单自由度及多自由度系统模态分析.
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• 频响函数矩阵为
[ H ()] ([ K ] 2 [M ] j[C])1
多自由度系统的振动 ——粘性阻尼系统
• 多自由度粘性阻尼系统的运动方程：
[ M ]{x} [C ]{x} [ K ]{x} { f (t )}
• 进行坐标变换，设物理坐标系中矢量x在模态坐标系中的坐标为 qi , i 1, 2, , n ，则
{x} qr { r }
r 1
n
• 代入运动方程得
n n n [ M ] qr {r } [C ] qr {r } [ K ] qr {r } { f (t )} r 1 r 1 r 1
T
多自由度系统的振动 ——粘性阻尼系统
• 多自由度粘性阻尼系统的运动方程：
[ M ]{x} [C ]{x} [ K ]{x} { f (t )}
• 其中
[C ] [ M ] [ K ]
• 设系统受简谐激励，则
([ K ] 2 [M ] j[C]){X } {F}
R
H I ( )
1 2 k (1 2 )2 4 2 2
实频特性
虚频特性
单自由度系统频响函数曲线（3）
1 1 2 H ( ) k (1 2 )2 4 2 2
R
H I ( )
1 2 k (1 2 )2 4 2 2
jk0 t x ( t ) X ( )e k k T X ( ) 1 2 x(t )e jk0t dt T k T 2
系统在周期激励下的频响函数定义为在各倍频点上稳态响应幅值 与激励的幅值之比
X (k ) H (k ) F (k )
jt • 稳态速度响应： x j Xe
• 稳态加速度响应： x ( j)2 Xe jt 2 Xe jt
单自由度系统频响函数
• 单自由度系统振动微分方程：
( 2 m jc k ) X F
• 位移频响函数为稳态位移响应与激励幅值之比： X 1 H ( ) F k m 2 jc • 速度频响函数： V j X j HV ( ) F F k m 2 jc • 加速度频响函数：
• 对于任一 ，根据上式可计算得到对应的一对 HR() 、 HI()值，从而得到复平面上的一条矢量。 从0变到∞， 矢端将画出变化过程的轨迹，该轨迹近似为一个圆。（ Nyquist图）
1 1 [ H R ( )]2 H I ( ) 4 k 4 k
单自由度及多自由度系统 模态分析
结构振动分析基本理论
• 一般的振动问题
激励 振动结构 响应
输入
系统
输出
1. 已知激励和振动结构，求系统响应（正问题）
2. 已知激励和响应，求系统参数——系统识别（逆问题）
3. 已知系统和响应，求激励——荷载识别
结构振动分析基本理论
• 振动结构模型： 物理参数 识别
r 1 r 1
n
n
X1 X n n {r }T {r } 2 { X } Qr {r } 2 {F } r 1 mr j cr kr r 1 Xn
多自由度系统频响函数
n { r }{ r }T {F } {X } 2 r 1 mr j cr k r r 1 n
空间模型 （质量、阻尼、 刚度）
模态参数 识别
模态模型 （固有频率， 模态振型）
非参数 识别
响应模型 （频率响应、 脉冲响应）
• 空间模型——用于描述结构的物理特性，即质量、刚度和阻尼特性。 • 模态模型——一系列固有频率及相应的模态阻尼系数和模态振型。 • 响应模型——一系列响应函数组成
结构振动分析基本理论
单自由度系统脉冲响应函数
• 单自由度系统，承受单位脉冲荷载(t)时，响应为h(t)——单位脉 冲响应函数（脉冲响应函数）
mx cx kx (t )
单自由度系统脉冲响应函数
mx cx kx (t )
• 该式的解为
1 t e sin D t , t 0 x(t ) h(t ) mD 0, t 0
线性系统的输入与输出关系
• 根据傅里叶变换时域卷积性质，在时域的卷积在频域应为乘积
x(t ) h(t ) * f (t )
单位力作用下 的系统时域与 频域的响应
X ( ) H ( ) F ( )
不同激励下频响函数表达式
• 简谐激励下，频响函数定义为系统的稳态响应幅值与激励的幅值 之比
• 模态分析：以振动理论为基础，以模态参数为目标的分析方法。 1. 理论模态分析 2. 实验模态分析（EMA）
空间模型 （质量、阻尼、 刚度） 模态模型 （固有频率， 模态振型） 响应模型 （频率响应、 脉冲响应）
• 在理论模态分析中，首先从空间模型开始最终到响应模型。 • 在实验模态分析中，首先从响应特性开始，最终推求空间模型。
线性系统的输入与输出关系
• 频响函数H()是h(t)的傅里叶变换。
x(t ) h(t ) * f (t ) h(t ) f ( )d
f (t )h( )d
jt
• 若系统的激励为 f (t ) Fe jt
x(t )
f (t )h( )d Fe
A jV 2 H A ( ) F F k m 2 jc
频 响 函 数
单自由度系统频响函数
• 频响函数的倒数称为阻抗
F • 位移阻抗： Z () k m 2 jc X
F k • 速度阻抗： ZV ( ) V c j m j
F k c • 加速度阻抗： Z A ( ) m 2 A j
X H ( )F
• 周期激励f(t)（周期为T）作用下，稳态位移响应为周期T的函数 x(t)，都可写为傅里叶级数的形式
jk0t f ( t ) F ( )e k k T 1 jk0 t F ( ) 2 f ( t )e dt T k T 2
• 解得n个线性无关非零矢量i的比例解，通常选择一定方法进行归 一化，称为模态振型（特征方程的特征向量）
[] [{1},{2 }, {n }]
• 模态振型具有正交性
i j 0, {i } [ M ]{ j } mi , i j i j 0, T {i } [ K ]{ j } ki , i j
ms qs cs qs ks qs {s }T { f (t )}
• • • • • ms——第s阶模态质量 ks——第s阶模态刚度 cs——第s阶模态阻尼系数 cs ms ks qs——第s阶模态坐标 jt 令 { f (t )} {F}e jt ，则 qs Qs e
j ( t )
h( )d Fe
h( )e- j d
• 已知此时系统稳态输出为 x(t ) Xe jt H () Fe jt • 因此 H ( ) h( )e- j d
h(t ) H ( )
• 脉冲响应函数与频响函数一样是反映振动系统动态特性的量，频 响函数在频域内描述系统固有特性，而脉冲响应函数在时域内描 述系统固有特性。脉冲响应函数与频响函数是系统识别的基础。
• 该方程有非零解的充要条件是其系数矩阵行列式为零，即
|[ K ] [ 2 ][ M ]| 0
系统特征方程
• 解得的n个互异正根0i，称为无阻尼系统的固有频率（特征方 程的特征值）
多自由度系统的振动 ——无阻尼系统
• 将0i代入：
([ K ] [ 2 ][M ])[] {0}
{ r }{ r }T {F } 2 kr 1 j 2 r r r
• 令 r
r
{X }
r 1
n
kr 1 2 j 2 r
{r }{r }T {F}
• 令 Yr
2 2
Ω= ∞
ω=0， R=1/k
半功率点
ω= Ω
多自由度系统的振动 ——无阻尼系统
• 多自由度无阻尼系统的运动方程：
[M ]{x} [ K ]{x} { f (t )}
• 1、自由振动
[ M ]{x} [ K ]{x} {0}
jt • 设特解 x e 代入上式得
([ K ] [ 2 ][M ])[] {0}
H ( )
Gxf ( ) G ff ( )
单自由度系统频响函数曲线（1） ——粘性阻尼
• 由频响函数表达式
H ( ) X 1 1 1 F k m 2 jc k 1 2 2 j
• 可得频响函数复指数形式 1 1 H ( ) ei , k (1 2 )2 4 2 2
多自由度系统的振动 ——粘性阻尼系统
( 2 ms jcs ks )Qs e jt {s }T {F}e jt T {s } {F} Qs 2 ms jcs ks
• 不考虑起始条件，可得位移响应：
{x} { X }e
jt
qr {r } Qr {r }e jt
(k 1,2,
, )
不同激励下频响函数表达式
• 瞬态激励f(t)下响应为x(t) ，一般可做傅里叶变换
F ( ) F[ f (t )]
X ( ) F[ x(t )]
系统在瞬态激励下的频响函数定义为在响应与激励的傅里叶变换 之比
X ( ) H ( ) F ( )
• 随机振动中，无论是激励和响应信号都不能进行傅里叶变换，只 能用概率统计方法来处理。频响函数定义为输出与输入的互功率 谱与输入的自功率谱之比
arctan
2 1 2
幅频特性
• 式中 称为频率比
相频特性
共振幅 值点数曲线（2）
• 频响函数表示成复数形式：
H () H R () jH I ()
• 其中
1 1 2 H ( ) k (1 2 )2 4 2 2
多自由度系统的振动 ——粘性阻尼系统
n n n [ M ] qr {r } [C ] qr {r } [ K ] qr {r } { f (t )} r 1 r 1 r 1
• 左乘{s}T，考虑到模态振型的正交性，得
• 式中， D 1 2
• 若系统受到任意函数f(t)激励，则响应为（Duhamel积分）：
x(t ) h(t ) * f (t ) h(t ) f ( )d
单自由度系统频响函数
• 单自由度系统振动微分方程：
mx cx kx f (t )
• 设系统作用简谐激励 f (t ) Fe jt • 稳态位移响应： x Xe jt
选取一点作单点激振在所有测量点依次测量响应或选取一点作测量响应在所有测量点轮流测量激振选择适当方式激励试验结构通过拾振系统测量记录激励和响应的时间历程用时域法往往只需记录响应的时间历程将记录到的激励和响应时域信号送入ad模数转换器将连续的模拟信号转换为离散的数字信号采用计算机记录时域信号时将此步并入2如果采用频域法进行参数识别需将上述时域数字信号进行fft获得系统的离散频响函数根据离散频响函数或时间历程信号进行参数识别估算出系统的模态参数约束支承方式
1 kr 1 2 j 2 r
• 频响函数
{X } n [H ] Yr {r }{r }T {F } r 1
N N
ir jr H ij ( ) Yrir jr i=j 时 ， 称 为 原 点 2 r 1 r 1 kr mr j cr 频响函数
[ H ()] ([ K ] 2 [M ] j[C])1
多自由度系统的振动 ——粘性阻尼系统
• 多自由度粘性阻尼系统的运动方程：
[ M ]{x} [C ]{x} [ K ]{x} { f (t )}
• 进行坐标变换，设物理坐标系中矢量x在模态坐标系中的坐标为 qi , i 1, 2, , n ，则
{x} qr { r }
r 1
n
• 代入运动方程得
n n n [ M ] qr {r } [C ] qr {r } [ K ] qr {r } { f (t )} r 1 r 1 r 1
T
多自由度系统的振动 ——粘性阻尼系统
• 多自由度粘性阻尼系统的运动方程：
[ M ]{x} [C ]{x} [ K ]{x} { f (t )}
• 其中
[C ] [ M ] [ K ]
• 设系统受简谐激励，则
([ K ] 2 [M ] j[C]){X } {F}
R
H I ( )
1 2 k (1 2 )2 4 2 2
实频特性
虚频特性
单自由度系统频响函数曲线（3）
1 1 2 H ( ) k (1 2 )2 4 2 2
R
H I ( )
1 2 k (1 2 )2 4 2 2
jk0 t x ( t ) X ( )e k k T X ( ) 1 2 x(t )e jk0t dt T k T 2
系统在周期激励下的频响函数定义为在各倍频点上稳态响应幅值 与激励的幅值之比
X (k ) H (k ) F (k )
jt • 稳态速度响应： x j Xe
• 稳态加速度响应： x ( j)2 Xe jt 2 Xe jt
单自由度系统频响函数
• 单自由度系统振动微分方程：
( 2 m jc k ) X F
• 位移频响函数为稳态位移响应与激励幅值之比： X 1 H ( ) F k m 2 jc • 速度频响函数： V j X j HV ( ) F F k m 2 jc • 加速度频响函数：
• 对于任一 ，根据上式可计算得到对应的一对 HR() 、 HI()值，从而得到复平面上的一条矢量。 从0变到∞， 矢端将画出变化过程的轨迹，该轨迹近似为一个圆。（ Nyquist图）
1 1 [ H R ( )]2 H I ( ) 4 k 4 k
单自由度及多自由度系统 模态分析
结构振动分析基本理论
• 一般的振动问题
激励 振动结构 响应
输入
系统
输出
1. 已知激励和振动结构，求系统响应（正问题）
2. 已知激励和响应，求系统参数——系统识别（逆问题）
3. 已知系统和响应，求激励——荷载识别
结构振动分析基本理论
• 振动结构模型： 物理参数 识别
r 1 r 1
n
n
X1 X n n {r }T {r } 2 { X } Qr {r } 2 {F } r 1 mr j cr kr r 1 Xn
多自由度系统频响函数
n { r }{ r }T {F } {X } 2 r 1 mr j cr k r r 1 n
空间模型 （质量、阻尼、 刚度）
模态参数 识别
模态模型 （固有频率， 模态振型）
非参数 识别
响应模型 （频率响应、 脉冲响应）
• 空间模型——用于描述结构的物理特性，即质量、刚度和阻尼特性。 • 模态模型——一系列固有频率及相应的模态阻尼系数和模态振型。 • 响应模型——一系列响应函数组成
结构振动分析基本理论
单自由度系统脉冲响应函数
• 单自由度系统，承受单位脉冲荷载(t)时，响应为h(t)——单位脉 冲响应函数（脉冲响应函数）
mx cx kx (t )
单自由度系统脉冲响应函数
mx cx kx (t )
• 该式的解为
1 t e sin D t , t 0 x(t ) h(t ) mD 0, t 0
线性系统的输入与输出关系
• 根据傅里叶变换时域卷积性质，在时域的卷积在频域应为乘积
x(t ) h(t ) * f (t )
单位力作用下 的系统时域与 频域的响应
X ( ) H ( ) F ( )
不同激励下频响函数表达式
• 简谐激励下，频响函数定义为系统的稳态响应幅值与激励的幅值 之比
• 模态分析：以振动理论为基础，以模态参数为目标的分析方法。 1. 理论模态分析 2. 实验模态分析（EMA）
空间模型 （质量、阻尼、 刚度） 模态模型 （固有频率， 模态振型） 响应模型 （频率响应、 脉冲响应）
• 在理论模态分析中，首先从空间模型开始最终到响应模型。 • 在实验模态分析中，首先从响应特性开始，最终推求空间模型。
线性系统的输入与输出关系
• 频响函数H()是h(t)的傅里叶变换。
x(t ) h(t ) * f (t ) h(t ) f ( )d
f (t )h( )d
jt
• 若系统的激励为 f (t ) Fe jt
x(t )
f (t )h( )d Fe
A jV 2 H A ( ) F F k m 2 jc
频 响 函 数
单自由度系统频响函数
• 频响函数的倒数称为阻抗
F • 位移阻抗： Z () k m 2 jc X
F k • 速度阻抗： ZV ( ) V c j m j
F k c • 加速度阻抗： Z A ( ) m 2 A j
X H ( )F
• 周期激励f(t)（周期为T）作用下，稳态位移响应为周期T的函数 x(t)，都可写为傅里叶级数的形式
jk0t f ( t ) F ( )e k k T 1 jk0 t F ( ) 2 f ( t )e dt T k T 2
• 解得n个线性无关非零矢量i的比例解，通常选择一定方法进行归 一化，称为模态振型（特征方程的特征向量）
[] [{1},{2 }, {n }]
• 模态振型具有正交性
i j 0, {i } [ M ]{ j } mi , i j i j 0, T {i } [ K ]{ j } ki , i j
ms qs cs qs ks qs {s }T { f (t )}
• • • • • ms——第s阶模态质量 ks——第s阶模态刚度 cs——第s阶模态阻尼系数 cs ms ks qs——第s阶模态坐标 jt 令 { f (t )} {F}e jt ，则 qs Qs e
j ( t )
h( )d Fe
h( )e- j d
• 已知此时系统稳态输出为 x(t ) Xe jt H () Fe jt • 因此 H ( ) h( )e- j d
h(t ) H ( )
• 脉冲响应函数与频响函数一样是反映振动系统动态特性的量，频 响函数在频域内描述系统固有特性，而脉冲响应函数在时域内描 述系统固有特性。脉冲响应函数与频响函数是系统识别的基础。
• 该方程有非零解的充要条件是其系数矩阵行列式为零，即
|[ K ] [ 2 ][ M ]| 0
系统特征方程
• 解得的n个互异正根0i，称为无阻尼系统的固有频率（特征方 程的特征值）
多自由度系统的振动 ——无阻尼系统
• 将0i代入：
([ K ] [ 2 ][M ])[] {0}
{ r }{ r }T {F } 2 kr 1 j 2 r r r
• 令 r
r
{X }
r 1
n
kr 1 2 j 2 r
{r }{r }T {F}
• 令 Yr
2 2
Ω= ∞
ω=0， R=1/k
半功率点
ω= Ω
多自由度系统的振动 ——无阻尼系统
• 多自由度无阻尼系统的运动方程：
[M ]{x} [ K ]{x} { f (t )}
• 1、自由振动
[ M ]{x} [ K ]{x} {0}
jt • 设特解 x e 代入上式得
([ K ] [ 2 ][M ])[] {0}
H ( )
Gxf ( ) G ff ( )
单自由度系统频响函数曲线（1） ——粘性阻尼
• 由频响函数表达式
H ( ) X 1 1 1 F k m 2 jc k 1 2 2 j
• 可得频响函数复指数形式 1 1 H ( ) ei , k (1 2 )2 4 2 2
多自由度系统的振动 ——粘性阻尼系统
( 2 ms jcs ks )Qs e jt {s }T {F}e jt T {s } {F} Qs 2 ms jcs ks
• 不考虑起始条件，可得位移响应：
{x} { X }e
jt
qr {r } Qr {r }e jt
(k 1,2,
, )
不同激励下频响函数表达式
• 瞬态激励f(t)下响应为x(t) ，一般可做傅里叶变换
F ( ) F[ f (t )]
X ( ) F[ x(t )]
系统在瞬态激励下的频响函数定义为在响应与激励的傅里叶变换 之比
X ( ) H ( ) F ( )
• 随机振动中，无论是激励和响应信号都不能进行傅里叶变换，只 能用概率统计方法来处理。频响函数定义为输出与输入的互功率 谱与输入的自功率谱之比
arctan
2 1 2
幅频特性
• 式中 称为频率比
相频特性
共振幅 值点数曲线（2）
• 频响函数表示成复数形式：
H () H R () jH I ()
• 其中
1 1 2 H ( ) k (1 2 )2 4 2 2
多自由度系统的振动 ——粘性阻尼系统
n n n [ M ] qr {r } [C ] qr {r } [ K ] qr {r } { f (t )} r 1 r 1 r 1
• 左乘{s}T，考虑到模态振型的正交性，得
• 式中， D 1 2
• 若系统受到任意函数f(t)激励，则响应为（Duhamel积分）：
x(t ) h(t ) * f (t ) h(t ) f ( )d
单自由度系统频响函数
• 单自由度系统振动微分方程：
mx cx kx f (t )
• 设系统作用简谐激励 f (t ) Fe jt • 稳态位移响应： x Xe jt
选取一点作单点激振在所有测量点依次测量响应或选取一点作测量响应在所有测量点轮流测量激振选择适当方式激励试验结构通过拾振系统测量记录激励和响应的时间历程用时域法往往只需记录响应的时间历程将记录到的激励和响应时域信号送入ad模数转换器将连续的模拟信号转换为离散的数字信号采用计算机记录时域信号时将此步并入2如果采用频域法进行参数识别需将上述时域数字信号进行fft获得系统的离散频响函数根据离散频响函数或时间历程信号进行参数识别估算出系统的模态参数约束支承方式
1 kr 1 2 j 2 r
• 频响函数
{X } n [H ] Yr {r }{r }T {F } r 1
N N
ir jr H ij ( ) Yrir jr i=j 时 ， 称 为 原 点 2 r 1 r 1 kr mr j cr 频响函数