华南师大附中奥林匹克班学业水平考试

华南师大附中奥林匹克班上学期学业水平考试
高一数学试题
本试卷分选择题与非选择题两部分，共4页，满分100分，考试用时150分钟 注意事项：
1. 答卷前，考生必须用黑体字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班别、姓名及学号填写在
答题卷的密封线内。

2. 答题时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔或钢笔写在答卷上的指定位置；如需改动，
先划掉原来的答案，在写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 设a R +
∈，集合()()()(){}22
4,12,,1225A x y x y B x y x y a ⎧⎫=-+-≤
=-+-≤⎨⎬⎩
⎭
是直角坐标平面xOy 内的点集，则A B ⊆的充要条件是(***) (A) 2≤a (B)5≥
a (C)6≥a (D)3≥a
2. 已知函数()⎪⎭
⎫
⎝⎛+
-=21log 2
x ax x f a 在[1,2]上恒正，则实数a 的取值范围是(***) (A)⎪⎭
⎫
⎝⎛85,21
(B)⎪⎭⎫
⎝⎛+∞,23 (C)⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛,2385,21 (D)⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,21
3. 若点)(y x P ，在直线33=+y x 上移动，则函数)(y x f ，=y
x
93+的最小值等于(***)
(A) 51
)4
27(5 (B) 71
)927(7 (C) 71)916(7 (D) 31
)25
(3
4. 定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是减函数，并且当⎪⎭
⎫
⎝⎛∈2,
0πθ时，有θ2(cos f 0)22()sin 2>--++m f m θ恒成立，则实数m 的取值范围是(***)
(A)021<≤-
m (B)10≤<m (C)2121+<<-m (D)2
1
-≥m 5. 定义在区间(0,1)上的实函数f (x )满足：(1)当x ∉Q 时，f (x )=0；(2)当x =
p
q
(p 、q 为整数，且互质)，0<p <q 时，则f (x )= p +1q ，则f (x )在区间(78,8
9
)上的最大值是(***)
学校 班级 姓名 考号 ………………………………………装………………………………………订……………………………………线……………………………………………… ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
(A)
1716 (B)17
15
(C)144127 (D)144129
6. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的正整数n ，都有51n n a S =+成立，记
*4()1n
n n
a b n N a +=
∈-.则n b 为(***) (A)5
4(4)1n n b =+-- (B)1
)2(52--+=n n
b (C)1434-+
=n n b (D)1
25
2-+=n
n b 7. 已知数列{a n }满足3a n +1+a n =4(n ≥1)，且a 1=9，其前n 项之和为S n 。

则满足不等式
|S n -n -6|<
125
1
的最小整数n 是(***) (A)5 (B)6 (C)7 (D)8
8. 若2)3(lim
=→x f x x ，则x
x f x )
2(lim 0-→的值为(***)
(A)
21 (B)23- (C)3
2
- (D)31- 9. 已知椭圆13
42
2=+y x 的左焦点为F ，直线x y 3=与椭圆在第一象限的交点为M ，过M 做椭圆的切线交x 轴于N ，则MNF S ∆的值为(***) (A)5
15
3+
(B) 51523+
(C) 51532+ (D) 5
15
232+ 10. 如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ,PC ⊥AD .底面ABCD 为梯形，
//AB DC ，AB BC ⊥.PA AB BC ==，点E 在棱PB 上，且2PE EB =.则二面角 A — EC —P 的大小为(***)
(A)arccos
3
3 (B)045 (C)arccos 6
3 (D)0
60
(第10题图)
第二部分 非选择题（共70分）
二、填空题（每小题3分，共30分）
11. 设{
}n X n ，，，， 321=，对n X 的任一子集A ，记)(A f 为A 中的最小元素，则∑⊆n
X A A f )(= *** .
12. 函数x x x
x
x f 2
211112)(--+
-++=的值域是 *** . 13. 设实数b a 、使得方程012
3
=-+-bx x ax 有三个正实根。

对于所有满足条件的实数
b a 、，则)
(2
3522a b a ab a P -+-=
的最小值为 *** . 14. 对任意实数x ，不等式7≤q x p x ++sin 2cos 2
≤10恒成立，其中p 、q 为实数，则q p +的值为 *** .
15. 极限)
1ln(2)1(lim 20x x e x x +-→的值为 *** .
16. 设数列{}n a 是首项为1的正项数列，且0)1(12
21=+-+++n n n n a a na a n (n =1，2，3，…)，
则数列{}n a 的通项为 *** .
17. 已知抛物线方程为h x y +-=2
2
(h >0)，点P (2，4)在抛物线上，直线AB 在y 轴上的截距大于0，且与抛物线交于A 、B 两点，直线P A 与PB 的倾斜角互补，则PAB ∆的面积的最大值为 *** .
18. 已知三棱锥S —ABC ，底面是边长为24的正三角形，棱SC 的长为2，且垂直于底面，
E 、D 分别为BC 、AB 的中点，则直线CD 与SE 间的距离为 *** .
19. 如果在区间[]21，
上，函数q px x x f ++=2
)(与2
1
)(x x x g +=在同一点取得相同的最小值，那么函数f (x )在该区间上的最大值是 *** .
20. 已知直线x y l 2:=，曲线2
:3
x y C =，定义数列{}n a ：①11=a ；②当给定n a 后，做
过点)0(，
n a 且与y 轴平行的直线，它与直线l 的交点n P ，再作过点n P 且与x 轴平行的直线，它与曲线C 的交点为n Q ，定义1+n a 为n Q 的横坐标。

则n
n
n a a a 2lim
21 ∞→为 *** .
三、解答题（共40分）
21. (本题满分10分)
定义域为实数集R 的函数)(x f 同时满足以下3个条件： ①当x >0时，0)(>x f ； ②2)1(=f ；
③对任意的R n m ∈，，都有)()()(n f m f n m f +=+。

集合}
{}{0)3()()(|)(24)4()3(|)(2
2
=+-=≤+=f ay f x f y x B y f x f y x A ，，，
⎩
⎨⎧⎭⎬⎫+==)()(21)(|)(2a f y f x f y x C ，，若φ≠B A ，，
φ≠C A 求实数a 的取值范围
22. (本题满分10分)
如图，梯形ABCD 的底边AB 在y 轴上，原点O 为AB 的中点
，
|||2,AB CD AC BD ==-⊥M 为CD 的中点.
(1)求点M 的轨迹方程； (2)过M 作AB 的垂线，垂足为N ，若存在正常数0λ，使
0MP PN λ=，且P 点到A 、B 的距离和为定值，求点P 的轨迹E
(3)过1(0,)2
的直线与轨迹E 交于P 、Q 两点，求OPQ ∆
23. (本题满分10分)
在ABC Rt ∆中，∠ACB 0
90=，CD ⊥AB 于D 。

E 点
与A 点在CD 的同侧，且CE ⊥CD ，且2
AD
BD CE -=的点，
P 是BD 上的任意一点，Q 为PE 上一点，使得PD=PQ 求证：CQD ∆的垂心在ABC ∆的外接圆上
(第23题图)
24. (本题满分10分)
设映射:f →N*R 满足对任意m n ∈N*，
，都有()()()f m f n f m n mn +-+≤. 证明：对任意n ∈N*，都有()()()
1
14
n
k f k n n f n k =--≤
∑
……………………………………………装………………………………………订……………………………………线………………………………………………
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
B。