(整理)平面向量基本定理

【课题】平面向量基本定理【教学目标】
1.了解平面向量基本定理；
2.理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；
3.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.
【教学重点】平面向量基本定理
【教学难点】平面向量基本定理的理解与应用 【教学过程】
一.复习引入
⒈实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa
（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a
方向相反；λ=0时λa
=0 2．运算定律
结合律：λ(μa )=(λμ)a
；
分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa
+λb
3.向量共线定理 向量b 与非零向量a
共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa
.
4.由火箭升空和小练习:已知向量1e ，2e ,求作向量 2.51e +32e 引入 二.新课讲解
1．平面向量基本定理：
如果1e r ，2e r
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a r ，有且只有一对实数1 ，2 ，使1122a e e r
．其中我们把不共线的向量1e r ，2e r
叫做表示这一平面所有向量的一组基底。

注：①1e r ，2e r
均非零向量；
②1e r ，2e r
不唯一（事先给定）；
③1 ，2 唯一；
④20 时，a r 与1e r 共线；10 时，a r 与2e r
共线；120 时，
0a r r ．
⑤一个平面向量用一组基底12,e e u r u u r 表示成1122a e e r u r u u r
的形式,称它为向量a r 的分解.当12,e e u r u u r
所在直线互相垂直时这种分解称为a r 的正交分解.
2．例题分析： 例1.书69P 例1
变式练习:
1.已知OADB Y 的对角线交于点C,且11,33
BM BC CN CD u u u u r u u u r u u u r u u u r
.如果
,OA a OB b u u u r r u u u r r ,试用,a b r r
表示
,OM ON u u u u r u u u r .
2.已知ABCD Y 中,M,N 分别是DC,BC 的
中点且
,AM c AN d u u u u r r u u u r u r
用,c d r u r 表示,AB AD u u u r u u u r .
例2. 书69P 例3. 变式练习:
1.如果向量12e e u r u u r 与12e e u r u u r
共线,求 .
D B O
A
C M
N
B
N
2.如果1223,a e e r u r u u r 1223,b e e r u r u u r 其中12,e e u r u u r 为基底,向量1229,c e e r u r u u r
问是否
存在这样的实数 和 ,使d a b u r r r 与c r
共线?
例3. 书69P 例2.
【课堂小结】
1.熟练掌握平面向量基本定理；
2．会应用平面向量基本定理.充分利用向量的加法、减法及实数与向量的积的几何表示。

【课后作业】
【课题】平面向量的坐标运算 【教学目标】
1．理解向量的坐标表示法,掌握平面向量与一对有序实数一一对应关系；
2．正确地用坐标表示向量，对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的关系来用坐标表示；
3．掌握两向量的和、差,实数与向量积的坐标表示法。

【教学重点】平面向量的坐标运算
【教学难点】向量的坐标表示的理解及运算的准确性 【教学过程】
一.复习：
1．平面向量的基本定理：1212a e e r r r ；
2．在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数(,)x y 表示，那么，每一个向
量可否也用一对实数来表示？ 二.新课讲解：
1．向量的坐标表示的定义：
分别选取与x 轴、y 轴方向相同的单位向量i r ，j r 作为基底，对于任一向量a r
，
a xi y j r r r ，（,x y R ），实数对(,)x y 叫向量a r 的坐标，记作(,)a x y r
．
其中x 叫向量a r 在x 轴上的坐标，y 叫向量a r
在y 轴上的坐标。

说明：（1）对于a r
，有且仅有一对实数(,)x y 与之对应；
（2）(1,0)i r ，(0,1)j r ，0(0,0) r ； （3）从原点引出的向量OA u u u r
的坐标(,)x y 就是点A 的坐标。

2.(1)如11(,)a x y r ，22(,)b x y r ,则a b r r 等价于1212
x x y y
. (2)已知向量AB u u u r
，且点11(,)A x y ，22(,)B x y ，
则2211(,)(,)AB OB OA x y x y u u u r u u u r u u u r
2121(,)x x y y 3.坐标运算:已知11(,)a x y r ，22(,)b x y r
(1) 1212,a b x x y y r r
y x O (,)A x y j r
i r
a r
(2)1212(,)a b x x y y r r
(3)12(,)a x x r
例1.已知平行四边形ABCD 的三个顶点,,A B C 的坐标分别为(2,1) 、(1,3) 、(3,4)，求顶点D 的坐标。

变式练习:
1.已知(1,2),(2,1),(3,2),(2,3)A B C D ,以,AB AC u u u r u u u r 为一组基底来表示向量
AD BD CD u u u r u u u r u u u r
.
2.设向量a =(1,－3)，b =(－2,4)，c =(－1,－2)，若表示向量4a 、4b －2c 、2(a －c )、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( )
3.设点P 在平面上做匀速直线运动,速度向量(4,3)v r
,设起始P(-10,10),则5
秒钟后点P 的坐标为( ). 例2.书72P 例4.
变式练习:
设(2,3),(5,4),(7,10)A B C 满足AP AB AC u u u r u u u r u u u r
(1) 为何值时,点P 在直线y x 上? (2)设点P 在第三象限,求 的范围.
【课堂小结】
1．正确理解平面向量的坐标意义； 2．掌握平面向量的坐标运算；
3．能用平面向量的坐标及其运算解决一些实际问题
【课后作业】
【课题】向量平行的坐标表示
【教学目标】
1．掌握两向量平行时坐标表示的充要条件；
2．能利用两向量平行的坐标表示解决有关问题。

【教学重点】
平面向量的坐标运算
【教学难点】
利用向量平行的坐标表示解题
【教学过程】
一.复习
1.平面向量的坐标运算
2.向量a r 与非零向量b r 平行的充要条件是：(,0)a b R b r r r r .
二.新课
向量平行的坐标表示：
设11(,)a x y r ，22(,)b x y r
，（0b r r ），且//a b r r ， 则(,0)a b R b r r r r
，∴112222(,)(,)(,)x y x y x y .
∴1212
x x y y ，∴12210x y x y .
归纳：向量平行（共线）的充要条件的两种表达形式：
①//a b r r (0)b r r (,0)a b R b r r r r ； ②//a b r r (0)b r r 且设11(,)a x y r ，22(,)b x y
r
12210
x y x y （1212,,,x x y y R ）
例1.已知(4,2)a r ，(6,)b y r
，且//a b r r ，求y .
变式练习:
1.已知(3,4)a r ,(sin ,cos )b r
且//a b r r ,求tan .
2.已知(1,0)a r ,(2,1)b r
,当实数k 为何值时,向量ka b r r 与3a b r r 平行?并确
定它们是同向还是反向.
例2.已知(1,1)A ，(1,3)B ，(2,5)C ，求证A 、B 、C 三点共线. 变式练习:
1.如三点A(1,2),B(2,4),C(3,m)共线,求m.
2.如果(,12)OA k u u u r ,(4,5)OB u u u r ,(,10)OC k u u u r
,且A,B,C 三点共线,求k..
3.已知A(-1,6),B(3,0),在直线AB 上求一点P,使1
.3
AP AB
4.已知A(1,0),B(4,3),C(2,4),D(0,2)
(1)求AC 和BD 交点的坐标.(并据此法推导三角形重心的坐标公式) (2)求证四边形ABCD 是梯形.
例 3.已知O 是坐标原点,(3,1),(1,3)A B ,点C 满足OC OA OB u u u r u u u r u u u r
,其中
,,1R ,求点C 的轨迹方程.
【课堂小结】
1.熟悉平面向量共线充要条件的两种表达形式；
2会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行； 3．明白判断两直线平行与两向量平行的异同。

【课后作业】
【课题】平面向量的数量积 【教学目标】
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义，
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，
3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.
【教学重点】
平面向量的数量积定义
【教学难点】
平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
【教学过程】
一.复习引入：
1．向量共线定理 2．平面向量基本定理 3．平面向量的坐标表示 4．平面向量的坐标运算
5．a ∥b (b
0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0
6. 物理课中，物体所做的功的计算方法：
||||cos W F s u r r （其中 是F u r 与s r
二.新课讲解： 1．向量的夹角： 已知两个向量a r 和b r （如图2），作OA a u u u r r ，OB u u u r
AOB （0180 o o
）叫做向量a r 与b r 当0 o 时，a r 与b r 同向； 当180 o 时，a r 与b r 反向； 当90 o 时，a r 与b r 的夹角是90o
，我们说a r 与b r 垂直，记作a r b r ．
2．向量数量积的定义：
已知两个非零向量a r 和b r ，它们的夹角为 ，则数量||||cos a b r r
叫做a r 与b r 的数量积（或内积），记作a b r r ，即||||cos a b a b r r r r ．
说明：①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关
②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量；实数与向量的积是一个向量；
③规定，零向量与任一向量的数量积是0． 3.数量积的性质：
设a r 、b r 都是非零向量， 是a r 与b r
的夹角，则
①cos ||||
a b
a b r r r r ；
②当a r 与b r 同向时，||||a b a b r r r r ；当a r 与b r 反向时，||||a b a b r r r r ；
特别地：2||a a a r r r 或||a r
③||||||a b a b r r r r
； ④a b r r 0a b r r
； 若e r 是与b r
方向相同的单位向量，则 ⑤||cos e a a e a r r r r r
．
4.数量积的运算律
已知a ，b ，c 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律： ①a ·b ＝b ·a (交换律) ②(λa )·b ＝λ (a ·b )＝a ·(λb ) (数乘结合律) ③(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律) 说明：(1)一般地，(a ·b )c ≠a (b ·c ) (2)a ·c ＝b ·c ，c ≠0 a ＝b
(3)有如下常用性质：a 2＝｜a ｜2， (a ＋b )·(c ＋d )＝a ·c ＋a ·d ＋b ·c ＋b ·d
(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2
例1. 已知：｜a ｜＝3，｜b ｜＝6，当①a ∥b ，②a ⊥b ，③a 与b 的夹角是135°时，分别求a ·b .
变式练习:
1.已知｜a ｜＝8，｜b ｜＝10，｜a ＋b ｜＝16，求a 与b 的夹角θ.
2.已知||5,a r ，||4b r ,且,a b r r 的夹角为0
60
(1)求a b r r
(2)当k 为何值时,向量ka b r r 与2a b r r 平行?垂直?
例 2.已知正ABC 的边长为2，设BC a u u u r r ，CA b u u u r r ，AB c u u u r r
，求a b b c c a r r r r r r ．
变式练习:
1. 已知||a r ，||3b r ，||c r
0a b c r r r r ，求a b b c c a r r r r r r
2.已知,a b r r
是两个非零的向量且||a b a b r r r r ,求a r 与a b r r 的夹角.
【课堂小结】
要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的几个重要性质解决相关问题.
【课后作业】
【课题】平面向量数量积的坐标表示 【教学目标】
1.掌握平面向量数量积的坐标表示
2.掌握向量垂直的坐标表示的充要条件
【教学重点】
面向量数量积的坐标表示及由其推出的重要公式
【教学难点】
向量数量积坐标表示在处理有关长度、角度、垂直问题中的应用
【教学过程】
一.复习：
1．两平面向量垂直的充要条件； 2．两向量共线的坐标表示；
3．x 轴上单位向量i r ，y 轴上单位向量j r ，则：1i i r r ，1j j r r ，0i j j i r r r r
二.新课讲解：
1．向量数量积的坐标表示：设1122(,),(,)a x y b x y r r
，则1122,a x i y j b x i y j r r r r r r
∴22112212121212()()a b x i y j x i y j x x i x y i j y x j i y y j r r r r r r r r r r r r
1212x x y y .
从而得向量数量积的坐标表示公式：1212a b x x y y r r
． 2．长度、夹角、垂直的坐标表示： ①长度：(,)a x y r
222||||a x y a r r
②两点间的距离公式：若1122(,),(,)A x y B x y ，则
AB u u u r
③夹角：cos ||||a b a b r r r r
④垂直的充要条件：∵0a b a b r r r r
，即12120x x y y
（注意与向量共线的坐标表示的区别）
例1.设(5,7),(6,4)a b r r ，求(3)(2)a b a b r r r r
．
变式练习:
1.已知a ＝(1， 3 )，b ＝( 3 ＋1， 3 －1)，则a 与b 的夹角是多少?
2.已知||1a r
，||b r
且a b r r
求
(1)||a b r r
(2)a b r r 与a b r r 的夹角.
3.书79P 例3.
例2.已知A (1，2)，B (2，3)，C ( 2，5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明.
变式练习:
1. 如图，以原点和(5,2)A 为顶点作等腰直角OAB ，使90B o ，
求点B 和向量AB 的坐标。

解：设(,)B x y ，则(,)OB x y u u u r ，(5,2)AB x y u u u r
，
∵
OB AB
u u u r u u u r ， ∴
(5)(2)0x x y y ，
即：2
2
520x y x y ，
又∵||||OB AB u u u r u u u r
， ∴
2222(5)(2)x y x y ， 即：10429x y ，
由2
2
52010429x y x y x y 117232x y 或22327
2
x y ，
∴73(,)22B ，37(,)22AB u u u r 或37(,)22B ， 73
(,)22
AB u u u r ．
2. 在△ABC 中，AB →＝(1，1)，AC →
＝(2，k )，若△ABC 中有一个角为直角，求
实数k 的值.
3.已知(,3)AB x u u u r ,(2,1)AC u u u r ,如果AB u u u r 与AC u u u
r 的夹角为钝角,求x 的取
值范围.
【课堂小结】
【课后作业】
【课题】习题课
1.在△ABC 中，AB →＝a ，BC →
＝b ，且a ·b ＜0，则△ABC 的形状是( ) 2. 已知a ，b ，c 两两垂直，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，求r ＝a ＋b ＋c 的长及它与a ，b ，c 的夹角的余弦.
3.与向量d u r
平行的单位向量是( )
4.已知a r
,b r 是不平行于x 轴的单位向量,且a b r r 则b r =( )
例1.四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DA →
＝d ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·d ＝d ·a ，试问四边形ABCD 是什么图形?
例2. 已知a 、b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角.
例3.如果a b r r 且||2,a r ||1b r
,又k 与t 是两个不同时为零的实数 (1)如(3)x a t b r r r 与向量y ka tb u r r r
垂直,求k 关于x 的函数关系式
(2)求函数()k f t 的值域.
例4.设函数()f x ·a b ，其中向量(cos2)m
x ，a ，(1sin 21)x ，b ，x R ，且()y f x 的图象经过点π24
，
． （Ⅰ）求实数m 的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的最小值及此时x 值的集
例5.已知点A(2,0),B(0,2),(cos ,sin )(0)C ,点O 为坐标原点.
(1)如果OA OC u u u r u u u r
,求OB u u u r 与OC u u u r 的夹角 (2)如果AC BC u u u r u u u r
,求tan 的值.
【课题】平面向量的应用 【教学目标】
1.能用向量解决几何问题
2.能用向量解决简单的物理问题
【教学过程】
例1.如图，,,AD BE CF 是ABC 的三条高，求证：,,AD BE CF 相交于一点。

证：设
,BE CF 交于一点H ，
,,AB a AC b AH h u u u r r u u u r r u u u u r r
,
则,,BH h a CH h b BC b a u u u r r r u u u r r r u u u r r r
∵,BH AC CH AB u u u r u u u r u u u r u u u r
∴()0
()0
h a b h b a r r r
r r r 得()()h a b h b a r r r r r r ， 即()0h b a r r r
， ∴AH BC u u u u r u u u r ，
又∵点D 在AH 的延长线上，∴,,AD BE CF 相交于一点。

变式练习:
1.已知ABC 中,点M 是BC 的中点,N 在边AC 上且AN=2NC,AM 与BN 交于点P.
求C
AP 比PN 的值.
2.在长方形ABCD 中,AB=3,BC=2.E 为BC 的中点,P 为AB 上一点 (1)点P 在什么位置时0
45PED ?
(2)如果0
45PED ,求证:P,D,C,E 四点共圆.
例2.见课本82P 例1和83P 例3.
【课堂小结及作业】。