高中数学 第2章 概率 2.5.2 离散型随机变量的方差学业

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第2章 概率 2.5.2 离散
型随机变量的方差学业分层测评 北师大版选修2-3
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、选择题
1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为DX
甲
＝11，DX 乙＝3.4.由此可以估计( ) A ．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B ．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C ．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D ．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 【解析】 ∵DX 甲>DX 乙， ∴乙种水稻比甲种水稻整齐． 【答案】 B
2．设二项分布B (n ，p )的随机变量X 的均值与方差分别是2.4和1.44，则二项分布的
参数n ，p 的值为( )
A ．n ＝4，p ＝0.6
B ．n ＝6，p ＝0.4
C ．n ＝8，p ＝0.3
D ．n ＝24，p ＝0.1
【解析】 由题意得，np ＝2.4，np (1－p )＝1.44， ∴1－p ＝0.6，∴p ＝0.4，n ＝6. 【答案】 B
3．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝1
3，k ＝3,6,9.则DX 等于( )
A ．6
B ．9
C ．3
D ．4
【解析】 EX ＝3×13＋6×13＋9×1
3
＝6.
DX ＝(3－6)2×13＋(6－6)2×13＋(9－6)2×13
＝6.
【答案】 A
4．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则Dξ＝( ) 【导学号：62690045】
A.15
8
B.154
C.52
D ．5
【解析】 两枚硬币同时出现反面的概率为12×12＝14，故ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫10，14， 因此Dξ＝10×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝15
8.故选A.
【答案】 A 5．已知X 的分布列为
则①EX ＝－13，②DX ＝27，③P (X ＝0)＝3，其中正确的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【解析】 EX ＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－1
3
，故①正确；
DX ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫
－1＋132×12＋⎝
⎛⎭
⎪⎫
0＋132×13
＋⎝
⎛⎭
⎪⎫
1＋13
2×16＝59，故②不正确；③P (X ＝0)＝13
显然正确．
【答案】 C 二、填空题
6．(2014·浙江高考)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝1
5，Eξ＝1，则Dξ＝
________.
【解析】 设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧
15
＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝35
，
b ＝1
5，
所以Dξ＝15＋35×0＋15×1＝2
5.
【答案】 2
5
7．(2016·扬州高二检测)设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p ＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．
【解析】 由独立重复试验的方差公式可以得到
Dξ＝np (1－p )≤n ⎝
⎛⎭⎪⎫p ＋1－p 22＝n 4
，
等号在p ＝1－p ＝12时成立，所以(Dξ)max ＝100×12×12＝25，
Dξ
max
＝25＝5.
【答案】 1
2
5
8．一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为________．
【解析】 设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X ，所得的分数(成绩)为Y ，则Y ＝4X .
由题知X ～B (25,0.6)，
所以EX ＝25×0.6＝15，DX ＝25×0.6×0.4＝6，
EY ＝E (4X )＝4EX ＝60，DY ＝D (4X )＝42×DX ＝16×6＝96，
所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96. 【答案】 60,96 三、解答题
9．海关大楼顶端镶有A 、B 两面大钟，它们的日走时误差分别为X 1，X 2(单位：s)，其分布列如下：
X 1 －2 －1 0 1 2 P
0.05
0.05
0.8
0.05
0.05
X 2 －2 －1 0 1 2 P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
【解】 ∵EX 1＝0，EX 2＝0，∴EX 1＝EX 2.
∵DX 1＝(－2－0)2
×0.05＋(－1－0)2
×0.05＋(0－0)2
×0.8＋(1－0)2
×0.05＋(2－0)2
×0.05＝0.5；
DX 2＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1
＝1.2.
∴DX 1<DX 2.
由上可知，A 面大钟的质量较好．
10．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．
(1)求X 的分布列、期望和方差；
(2)若Y ＝aX ＋b ，EY ＝1，DY ＝11，试求a ，b 的值． 【解】 (1)X 的分布列为：
∴EX ＝0×12＋1×120＋2×10＋3×20＋4×5
＝1.5.
DX ＝(0－1.5)2×1
2＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15
＝
2.75.
(2)由DY ＝a 2
DX ，得a 2
×2.75＝11，得a ＝±2.
又∵EY ＝aEX ＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4. ∴⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝－2
或⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝－2，
b ＝4
即为所求．
能力提升]
1．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1＜x 2，又已知EX ＝43，DX
＝2
9
，则x 1＋x 2的值为( ) A.53 B.7
3 C ．3
D.113
【解析】 ∵EX ＝23x 1＋13x 2＝4
3
.
∴x 2＝4－2x 1，DX ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43－x 12×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43－x 22×13＝2
9
.
∵x 1＜x 2，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 1＝1，
x 2＝2，∴x 1＋x 2＝3.
【答案】 C
2．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23k
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫13n －k ，k ＝0,1,2，…，n ，且Eξ＝
24，则Dξ的值为( )
A ．8
B ．12 C.29
D ．16
【解析】 由题意可知ξ～B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫n ，23， ∴2
3n ＝Eξ＝24，∴n ＝36. 又Dξ＝n ×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝2
9×36＝8.
【答案】 A
3．变量ξ的分布列如下：
ξ －1 0 1
P
a b c
其中a ，b ，c 成等差数列，若Eξ＝3
，则Dξ的值是________.
【导学号：62690046】
【解析】 由a ，b ，c 成等差数列可知2b ＝a ＋c ， 又a ＋b ＋c ＝3b ＝1，∴b ＝13，a ＋c ＝2
3.
又Eξ＝－a ＋c ＝13，∴a ＝16，c ＝1
2，
故分布列为
ξ －1 0 1 P
1
6
13
12
∴Dξ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－132×6＋⎝ ⎭⎪⎫0－32×3＋⎝ ⎭⎪⎫1－32×2＝9. 【答案】 5
9
4．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图2­5­3所示．
图2­5­3
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望EX及方差DX.
【解】(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个．”因此
P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，
P(A2)＝0.003×50＝0.15，
P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.
(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为
P(X＝0)＝C03(1－0.6)3＝0.064，
P(X＝1)＝C13·0.6(1－0.6)2＝0.288，
P(X＝2)＝C23·0.62(1－0.6)＝0.432，
P(X＝3)＝C33·0.63＝0.216，
则X的分布列为
因为X～B(3,0.6)
方差DX＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.。