向量在立体几何问题中的应用

传统的立体几何问题的解决，技巧性较强，随机性较大，采用“由形到形”的综合推理方法学习立体几何，对多数学生比较困难。

而采用空间向量的数量积，为解决某些立体几何问题，提供了通法，降低了解题难度，减轻了学生负担；另一方面也可以使学生了解一些近代数学的知识，扩大学生的知识面，拓展学生的视野，开阔学生的思路。

本文以实例说明，利用向量数量积解决某些立体几何问题，较简单、方便。

例1：如图，已知线段AB 在平面α内，线段
BD ⊥AB ，线段DD′⊥α，∠DBD′＝30°，AC ⊥α，如果AB＝a ，AC＝BD＝b ，求C 、D 间的距离。

解：（法1）∵AC ⊥α，∴AC ⊥AB ，
∵∠DBD′＝30°∴＜C
B B A ，B B B D＞＝120°∴｜C
B B D｜2＝
C B B
D 2＝（C B B A＋A B B B＋B B B D ）2＝｜C B B A｜2＋｜A B B B｜2＋｜B B B D｜2＋2C B B A ·A B B B ＋2C
B B A ·B B B D＋2A B B B ·B B B D＝b 2＋a 2＋b 2＋0＋2b 2cos120°＋0＝a 2＋b 2∴CD＝a 2＋b
2
姨（法2）∵DD′⊥α∴DD′⊥BD′∴BD′＝bcos30°＝3姨2
b ，
DD′＝bsin30°＝b 2
∵AB ⊥BD ，由三垂线定理的逆定理
得AB ⊥BD′∴AD′＝BD 2
＋AB 2
姨＝
a 2
＋（3姨2
b ）2姨
＝
a 2
＋34
b 2姨
∵CA ⊥α，DD′⊥α∴CA ∥DD′作DE ∥AD′
则四边形AD′DE 为矩形，∴DE＝D′A＝
a 2
＋34
b 2
姨
CE ＝b －AE ＝b －b ＝b ∴CD ＝
CE 2
＋DE
2
姨＝
（b 2）2＋a 2＋3b 24
姨
＝a ＋b 2
姨例2：已知在一个60°的二面角的棱上有两点A 、
B ，A
C 和B
D 为分别在这个二面角的两个面内，且垂直于AB 的线段，又知AB＝4cm ，AC＝6cm ，BD＝8cm ，求CD 长。

浅谈向量在立体几何问题中的应用
张志锋
（阜阳师范学校
安徽·
阜阳236015）
*[收稿日期]2012－06－19
［作者简介］张志锋（1970－），男，安徽阜阳人，阜阳师范学校数学讲师。

【摘要】采用空间向量的数量积，在解决有关立体几何的长度、垂直、夹角等问题中，可以化难为易，化
繁为简，使问题轻松解决。

【关键词】向量数量积
立体几何
【中图分类号】G633．6
【文献标识码】A
【文章编号】1009－8534（2012）
04－0177－02
α
第15卷·第4期
2012年8月
宿州教育学院学报Journal of Suzhou Education Institute
Vol .15，No.4Aug .2012
170
张志锋：浅谈向量在立体几何问题中的应用
解：（法1）∵CA⊥AB，AB⊥BD，
∴＜C B B A，B B B D＞＝180°－60°＝120°
∴｜C B B D｜2＝C B B D2＝（C B B A＋A B B B＋B B B D）2＝｜C B B A｜2＋｜A B B B｜2＋｜B B B D｜2＋2C B B A·A B B B＋2C B B A·B B B D＋2A B B B·B B B D
＝62＋42＋82＋0＋2×6×8×cos120°＋0＝68
∴｜C B B D｜＝217
姨（cm）
（法2）作AE∥BD，DE∥AB，AE和DE交于点E，∵AC⊥AB，AB⊥BD，∴∠CAE为二面角的平面角∴∠CAE＝60°∴CE2＝CA2＋EA2－2CA·EAcos60°＝62＋82－2×6×8×cos60°∵四边形AEDB为矩形∴AB＝DE＝4cm，又∵AB⊥平面ACE，∴DE⊥平面ACE，∴DE⊥CE∴CD2＝CE2＋DE2＝62＋82－2×6×8×cos60°＋42＝68∴CD＝2 17
姨（cm）
评析：通过以上两题，比较两种方法，可知利用向量数量积求长度，较简单、方便，而采用几何推理的方法，引用定理多，论证多，计算多，较繁琐。

例3：已知空间四边形OABC，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝θ，求证：OA⊥BC
证明：O B B A·B B B C＝O B B A·（O B B C－O B B B）
＝O B B A·O B B C－O B B A·O B B B＝｜OA
B B｜·｜O B B C｜cos∠AOC－｜O B B A｜·｜O B B B｜cos ∠AOB
∵∠AOB＝∠AOC＝θ，OB＝OC，∴O B B A·B B B C＝0
∴O B B A⊥B B B C∴OA⊥BC
评析：此题利用向量数量积的性质，即O B B A⊥B B B C圳O B B A·B B B C＝0，使问题得到轻松解决，若采用几何的方法，则很难完成。

例4：已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1，CD中点，求证：D1F⊥平面ADE
证明：设正方体棱长为一个单位长度，且设D B B A＝B i，D B B C＝B j，DD
1
B B＝B k，以B i，B j，B k为坐标向量建立空间直角
坐标系D－xyz，则点A（1，0，0），点E（1，1，1
2
），点D1（0，0，1），点F（0，1，0）
∴D1B B F＝（0，1
2
，0）－（0，0，1）＝（0，1
2
，－1）
D B B A＝（1，0，0）D B B E＝（1，1，1
2
）
D1B B F·D B B A＝（0，1，－1）·（1，0，0）＝0
D1B B F·D B B E＝（0，1
2
，－1）·（1，1，1
2
）
＝0×1＋1×1＋（－1）×1＝0
∴D1B B F⊥D B B A，D1B B F⊥D B B E
∴D1F⊥DA，D1F⊥DE∴D1F⊥平面DAE
评析：此题通过建立空间直角坐标系D－XYZ，求出D B B A、D B B E、D1B B F坐标，再利用数量积性质B a⊥B b圳B a·B b＝0，根据直线和平面垂直的判定定理，使问题轻松解决，若采用几何的方法，则较难完成。

例5：正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1E1＝D1F1＝A1B1，求BE
1
与DF1所成角的余弦。

解：如图建立空间直角坐标系D－XYZ，设正方体棱长为一个单位长度，
则DE1
B B＝（0，1
4
，1）点E1（1，3
4
，1）点B（1，1，0）∴BF1
B B＝（1，3
4
，1）－（1，1，0）＝（0，－1
4
，1）
∴BE1
B B·DF
1
B B＝（0，－1
4
，1）·（0，1
4
，1）
＝0×0＋（－1
4
）×1
4
＋1×1＝15
16
｜BE1
B B｜＝BE
1
B B2
姨＝02＋12＋（－1
4
）2
姨
＝
（下转第174页）
171
17姨4
∴cos＜BE 1姨姨，DF 1姨姨＞＝BE 1姨姨·DF 1
姨姨｜BE 1姨姨｜｜DF 1
姨姨
｜
＝151617姨17姨＝1517评析：此题通过建立空间直角坐标系D－XYZ ，求
出BE 1
姨姨、DF 1
姨姨坐标，利用夹角公式cos＜姨
a ，姨
b ，＞＝
姨a ·姨
b ｜a ｜｜b ｜＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3
a 12＋a 22＋a 33姨
b 12＋b 22＋b 3
2
姨轻松完成，若采用几何方法，则较难完成。

通过以上实例，看出灵活运用向量方法，解决某些立体几何问题，如求两点间距离、证明直线和直线、直线和平面垂直，及求两条异面直线所成角等，比较简单、方便。

去选择项目。

一是教师全权包办，直接指定学生去参与某种项目，其出现的弊端是部分学生丢弃了自己喜欢而参加了自己不喜欢的体育活动；二是教师完全放开，让学生完全自主的去选择自己的项目，其产生的结果是部分学生参加了不适合自身情况的体育活动，使得个人的运动才能得不到充分的体现。

要解决这些问题，就需要把两种选项方案有机的结合起来，在教师的正确指导下学生自主的进行选项。

这就要求教师掌握每个选项学生的身体状况，个人的具体体育爱好，每一个开设项目所适宜参与的人群。

在学生自主选项后，教师根据自己所掌握的情况，对学生所选项目进行一一筛查，找出选项错误的学生并与之深入交流，提出自己观点与学生商讨，最终确定这部分学生正确的选项方案，力争达到每个学生的选项科学化、合理化。

4．4运动项目的系统性构建：统筹安排各级各类学校运
动项目
在如今的体育教学中，出现一种各级各类学校重复教学内容的现象，严重制约了学生对各种运动技能的提高。

例如篮球教学，小学篮球教学内容一般是投篮、行进间上篮、传球、运球等基本技术，在中学开设的篮球课仍是这些，乃至上升到大学后依旧是重复以前学过的这些基本技术。

出现这种情况的原因分析，不应说中学、大学的教学内容设计不合理，事实上是不得已而为之。

虽然学生从小学就开始学习各种运动项目的基本技术，但由于每一项运动技能的掌握都需要大量重复的练习才能真正的掌握，而我们在教学中只注重课堂的教学没注重课外的巩固，导致学生没有真正掌握所学内容，在“升级”后，本该学习更进一步的内容，但由于以上原因，使得教学内容还是只能停留在原来的基本技术的教学上，然而还是由于课外巩固时间没跟上的缘故，接下来的再“升级”中又出现同一结局。

随着阳光体育运动的逐步开展，为解决这种结局的出现带来了机遇。

阳光体育运动项目的开展需要和体育课教学内容、课外体育锻炼科学的结合起来，根据各年级所开设的体育课内容着重安排与之相关的阳光体育运动项目，使得学生有机会、有时间去进行大量的练习，不但增强了学生的身体素质，也达到了熟练掌握课堂教学内容的目的，为以后可以更进一步学习相关运动技能打下坚实的基础，避免
出现重复教学的恶性循环。

4．5组织实施的系统性构建：教师主导，学生主体的组
织形式
阳光体育运动的组织实施离不开教师的指导，离开了教师的指导，学生在运动中目的不明确，出现为了玩而玩，虽然也锻炼了身体，增强了体质，但在掌握技能，培养团队意识等方面得不到最大限度的提高。

这就需要我们教师，特别是体育教师必须深入到学生的锻炼中去，提出指导性建议，帮助学生去完成目标和任务。

但这要遵循学生是主体，教师是主导的原则，教师的作用是引导、帮助，不是去主宰，去指挥学生，否者，学生与教师的距离会越拉越大，学生的锻炼兴趣将会大大降低，从而失去组织阳光体育运动的意义。

另一方面，教师的参与大大降低了学生锻炼过程中受损伤的可能，提高了运动的安全性。

只要是体育锻炼，就会有受伤的风险，而学生特别是小学生的风险意识极低，在锻炼过程中没有意识去防范各种意外情况所带来的损害以及项目本身的所带来危险性。

而教师参与后可以随时提醒学生可能在运动中受伤的各种情况，以及学生出现运动损伤后可以第一时间去做正确的处理，避免事态的扩大化。

5．小结
阳光体育运动时以青少年的体制健康和学校体育为突破口，全面推进教育体制改革的重要步骤。

它既是一种宣传的形式，也是一项长期而系统的工程［3］。

阳光体育运动系统化和科学化的实施是阳光体育运动能否生存和发展下去的必不可少的条件，这就需要主管部门，单位领导，教师，家长，学生之间相互配合，相互理解，共同努力，发现问题，提出问题并尽快解决问题，建立一种长期有效的机制，使阳光体育运动能够按正确的轨迹发展下去。

参考文献：
［1］曹伟平．浅析阳光体育运动的提出背景及开展措施［J ］．运动与健康，2008，22（7）：238
［2］徐靖．体育宣传工作在构建社会主义和谐体育中的作用［J ］．体育文化导刊，2006（5）：17－20
［3］孙涛．对建立“阳光体育运动”长效机制的研究［J ］．科技创新导报，2009，（24）：184
（上接第171页）
2012年8月第15卷·第4期宿州教育学院学报
174。