高考数学压轴专题2020-2021备战高考《集合与常用逻辑用语》易错题汇编及解析

【最新】数学高考《集合与常用逻辑用语》复习资料
一、选择题
1．已知集合*4x M x
N ⎧=∈⎨⎩且*10x N ⎫∈⎬⎭，集合40x N x Z ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭，则( ) A ．M N =
B ．N M ⊆
C ．20x M N x Z ⎧⎫⋃=∈⎨⎬⎩⎭
D ．*40x M N x N ⎧⎫⋂=∈⎨⎬⎩⎭ 【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
由题意可得：集合M 表示能被20整除的正整数，
而集合N 表示能被40整除的整数，
据此可得，集合N 与集合M 的公共元素为能被40整除的正整数， 即*40x M N x N ⎧⎫⋂=∈⎨⎬⎩⎭
， 本题选择D 选项.
2．给出下列说法：
①定义在[],a b 上的偶函数
()()24f x x a x b =-++的最大值为20； ②“4x π
=”是“tan 1x =”的充分不必要条件；
③命题“()00,x ∃∈+∞，0012x x +
≥”的否定形式是“()0,x ∀∈+∞，12x x +<”． 其中正确说法的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】D
【解析】
【分析】 根据偶函数的定义求得a 、b 的值，利用二次函数的基本性质可判断①的正误；解方程tan 1x =，利用充分条件和必要条件的定义可判断②的正误；根据特称命题的否定可判断③的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于命题①，二次函数()()24f x x a x b =-++的对称轴为直线42
a x +=，
该函数为偶函数，则
402a +=，得4a =-，且定义域[]4,b -关于原点对称，则4b =， 所以，()24f x x =+，定义域为[]4,4-，()()max 420f x f ∴=±=，命题①正确；
对于命题②，解方程tan 1x =得()4x k k Z ππ=+
∈， 所以，tan 14x x π=
⇒=，tan 14x x π=⇐=/， 则“4x π
=”是“tan 1x =”的充分不必要条件，命题②正确；
对于命题③，由特称命题的否定可知③正确.
故选：D.
【点睛】
本题以考查命题真假性的形式，考查函数奇偶性、二次函数最值，充分条件与必要条件 还有特称命题的否定，考查的知识点较多，能较好地检测考生的逻辑推理能力，属中等题．
3．下列三个命题中，真命题的个数为（ ）
①命题p ：0(1,)x ∃∈+∞，0002x x >-，则p ⌝：(1,)x ∀∈+∞，02
x x ≤-； ②p q ∧为真命题是p q ∨为真命题的充分不必要条件；
③若22ac bc >，则a b >的逆命题为真命题；
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
【答案】C
【解析】
【分析】
对三个命题逐一判断即可.
【详解】 ①中p ⌝：()1
x ∀∈+∞，，02
x x ≤-或2x =，所以①为假命题； ②为真命题； ③中逆命题为：若a b >，则22ac bc >，若c 为0，则③错误，即③为假命题. 故选：C .
【点睛】
本题考查命题的真假，属于基础题.
4．下列命题中是假命题的是
A ．对任意x ∈R ，30x >
B ．对任意()0x ∈+∞，，sin x x >
C ．存在0x ∈R ，使20log 0x =
D ．存在0x ∈R ，使00sin cos 2x x +=
【答案】D
【解析】
【分析】
根据指数函数，三角函数，对数函数的性质依次判断，即可得出答案.
【详解】
因为函数30x y =>，所以“对任意x ∈R ，30x >”为真命题；利用导数知识易证当0
x >时，sin 0x x ->恒成立，所以“对任意()0x ∞∈+，
，sin x x >”为真命题；当01x =时，202log log 10x ==，所以“存在0x ∈R ，使20log 0x =”为真命题；因为
000πsin cos 4x x x ⎛⎫+=+≤ ⎪⎝
⎭，故“存在0x ∈R ，使00sin cos 2x x +=”为假命题. 故选D ．
【点睛】
本题考查命题的真假判断，是基础题，解题时要认真审题，解答本题的关键熟悉运用不等式、对数函数、三角函数的性质．
5．已知圆222:(1)(0)C x y r r +-=>，设:0p r <<q ：圆C 上至多有2个点到
直线30x y ++=p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】C
【解析】
【分析】
由圆C 的圆心为(0,1)，得到其到直线30x y ++=的距离为“,r d ”法，分析当
0r <<，r =r <<，r =r >时，圆C 上的点到直线30x y ++=
的个数，再根据逻辑条件的定义求解.
【详解】
圆C 的圆心为(0,1)，其到直线30x y ++=的距离为．
当0r <<；
当r =；
r <时，圆上有2；
当r =3；
当r >，圆上有4．
若圆C 上至多有2个点到直线30x y ++=的距离为2，则0r <<
所以p 是q 的充要条件．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查逻辑条件以及直线与圆的位置关系，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.
6．给出下列五个命题，其中正确命题的个数为（ ）
①命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++<”；
②若正整数m 和n 满足m n ≤
2
n ； ③在ABC ∆中 ，A B >是sin sin A B >的充要条件；
④一条光线经过点()1,3P ，射在直线:10l x y ++=上，反射后穿过点()1,1Q ，则入射光线所在直线的方程为5340x y -+=；
⑤已知32()f x x mx nx k =+++的三个零点分别为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则m n k ++为定值.
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】C
【解析】
【分析】
①根据特称命题的否定的知识来判断；②根据基本不等式的知识来判断；③根据充要条件的知识来判断；④求得入射光线来判断；⑤利用抛物线的离心率判断.
【详解】
①，命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++≥”，故①错误.
②，由于正整数m 和n 满足m n ≤，0n m -
≥，由基本不等式得22
m n m n +-=，当m n m =-即2n m =时等号成立，故②正确. ③，在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即
sin sin A B A B >⇔>，所以A B >是sin sin A B >的充要条件，故③正确.
④，设()1,1Q 关于直线10x y ++=的对称点为(),A a b ，则线段AQ 中点为
11,22a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1110
221121112AQ a b b k a ++⎧++=⎪⎪⎪+⎨-⎪==+⎪-⎪⎩
，解得2a b ==-，所以()2,2A --.所以入射光线为直线AP ，即312321
y x --=----，化简得5340x y -+=.故④正确. ⑤，由于抛物线的离心率是1，所以(1)0f =，即10m n k +++=，所以1m n k ++=-为定值，所以⑤正确.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查特称命题的否定，考查基本不等式，考查充要条件，考查直线方程，考查椭圆、双曲线、抛物线的离心率，属于中档题.
7．已知x ，y R ∈，则“x y <”是“
1x y <”的（ ） A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】 x y <，不能得到
1x y <， 1x y
<成立也不能推出x y <，即可得到答案. 【详解】
因为x ，y R ∈， 当x y <时，不妨取11,2x y =-=-，21x y =>， 故x y <时，1x y
<不成立， 当1x y
<时，不妨取2,1x y ==-，则x y <不成立， 综上可知，“x y <”是“
1x y <”的既不充分也不必要条件， 故选：D
【点睛】
本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，属于容易题.
8．“4sin 25
α=”是“tan 2α=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】
【分析】 直接利用二倍角的正弦公式换化简222sin cos 4sin 2sin cos 5ααααα=
=+，再利用齐次式进行弦切互化，得出
22tan 4tan 15
αα=+，即可求出tan α，即可判断充分条件和必要条件. 【详解】
解：2242sin cos 4sin 25sin cos 5ααααα=
⇔=+Q ， 则22tan 4tan 2tan 15ααα=⇔=+或12， 所以“4sin 25
α=
”是“tan 2α=”的必要不充分条件. 故选：B.
【点睛】 本题考查必要不充分条件的判断，运用到三角函数中的二倍角正弦公式、同角平方关系、齐次式进行弦切互化.
9．设
，则"是""的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意得到充分性，验证
得出不必要，得到答案. 【详解】
，当
时，，充分性； 当
，取，验证成立，故不必要.
故选：.
【点睛】
本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.
10．下面说法正确的是（ ）
A ．命题“若0α=，则cos 1α=”的逆否命题为真命题
B ．实数x y >是22x y >成立的充要条件
C ．设p ，q 为简单命题，若“p q ∨”为假命题，则“p q ⌝∧⌝”也为假命题
D ．命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++≥”的否定是“x R ∀∈，使得210x x ++≥”
【答案】A
【解析】
【分析】
对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】
A. 命题“若0α=，则cos 1α=”是真命题，所以它的逆否命题为真命题，所以该选项正
确；
B. 由22x y >得x y >或x y <-，所以实数x y >是22x y >成立的充分不必要条件，所以该选项错误；
C. 设p ，q 为简单命题，若“p q ∨”为假命题，则,p q 都是假命题，则“p q ⌝∧⌝”为真命题，所以该选项错误；
D. 命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++≥”的否定是“x R ∀∈，使得210x x ++<”，所以该
选项错误.
故选：A
【点睛】
本题主要考查四种命题及其关系，考查充要条件的判断，考查复合命题的真假的判断，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
11．“a b >”是“a a b b >”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】 首先判断y x x =的单调性，再根据单调性判断充分必要条件.
【详解】 22,0,0x x y x x x x ⎧≥==⎨-<⎩
，函数是奇函数，并且在R 上单调递增， 所以a b >时，a a b b >， 反过来，若满足a a b b >时，根据函数y x x =是单调递增函数，所以a b >， 所以a b >”是“a a b b >”的充要条件.
故选：C
【点睛】
本题考查充分必要条件，重点考查函数单调性的判断方法，转化与化归的思想，属于基础题型.
12．若集合()(){}130M x x x =+-<，集合{}
1N x x =<，则M N ⋂等于（ ） A ．()1,3
B ．(),1-∞-
C ．()1,1-
D ．()3,1- 【答案】C
【解析】
【分析】
解一元二次不等式求得M ，然后求两个集合的交集.
【详解】
由()()130x x +-<解得13x -<<，故()1,1M N ⋂=-，故选C.
【点睛】
本小题主要考查集合交集的概念以及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
13．已知平面α，β和直线1l ，2l ，且2αβl =I ，则“12l l P ”是“1l α∥且1l β∥”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】
【分析】
将“12l l P ”与“1l α∥且1l β∥”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件.
【详解】
当“12l l P ”时，1l 可能在α或β内，不能推出“1l α∥且1l β∥”.当“1l α∥且1l β∥”时，由于2αβl =I ，故“12l l P ”.所以“12l l P ”是“1l α∥且1l β∥”的必要不充分条件. 故选：B.
【点睛】
本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查空间直线、平面的位置关系，属于基础题.
14．设x ∈R ，则“03x <<”是“12x -<” 的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】
【分析】 解绝对值不等式12x -<求得x 的取值范围.然后根据两者的范围判断正确选项.
【详解】 由12x -<，得212x -<-<，解得13x -<<，()0,3是()1,3-的子集，故“03x <<”是“12x -<”的充分而不必要条件.故选A.
【点睛】
本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.
15．已知,αβ是不同的两个平面，直线a α⊂，直线b β⊂，条件:p a 与b 没有公共点，条件://q αβ，则p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】 ∵a 与b 没有公共点时，a 与b 所在的平面β可能平行，也可能相交（交点不在直线b 上）
∴命题p ：a 与b 没有公共点⇒命题q ：α∥β，为假命题
又∵α∥β时，a 与b 平行或异面，即a 与b 没有公共点
∴命题q ：α∥β⇒命题p ：a 与b 没有公共点，为真命题；
故p 是q 的必要不充分条件
故选B
16．下列四个命题中真命题的个数是
①命题2“340,1?x x x --==-若则的逆否命题为2“1,340?x x x ≠---≠若则； ②命题“,cos 1?x R x ∀∈≤的否定是00“,cos 1?x R x ∃∈>
③命题“(,0)x ∃∈-∞，23x x <”是假命题.
④命题[):1,,lg 0"p x x ∀∈+∞≥，命题2:,10q x R x x ∃∈++<，则p q ∨为真命题 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】D
【解析】
【分析】
根据四种命题的关系进行判断．
【详解】
①命题2“340,1?x x x --==-若则的逆否命题为2“1,340?x x x ≠---≠若则，正确；
②命题“,cos 1?x R x ∀∈≤的否定是00“,cos 1?x R x ∃∈>，正确；
③命题“(),0x ∃∈-∞，23x x <”是假命题，正确.
④命题[):1,,lg 0"p x x ∀∈+∞≥，命题2:,10q x R x x ∃∈++<，p 是真命题， 则p q ∨为真命题，正确．
因此4个命题均正确．
故选D ．
【点睛】
本题考查四种命题及其关系，解题时可根据四种命题的关系进行判断①②，同指数函数的性质判断③，由或命题的真值表判断④，是解此类题的一般方法，本题属于基础题．
17．已知集合{}260A x x x =--≤，(){}
lg 2B x y x ==-，则A B =I （ ）
A ．[)2,2-
B ．[]2,3
C ．(]2,3
D ．()3,+∞
【答案】C
【解析】
【分析】 根据一元二次不等式的解答和对数函数的性质，求得,A B ，再结合集合交集的运算，即可求解．
【详解】 由题意，集合{}{}
26023A x x x x x =--≤=-≤≤，(){}{}lg 22B x y x x x ==-=>，
所以(]2,3A B =I ．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了集合运算及性质，其中解答中熟记集合交集的概念及运算是解答的关键，着重考查数学运算能力．
18．若、a b 均为实数，则“()0->ab a b ”是“0a b >>”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
通过列举，和推理证明可以推出充要性.
【详解】
若()0ab a b -＞中，取12a b --＝，＝，则推不出0a b ＞＞
； 若0a b ＞＞，则0a b -＞，则可得出()0ab a b -＞；
故“()0ab a b -＞”是“0a b ＞＞”的必要不充分条件，
故选：B.
【点睛】
本题考查充分必要不条件的定义以及不等式的性质，可通过代入特殊值解决．
19．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =I （ ）
A ．3
(3,)2
-- B ．3(3,)2- C ．3(1,)2 D ．3(,3)2 【答案】D
【解析】
试题分析：集合()(){}{}|130|13A x x x x x =--<=<<，集合，所以3|32A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭
,故选D. 考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算.
20．0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
当
，得a <1时方程有根．a <0时，，方程有负根，又a =1时，方程根为，所以选B ．。