人教新课标版数学高二人教A版选修4-1测评 第三章 圆锥曲线性质的探讨

单元测评(三) 圆锥曲线性质的探讨
(时间：90分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．已知平面α与一圆柱的母线成60°角，那么该平面与圆柱截口图形的离心率是( )
A ．1 B.32 C.22 D.12
解析：∵平面与圆柱截口图形为椭圆，其离心率为e ＝cos60°＝12.
答案：D
2．一个圆的正射影不可能是( )
A ．圆
B ．椭圆
C ．抛物线
D ．线段
解析：当圆所在平面与射影平面平行时射影是圆，不平行时是椭圆，垂直时是线段，故不可能是抛物线．
答案：C
3．方程x 2－3x ＋2＝0的两根可作为( )
A ．两个椭圆的离心率
B ．一双曲线、一条抛物线的离心率
C ．两双曲线的离心率
D ．一个椭圆、一条抛物线的离心率
解析：方程的两根分别为x 1＝1，x 2＝2，椭圆：0＜e ＜1，双曲线：e ＞1，抛物线：e ＝1.
答案：B
4．平面π与圆锥的轴线平行，圆锥母线与轴线夹角为60°，则平面与圆锥交线的离心率是( )
A ．2 B.12 C.32 D.23
解析：设平面π与轴线夹角为β，母线与轴线夹角为α，由题意，
知β＝0°，α＝60°，∴e ＝cos βcos α＝112
＝2.故选A.
答案：A
5．已知圆柱的底面半径为2，平面π与圆柱斜截口图形的离心率为12，则椭圆的长半轴长是( )
A ．2 B.433 C ．4 D.163
解析：由题意知，短半轴b ＝2，c a ＝
a 2－
b 2a
＝12， ∴a 2－4a ＝12，解得a ＝43
3.故选B. 答案：B
6．下列结论中正确的是( )
①圆的平行射影可以是椭圆，但椭圆的射影不可能是圆 ②平行四边形的平行射影仍然是平行四边形(平行四边形所在平面与投射线不平行) ③圆柱与平面的截面可以看作是底面的平行射影，反之亦然
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．①②③
解析：∵平面图形的射影具有可逆性，即当一平面图形所在平面
与投影平面不垂直时，该图形与其射影可以相互看作为对方的平行射影，只是投影方向相反罢了．
∴①是错误的，③是正确的．
∵当平行四边形所在平面与投射线不平行时，平行线的平行射影仍然是平行线，
∴平行四边形的平行射影仍然是平行四边形，故②也正确．
答案：B
7．已知双曲线x 22－y 22＝1的准线经过椭圆x 24＋y 2
b 2＝1(b ＞0)的焦点，则b 等于( )
A ．3 B. 5 C. 3 D. 2
解析：∵双曲线的准线为x ＝±a 2c ＝±1，椭圆焦点应为F (±4－b 2，0)．由题意有4－b 2＝1，
∴b ＝3(b ＞0)．
答案：C
8．平面与圆锥轴线的夹角为30°，与圆锥面交线的离心率为3，则圆锥母线与轴线的夹角为( )
A ．60°
B ．45°
C ．30°
D ．无法确定
解析：由题意β＝30°，e ＝3，所求角为α.
∵e ＝cos βcos α，∴cos α＝cos30°3
＝12.
∴α＝60°.故选A.
答案：A
9．如图，已知PF 1∶PF 2＝1∶3，AB ＝12，G 1G 2＝20，则PQ 的长为( )
A ．6 B.254 C ．7 D ．8
解析：设椭圆长轴为2a ，短轴为2b ，焦距为2c ，由已知可得a
＝10，b ＝6，c ＝a 2－b 2
＝8，e ＝c a ＝45. 由椭圆定义PF 1＋PF 2＝G 1G 2＝20.
又∵PF 1∶PF 2＝1∶3，∴PF 1＝5，PF 2＝15.
由离心率定义，PF 1PQ ＝45.
∴PQ ＝54PF 1＝254.
答案：B
10．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为
( )
A ．y 2＝±4x
B ．y 2＝±8x
C ．y 2＝4x
D ．y 2＝8x
解析：a ＞0时，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，直线l 的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －a 4. 令x ＝0得y ＝－a 2.
∴S △OAF ＝12·a 4·⎪⎪⎪⎪
⎪⎪－a 2＝4，解得a ＝8. 同理a ＜0时，得a ＝－8，
∴抛物线方程为y 2＝±8x ，故选B.
答案：B
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．一平面与圆柱母线的夹角为30°，则该平面与圆柱面交线的离心率为__________．
解析：交线为椭圆，其离心率e ＝cos30°＝32. 答案：32
12．已知圆锥母线与轴线夹角为60°，平面π与轴线夹角为45°，则平面π与圆锥交线的形状是__________，其离心率为__________．
解析：∵α＝60°＞45°＝β，∴平面π与圆锥的交线为双曲线，其
离心率e ＝cos βcos α＝cos45°cos60°＝ 2.
答案：双曲线 2
13．已知椭圆两准线间的距离为8，离心率为12，则Dandelin 球
的半径是__________．
解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a 2c ＝4，
c a ＝12，解得⎩⎨⎧ a ＝2，c ＝1，
∴b ＝a 2－c 2＝ 3.
∴Dandelin 球的半径为 3. 答案： 3
14．已知圆柱底面半径为b ，平面π与圆柱母线夹角为30°，在圆柱与平面交线上有一点P 到一准线l 1的距离是3b ，则点P 到另一准线l 2对应的焦点F 2的距离是__________．
解析：由题意知，椭圆短轴为2b ，长轴长2a ＝2b sin30°＝4b ，∴c ＝4b 2－b 2＝3b .
∴e ＝3b 2b ＝32或e ＝cos30°＝32.
设点P 到焦点F 1的距离为d ，则d 3b ＝32
， ∴d ＝32b .又PF 1＋PF 2＝2a ＝4b ，
∴PF 2＝4b －PF 1＝4b －32b ＝52b .
答案：5b 2
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)圆柱被平面α所截．已知AC 是圆柱口在平面α上的最长投影线段，BD 是最短的投影线段，EG ＝FH .
(1)比较EF ，GH 的大小；
(2)若圆柱的底面半径为R ，截面α与母线的夹角为θ，求CD .
解：(1)∵EG ∥FH 且EG ＝FH ，
∴四边形EFHG 是平行四边形．
∴EF ＝GH .(6分)
(2)过D 作DP ⊥AC 于P .
在Rt △CDP 中，
DP CD ＝sin ∠DCP ，
∴CD ＝2R sin θ.(12分)
16．(12分)已知椭圆的中心在原点、焦点在x 轴上，长轴长为22，焦距为2，右焦点为F ，右准线为l ，点A ∈l ，线段AF 交椭圆于B 点，若FA ＝3FB ，求AF 的长．
解：∵2a ＝22，∴a ＝ 2.∵2c ＝2，∴c ＝1.
设B 在l 上的射影为B 1，F 在l 上的射影为H ，如图所示．
∵BF BB 1
＝e ＝c a ＝22，∴BB 1＝2BF . 又FA ＝3FB ，∴AB ＝2BF .(6分)
在Rt △ABB 1中，cos ∠ABB 1＝BB 1AB ＝2BF 2BF ＝22，
∴cos ∠BFH ＝22.(10分)
∵FH ＝a 2c －c ＝2－1＝1.
∴在Rt △AFH 中，AF ＝FH cos ∠BFH ＝122
＝ 2. (12分)
17．(12分)如图所示，已知圆锥母线与轴线的夹角为α，平面π与轴线夹角为β，Dandelin 球的半径分别为R ，r ，且α＜β，R ＞r ，求平面π与圆锥面交线的焦距F 1F 2，轴长G 1G 2.
解：连接O 1F 1，O 2F 2，O 1O 2交F 1F 2于O 点，
在Rt △O 1F 1O 中，OF 1＝O 1F 1tan ∠O 1OF 1
＝r tan β. 在Rt △O 2F 2O 中，OF 2＝O 2F 2tan ∠O 2OF 2
＝R tan β. ∴F 1F 2＝OF 1＋OF 2＝R ＋r tan β.(6分)
同理，O 1O 2＝R ＋r sin β.连接O 1A 1，O 2A 2，过O 1作O 1H ⊥O 2A 2，在Rt △O 1O 2H 中，O 1H
＝O 1O 2·cos α＝R ＋r sin β·cos α.
又O 1H ＝A 1A 2，
由切线长定理，容易验证G 1G 2＝A 1A 2，
∴G 1G 2＝R ＋r sin β·cos α.(12分)
18．(14分)如图所示，设球O 1，O 2分别与平面β切于点F 1，F 2.圆柱面与平面β的交线为椭圆，其中长轴为G 1G 2，O 为中心．
(1)过F 1作F 1Q ⊥G 1G 2，若△QF 1F 2为等腰直角三角形(Q 为椭圆上的点)，求椭圆的离心率；
(2)过椭圆上一点P 作PO ⊥F 1F 2，已知∠PF 1F 2＝30°，S △PF 1F 2＝32，求球O 1的半径．
解：(1)∵△QF 1F 2为等腰直角三角形，
∴QF 1＝F 1F 2＝2c ，QF 2＝22c .
由椭圆定义得QF 1＋QF 2＝2a,2c ＋22c ＝2a .
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高中数学 ∴e ＝c a ＝c c ＋2c ＝12＋1
＝2－1.(6分) (2)设椭圆长半轴为a ，短半轴为b ，半焦距为c .
由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝sin30°·a ，12b ·2c ＝32，
a 2＝
b 2＋
c 2，(8分)
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝22，
c ＝62.(12分)
∴OP ＝b ＝22，∴球O 1的半径为22.(14分)。