1
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9.2.4 二叉树
5. 二叉树的遍历
二叉树中的遍历指的是顺着某一条搜索路径巡访二 叉树中的结点，使得每个结点均被访问一次，而且仅 被访问一次，这里可以将“访问”的含义理解为输出 结点的信息。
二叉树的遍历是指不重复地访问二叉树的所有结点。 遍历二叉树的方法实际是要确定访问各结点的顺序， 以便不重不漏地访问到二叉树的所有结点。在遍历二 叉树的过程中，一般先遍历左子树，然后再遍历右树。
③ 性质3 对于一棵非空的二叉树，如果叶子结点数为n0， 度数为2的结点数为n2，则有n0＝n2＋1。
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9.2.4 二叉树
4. 二叉树的存储结构 (附顺序存储结构)
在计算机中，二叉树通常采用链式存储结构。 二叉树的顺序存储结构 此结构是将二叉树的所有结点，按照一定的次序 ，存储到一片连续的存储单元中。因此，必须将结 点排成一个适当的线性序列，使得结点在这个序列 中的相应位置能反映出结点之间的逻辑关系。这种 结构特别适用于完全二叉树。
遍历右子树。
中序遍历二叉树的过程是一个递归的过程：
若二叉树为空，则结束，返回。否则：
（1）中序遍历左子树； （2）访问根结点；
（3）中序遍历右子树。
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9.2.4 二叉树
3)后序遍历 所谓后序遍历是指在访问根结点、遍历左子树、
遍历右子树这三者中，首先遍历左子树，然后遍历
ABCDEFGHIJKLMNOPQ
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9.2.4 二叉树
4. 二叉树的存储结构
在计算机中，二叉树通常采用链式存储结构。 与线性表类似，用于存储二叉树中各元素的存储 结点也由两部分组成：数据域与指针域。但在二叉 树中，由于每一个元素可以有两个后件（即两个子 结点），因此，用于存储二叉树的存储结点的指针 域有两个：一个用于指向该结点的左子结点的存储 地址，称为左指针域；另一个用于指向该结点的右 子结点的存储地址，称为右指针域。
在树的结构中，每一个结点可以有多个后继，它
们都称为该结点的子结点。没有后继的结点称为叶
子结点。
二叉树是应用最广泛、最有代表性的树型结构。
专业上，因为一般的树结构可以转化成二叉树，
教材上没有涉及一般的树结构，只介绍二叉树。但
严格说来，二叉树不是树！
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9.2.4 二叉树
逻辑结构 线性结构
数
非线性结构
据
结 构
存储结构
顺序存储
链接存储
运算 插入 删除 查找 排序 遍历
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9.2.4 二叉树
但现实中的许多事物的关系并非这样简单，如人
类社会的族谱、各种社会组织机构以及城市交通、
通讯等，这些事物之间的联系都是非线性的，要用
到树形（或图形）这种非线性数据结构。在这类结
结点按从上至下、从左到右的顺序进行编号，如编
号为i（1≤i≤n）的结点与满二叉树中编号为i的
结点在二叉树中的位置相同，则这棵二叉树称为完 全二叉树。
完全二叉树的特点是：叶子结点只能出现在最下 层和次下层，且最下层的叶子结点集中在树的左部 。显然，一棵满二叉树必定是一棵完全二叉树，而 完全二叉树未必是满二叉树。
记录）组成的集合。
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9.3 常用查找与排序方法
1) 顺序查找 顺序查找又称线性查找，是最基本的查找方法之一 其查找方法为：从表的一端开始，向另一端逐个将 给定值x与关键码进行比较，若找到，查找成功，并 给出数据元素在表中的位置；若整个表检测完，仍未 找到与x相同的关键码，则查找失败，给出失败信息
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9.2.4 二叉树
4. 二叉树的存储结构 (附顺序存储结构)
在一棵具有n个结点的完全二叉树中，我们从树 根起，自上层到下层，逐层从左到右给所有结点编 号，就能得到一个足以反映整个二叉树结构的线性 序列，如图所示。其中每个结点的编号就作为结点 的名称。
顺序存储序列为：
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9.2.4 二叉树
在先左后右的原则下，根据访问根结点的顺序， 二叉树的遍历可以分为三种：前序遍历、中序遍历、 后序遍历。
1) 前序遍历
所谓前序遍历是指在访问根结点、遍历左子树、 遍历右子树这三者中，首先访问根结点，然后遍历 左子树，最后遍历右子树；并且，在遍历左、右子 树时，仍然先访问根结点，然后遍历左子树，最后 遍历右子树。
系：结点ni是ni+1的父结点（1≤i<k），就把n1,
n2, …, nk称为一条由n1至nk的路径，这条路径的
长度是k-1。
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9.2.4 二叉树
如果有一条路径从结点M到结点N，那么M就称为N 的祖先，而N称为M的子孙。
⑸规定树的根结点的层数为1，其余结点的层数等于 它的双亲结点的层数加1，树中所有结点的最大层 数称为树的深度，树中各结点度的最大值称为该 树的度。
【问题】某二叉树中序序列为ABCDEFG，后序序列 为BDCAFGE 则前序序列是？ EACBDGF
由后序知：E是根结点； 其次需要分析那些结点 在左子树，那些在右子 树中？根据中序可知FG 是在右子树中！
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9.3 常用查找与排序方法
1. 查找 查找中涉及到的两个名词是关键码和查找表，关键
且分别称为结点的左子树与 右子树。
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9.2.4 二叉树
特别注意：二叉树 中的每个结点的子树 被明显地分为左子树 与右子树。在二叉树 中可以只有左子树而 没有右子树，也可以 只有右子树而没有左 子树。
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B
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D
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E
C
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F
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G
H
I
J
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