2016年高考数学(理)冲刺卷(新课标Ⅰ卷) 04(解析版) Wo

全卷满分150分 考试时间120分钟
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知全集U R =，则正确表示集合{}1,0,1M =-和{}
2|0N x x x =+=关系的韦恩()Venn 图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【命题意图】本题考查集合间关系， 【答案】B
【解析】{}1,0,N =- 所以集合N 是集合M 的真子集，故选B.
2．若
(z a ai =+为纯虚数，其中∈a R ，则
7
i 1i
a a +=+ （ ）
A ．i
B ．1
C ．i -
D ．1-
【命题意图】本题主要考查复数的概念及复数的运算，考查运算求解能力，是基础题. 【答案】C
3．从一批待测物品中随机抽测100件的重量（单位：kg ），将所得数据绘 制成如图所示的频
率分布直方图，估计这批物品的平均重量（单位：kg ）为
( )
A ．11
B ．11．5
C ．12
D ．12．5
【命题意图】本题主要考查频率分布直方图、总体估计等统计知识，考查运算求解能力，
是基础题. 【答案】A
【解析】由频率分布直方图知，这批物品的重量（单位：kg ）在[5,10)、[10,15)、[15,20]上的频率分别为0.3、0.5、0.2，故估计这批物品的平均重量（单位：kg ）为
2.05.175.05.12
3.05.7⨯+⨯+⨯=11，故选A.
4.《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一
天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则该女
第5天所织的布的尺数为 （ ） A ．7 B.
15107 C ．31219 D ．29
209
【命题意图】本题主要考查等差数列的定义、通项公式及前n 项和公式，考查运算求解能力，
是基础题. 【答案】D
【解析】设从第2天起每天比前一天多织d 尺布 , 则由题意知，
解得d =
，所以第5天所织的布的尺数为2916)15(5⨯
-+=29
209，故选D ． 5.已知R b a ∈,，条件p ：“b a >”，条件q ：“122->b a ”，则p 是q 的 （ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【命题意图】本题主要考查对数函数的单调性及充要条件判定，是基础题. 【答案】A
6.在如图所示的程序框图中（其中'1()i h x -表示函数1()i h x -的导函数），当输入0()x
h x xe =时，输出的()i h x 的结果是(2016)x
x e +，则程序框图中的判断框内应填入 （ ）
A ．2014?i ≤
B ．2015?i ≤
C ．2016?i ≤
D ．2017?i ≤
【命题意图】本题主要考查导数的运算法则、常见函数的导数、程序框图，是基础题. 【答案】B
【解析】1i =时，()()11x h x x e =+；2i =时，()()22x h x x e =+；3i =时，
()()33x h x x e =+； ；2016i =时，()()20162016x h x x e =+，循环结束，选B.
7.已知实数,x y 满足24
481x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥-⎩
，则22
2x y x +-的取值范围为
（ ）
A.[-1,20]
B.
[]0,19
C. 1,195⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
D.4,205⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【命题意图】本题主要考查简单线性规划解法，考查数形结合思想，是基础题. 【答案】C
8.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 （ ）
A ．4
B ．
203 C ．263
D ．8 【命题意图】本题主要考查简单几何体的三视图及其体积，考查空间想象能力和运算求解能力，是基础题. 【答案】B
9.已知()sin()f x A x ωϕ=+)2||,0,0(π
ϕω<
>>A 满足()()2
f x f x π
=-+，对任意
x 都有)6
()(π
f x f ≤=3，则 ()2cos(
)g x x ωϕ=+在区间[0,]2π上的最大值为 （ ）
A.4
B. 3
C.1
D. －2
【命题意图】本题主要考查三角函数的图像与性质，考查运算求解能力，是基础题.
【答案】B
【解析】由()()2f x f x π=-+知，)(π+x f =)()2
(]2)2[(x f x f x f =+-=++π
ππ，所
以)(x f 的最小正周期为π，所以2ωππ=，解得2ω=，由对任意x 都有)6
()(π
f x f ≤知，当6π=x 时，)(x f 取最大值且最大值为3，所以Z k k x ∈+=+,2
22π
πϕ且A=3，
解得Z k k x ∈+=,6ππ，因为2||πϕ<，所以6
π
ϕ=，所以()2cos(2)6g x x π=+，因
为]2
,0[π
∈x ，所以72[,]666x πππ+∈，由余弦函数图像知max
()2cos 6g x π==故选B.
10.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，
DC DF BC BE μλ==,，若1=∙AF AE ，3
2
-=∙，则λ＋μ＝
（ ）
A.
B.
C.
D.
【命题意图】本题主要考查平面向量的线性运算与平面向量的数量积，是中档题. 【答案】C
已知双曲线M 的焦点
12
,F F 在x 30y +=是双曲线M 的一条渐近线，点P 在双曲线 M 上，且120PF PF ⋅= ，如果抛物线216y x =的准线经过双曲线M 的
一个焦点，那么12||||PF PF ⋅=
（ ）
A ．21
B ．14
C ．7
D ．0
【命题意图】本题主要考查双曲线的定义和几何性质、抛物线的几何性质，考查运算求
解能力，是中档题. 【答案】B
【解析】因为双曲线M 的焦点12,F F 在x 轴上，所以设双曲线方程为
)0,0(12222>>=-b a b
y a x ，因为抛物线x y 162
=的准线4-=x 过双曲线的焦点，且一条
30y +=，所以⎪⎩⎪
⎨⎧=
=374
a
b c ，解得4,7,3===c b a ；因为点P 在双
曲线M 上，且120PF PF ⋅= ，所以⎩⎨⎧=+±=-64||||6
||||2
221
21PF PF PF PF ，解得14||||21=⋅PF PF ；故选B ．
12.设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意x R ∈，都有2
()()f x f x x +-=，且
(0,)x ∈+∞时， ()f x x '>，若(2)()22f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围是
（ ）
A ．[)1,+∞
B ．(],1-∞
C ．(],2-∞
D ．[)2,+∞ 【命题意图】本题主要考查函数的奇偶性、单调性及导数的综合应用，考查转化与化归思
想和分析解决问题能力，是难题. 【答案】B
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．6
11x x ⎛⎫++ ⎪⎝
⎭的展开式中常数项为_____________.
【命题意图】本题主要考查二项式定理的应用，是基础题. 【答案】141
【解析】将原式看做6
11x x ⎡⎤
⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，由二项式定理可得展开式的通项为
61611r
r
r r T C x x -+⎛⎫=⋅⋅+ ⎪
⎝
⎭．又
1r
x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式通项为
()121=m
m r m m r m m r r T C x x C x ---+=⋅⋅⋅，则取常数项时2r m =，由题可知
{}{}0,1,2,3,4,5,60,1,2,3,4,5,6r m ∈∈，，则
m 的可能取值为0,1,2,3，对应的r 分别为0,2,4,6．0,0m r ==时，常数项为1；1,2m r ==时，常数项为30；2,4m r ==时，常数项为90；3,6m r ==时，常数项为20；故原式常数项为1309020141+++=． 14.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，如果ABC ∆的面积等于8，
5a =,4tan 3B =-,那么sin sin sin a b c
A B C
++++= .
【命题意图】本题主要考查正余弦定理的应用，考查运算求解能力，是基础题. 【答案】4
655
15.将一颗质地均匀的骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为
b ，设任意投掷两次使直线 1:3l x ay +=，2:63l bx y +=平行的概率为1P ，不平行
的概率为2P ，若点()12,P P 在圆()2
2
65
72
x m y -+=
的内部，则实数m 的取值范围是 ．
【命题意图】本题主要考查古典概型、两直线平行的充要条件、点与圆的位置关系，是中档题.
【答案】711,3636⎛⎫
-
⎪⎝⎭
【解析】直线1l 的斜率为a k 11-
=，直线2l 的斜率为6
2b
k -=，21//l l 则必有21k k =即66
1=⇒-=-
ab b
a ，又
b a ,由骰子投掷得到的数字，所以能使21//l l 的数字分别为）（6,1，)1,6(),2,3(),3,2(，即能使21//l l 的概率为913641==P ，不能平行的概率为9
82=P ，又点()12,P P 在圆()226572x m y -+=的内部，所以有7265)98()91(22
<+-m ，可解得m 的取值范围711,3636⎛⎫-
⎪⎝
⎭． 16.若函数22()(4)(5)f x x ax bx =-++的图象关于直线3
2
x =-
对称，则()f x 的最大值是 .
【命题意图】本题主要考查函数的图象及函数的综合应用，考查分析问题解决问题能力，是难题． 【答案】36
【解析】因为点(2,0)，(2,0)-在函数()f x 的图象上，且()f x 的图象关于直线3
2
x =-对称，所以点(1,0)-，(5,0)-必在()f x 图象上，则350
(21)25
550a b a b (-+)=⎧⎨
-(-+)=⎩，解得
1
6
a b =⎧⎨=⎩.
所
以
22()(4)(65)
f x x x x =-++(2x x
=-22(32)(310)x x x x =-+++-，令232
t x x =++2311
()244
x =+-≥-
，则
22()(12)12(6)36f x t t t t t =--=-+=--+，当6t =时，函数()f x 的最大值为36. 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，3
1
1=
a ，)(21*+∈-=N n a a a n n n .
（Ⅰ）求证：数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧-11n a 是等比数列，并求{}n a 通项公式n a ； （Ⅱ）设n n
n a na b -=1，求证：21
<∑=n
i i b .
【命题意图】本题主要考查等比数列的定义、通项公式及错位相加法，考查转化与化归
思想、运算求解能力，是基础题.
18.（本小题满分12分）现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为3
4，命
中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为2
3，每命中一次得2
分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．（Ⅰ）求该射手恰好命中一次的概率；
（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．
【命题意图】本题主要考查互斥事件和相互独立事件的概率公式、离散型随机变量分布列及其期望，考查数学应用意识、运算求解能力，是基础题.
（Ⅱ）根据题意，X 的所以可能取值为0,1,2,3,4,5． 根据事件的独立性和互斥性得
3221(0)()(1)(1)(1)43336
P X P BCD ===-⨯-⨯-=，
3221(1)()(1)(1)43312P X P BCD ===⨯-⨯-=， ┄┄7分 3221(2)()()(1)(1)24339
P X P BCD P BCD ==+=-⨯⨯-⨯=，
3221(3)()()(1)24333P X P BCD P BCD ==+=⨯⨯-⨯= ┄┄┄9分 3221(4)()(1)4339P X P BCD ===-⨯⨯=
3221(5)()4333
P X P BCD ===⨯⨯=
故X 的分布列为
┄┄┄11分
所以111111410123453612939312EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
┄┄┄┄┄┄12
分．
19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 是直角梯形，
AD AB ⊥，CD AB ∥，⊥PC 底面ABCD ，422===CD AD AB ，a PC 2=，E 是PB 的中点．
（Ⅰ）求证：平面⊥EAC 平面PBC ；
（Ⅱ）若二面角E AC P --的余弦值为
3
6
，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值． 【命题意图】本题主要考查空间垂直的判定与性质、线面角及二面角的计算等立体几何知识与方法，考查推理论证能力和运算求解能力，是基础题.
设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，
则s i n c o s
,P A n P An P A n
θ⋅=<>=
=⋅
，┄┄11分
即直线PA 与平面EAC 所成角为
3
2
． ┄┄┄12分
20.（本小题满分12分） 已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,F F ，
抛
物线2
4y x =与椭圆C 有相同的焦点，点P 为抛物线与椭圆C 在第一象限的交点，且
17||3
PF =
. （I ）求椭圆C 的方程；
（II ）与抛物线相切于第一象限的直线l ，与椭圆相交于,A B 两点，与x 轴交于M 点，线段AB 的垂直平分线与y 轴交于N 点，求直线MN 斜率的最小值.
【命题意图】本题主要考查抛物线的定义、椭圆标准方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查字母运算能力，是难题
.
AB ∴的中点坐标为32
00
2200342,316316y y y y ⎛
⎫ ⎪- ⎪++ ⎪⎝⎭
AB ∴的垂直平分线方程为32
00022003423162316y y y y x y y ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭,
即202
0120,316y N y ⎛⎫- ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭ 0
202316MN y k y -∴=
+
┄┄11分
00200
220,163163MN y y k y y y -->∴=
=≥++
当且仅当00163y y =
即3340=y 时，12
3)(min -=MN k .┄┄┄12分 21.（本小题满分12分） 已知函数)(x f ＝21
x
e x mx －＋．
（Ⅰ）若)2,2(-∈m ，求函数)(x f y =的单调区间；
（Ⅱ）若]2
1,0(∈m ，则当]1,0[+∈m x 时，函数)(x f y =的图象是否总在直线x y =上
方?请写出判断过程．
【命题意图】本题主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、导数的综合应用，考查分类整合思想、运算求解能力，是难题
.
②02m <<当时，
()(,1)(1,)f x m -∞++∞在和上单调递增，()(1,1)f x m +在上单调递减，
③0m <<当-2时，()(,1)(1,)f x m -∞++∞在和上单调递增，
()(1,1)f x m +在上单调递减.……………………5分
（Ⅱ）当102m ⎛
⎤∈ ⎥⎝⎦
，时，由（1）知()(0,1)f x 在上单调递增，(1,1)m +在上单调递减. 令()g x x =. ①
当[0,1]x ∈时，min max ()(0)1,()1f x f g x ===，所以函
数()f x 图象在()g x 图象上方.……6分 ②
当[]1,1x m ∈+时，函数()f x 单调递减，所以其最小值为
1
(1)2
m e f m m ++=+，()g x 最大值为1m +，所以下面判断(1)f m +与1m +的大小，即判
断x
e 与x x )1(+的大小，
其中311,2
x m ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦
， ………………………8分
所以⎥⎦
⎤ ⎝⎛∈2
3,10x 时，01)(02
00>++-=x x x m 即x x e x )1(+>也即(1)1f m m +>+
所以函数f (x )的图象总在直线y x =上方. ………………………12分
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，AB 是圆O 的直径，AC 是弦，BAC ∠的平分线AD 交圆O 于点D ，DE AC ⊥，
交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F 。

（Ⅰ）求证：DE 是圆O 的切线； （Ⅱ）若
25AC AB =，求
AF
DF
的值. 【命题意图】本题主要考查圆的切线判定、三角形全等与相似的判定与性质，考查逻辑
推理能力，是基础题.
23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，过点(1,2)P -的直线l 的倾斜角为45
．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
sin
2cos ρθθ=,直线l 和曲线
C 的交点为,A B ．
（Ⅰ）求直线l 的参数方程；
考查运算求解能力，是基础题．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数a x x f --=|1|2)(，R m a m x x g ∈+-=,|,2|)(，若关于x 的不等式)(x g ≥-1
的整数解有且仅有一个值为-3． （Ⅰ）求整数m 的值：
（Ⅱ）若函数)(x f y =的图象恒在函数)(2
1
x g y =
的上方，求实数a 的取值范围． 【命题意图】本题考查含绝对值不等式的解法、不等式恒成立，考查数形结合思想、逻辑思维能力、运算求解能力、分类讨论思想的应用．
【解析】（Ⅰ）由()1g x ≥-，即21x m -+≥-，21x m +≤，所以
1122
m m x ---+≤≤．……2分
不等式的整数解为－3，则11322
m m ---+≤-≤，解得
57m ≤≤．
又不等式仅有一个整数解－3，∴6m =．……………………4分。