专题12 共定点等边三角形的六大结论(解析版)

专题12 共定点等边三角形的六大结论
1．1．如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A 、E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ 。

求证：①AD BE =；②//PQ AE ；③AP BQ =；④DE DP =；⑤60AOB ∠=︒； ⑥PCQ ∆是等边三角形；⑦点C 在AOE ∠的平分线上
解：如图1所示：
∵△ABC 和△CDE 是正三角形，
∴AC =BC ，DC =EC ，∠ACB =∠ECD =60°，
又∵∠ACD =∠ACB +∠BCD ， ∠BCE =∠DCE +∠BCD ，
∴∠ACD =∠BCE ，
在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ，
∴△ACD ≌△BCE （SAS ），
∴AD =BE ， ∴结论①正确；
∵△ACD ≌△BCE ， ∴∠CAP =∠CBQ ，
,BPO APC 60,AOB ACB 故⑤正确，
又∵∠ACB +∠BCD +∠DCE =180°， ∴∠BCD =60°，
在△ACP 和△BCQ 中，CAP CBQ
AC BC ACP BCQ
，
∴△ACP ≌△BCQ （ASA ），
∴AP =BQ ，PC =QC ， 故③正确，
∴△PCQ 是等边三角形，故⑥正确
∴∠CPQ =∠CQP =60°，
∴∠CPQ =∠ACB =60°，
∴PQ AE ∥， 故②正确，
若DE =DP ，
∵DC =DE ， ∴DP =DC ， ∴∠PCD =∠DPC ，
又∵∠PCD =60°，
∴∠DPC =60°与△PCQ 是等边三角形相矛盾，假设不成立， ∴结论④错误；
过点C 分别作CM ⊥AD ，CN ⊥BE 于点M 、N 两点， 如图2所示：
∵CM ⊥AD ，CN ⊥BE ，,ACD BCE ≌
∴CM =CN ，
又∵OC 在∠AOE 的内部，
∴点C 在∠AOE 的平分线上，
∴结论⑦正确；
2．已知：如图，△ABC 、△CDE 都是等边三角形，AD 、BE 相交于点O ，点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点．
(1)求∠DOE 的度数；
(2)试判断△MNC 的形状，并说明理由；
(3)连接OC ，求证：OC 是∠AOE 的平分线．
【答案】(1)∠DOE 的度数是60°
(2)△MNC 是等边三角形，理由见解析
(3)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质及角的和差关系可得∠ACD ＝∠BCE ，利用SAS 可证明△ACD
≌△BCE，可得AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，利用角的和差关系及外角性质可得∠AOE=120°，根据平角定义即可得答案；
（2）根据全等三角形的性质可得∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC，根据中点的定义可得AM＝BN，利用SAS可证明△ACM≌△BCN，可得CM＝CN，∠ACM＝∠BCN，利用角的和差关系可得∠MCN＝60°，即可证明△MNC是等边三角形；
（3）连接OC，过C作CG⊥AD，垂足为G；过C作CH⊥BE ，垂足为H，根据全等三角形的性质可得AD＝BE，S△ACD=S△BCE，即可得出CG＝CH，根据角平分线的判定定理即可得出结论．
(1)
∵△ABC、△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB＋∠BCD＝∠DCE＋∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC BC
ACD BCE
CD CE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，
∵等边三角形DCE，
∴∠CED＝∠CDE＝60°，
∴∠ADE＋∠BED＝∠ADC＋∠CDE＋∠BED，＝∠BEC＋60°＋∠BED，
＝∠CED＋60°，
＝60°＋60°，
＝120°，
∴∠AOE=120°，
∴∠DOE＝180°-∠AOE=60°．
(2)
△MNC是等边三角形，理由如下：
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC
∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，
∴AM＝1
2AD，BN＝1
2
BE，
∴AM＝BN，
在△ACM和△BCN中，
AC BC
CAM CBN
AM BN
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ACM≌△BCN，
∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ACM＋∠MCB＝∠BCN+∠MCB=∠ACB=60°，
∴∠MCN＝60°，
∴△MNC是等边三角形．
(3)
连接OC，过C作CG⊥AD，垂足为G；过C作CH⊥BE ，垂足为H．∵△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE，S△ACD=S△BCE，
∴11
22
AD CG BE CH
⋅=⋅，
∴CG＝CH，
∵CG⊥AD，CH⊥BE，
∴OC是∠AOE的平分线．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、三角形外角性质及角平分线的判定定理，能够熟练掌握等边三角形的性质与判定条件是解题关键．
3．如图，分别以△ABC的边AB，AC向外作两个等边三角形△ABD，△ACE．连接BE、CD 交点F，连接AF．
（1）求证：△ACD≌△AEB；
（2）求证：AF+BF+CF=CD．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质得到AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAB＝60︒，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）如图，延长FB至K，使FK＝DF，连DK，根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】
（1）∵△ABD和△ACE为等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAB=60°，
∴∠DAC=∠BAE=60°+∠BAC．
在△ACD和△AEB中，
∵
AD AB
DAC BAE AC AB
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ACD≌△AEB(SAS)；
（2）由（1）知∠CDA=∠EBA，
如图∠1=∠2，
∴180°﹣∠CDA﹣∠1=180°﹣∠EBA﹣∠2，∴∠DAB=∠DFB=60°，
如图，延长FB至K，使FK=DF，连DK，∴△DFK为等边三角形，
∴DK=DF，
∴△DBK≌△DAF(SAS)，
∴BK=AF，
∴DF=DK，FK=BK+BF，
∴DF=AF+BF，
又∵CD=DF+CF，
∴CD=AF+BF+CF．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．4．已知ABC为等边三角形．
（1）如图1，点D为边BC上一点，以AD为边作等边三角形ADE，连接CE，求证：
△≌△．
ABD ACE
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，以AD为边作等边三角形ADE，求证：无论点D的位置如何变化，ADE的内角平分线的交点P始终在B的角平分线上．
（3）如图3，以AC为腰作等腰直角三角形ACD，取斜边CD的中点E，连接AE，交BD于点F．试判断线段BF，AF，DF之间存在何种数量关系，并证明你的结论．
=+，证明见解析．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BF DF AF
【解析】
【分析】
（1）利用等边三角形的性质，得到BAD CAE ∠=∠，则问题可证；
（2）过点P 作PN ⊥AB ，交BA 延长线于点N ，作PM ⊥BD 于M ，先证明△P AN ≌△PDM ，得出PN =PM ，再证()Rt PMB R PNB HL ≌，根据角平分线的判定定理即可得出结论； （3）在BF 上截BG DF =，连接AG ， 证()BAG DAF SAS ≌，再证AGF 为等边三角形即可得出结论
【详解】
（1）∵ABC 和ADE 都是等边三角形，
∴,,60AB AC BC AD AE BAC DAE ===∠=∠=︒．
∴BAC CAD DAE CAD ∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠．
在ABD △和ACE 中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()ABD ACE SAS △≌△．
（2）过点P 作PM BD ⊥于点M ，PN BA ⊥交射线BA 于点N ，
∴90PMB PNB ∠=∠=︒，
∵,PA PD 为内角平分线，
∴30PAD PDA PAE ∠=∠=∠=︒，
∴PA PD =，
∵60ACB ∠=︒，
∴60ADC CAD ∠+∠=︒，
∵60BAC DAE ∠=∠=︒，
∴18060CAD EAN BAC DAE ∠+∠=-∠-∠=︒，
∴ADC EAN ∠=∠，
∴ADC PDA EAN PAE ∠+∠=∠+∠，即PDM PAN ∠=∠，
在PDM △和PAN △中，
PMD PNA PDM PAN PA PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()PDM PAN AAS ≌，
∴PM PN =，
在Rt PMB 和Rt PNB △中，
PM PN PB PB =⎧⎨=⎩
， ∴()Rt PMB R PNB HL ≌，
∴PBN PBM ∠=∠，
∴BP 平分ABC ∠，
即无论点D 的位置如何变化， ADE 的内角平分线的交点P 始终在B 的角平分线上．
（3）在BF 上截BG DF =，连接AG ，
∵,150AB AD BAD BAC CAD =∠=∠+∠=︒， ∴1180152
()ABG ADF BAD ∠=∠=︒-∠=︒， 在BAG 和DAF △中，
BA AD ABG ADF BG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()BAG DAF SAS ≌，
∴,AG AF BAG DAF =∠=∠，
∵ACD △为等腰直角三角形，
∴45ADE ∠=︒
∵E 为斜边中点，
∴AE CD ⊥，
∴90AED ∠=︒
∴45DAE ∠=︒，
∴45BAG ∠=︒，
∴15060GAF BAG DAF ∠=-∠-∠=︒，
∴AGF 为等边三角形，
∴AF FG =，
∴BF BG FG DF AF =+=+．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，角平分线的性质和判定，三角形外角的性质等知识，添加恰当辅助线，构造全等三角形是解决本题的关键． 5．如图1，点C 在线段AB 上，（点C 不与A 、B 重合），分别以AC 、BC 为边在AB 同侧作等边三角形ACD 和等边三角形BCE ，连接AE 、BD 交于点P ．
【观察猜想】
①AE 与BD 的数量关系是 ；
②∠APD 的度数为 ．
【数学思考】
如图2，当点C 在线段AB 外时，（1）中的结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；
【拓展应用】
如图3，点E 为四边形ABCD 内一点，且满足∠AED ＝∠BEC ＝90°，AE ＝DE ，BE ＝CE ，对角线AC 、BD 交于点P ，AC ＝10，则四边形ABCD 的面积为 ．
【答案】【观察猜想】：①AE ＝BD ．②∠APD ＝60°．理由见解析；【数学思考】：结论仍然成立，证明见解析；【拓展应用】：50.
【解析】
【分析】
观察猜想：证明△ACE ≌△DCB （SAS ），可得AE ＝BD ，∠CAO ＝∠ODP ，由∠AOC ＝∠DOP ，推出∠DPO ＝∠ACO ＝60°；
数学思考：结论成立，证明方法类似；
拓展应用：证明AC ⊥BD ，可得S 四边形ABCD ＝12•AC•DP+12•AC•PB ＝12•AC•（DP+PB ）＝12
•AC•BD．
【详解】
观察猜想：结论：AE＝BD．∠APD＝60°．
理由：设AE交CD于点O．
∵△ADC，△ECB都是等边三角形，
∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，∴∠ACE＝∠DCB，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD，∠CAO＝∠ODP，
∵∠AOC＝∠DOP，
∴∠DPO＝∠ACO＝60°，
即∠APD＝60°．
故答案为AE＝BD，60°．
数学思考：结论仍然成立．
理由：设AC交BD于点O．
∵△ADC，△ECB都是等边三角形，
∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，∴∠ACE＝∠DCB
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD，∠PAO＝∠ODC，
∵∠AOP＝∠DOC，
∴∠APO＝∠DCO＝60°，
即∠APD＝60°．
拓展应用：
设AC 交BE 于点O ．
∵△ADE ，△ECB 都是等腰直角三角形，
∴ED ＝EA ，∠AED ＝∠BEC ＝90°，CE ＝EB ，
∴∠AEC ＝∠DEB
∴△AEC ≌△DEB （SAS ），
∴AC ＝BD ＝10，∠PBO ＝∠OCE ，
∵∠BOP ＝∠EOC ，
∴∠BPO ＝∠CEO ＝90°，
∴AC ⊥BD ，
∴S 四边形ABCD ＝12•AC•DP+12•AC•PB ＝12•AC•（DP+PB ）＝12•AC•BD ＝50．
故答案为50．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
6．已知，点C 是线段AB 所在平面内任意一点，分别以AC 、BC 为边，在AB 同侧作等边ACE ∆和等边BCD ∆，联结AD 、BE 交于点P ．
(1)如图1，当点C 在线段AB 上移动时，线段AD 与BE 的数量关系是:________；
(2)如图2，当点C 在直线AB 外，且120ACB ∠<︒，仍分别以AC 、BC 为边，在AB 同侧作等边ACE ∆和等边BCD ∆，联结AD 、BE 交于点P ．(1)的结论是否还存在？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．此时APE ∠是否随ACB ∠的大小发生变化？若变化，写出变化规律，若不变，请求出APE ∠的度数；
(3)如图3，在(2)的条件下，联结CP ，求证：CP 平分DPE ∠．
【答案】(1) =AD BE ；(2)成立，证明见解析，=60APE ∠︒；(3) 证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）直接写出答案即可．
（2）证明ΔACD ≌ΔECB ，得到∠CEB =∠CAD ，此为解题的关键性结论；借助内角和定理即可解决问题．
（3）过点C 分别作CM ⊥AD 于M ，CN ⊥EB 于N ，由ΔACD ≌ΔECB ，得到CM =CN ，从而得到结论．
【详解】
解：（1）∵△ACE 、△CBD 均为等边三角形，∴AC =EC ，CD =CB ，∠ACE =∠BCD ，∴∠ACD =
∠ECB ；
在△ACD 与△ECB 中，∵AC =EC ，∠ACD =∠ECB ，CD =CB ，∴△ACD ≌△ECB （SAS ），∴AD =BE ，故答案为AD =BE ．
（2）AD =BE 成立，∠APE 不随着∠ACB 的大小发生变化，始终是60°．
证明如下：
∵ΔACE 和ΔBCD 是等边三角形，∴AC =EC ，CD =CB ，∠ACE =∠BCD ，∴∠BCE =∠ACD ， 在ΔACD 和ΔECB 中，∵AC =EC ，∠BCE =∠ACD ，CD =CB ，∴ΔACD ≌ΔECB ，∴AD =BE ． ∵ΔACD ≌ΔECB ，∴∠CAD =∠CEB ，∵∠APB =∠P AE +∠PEA ，∴∠APB =∠CAE +∠CEA =120°，∴∠APE =60°；
（3）过点C 分别作CM ⊥AD 于M ，CN ⊥EB 于N ，∵ΔACD ≌ΔECB ，∴CM =CN ，∴CP 平分∠DPE ．
【点睛】
该题以等边三角形为载体，主要考查了全等三角形的判定及其性质、等边三角形的性质等几何知识点的应用问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．
7．如图，已知△CAD与△CEB都是等边三角形，BD、EA的延长线相交于点F．
（1）求证：△ACE≌△DCB．
（2）求∠F的度数．
（3）若AD⊥BD，请直接写出线段EF与线段BD、DF之间的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）EF＝BD+2DF.
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质得到CB=CE，CD=CA，∠BCE=∠DCA=60°，由全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）设BC与EF相交于G，根据全等三角形的性质得到∠1=∠2，根据三角形的内角和即可得到结论；
（3）根据垂直的定义得到∠ADF=90°，求得∠DAF=30°，根据直角三角形的性质得到
AF=2DF，根据全等三角形的性质得到AE=BD，于是得到结论．
【详解】
（1）∵△CAD与△CEB都是等边三角形，
∴CB＝CE，CD＝CA，∠BCE＝∠DCA＝60°，
∴∠BCD＝∠ECA，
∴△ACE≌△DCB（SAS）；
（2）设BC与EF相交于G，
由（1）可知△ACE≌△DCB，
∴∠1＝∠2，
∵∠1+∠BGF+∠F＝∠2+∠AGC+∠BCE＝180°，
而∠BGF＝∠AGC，
∴∠F＝∠BCE＝60°；
（3）EF＝BD+2DF，理由如下：
∵AD⊥BD，
∴∠ADF＝90°，
∵∠F＝60°，
∴∠DAF＝30°，
∴AF＝2DF，
∵△ACE≌△DCB，
∴AE＝BD，
∴EF＝AE+AF＝BD+2DF．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
8．如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．
（1）求∠CAM的度数；
（2）若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；
（3）当动D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．
【答案】（1）30°；（2）见解析；（3）是定值，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；
（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC AC =，DC EC =，60ACB DCE ∠=∠=︒，由等式的性质就可以BCE ACD ∠=∠，根据SAS 就可以得出ADC BEC ∆≅∆；
（3）分情况讨论：当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，就可以求出结论；当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，可以得出ACD BCE ≅∆∆而有30CBE CAD ∠=∠=︒而得出结论；当点D 在线段MA 的延长线上时，如图3，通过得出ACD BCE ≅∆∆同样可以得出结论．
【详解】
解：（1）ABC ∆是等边三角形，
60BAC ∴∠=︒．
线段AM 为BC 边上的中线，
12
CAM BAC ∴∠=∠， 30CAM ∴∠=︒．
故答案为：30°；
（2）ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，
AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，
ACD DCB DCB BCE ∴∠+∠=∠+∠，
ACD BCE ∠∠∴=．
在ADC ∆和BEC ∆中，
AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ACD BCE SAS ∴∆≅∆；
（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒，
理由如下：
①当点D 在线段AM 上时，如图1，
由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，则30CBE CAD ∠=∠=︒，
又60ABC ∠=︒，
603090CBE ABC ∴∠+∠=︒+︒=︒，
ABC ∆是等边三角形，线段AM 为BC 边上的中线，
AM ∴平分BAC ∠，即11603022
BAM BAC ∠=∠=⨯︒=︒，
903060BOA ∴∠=︒-︒=︒． ②当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，
ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，
AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，
ACB DCB DCB DCE ∴∠+∠=∠+∠，
ACD BCE ∠∠∴=，
在ACD ∆和BCE ∆中，
AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，
30CBE CAD ∴∠=∠=︒，
同理可得：30BAM ∠=︒，
903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．
③当点D 在线段MA 的延长线上时，如图3，
ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，
AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，
60ACD ACE BCE ACE ∴∠+∠=∠+∠=︒，
ACD BCE ∠∠∴=，
在ACD ∆和BCE ∆中，
AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，
CBE CAD ∴∠=∠，
同理可得：30CAM ∠=︒，
150CBE CAD ∴∠=∠=︒，
30CBO ∴∠=︒，30BAM ∠=︒，
903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．
综上，当动点D 在直线AM 上时，AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
9．已知点C 为线段AB 上一点，分别以AC ，BC 为边在线段AB 同侧作△ACD 和△BCE ，且CA ＝CD ，CB ＝CE ， ∠ACD ＝∠BCE ，直线AE 与BD 交于点F ．
（1）如图1，若∠ACD ＝58°，求∠BCE 的度数．
（2）如图2，将图1中△ACD 绕点C 顺时针旋转任意角度（交点F 至少在BD ，AE 中的一条线段上）
①请直接写出∠EFB 与∠ECB 的数量关系；
②若∠ACD ＝α ，试探究∠AFB 与α的数量关系，并予以证明．
（3）如图3，若∠ACD ＝α，连AB ，求∠BAE 一∠ABD 的值．
【答案】（1）58°；（2）①∠EFB =∠ECB ；②∠AFB =180°-α；（3）α
【解析】
【分析】
（1）根据∠BCE =∠ACD 即可得出答案；
（2）①先根据SAS 得出△ACE ≌△DCB ，得出∠CBD =∠AEC ，再根据三角形的内角和定理以及对顶角相等即可得出答案；
②由∠EFB =∠ECB ，∠BCE =∠ACD ＝α，再根据平角的定义得出答案；
（3）延长EA 交BD 于F ，BC 交EF 于M ，得出∠BAE 一∠ABD = ∠BFE ，再根据∠BFE =∠BCE =∠ACD = α即可得出答案；
【详解】
解：（1）∵∠ACD =∠BCE ，∠ACD ＝58°，
∴∠BCE =58°
（2）①∠EFB =∠ECB ，理由如下：
∵∠ACD =∠BCE
∴∠ACD +∠DCE =∠BCE +∠DCE
∴∠ACE =∠DCB
在△ACE 和△DCB 中
AC DC ACE DCB CE CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ACE≌△DCB
∴∠CBD=∠AEC，
设BF交CE于点O
∵∠COB=∠FOE，
∴∠EFB=∠ECB
②∠AFB =180°-α，理由如下：
∵∠EFB=∠ECB，∠BCE=∠ACD＝α，∴∠EFB=∠ECB=∠ACD=α
∴∠AFB=180°-∠EFB =180°-α.
（3）如图3，延长EA交BD于F，
则∠BAE-∠ABD = ∠BFE
又由（1）知△ACE≌△DCB
∴∠BCD=∠ECA∠DBC=∠AEC
设BC交EF于M，此时∠BMF=∠EMC ∴∠BFE=∠BCE
∵∠BCD=∠ECA
∴∠BCD+∠BCA =∠ECA+∠BCA
∴∠BCE=∠ACD = α
∴∠BFE=∠BCE=∠ACD = α
∴∠BAE-∠ABD的值为α.
【点睛】
本题几何变换综合题，全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△ACE ≌△DCB ．
10．如图1，点M 为锐角三角形ABC 内任意一点，连接,,AM BM CM ．以AB 为一边向外作等边三角形ABE △，将BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到BN ，连接EN ．
（1）求证：AMB ENB △≌△；
（2）若AM BM CM ++的值最小，则称点M 为ABC 的费马点．若点M 为ABC 的费马点，求此时,,AMB BMC CMA ∠∠∠的度数；
（3）受以上启发，你能想出作锐角三角形的费马点的一个方法吗？请利用图2画出草图，并说明作法以及理由．
【答案】（1）见解析；（2）120BMC ∠=︒：120AMB ∠=︒；120AMC ∠=︒；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）结合等边三角形的性质，根据SAS 可证△AMB ≌△ENB
（2）连接MN ，由（1）的结论证明ΔBMN 为等边三角形，所以BM =MN ，即
AM+BM+CM =EN+MN+CM ，所以当E 、N 、M 、C 四点共线时，AM+BM+CM 的值最小，从而可求此时∠AMB 、∠BMC 、ΔCMA 的度数；
（3）根据（2）中费马点的定义，又△ABC 的费马点在线段EC 上，同理也在线段BF 上，因此线段EC 和BF 的交点即为△ABC 的费马点．
【详解】
解：（1）证明：∵ABE △为等边三角形，
∴,60AB BE ABE =∠=︒．
而60MBN ∠=︒，
∴ABM EBN ∠=∠．
在AMB 与ENB △中，
AB BE ABM EBN BM BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴(SAS)AMB ENB ≌．
（2）连接MN ．由（1）知，AM EN =．
∵60,MBN BM BN ∠=︒=，
∴BMN △为等边三角形．
∴BM MN =．
∴AM BM CM EN MN CM ++=++．
∴当E 、N 、M 、C 四点共线时，AM BM CM ++的值最小．
此时，180120BMC NMB ∠=︒-∠=︒：180120AMB ENB BNM ∠=∠=︒-∠=︒；
360120AMC BMC AMB ∠=-∠-∠=︒︒．
（3）如图2，分别以ABC 的AB ，AC 为一边向外作等边ABE △和等边ACF ，连接,CE BF ，
相交于M ，则点M 即为ABC 的费马点，由（2）知，ABC 的费马点在线段EC 上，同理也在线段BF 上．因此线段EC 与BF 的交点即为ABC 的费马点．
（方法不唯一，正确即可）
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质,掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
11．已知：△ABC 与△BDE 都是等腰三角形．BA ＝BC ，BD ＝BE （AB ＞BD ）且有∠ABC ＝∠DBE ．
（1）如图1，如果A 、B 、D 在一直线上，且∠ABC ＝60°，求证：△BMN 是等边三角形； （2）在第（1）问的情况下，直线AE 和CD 的夹角是 °；
（3）如图2，若A 、B 、D 不在一直线上，但∠ABC ＝60°的条件不变则直线AE 和CD 的夹角是 °；
（4）如图3，若∠ACB ＝60°，直线AE 和CD 的夹角是 °．
【答案】（1）证明见解析；（2）60；（3）60；（4）60；
【解析】
【分析】
（1）根据题意，得∠ABC ＝∠DBE ＝60°，从而得ABE DBC ∠=∠；通过证明ABE CBD ≌，得BAE BCD ∠=∠；通过证明BAM BCN ≌，得BM BN =，根据等边三角形的性质分析，即可完成证明；
（2）结合题意，通过证明ABC 为等边三角形，得60BAC BCA ∠=∠=︒；结合（1）的结论，根据三角形外角性质，推导得120AOD ∠=︒，从而完成求解；
（3）同理，通过证明ABC 为等边三角形，得60BAC BCA ∠=∠=︒；通过证明ABE CBD ≌，得BAE BCD ∠=∠；根据三角形外角性质，推导得120AOD ∠=︒，从而完成求解； （4）根据题意，通过证明ABC 为等边三角形，推导得ABE CBD ∠=∠，通过证明ABE CBD ≌，得BAE BCD ∠=∠，结合三角形外角的性质计算，即可得到答案．
【详解】
（1）∵∠ABC ＝∠DBE ＝60°
∴18060MBN ABC DBE ∠=︒-∠-∠=︒，ABE ABC MBN ∠=∠+∠，DBC DBE MBN ∠=∠+∠ ∴ABE DBC ∠=∠
∵BA ＝BC ，BD ＝BE
ABE △和CBD 中
BA BC ABE DBC BE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ABE CBD ≌
∴BAE BCD ∠=∠ BAM 和BCN △中
60BAE BCD AB BC ABC MBN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩
∴BAM BCN ≌
∴BM BN =
∴BMN △为等边三角形；
（2）∵∠ABC ＝∠DBE ＝60°
, BA ＝BC ∴ABC 为等边三角形；
∴60BAC BCA ∠=∠=︒
根据题意，AE 和CD 相交于点O
∵BAE BCD ∠=∠
∴AOD OAC ACO OAC BCA BCD OAC BCA BAE ∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠
∵OAC BAE BAC ∠+∠=∠
∴120AOD BAC BCA ∠=∠+∠=︒
∴18060AOC AOD ∠=︒-∠=︒，即直线AE 和CD 的夹角是60︒
故答案为：60；
（3）∵∠ABC ＝∠DBE ＝60°
, BA ＝BC ∴ABC 为等边三角形；
∴60BAC BCA ∠=∠=︒
∵ABE ABC MBN ∠=∠+∠，DBC DBE MBN ∠=∠+∠，∠ABC ＝∠DBE ＝60°
∴ABE DBC ∠=∠
∵BA ＝BC ，BD ＝BE
ABE △和CBD 中
BA BC ABE DBC BE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ABE CBD ≌
∴BAE BCD ∠=∠
如图，延长AE ，交CD 于点O
∴AOD OAC ACO OAC BCA BCD OAC BCA BAE ∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠
∵OAC BAE BAC ∠+∠=∠
∴120AOD BAC BCA ∠=∠+∠=︒
∴18060AOC AOD ∠=︒-∠=︒，即直线AE 和CD 的夹角是60︒
故答案为：60；
（4）∵BA ＝BC ，
∴ACB CAB ∠=∠
∵∠ACB ＝60°
∴60ACB CAB ∠=∠=︒
∴ABC 为等边三角形
∵BD ＝BE ，∠ABC ＝∠DBE
∴60DBE ∠=︒
∵ABE ABC CBE ∠=∠-∠，CBD DBE CBE ∠=∠-∠
∴ABE CBD ∠=∠
ABE △和CBD 中
BA BC ABE DBC BE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ABE CBD ≌
∴BAE BCD ∠=∠
分别延长CD 、AE ，相较于点O ，如下图：
∴AOF OAC ACO OAC BCA BCD OAC BCA BAE ∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠
∵OAC BAE BAC ∠+∠=∠
∴120AOF BAC BCA ∠=∠+∠=︒
∴18060AOC AOF ∠=︒-∠=︒，即直线AE 和CD 的夹角是60︒
故答案为：60．
【点睛】
本题考查了等腰三角形、等边三角形、全等三角形、补角、三角形外角的知识；解题的关键是熟练掌握等边三角形、全等三角形、三角形外角的性质，从而完成求解。