分类讨论解答通关50题(含答案)

（1）如图，若 t ，t t ，
h≌ th ． 在
tt t t t 或
tt
t t t 两种情况中任选一种，解决以下问题：
线段 t 的长度是否发生变化，直接写出长度或变化范围；
h 的度数是否发生变化，直接写出度数或变化范围．
（2）若 t ，t t ， t t t t ，且
h 和 th 这两个三角形全等，请求
14. 如图，已知抛物线 t 讨 讨 顶点为 h，对称轴为 讨 t ．
与 讨 轴的一个交点为
tt ，与 轴的交点为 t tt ，其
（1）求抛物线的解析式； （2）已知点 为 轴上的一个动点，当 t 为等腰三角形时，求点 的坐标； （3）将 tt 沿 讨 轴向右平移 个单位长度 t 论 论 得到另一个三角形，将所得的三角
16. 如图，在 点 与点
t 中，
t
， tt
t，cos t t．在矩形 th 中，th t ，h t ，
t
重合， 与 重合，矩形 th 沿着 t 方向平移，且平移速度为每秒 t 个单
位，当点 与点 t 重合时停止运动．
（1） t 的长度是
；
（2）运动
秒，th 与 重合；
（3）设矩形 th 与
t 重叠部分的面积为 ，运动时间为 ，求出 与 之间的函数关系
；
（2）求 关于 讨 的函数关系式，并写出 讨 的取值范围．
9. 如图，抛物线 t 讨 讨
t 与 轴交于点 h tt ，与 讨 轴交于点 和点 t，其中点
的坐标为 tt ，抛物线的对称轴是直线 讨 t ．
（1）求抛物线的解析式． （2）若点 是直线 th 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点
若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）求抛物线的解析式． （2）求线段 h 长度的最大值． （3）当线段 h 长度最大时，抛物线上是否存在点 ，使
若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由．
t t th（点 与点 h 不重合），
11. 在已知线段 t 的同侧构造 t t t ，并且在射线 ，t 上分别取点 和 ，在线段 t 上取点 h，连接 h 和 h．
20. 如图 1， t，线段 沿射线 th 运动，
开始时，点 与点 t 重合，点 到达点 h 时运动停止，过点 作 t t，与射线 t 相交于
点 ，过点 作 th 的垂线，与射线 t 相交于点 ．设 t t 讨，四边形
与 th 重叠
部分的面积为 ， 关于 讨 的函数图象如图 2 所示（其中 t 论 讨 ， 论 讨 ， 论 讨 时，
h ，连
（2）在（1）的情况下，将 h 沿 ht 向左平移的长度为 t 论 论
，设平移后的图形
与 th 重叠部分的面积为 ，求 与 的函数关系式，并直接写出 的取值范围．
18. 如图，直线 t 讨 h 两点．
与 讨 轴交于点 h，与 轴交于点 t，抛物线 t 讨
讨 经过 t，
（1）求抛物线的解析式； （2）如图，点 是直线 th 上方抛物线上的一个动点，当 t h 面积最大时，请求出点 的坐
（1）当 h 与 t 垂直时，求点 运动的时间； （2）当点 落在 th 的一边上时，求点 运动的时间．
3. 如图 1，正方形 th 中，点 在 th 的延长线上，点 是线段 t 上一动点，连接 ，过点 作 的垂线，交射线 h 于点 ，点 从点 t 出发，沿 t 方向运动，当点 与点 重合时运 动停止．设线段 t 的长为 讨， h 的面积为 ， 关于 讨 的函数图象如图 2 所示（其中 t 讨 与 论 讨 时，函数的解析式不同）．
使四边形 t h 的面积为 t，
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10. 如图，直线 t 讨 与 讨 轴、 轴分别相交于 ，t 两点，抛物线 t 讨 讨 经过点 和点 t，h 是第一象限内抛物线上的一动点，过点 h 作 h 讨 轴 于点 ，交直线 t 于点 ．
（1）求这条抛物线的解析式； （2）点 是线段 t 上的动点，过点 作 ∥ h，交 th 于点 ，连接 h ，当 h 的面积
最大时，求点 的坐标； （3）探究：若点 t 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点 t，使 tth 成为等腰三角形?
若存在，请直接写出所有符合条件的点 t 的坐标；若不存在，请说明理由．
式，并直接写出 的取值范围．
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17. 如图，矩形 th 中， t t ，th t ，将矩形沿对角线 h 剪开，请解决以下问题：
（1）将 h 绕点 h 顺时针旋转 t 得到 接 ，并求线段 的长度；
h ，请在备用图中画出旋转后的
t 㐠t mm，要把它加工成矩形
（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少? （2）若这个矩形的长是宽的 倍，则边长是多少
24. 如图，直线 t 讨
论 t 与 轴交于点 ，与 讨 轴交于点 ，抛物线 t 讨
点为 h，与 轴交于点 t，直线 th 与直线 交于点 ．
5. 如图 1， th 与 th 均为等腰直角三角形，其中 h t t h t t ，点 在线段 th 上，
ht∥th， th 沿 th 方向运动，开始时点 与点 t 重合，当点 和点 h 重合时运动停止，设
线段 t 的长为 讨， th 与 th 重叠部分的面积为 ， 关于 讨 的函数图象如图 2 所示（其
（1）求抛物线 的解析式； （2） 是 上的一个动点，若以 t， ， 为顶点的三角形的周长最小，求点 的坐标； （3）抛物线 上是否存在点 t，使以线段 t 为直径的圆恰好经过点 ?若存在，求点 t 的坐
标；若不存在，请说明理由．
13. 如图甲，在 th 中， ht t t ， h t cm，th t cm．如果点 由点 t 出发沿 t 方向 向点 匀速运动，同时点 t 由点 出发沿 h 方向向点 h 匀速运动，它们的速度均为 cm/s．连接 t，设运动时间为 s t 论 论 ，解答下列问题：
形与 th 重叠部分的面积记为 ，用 的代数式表示 ．
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15. 如图，抛物线与 讨 轴交于 讨 tt ，t 讨 tt 两点，且 讨 t 讨 ，与 轴交于点 h tt ，其中 讨 ， 讨 是方程 讨 讨 㐠 t t 的两个根．
分类讨论解答通关 50 题（含答案）
1. （1）讨论 讨 论 的解集．
（2）解关于 讨 的不等式
讨讨
．
2. 如图，在 Rt th 中， h t t ， h t ，th t ．点 在边 t 上以 单位长度/秒的速度从 点 向点 t 运动，运动时间为 ，运动到点 t 时停止．连接 h ，将 h 沿着 h 对折，点 的对称点为点 ．
出：
线段 t 的长度或取值范围，并说明理由；
h 的度数或取值范围，并说明理由．
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12. 如图，已知抛物线 t t 讨
讨
讨 与 讨 轴交于点 ，与抛物线
于点
t．
t t 的顶点 在 讨 轴上，并过点 t tt ，直线 at t 的对称轴 交于点 ，过 t 点的直线 t 与直线 a 相交
（1）填空：t 的长度为
；
（2）求 关于 讨 的函数关系式，并写出 讨 的取值范围．
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4. 如图，抛物线 t 讨 t讨 a 经过点 tt ，与 轴交于点 t．
（1）求抛物线的解析式； （2） 是 轴正半轴上一点，且
t 是等腰三角形，试求点 的坐标．
22. 如图，在平行四边形 th 中， t t ， t t ，
秒 个单位的速度向终点 运动．点 在射线 t 上，且
为对角线作正方形
，设点 的运动时间为 （秒）．
t t t ，点 从点 t 出发，以每 t t （点 在 上方），以
（1）用含 的代数式表示 的长；
（2）求点 落在 上时 的值；
（3）设正方形
中t论讨
， 论 讨 ， 论 讨 时，函数的解析式不同）．
（1）填空： 的值为
；
（2）求 关于 讨 的函数关系式，并写出 讨 的取值范围．
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6. 如图 1，点 t 是线段 h 的中点，以线段 th 为边作矩形 th ，点 是线段 h 上一动点，连接 ，过点 作 的垂线，交射线 t 于点 ，点 从点 出发，沿 h 方向运动，当点 和点
标和 t h 面积的最大值? （3）在（2）的结论下，过点 作 轴的平行线交直线 th 于点 ，连接 ，点 t 是抛物线
对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点 ，使得以 ，t， ， 为顶点的四边形是平行四 边形?如果存在，请直接写出点 的坐标；如果不存在，请说明理由．
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函数的解析式不同）
（1）填空：th 的长是
；
（2）求 关于 讨 的函数关系式，并写出 讨 的取值范围．
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21. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 t th 的顶点 t 为坐标原点，点 h 在 讨 轴的正半轴上，且 th th 于点 h，点 的坐标为 t ， t t ， t t t t 点 是线段 th 上一点，且 t t ，连接 ．
h 重合时运动停止，设线段 的长为 讨， t 的面积为 ， 关于 讨 的函数图象如图 2 所示 （其中 t 讨 ， ＜讨 时，函数的解析式不同）．
（1）填空：h 的长度为
；
（2）求 关于 讨 的函数关系式，并写出 讨 的取值范围．
7. 如图，点 在数轴上表示的数 是 ，点 t 表示的数是 㐠， ，t 两点同时分别以 个单位/秒 和 个单位/秒的速度从 ，t 两点出发，沿数轴运动，设运动时间为 t（秒）.
（1）求证： t 是等边三角形； （2）求点 t 的坐标； （3）平行于 的直线 从原点 t 出发，沿 讨 轴正方向平移．设直线 被四边形 t th 截得的
线段长为 ，直线 与 讨 轴交点的横坐标为 ． ① 当直线 与 讨 轴的交点在线段 h 上（交点不与点 h， 重合）时，请直接写出 与 的 函数关系式（不必写出自变量 的取值范围）； ②若 t ，请直接写出此时直线 与 讨 轴的交点坐标．
8. 如图 1，在 Rt th 中， ht t t ，h
t，点 为垂足，将 h 沿射线 t 平移，平
移后图形记作 h ，设平移的距离为 讨， h 与 th 重合部分的面积为 ， 关于 讨
的函数图象如图 2 所示（其中 t 论 讨 ， 论 讨 ， 论 讨 t 时，函数的关系式不同）．
（1）填空：th 的长为
（1）设 t 的面积为 ，当 为何值时， 取得最大值? 的最大值是多少? （2）如图乙，连接 h，将 th 沿 th 翻折，得到四边形 t h，当四边形 t h 为菱形时，
求 的值；
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（3）当 为何值时， t 是等腰三角形?
（1）线段 t 的长度为
个单位；
（2）如果点 向右运动，点 t 向左运动，几秒后 t t t?
（3）如果点 ，t 同时向左运动， ， 分别是 和 tt 的中点，是否存在这样的时间 t 使得
线段 t t?若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由.
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与平行四边形 th 的重叠部分图形的面积为 ，求 与 之间的函数关
系式；
（4）连接 ，直接写出运动过程中线段 扫过的图形面积．
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23. 如图， th 是一块锐角三角形余料，边 th t t mm，高 零件，使一边在 th 上，其余两个顶点分别在边 t， h 上．
19. 如图，已知抛物线经过原点 t，顶点为 t ，且与直线 t 讨 交于 t，h 两点．
（1）求抛物线的解析式及点 h 的坐标；
（2）求证： th 是直角三角形；
（3）若点 为 讨 轴上的一个动点，过点 作
讨 轴与抛物线交于点 ，则是否存在以 t，
， 为顶点的三角形与 th 相似?若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．