2019届高三上期末数学分类汇编(25)空间向量与空间角、距离(含答案)

与平面 所成的锐二面角的余弦值为 .
【解析】
【分析】
（1）计算 BD，根据勾股定理逆定理得出 AB⊥BD，再根据 ED⊥平面
得出 ED⊥AB，故而
AB⊥平面 ，从而平面
平面 ；
（2）建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，
，求出两个平面的法向量，根据法向量的
夹角即可求得 λ 的值。
【详解】（1）证明：平面
PO= ，PA=4MA，所以 MD=
当
所以 当
时， 时，
所以
综上： 与底面所成角的正弦值为 或 【点睛】本题主要考查了立体几何中线面角的求法，解题的关键是在于能否作出线面角，属于中档题.
（广西南宁市、玉林市、贵港市等 2019 届高三毕业班摸底考试数学（文）试题）
8.如图，棱长为 的正方体
中， 为 中点，这直线 与平面 所成角的正切值
的棱长为 3，则
，
，
，在 中，由余弦定理，得
，所以
，同理，在 中，由
余弦定理得
，在 中，由余弦定理，得
.
故答案为：
【点睛】本题考查异面直线所成的角，求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边 形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，
因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.
【详解】在图 1 中连接 DE，EC，因为
=
，得 为等腰三角形，设空间四
边形 的边长为 2，即
=
=2，在 中，
,
,得 =
. 在图 2 取 AD 的中点 M，连接 MF、EM，因为 E、F 分别是 AB、CD 的中点，∴MF＝1，EM＝1，∠EFM 是异
面直线 AC 与 EF 所成的角．
在△EMF 中可由余弦定理得：cos∠EFM＝ 即异面直线所成的角为 45°． 故选：B
为异面直线 OC 与 QB 所成的角（或补角），再做辅助线，求得角 MCD 为直
线 MC 与底面所成的角，再然后求角 MCD 的正弦值.
【详解】由题意知 QB=PO= ，连接 MO，则 MO//QB，
为异面直线 OC 与 QB 所成的角
（或补角），所以
或
过M做
于点 D，则
底面 AOC，所以角 MCD 为直线 MC 与底面所成的角，
，∴∠EFM＝45°,
图1
图2
【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档
题.
（山东省菏泽市 2019 届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题） 16.如图，在正四面体 中， 是棱 上靠近点 的一个三等分点，则异面直线 和 所成角的余
弦值为________．
【点睛】 本题考查了面面垂直的判定，空间向量求平面与平面夹角的应用，属于中档题。
（四川省成都市实验外国语学校 2019 届高三二诊模拟考试理科数学）
17.如图，正四棱柱
中，
，点 在 上且
.
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） . 【解析】 【分析】
(1)首先可以根据图像建立空间直角坐标系然后写出
【答案】 【解析】 【分析】 取棱 上靠近点 的一个三等分点 ，由已知得
，所以 是异面直线 和 所成的角或其
补角，求出 CE,CF 和 FE 的长，利用余弦定理计算即可. 【详解】如图，取棱 上靠近点 的一个三等分点 ，又因为 是棱 上靠近点 的一个三等分点，所
以
，所以 是异面直线 和 所成的角，不妨设正四面体
（江西省上饶市重点中学 2019 届高三六校第一次联考数学（文）试卷）
10.在空间四边形 中，若
，且
， 分别是
的中点，则异面直
线
所成角为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设空间四边形 的边长为 2，作 AD 的中点 并且连接 MF、EM，在△EMF 中可由余弦定理能求出异面
直线所成的角．
过 C 向 AB 引垂线，垂直足为 Q，连结 CF，DE，EF，FQ，
得
,
∴CF∥DE，
，故 EF//DC, EF=DC，
又 PA=PD=DA，∴DE⊥AP，
∴CF⊥AP，
由平面 PAD⊥平面 ABCD，∴CD⊥平面 PAD，∴CD⊥PD，
∴PC2=DC2+DP2=8，
又 CQ⊥AB，∴CQ//AD，CQ=AD,
（江西省红色七校 2019 届高三第二次联考数学（理）试题）
18.如图，多面体
为正三棱柱
沿平面
切除部分所得， 为 的中点，且
.
(1)若 为 中点,求证
；
(2)若二面角
大小为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析； （2） . 【解析】
【分析】
(1)
取 中点 N，连接 MN，证明
即可；(2)由（1）得
，所以 平面 ；
(2)设向量
是平面 的法向量，则
，
故
，
.令 ，则
， ，
等于二面角
的平面角，
。
【点睛】本题考查了解析几何的相关性质，主要考查了线面垂直的证明以及二面角的余弦值的求法，
线面垂直可以通过线线垂直来证明，而二面角的余弦值则可以借助空间向量来证明，考查数形结合思
想，考查推理能力，是中档题。
18.如图，三棱台
平面 ，
平面
平面
，
，
平面 ， 平面 ，
，
，
，
，
，
，
，又
平面 ，
平面
平面
（2）解：以 为坐标原点，以 ， 为 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系
，则
，
，
，
，
，
，
则
，
，
设
则
， ，
，（
），
，
设平面 的法向量为
，平面 的法向量为
，则
， 令 ，得
，
，
， ，
令
，得
，
. 即. 即点 为线段 的中点时，平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 .
∴BC2=QC2+QB2=8，
∴PC=BC，
又 F 为 PB 的中点，∴CF⊥PB，
∴CF⊥平面 APB，
又 CF⊂平面 PCB，∴平面 PCB⊥平面 ABP．
（2）如图，过 P 作 AD 的垂线，垂足为 O， 由（1）知 O 为 AD 的中点，故 PO⊥AD， 以 O 为原点，OA 为 x 轴，在平面 ABCD 内过点 O 作 A 原垂线为 y 轴， OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系 O-xyz， 则 D（-1，0，0），C（-1，2，0），B（1，4，0），P（0，0， ），
是二面角
的平面角，得
，建立空间直角坐标系，由线面角的向量公式求解即可.
【详解】（1）取 中点 N，连接 MN，则 MN 为
的中位线，
,
，又 MN=AD,
，
， (2) 由
， 。
可得
二面角
平面角，
由二面角
大小为 可得
，
如图建立空间直角坐标系，则
，
,
,
设平面 的法向量为
，所以
，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 CM 与 BN 所成角的余弦值．
【详解】取 BC 中点 O，连结 OD，OA，
∵三棱锥 D-ABC 中，
，
平面 DBC⊥平面 ABC，M，N 分别为 DA 和 DC 的中点，
∴OD⊥BC，OA⊥BC，OD⊥OA，
以 O 为原点，OC 为 x 轴，OA 为 y 轴，OD 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
（河南省九师联盟 2019 届高三 2 月质量检测数学文试题） 16.如图，已知圆锥的母线长为 8，底面圆的圆心为 ，直径
，点 是母线 的中点.若点 是底
面圆周上一点，且直线 与 所成的角为 ， 在线段 上且 弦值为__________．
，则 与底面所成角的正
【答案】 或 【解析】
【分析】
先根据题意，求得
.
由（Ⅰ）知， 平面 ，
，
∴
，
，
∴ ， ， 两两垂直.
以 ， ， 分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系
.
设
，则
，
∴ 设平面
， 的一个法向量为
，
，
，
，
.
.
由
可得，
.
令
，则 ，
，∴
.
设 与平面 所成角为 ，则
.
【点睛】本题考查了空间几何中，面面垂直的性质，线线垂直的证明，及线面角的求法，考查了学生 的逻辑推理能力与计算求解能力，属于中档题。
=（1，-2， ）， =（2，1，0），
设平面 PCB 的法向量 =（x，y，z），
则
，即
，取 x=1，得 =（1，-1，- ），
设平面 PDC 的法向量为 =（x，y，z），
则
，
，取 z=1，得 =（- ，0，1），
∴cos＜ ＞=
=- ，
∴二面角 D-PC-B 的余弦值为- ． 【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系 等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先作出直线 D1M 与平面 ABCD 所成角，然后求解即可 【详解】连接 DM，因为几何体是正方体，
所以∠D1MD 就是直线 D1M 与平面 ABCD 所成角，
tan∠D1MD= 故选：C 【点睛】求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当 垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角 的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.
（广东省汕尾市 2019 届高三普通高中 3 月教学质量检测理科数学试题）
11.如图，三棱锥 D-ABC 中，
，平面 DBC⊥平面 ABC，M，N 分别为
DA 和 DC 的中点，则异面直线 CM 与 BN 所成角的余弦值为（ ）
A.
B.
C.
D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】
取 BC 中点 O，连结 OD，OA，则 OD⊥BC，OA⊥BC，OD⊥OA，以 O 为原点，OC 为 x 轴，OA 为 y 轴，OD
【点睛】本题考查线面平行的判定，线面角的向量求法，熟记线面平行判定定理，准确计算是关键， 是基础题.
（陕西省 2019 届高三第二次教学质量检测数学（理）试题）
19.如图所示，等腰梯形 的底角
，直角梯形 所在的平面垂直于平面 ，
且
，
.
（1）证明：平面
平面 ；
（2）点 在线段 上，试确定点 的位置，使平面 【答案】（1）见证明；（2）见证明
的底面是正三角形，平面
平面 ，
，
.
（Ⅰ）求证：；ຫໍສະໝຸດ （Ⅱ）若，求直线 与平面
所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ） 【解析】
【分析】
（Ⅰ）取 的中点为 ，连结 ，易证四边形 为平行四边形，即
，由于
的中点，可得到
，从而得到
，即可证明 平面 ，从而得到
，为 ；（Ⅱ）
易证 ， ， 两两垂直，以 ， ， 分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系
然后通过
以及
即可得出
的坐标以及向量
，
，最后根据线面垂直的相关性质即
可得出结果；
(2)可以通过求出平面 与平面 的法向量来求出二面角
的余弦值。
【详解】以 为坐标原点，射线 为 轴的正半轴，射线 为 轴的正半轴，射线 为 轴的正半轴，
建立空间直角坐标系
，即可得出
、
、
，
、
、
、
、
。
(1)因为
,
，所以
，
因为
C（ ，0，0），A（0， ，0），D（0，0， ），M（0， ， ）， N（ ，0， ），B（- ，0，0），
=（- ， , ），
=（ ，0， ）， 设异面直线 CM 与 BN 所成角的平面角为 θ，
则 cosθ=
．
∴异面直线 CM 与 BN 所成角的余弦值为 ． 故选：A． 【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基 础知识，考查运算求解能力，是中档题．
，求出平面 的一个法向量为
，设 与平面 所成角为 ，则
，即可得到答案。 【详解】解：（Ⅰ）取 的中点为 ，连结 .
由
是三棱台得，平面
平面 ，从而
.
∵
，∴
，
∴四边形 为平行四边形，∴
.
∵
， 为 的中点，
∴
，∴
.
∵平面
平面 ，且交线为 ， 平面 ，
∴ 平面 ，而 平面 ，
∴
.
（Ⅱ）连结 .
由 是正三角形，且 为中点，则
（广东省汕尾市 2019 届高三普通高中 3 月教学质量检测理科数学试题） 18.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB⊥DA，DC∥AB，AB=2DC=4，PA=DA=2，平面 PAD⊥平面 ABCD．
（1）证明：平面 PCB⊥平面 ABP； （2）求二面角 D-PC-B 的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）设 E，F 分别为 AP，PB 的中点，过 C 向 AB 引垂线，垂直足为 Q，连结 CF，DE，EF，FQ，推导出 DE⊥AP，CF⊥AP，从而 CD⊥平面 PAD，CD⊥PD，CQ⊥AB，进而，CQ=AD ,CF⊥PB，CF⊥平面 APB，由此 能证明平面 PCB⊥平面 ABP． （2）过 P 作 AD 的垂线，垂足为 O，以 O 为原点，OA 为 x 轴，在平面 ABCD 内过点 O 作 A 原垂线为 y 轴， OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系 O-xyz，利用向量法能求出二面角 D-PC-B 的余弦值． 【详解】（1）如图，设 E，F 分别为 AP，PB 的中点，